In dit thema staan kwadratische verbanden centraal.
Kwadratische verbanden horen bij parabolen. Parabolen kunnen een berg- of dalparabool zijn en hebben een top.
Je gaat in de volgende paragrafen informatie afleiden uit de formule van de parabool. Je gaat ook vanuit een grafiek de kwadratische formule van een parabool opstellen. Deze formule kun je omzetten naar andere vormen waardoor je er weer andere informatie uit kunt aflezen. Je gaat ook de nulpunten van een parabool berekenen, snij- en raakpunten van een lijn met een parabool bepalen en onbekende variabelen berekenen. De methoden die je leert, ga je ook gebruiken voor vergelijkingen van andere machten.
Wat kan ik straks?
Aan het einde van dit thema kun je:
aan de hand van een formule uitleggen hoe de grafiek eruit ziet.
kwadratische vergelijkingen oplossen met verschillende methodes (kwadraatafsplitsen, de abc-formule gebruiken, ...)
de nulpunten van een parabool berekenen.
transformaties toepassen op een formule van een parabool.
een formule omzetten naar de standaardvorm, de topvorm of de nulpuntsvorm.
snel werken met vergelijkingen met breuken.
de raaklijn aan een punt opstellen.
met de discriminant van de vergelijking bepalen hoe veel snijpunten er zijn.
vergelijkingen met hogere machten oplossen.
Paragrafen
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
\(\small x = {\text{-}4 + 2\sqrt{6} \over 4}\) of \(\small x = {\text{-}4 - 2\sqrt{6} \over 4}\)
\(\small x = \text{-}1 + {1 \over 2}\sqrt{6}\) of \(\small x = \text{-}1 - {1 \over 2}\sqrt{6}\)
Parabolen
De parabool met vergelijking \(\small y=x^2\) noemen we de standaardparabool.
De parabool \(\small y=c(x-a)^2+b\) (met \(\small c\ne 0\)) ontstaat uit de standaardparabool door die eerst met factor \(\small c\) ten opzichte van de \(\small x\)-as te vermenigvuldigen en daarna \(\small a\) eenheden naar rechts en \(\small b\) eenheden naar boven te schuiven.
De top van de parabool is \(\small (a,b)\).
Je krijgt een dalparabool als \(\small c \gt 0\) en een bergparabool als \(\small c \lt 0\).
Voor positieve \(\small c\) geldt: hoe groter \(\small c\), hoe smaller de parabool.
Voor negatieve \(\small c\) geldt: hoe kleiner \(\small c\) (meer negatief), hoe smaller de parabool.
De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top. Een vergelijking van de symmetrieas is \(\small x=a\).
Drie verschijningsvormen
Er zijn drie verschijningsvormen van de vergelijking van een parabool, elk met zijn voor- en nadelen.
De standaardvorm\(\small y=ax^2+bx+c\)
Vooral handig voor het oplossen van vergelijkingen, bijvoorbeeld voor toepassen van de abc-formule.
De topvorm\(\small y=c(x-a)^2+b\)
De top is dan \(\small (a,b)\).
De symmetrieas is \(\small x=a\).
De nulpuntsvorm\(\small y=c(x-a)(x-b)\)
Dit kan alleen als de parabool nulpunten heeft bij \(\small x=a\) en \(\small x=b\).
De symmetrieas is dan \(\small x={a+b \over 2}={1 \over 2}a+{1 \over 2}b\).
De eerste (of \(\small x\)-)coördinaat van de top is \(\small {1\over 2}a+{1 \over 2}b\).
Opstellen van een vergelijking voor parabolen
Gebruik de topvorm: de vergelijking is \(\small y=c(x-a)^2+b\) (met \(\small c\ne 0\)), \(\small (a,b)\) is de top en een willekeurig punt is \(\small (x,y)\).
Voorbeeld (zie grafiek):
De top van de parabool is \(\small (\text{-}1,2)\), dus \(\small a=\text{-}1\) en \(\small b=2\).
Dit geeft: \(\small y=c(x+1)^2+2\).
Een punt op de parabool is \(\small (3,1)\), dan \(\small x=3\) en \(\small y=1\).
Dit punt invullen geeft: \(\small 1= c(3+1)^2 +2 \\ \small 1 = 16c +2 \\ \small \text{-}1 = 16c \\ \small \text{-}{1 \over 16}=c\)
Vergelijking van de parabool: \(\small y=\text{-}{1 \over 16}(x+1)^2+2\).
Parabool en (raak)lijn
Alle lijnen die evenwijdig met de symmetrieas van de parabool zijn (dus verticaal zijn), hebben natuurlijk één gemeenschappelijk punt met de parabool. Als een lijn niet evenwijdig met de symmetrieas is en één gemeenschappelijk punt met de parabool heeft, dan is de lijn een raaklijn aan de parabool.
Als je het snijpunt van de parabool en een (niet verticale) lijn berekent, krijg je een tweedegraads vergelijking.
Voor de discriminant\(\small D\) van deze vergelijking geldt:
\(\small D \lt 0\): de lijn heeft geen punten met de parabool gemeenschappelijk;
\(\small D = 0\): de lijn heeft één punt met de parabool gemeenschappelijk (raaklijn);
Dit gemeenschappelijke punt van de parabool en de raaklijn heet het raakpunt.
\(\small D \gt 0\): de lijn heeft twee snijpunten met de parabool gemeenschappelijk.
Nog meer vergelijkingen
Sommige vergelijkingen zien er niet direct uit als kwadratische vergelijkingen, maar kunnen wel met een extra tussenstap worden teruggebracht tot een kwadratische vergelijking.
kruislings vermenigvuldigen
Als \(\small {a \over b}={c \over d} \) dan \(\small ad=bc\).
Noemers mogen niet \(\small 0\) zijn (delen door nul is 'flauwekul').
Door kruislings te vermenigvuldigen werk je noemers weg.
De vergelijking na kruislings vermenigvuldigen kan dus getallen als oplossing hebben waarvoor de oorspronkelijke vergelijking geen betekenis heeft.
Ga bij gebroken vergelijkingen daarom na welke getallen een noemer \(\small 0\) maken. Voor dergelijke getallen heeft de vergelijking geen betekenis.
een macht van \(\small x\)buiten haakjes halen
substitutie (of vervanging)
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Het arrangement Thema: Kwadratische verbanden - 4H Wiskunde B is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Kwadratische verbanden'.
Aan het einde van dit thema kun je:
aan de hand van een formule uitleggen hoe de grafiek eruit ziet.
kwadratische vergelijkingen oplossen met verschillende methodes (kwadraatafsplitsen, de abc-formule gebruiken, ...)
de nulpunten van een parabool berekenen.
transformaties toepassen op een formule van een parabool.
een formule omzetten naar de standaardvorm, de topvorm of de nulpuntsvorm.
snel werken met vergelijkingen met breuken.
de raaklijn aan een punt opstellen.
met de discriminant van de vergelijking bepalen hoe veel snijpunten er zijn.
vergelijkingen met hogere machten oplossen.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
arrangeerbaar, havo 4, hogere machten, parabool, snijpunt, stercollectie, vergelijking, wiskunde b
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde B voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Kwadratische verbanden'.
Aan het einde van dit thema kun je:
aan de hand van een formule uitleggen hoe de grafiek eruit ziet.
kwadratische vergelijkingen oplossen met verschillende methodes (kwadraatafsplitsen, de abc-formule gebruiken, ...)
de nulpunten van een parabool berekenen.
transformaties toepassen op een formule van een parabool.
een formule omzetten naar de standaardvorm, de topvorm of de nulpuntsvorm.
snel werken met vergelijkingen met breuken.
de raaklijn aan een punt opstellen.
met de discriminant van de vergelijking bepalen hoe veel snijpunten er zijn.
vergelijkingen met hogere machten oplossen.
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
De parabool met vergelijking 
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
