Thema: Lineaire verbanden - 4H wiskunde A

Thema: Lineaire verbanden - 4H wiskunde A

Inleiding

Lineaire verbanden kom je overal om je heen tegen. In de onderbouw heb je er al kennis mee gemaakt: de bijbehorende grafiek is dan een rechte lijn.

We gaan de kennis uitbreiden: de formules worden minder mooi.
Ook zul je leren dat je de formules van lineaire verbanden op twee manieren kunt schrijven: in de vorm \(\small y=ax+b\) of \(ax+by=c\) en wat het verband tussen deze twee vormen is.

Verder komen de volgende onderwerpen aan de orde:

  • Interpoleren en extrapoleren
  • Richtingscoëfficiënt (of hellingsgetal) en startgetal
  • Herkennen van lineair verband in een tabel
  • Evenredig verband
  • Oplossen van lineaire ongelijkheden

Paragrafen

Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.

Paragraaf 1  Lineaire verbanden
Paragraaf 2  Rekenen met toenames
Paragraaf 3  De formule van een lineair verband
Paragraaf 4  Rekenen met lineaire verbanden
Paragraaf 5  Verbanden van de vorm px + qy = r
Paragraaf 6  Ongelijkheden
Paragraaf 7  Andere verbanden

Afsluiting

Samenvatting

Verbanden

Een evenredig verband tussen \(x\) en \(y\) heeft een formule in de gedaante \(y=cx\).
De verhouding tussen \(x\) en \(y\) is altijd hetzelfde.
De grafiek is een rechte lijn door \((0,0)\).
Het getal \(c = \frac{y}{x}\)  (\( = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)) is de evenredigheidsconstante.

 

 

Een lineair verband tussen \(x\) en \(y\) heeft een formule in de gedaante \(y=ax+b\).
De verhouding tussen de toenames van \(x\) en \(y\) is altijd hetzelfde.
Het getal \(a = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) is de richtingscoëfficiënt van de lijn (of helling, hellingsgetal, hellingscoëfficiënt).
De grafiek is een rechte lijn door het punt \((0,b)\).

Ook de grafiek bij een formule in de vorm \(ax+by=c\) is een rechte lijn.

 

Interpolatie en extrapolatie

Als je bij een lineair verband twee paren \((x,y)\) gegeven hebt, kun je bij elke waarde van \(x\) de bijbehorende waarde van \(y\) uitrekenen, en omgekeerd.
Als de waarde van \(x\) tussen de twee gegevens in ligt, spreken we van interpolatie, anders van extrapolatie.


Schematisch:

\(y\) neemt \(30\) toe als \(x\) \(4\) toeneemt
\(y\) neemt \(7,5\) toe als \(x\) \(1\) toeneemt
\(y\) neemt \(2,7⋅7,5\) toe als \(x\) \(2,7\) toeneemt
bij \(x=12,7\) hoort \(y=15+2,7⋅7,5=35,25\)

 

Toename

Gegeven is een verband tussen \(x\) en \(y\). Stel dat \(x\) toeneemt van een waarde tot een andere waarde.
Dan kun je de gemiddelde toename van \(y\) als volgt uitrekenen.

\(x=\) ene waarde

\(→\)

\(y=......\)

\(x=\) andere waarde

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

\(→\)

\(y=......\)

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

\(Δx=......\)

\(→\)

\(Δy=......\)

De gemiddelde toename is: \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = ...\).

Bij een lineair verband tussen \(x\) en \(y\) is de gemiddelde toename van \(y\) altijd hetzelfde.

Als we \(x\) voortdurend met bijvoorbeeld \(1\) laten toenemen, krijgen we een rij toenames van \(y\).
Het toenamediagram is een grafische weergave van deze toenames. Bij \(x=7\) wordt de toename van \(y\) uitgezet als \(x\) toeneemt van \(6\) naar \(7\).

Bij een lineair verband tussen \(x\) en \(y\) is het toenamediagram een horizontale rechte lijn.

 

Snijpunt

Stel dat je twee lineaire verbanden hebt: tussen \(x\) en \(y\) en tussen \(x\) en \(z\).
In het algemeen is er een waarde van \(x\) waarbij \(y\) en \(z\) gelijk zijn. Het bijbehorende punt van de grafieken is hun snijpunt.
Als de richtingscoëfficiënten van de lijnen gelijk zijn is er zo’n snijpunt niet: dan zijn de grafieken evenwijdig.


Vaak is een ontwikkeling niet monotoon lineair, maar schommelen de gemeten waarden. Soms is er – ondanks het ontbreken van regelmaat – toch een zekere richting in de ontwikkeling te zien. Om die ontwikkeling aan te geven wordt dan een zogenaamde trendlijn getekend. Daaromheen schommelen de werkelijk gemeten waarden.


In een nomogram kunnen bij gegeven waarden van de ene variabele de bijbehorende waarde van de andere variabele worden afgelezen, zonder dat daar een berekening aan te pas komt.

 

Ongelijkheden

De gelijkheid \(y=ax+b\) beschrijft een rechte lijn.
De ongelijkheid \(y<ax+b\) beschrijft het gebied onder die rechte lijn.
De ongelijkheid \(y>ax+b\) beschrijft het gebied boven die rechte lijn.
Als de ongelijkheid een andere vorm heeft, kun je een punt invullen om te bepalen welk gebied bij de ongelijkheid hoort.

Als er meer ongelijkheden een rol spelen, dan kun je bij elke ongelijkheid een grafiek tekenen en het bijbehorende gebied onder of boven de lijn aangeven. Het gebied dat voldoet aan alle ongelijkheden noemen we het toegestane gebied.

Diagnostische toets

Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.

Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.

Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.

Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.

 

Test: H4 Lineaire verbanden

Start

Extra opgaven

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Extra oefening Basis

Extra oefening Plus

Terugblik

Reflectie op leerdoelen en op het proces. Wat ging goed, wat ging minder goed.

Heb ik mijn eigen planning gehaald?

Evaluatie: Terugblik

Start

  • Het arrangement Thema: Lineaire verbanden - 4H wiskunde A is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-12-22 11:48:09
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.

    Fair Use

    In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use

    Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde A voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Lineaire verbanden'.
    Leerniveau
    HAVO 4;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, havo 4, lineaire verbanden, stercollectie, wiskunde a

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde HV12 (WM) nieuw. (z.d.).

    Stramien Wiskunde Stercollectie 2.0

    https://maken.wikiwijs.nl/131786/Stramien_Wiskunde_Stercollectie_2_0

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    H4 Lineaire verbanden

    Terugblik

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Meer informatie voor ontwikkelaars

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van