Lineaire verbanden kom je overal om je heen tegen. In de onderbouw heb je er al kennis mee gemaakt: de bijbehorende grafiek is dan een rechte lijn.
We gaan de kennis uitbreiden: de formules worden minder mooi.
Ook zul je leren dat je de formules van lineaire verbanden op twee manieren kunt schrijven: in de vorm \(\small y=ax+b\) of \(ax+by=c\) en wat het verband tussen deze twee vormen is.
Verder komen de volgende onderwerpen aan de orde:
Interpoleren en extrapoleren
Richtingscoëfficiënt (of hellingsgetal) en startgetal
Herkennen van lineair verband in een tabel
Evenredig verband
Oplossen van lineaire ongelijkheden
Paragrafen
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
Een evenredig verband tussen \(x\) en \(y\) heeft een formule in de gedaante \(y=cx\).
De verhouding tussen \(x\) en \(y\) is altijd hetzelfde.
De grafiek is een rechte lijn door \((0,0)\).
Het getal \(c = \frac{y}{x}\) (\( = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)) is de evenredigheidsconstante.
Een lineair verband tussen \(x\) en \(y\) heeft een formule in de gedaante \(y=ax+b\).
De verhouding tussen de toenames van \(x\) en \(y\) is altijd hetzelfde.
Het getal \(a = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) is de richtingscoëfficiënt van de lijn (of helling, hellingsgetal, hellingscoëfficiënt).
De grafiek is een rechte lijn door het punt \((0,b)\).
Ook de grafiek bij een formule in de vorm \(ax+by=c\) is een rechte lijn.
Interpolatie en extrapolatie
Als je bij een lineair verband twee paren \((x,y)\) gegeven hebt, kun je bij elke waarde van \(x\) de bijbehorende waarde van \(y\) uitrekenen, en omgekeerd.
Als de waarde van \(x\) tussen de twee gegevens in ligt, spreken we van interpolatie, anders van extrapolatie.
Schematisch:
\(y\) neemt \(30\) toe als \(x\)\(4\) toeneemt \(y\) neemt \(7,5\) toe als \(x\)\(1\) toeneemt \(y\) neemt \(2,7⋅7,5\) toe als \(x\)\(2,7\) toeneemt
bij \(x=12,7\) hoort \(y=15+2,7⋅7,5=35,25\)
Toename
Gegeven is een verband tussen \(x\) en \(y\). Stel dat \(x\) toeneemt van een waarde tot een andere waarde.
Dan kun je de gemiddelde toename van \(y\) als volgt uitrekenen.
\(x=\) ene waarde
\(→\)
\(y=......\)
\(x=\) andere waarde
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
\(→\)
\(y=......\)
¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯
\(Δx=......\)
\(→\)
\(Δy=......\)
De gemiddelde toename is: \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = ...\).
Bij een lineair verband tussen \(x\) en \(y\) is de gemiddelde toename van \(y\) altijd hetzelfde.
Als we \(x\) voortdurend met bijvoorbeeld \(1\) laten toenemen, krijgen we een rij toenames van \(y\).
Het toenamediagram is een grafische weergave van deze toenames. Bij \(x=7\) wordt de toename van \(y\) uitgezet als \(x\) toeneemt van \(6\) naar \(7\).
Bij een lineair verband tussen \(x\) en \(y\) is het toenamediagram een horizontale rechte lijn.
Snijpunt
Stel dat je twee lineaire verbanden hebt: tussen \(x\) en \(y\) en tussen \(x\) en \(z\).
In het algemeen is er een waarde van \(x\) waarbij \(y\) en \(z\) gelijk zijn. Het bijbehorende punt van de grafieken is hun snijpunt.
Als de richtingscoëfficiënten van de lijnen gelijk zijn is er zo’n snijpunt niet: dan zijn de grafieken evenwijdig.
Vaak is een ontwikkeling niet monotoon lineair, maar schommelen de gemeten waarden. Soms is er – ondanks het ontbreken van regelmaat – toch een zekere richting in de ontwikkeling te zien. Om die ontwikkeling aan te geven wordt dan een zogenaamde trendlijn getekend. Daaromheen schommelen de werkelijk gemeten waarden.
In een nomogram kunnen bij gegeven waarden van de ene variabele de bijbehorende waarde van de andere variabele worden afgelezen, zonder dat daar een berekening aan te pas komt.
Ongelijkheden
De gelijkheid \(y=ax+b\) beschrijft een rechte lijn.
De ongelijkheid\(y<ax+b\) beschrijft het gebied onder die rechte lijn.
De ongelijkheid \(y>ax+b\) beschrijft het gebied boven die rechte lijn.
Als de ongelijkheid een andere vorm heeft, kun je een punt invullen om te bepalen welk gebied bij de ongelijkheid hoort.
Als er meer ongelijkheden een rol spelen, dan kun je bij elke ongelijkheid een grafiek tekenen en het bijbehorende gebied onder of boven de lijn aangeven. Het gebied dat voldoet aan alle ongelijkheden noemen we het toegestane gebied.
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Het arrangement Thema: Lineaire verbanden - 4H wiskunde A is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollectie voor wiskunde A voor havo leerjaar 4. Dit is thema ’Lineaire verbanden'.
Leerniveau
HAVO 4;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
arrangeerbaar, havo 4, lineaire verbanden, stercollectie, wiskunde a
Een lineair verband tussen 
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
