Je gaat in deze paragraaf leren hoe je sommige telproblemen kunt oplossen door alle mogelijke volgordes systematisch uit te schrijven.
In volgende paragrafen ga je leren hoe je dit soms veel 'handiger' aan kunt pakken.
Opgaven
Knip uit roosterpapier
Bankbiljetten
Ebbe en Nils hebben vier bankbiljetten: een biljet van \(5\) euro, één van \(10\) euro, één van \(20 \) euro en een biljet van \(50\) euro. Zonder ergens op te letten verdelen ze de bankbiljetten, elk twee.
Drie proefwerken
Er zijn drie proefwerken voor wiskunde A geweest die even zwaar tellen. Een leerling staat gemiddeld precies een \(8\). Er worden alleen gehele cijfers van \(1\) tot en met \(10\) voor de proefwerken gegeven. Deze \(8\) kan tot stand komen door verschillende cijfercombinaties. Bijvoorbeeld: \(8-8-8\) of \(10-10-4\). Bij deze opgave kijken we alleen maar naar het gemiddelde en is de volgorde waarin de cijfers behaald zijn niet van belang. De rijtjes \(10-10-4\), \(10-4-10\) en \(4-10-10\) zien we dus als één mogelijkheid.
Scrabble
Bij een potje Scrabble heb je nog vijf letters over, drie E’s, een L en een D. Die vijf letters kun je op een aantal manieren op een rijtje leggen. Soms krijg je een echt woord (bijvoorbeeld EDELE), vaak ook niet. We willen graag weten hoeveel verschillende rijtjes je kunt maken. Bij zulke opgaven is het belangrijk dat je volgens een systeem je rijtjes maakt.
Hightea
Bij telproblemen moet je nauwkeurig en systematisch werken om het spoor niet bijster te raken. In de volgende opdrachten bedenk je telkens zelf een manier om het aantal mogelijkheden systematisch bij te houden.
Vijf leerlingen (Anne, Brent, Claudia, Daan en Ebbe) hebben zich opgegeven om de docent Engels te helpen bij de voorbereidingen van een hightea ter gelegenheid van de 80e verjaardag van de school. De docent heeft drie helpers nodig.
Nieuw bestuur
Voor een nieuw te vormen bestuur hebben zich vier leden beschikbaar gesteld: Arthur, Ben, Carla en David. Uit deze kandidaten wordt een bestuur gekozen dat bestaat uit een voorzitter, een secretaris en een penningmeester.
Vaas
In een vaas zitten twee genummerde briefjes: één met het getal \(3\) en één met het getal \(9\). Je haalt zonder te kijken een briefje uit de vaas en noteert het nummer dat erop staat. Daarna doe je het briefje terug in de vaas. Je herhaalt deze handeling nog drie keer. Je krijgt zo een getal van vier cijfers, bijvoorbeeld \(3333\) of \(9339\).
Vier vriendinnen
Vier vriendinnen (Anne, Beatrice, Cathy en Demi) moeten nog twee praktische opdrachten afronden: één voor wiskunde en één voor Nederlands. De vriendinnen besluiten tweetallen te vormen, zodat elk tweetal zich maar in één opdracht hoeft te verdiepen. Bijvoorbeeld: Anne en Cathy maken samen de wiskundeopdracht en Beatrice en Demi ronden de opdracht voor Nederlands af.
Schilderij
Ines maakt een schilderij door een vierkant wit linnen doek in vier vlakken te verdelen en elk van deze vlakken een kleur te geven. Ze gebruikt de kleuren rood, geel en blauw. Ines kleurt twee vlakken rood omdat dit haar lievelingskleur is.
Vier kinderen
Vier kinderen (Ebbe, Julia, Sarah en Nils) mogen samen een nachtje logeren bij hun grootmoeder. Oma heeft twee slaapkamers (één op zolder en één beneden) met elk vier bedden. Alle vier de kleinkinderen kunnen dus op één kamer slapen. Maar dat hoeft niet, de kinderen mogen er ook voor kiezen beide kamers te gebruiken. Bijvoorbeeld: Ebbe, Julia en Sarah slapen beneden en Nils slaapt boven op zolder.
Drie brieven
Je hebt drie brieven (a, b en c) geschreven aan vrienden en hun adressen op drie enveloppen (A, B en C) gezet. Zonder ergens op te letten, stop je in elk van de enveloppen één brief.
Brieven en enveloppen
Je hebt drie dezelfde brieven en vijf gekleurde enveloppen: een gele, een blauwe, een rode, een oranje en een paarse. Zonder ergens op te letten, stop je in drie enveloppen een brief. Bijvoorbeeld: één brief in de gele enveloppe, één brief in de blauwe en de resterende brief in de paarse enveloppe.
Oplosmethoden
Bekijk nog eens opgave Scrabble en opgave Schilderij. De oplosmethoden van deze twee opgaven lijken erg op elkaar. Als je in opgave Scrabble de positie van de D en de L weet, ligt het ‘woord’ vast. We beginnen met het leggen van de letter D; we hebben daarvoor \(5\) mogelijkheden. Voor de letter L blijven dan nog \(4\) posities over. In totaal zijn er \(4+4+4+4+4=5⋅4=20\) rijtjes mogelijk.
DLEEE
LDEEE
LEDEE
LEEDE
LEEED
DELEE
EDLEE
ELDEE
ELEDE
ELEED
DEELE
EDELE
EEDLE
EELDE
EELED
DEEEL
EDEEL
EEDEL
EEEDL
EEELD
Evenzo geldt dat de compositie van het schilderij vastligt als je de positie van het gele en het blauwe vlak weet. We starten met de kleur geel; we hebben \(4\) vlakken die we geel kunnen verven. Voor de kleur blauw blijven dan nog \(3\) vlakken over. Er zijn \(3+3+3+3=4⋅3=12\) composities mogelijk.
Sol LeWitt
Sol LeWitt (1928-2007) was een Amerikaans kunstenaar die wordt gezien als één van de grondleggers van conceptuele kunst en minimal art. LeWitt is onder andere bekend geworden om zijn muurtekeningen, waarvan exemplaren te zien zijn in het Kröller-Müller Museum en het Stedelijk Museum. In het werk van LeWitt nemen geometrische vormen en combinatorische thema’s een prominente plaats in, zoals in "Straight lines in four directions and all their possible combinations". Dit werk bestaat uit een rooster met in elke vierkant één of meerdere horizontale, verticale en diagonale lijnen (zie de linker figuur). Ga na waarom LeWitt aan 15 vierkanten genoeg had.
Uit dit werk van LeWitt is een mooie puzzel voortgekomen. Toen de wiskundige en schrijver Barry Cipra het werk van LeWitt zag, werd hij geboeid door het lijnenspel. Cipra merkte op dat sommige diagonale lijnen doorlopen van een zijde van het kunstwerk naar een andere (zoals de rode lijn in de rechter figuur) terwijl alle horizontale en verticale lijnen worden onderbroken (zoals groene lijn in de rechter figuur). Cipra stelde zichzelf de volgende vraag:
Is het mogelijk de 16 vierkantjes - zonder ze te draaien - te herschikken in het 4 bij 4 rooster zo, dat geen enkele horizontale, verticale of diagonale lijn wordt onderbroken?
Het antwoord op deze uitdagende vraag is ja en jij kunt een oplossing vinden. Er zijn zelfs meerdere oplossingen mogelijk! Probeer maar eens. Misschien kun je zelfs een verband vinden tussen verschillende oplossingen. Gebruik hiervoor de applet Sol LeWitt, of knip de benodigde vierkantjes op het werkblad uit. Succes!
Tot slot, als je een oplossing van de LeWitt puzzel hebt gevonden en deze op een donut plakt, dan lopen de lijnen in elkaar door. Bijzonder toch?!
Het arrangement Systematisch uitschrijven is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde A voor havo leerjaar 4.
Je gaat in deze paragraaf leren hoe je sommige telproblemen kunt oplossen door alle mogelijke volgordes systematisch uit te schrijven.
Leerniveau
HAVO 4;
Leerinhoud en doelen
Wiskunde A;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Studiebelasting
4 uur en 0 minuten
Trefwoorden
arrangeerbaar, havo 4, stercollectie, systematiek, telproblemen, wiskunde a
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde A voor havo leerjaar 4.
Je gaat in deze paragraaf leren hoe je sommige telproblemen kunt oplossen door alle mogelijke volgordes systematisch uit te schrijven.
Je gaat in deze paragraaf leren hoe je sommige telproblemen kunt oplossen door alle mogelijke volgordes systematisch uit te schrijven.
Je hebt drie brieven (a, b en c) geschreven aan vrienden en hun adressen op drie enveloppen (A, B en C) gezet. Zonder ergens op te letten, stop je in elk van de enveloppen één brief.
