William Hamilton 1805-1865
Iers wiskundige, natuurkundige en
astronoom, introduceerde de term vector
Een verschuiving gaat in een bepaalde richting over een bepaalde afstand. Een pijl is het geschikte middel om zo'n verschuiving weer te geven. Hierbij is de lengte van de pijl de afstand waarover verschoven wordt. Waar die pijl geplaatst wordt, is niet van belang. In het vervolg noemen we een verschuiving een vector.
Latijn: vector is sjouwer, iemand die iets van de ene naar de andere plaats draagt.
Vectoren optellen
De verschuiving eerst over \(\small \vec v\) en daarna over \(\small \vec w\) noteren we met \(\small \vec v + \vec w\).
Drie vectoren
Dat je in opgave "Drie vectoren" in alle zes de gevallen hetzelfde resultaat krijgt, is een gevolg van de volgende regels die voor het optellen van vectoren gelden.
Regels voor het optellen van vectoren \(\small \vec a + (\vec b + \vec c) = (\vec a + \vec b) + \vec c\) \(\small \vec a + \vec b = \vec b + \vec a\)
Stan en Ollie duwen een zware kast
Vier touwen zijn aan elkaar geknoopt
Nulvector
De vector met lengte \(\small 0\) geven we aan met \(\small \vec 0\). We noemen dit de nulvector. Er geldt: \(\small \vec v + \vec 0 = \vec v\) voor elke vector \(\small \vec v\).
Opmerking:
In opgave "Vier touwen zijn aan elkaar geknoopt" geldt: \(\small \vec a + \vec b + \vec c + \vec d = 0\).
Met de vector \(\small ‐\vec v\) bedoelen we de vector die dezelfde lengte heeft als \(\small \vec v\), maar tegengestelde richting.
Er geldt: \(\small \vec v +‐ \vec v = \vec 0\).
We noemen \(\small ‐\vec v\) de tegengestelde vector van \(\small \vec v\).
De vector die het punt \(\small A\) naar het punt \(\small B\) verplaatst, noteren we met \(\small \overrightarrow {AB}\).
In plaats van \(\small \vec v +‐ \vec w\) schrijven we meestal \(\small \vec v - \vec w\).
ABCD is een parallellogram
Zeshoek ABCDEF
Vectoren met een getal vermenigvuldigen
In opgave "ABCD is een parallellogram. P, Q, R en zijn middens van zijde" kun je \(\small \overrightarrow {AM}\) zien als \(\small \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}(\vec v + \vec w)\), maar ook als \(\small \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {AS} = \frac{1}{2}\vec v + \frac{1}{2}\vec w\). Blijkbaar is \(\small \frac{1}{2}\left( {\vec v + \vec w} \right) = \frac{1}{2}\vec v + \frac{1}{2}\vec w\).
We vegen de regels bij elkaar.
Voor alle getallen \(\small k\) en \(\small m\) en alle vectoren \(\small \vec a\), \(\small \vec b\) en \(\small \vec c\) geldt:
∙ \(\small \vec a + \vec b = \vec b + \vec a\)
∙ \(\small \vec a + \left( {\vec b + \vec c} \right) = \left( {\vec a + \vec b} \right) + \vec c\)
∙ \(\small k \cdot \left( {\vec a + \vec b} \right) = k \cdot \vec a + k \cdot \vec b\)
Als \(\small k=3\) en \(\small m=2\), zegt de laatste regel: als je de vector \(\small \vec a\) eerst \(\small 2\) keer zo lang maakt en daarna \(\small 3\) keer zo lang, komt dat op hetzelfde neer als hem \(\small 3⋅2\) maal zo lang te maken.
De een na laatste regel volgt uit gelijkvormigheid, zie hiervoor de volgende opgave "De ene figuur is met factor 2,5 uitvergroot tot de andere".
De ene figuur is met factor 2,5 uitvergroot tot de andere
We bekijken de punten X
Ontbinden van vectoren
Teken twee vectoren
In opgave "Teken twee vectoren" heb je de vector \(\small \vec v\)ontbonden langs de lijnen \(\small a\) en \(\small b\).
Een veerboot vaart loodrecht de rivier over
De kracht waarmee het paard op het jaagpad de schuit voorttrekt
Uit: Nollet, Leçons de Physique
Experimentale, M.DCC.LIII
Trekschuit
Reinier Nooms rond 1650
Een jaagpad of trekpad is een pad langs een kanaal of rivier dat vroeger werd gebruikt om schepen, gewoonlijk vrachtschepen, als de wind niet gunstig was, vooruit te trekken. Dit voorttrekken werd jagen genoemd, vandaar de naam. Gewoonlijk gebeurde dit door de schipper, zijn vrouw of samen met hun kinderen. Trekschuiten werden altijd gejaagd. Als er geld voor was, kon voor het jagen een paard met begeleider ingehuurd worden.
Uit: Wikipedia
De lengte van een vector \(\small {\vec v}\) noteren we als \(\small \left| {\vec v} \right|\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Je gaat in deze paragraaf leren ...
