In dit hoofdstuk leer je berekeningen uit te voeren in figuren, zoals driehoeken, cirkels en andere vlakke figuren.
Je berekent hoeken, lengtes, oppervlakten enzovoort. Daarbij ga je veel geleerde dingen uit de onderbouw gebruiken: de stelling van Pythagoras, gelijkvormigheid, sinus, cosinus, tangens, etc.
Maar je leert ook een aantal nieuwe stukken 'gereedschap' die je in allerlei meetkundige problemen moet kunnen gebruiken bij het oplossen van problemen. Dit zijn dan vaak puzzelachtige opgaven, waarbij je altijd eerst goed moet nadenken over een mogelijke aanpak en wélk stuk gereedschap je kunt of moet gebruiken.
Je kunt meetkunde gebruiken om terrein precies in kaart te brengen. Daarvoor moet je eerst wat veldwerk verrichten. Hoe dat gebeurt kun je in het volgende filmpje op youtube zien.
De tekst met bijbehorend plaatje hieronder komt uit het boek
Werkdadige meetkonst van Johannes Morgenster uit 1744.
Hier wordt uitgelegd welk veldwerk er gedaan moet worden om de hoogte van een toren te bepalen.
Wat kan ik straks?
Als je dit hoofdstuk doorgewerkt hebt, kun je het volgende.
Je kunt wat meetkundige problemen oplossen met behulp van een vergelijking met één onbekende.
Een driehoek ligt 'vast' als je de drie zijden kent.
Met deze gegevens kun je berekenen of de driehoek stomphoekig, rechthoekig of scherphoekig is.
Je weet ook door welke andere gegevens (hoeken, zijden) een driehoek vastligt.
In dat geval kun je de niet gegeven zijden en hoeken berekenen met behulp van de sinus- en/of de cosinusregel.
Ook kun je dan de oppervlakte van de driehoek uitrekenen.
Berekeningen in complexere figuren kun je terugbrengen tot die in driehoeken.
Als je de rekentechniek gedaan hebt, kun je wortels vereenvoudigen.
Wat kan ik al?
Je kunt berekeningen uitvoeren in rechthoekige driehoeken met behulp van
de stelling van Pythagoras,
de sinus, cosinus en tangens (of de inverse) van een scherp hoek.
Je kunt berekeningen in figuren uitvoeren met
gelijkvormigheid.
Paragrafen
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
De eerste paragraaf 'rekentechniek' bevat essentiële algebraïsche vaardigheden die je in de andere paragrafen nodig hebt. Dus het lijkt verstandig om eerst deze paragraaf door te werken.
Merk op dat:
de zijde met lengte \(a\) tegenover hoek \(A\) ligt,
de zijde met lengte \(b\) tegenover hoek \(B\) en
de zijde met lengte \(c\) tegenover hoek \(C\).
Verder noemen we
het hoogtelijnstuk uit \(A\): \(h_A\)
het hoogtelijnstuk uit \(B\): \(h_B\)
het hoogtelijnstuk uit \(C\): \(h_C\).
De stelling van Pythagoras en omgekeerde
Hoek \(C\) is stomp
\(⇔\)
\(c^2>a^2+b^2\)
Hoek \(C\) is recht
\(⇔\)
\(c^2+a^2+b^2\)
Hoek \(C\) is scherp
\(⇔\)
\(c^2<a^2+b^2\)
Stelling van Thales
In een rechthoekige driehoek is het midden van de schuine zijde het middelpunt van de omgeschreven cirkel van die rechthoekige driehoek.
Omgekeerde stelling van Thales
Als het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek op een zijde ligt, dan is de hoek tegenover die zijde recht.
Neem aan: \(\sin (\alpha ) = 0,3\).
De GR geeft \({\sin ^{‐1}}(0,3) = 17,457 \ldots ^\circ\), dus \(α=17,457…°\) of \(α=180°−17,457…°=162,542…°\).
Neem aan: \(\cos (\alpha ) = 0,3\).
De GR geeft \({\cos ^{‐1}}(0,3) = 72,542 \ldots ^\circ\), dus \(α=72,542…°\).
Neem aan: \(\cos (\alpha ) = ‐0,3\).
De GR geeft \({\cos ^{‐1}}(‐0,3) = 107,457… ^\circ\), dus \(α=107,457…°\).
De oppervlakte van een driehoek
De oppervlakte van driehoek \(ABC\) is \(\frac{1}{2} \cdot b \cdot c \cdot \sin \left( \alpha \right) = \;\frac{1}{2} \cdot a \cdot c \cdot \sin \left( \beta \right) = \;\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \left( \gamma \right)\).
Het arrangement Thema: Meetkunde en algebra - 4V Wiskunde B is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
H2 Meetkunde en algebra
Terugblik
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
Je kunt berekeningen uitvoeren in rechthoekige driehoeken met behulp van
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
