De stelling van Pythagoras De oppervlakte van de vierkanten op de rechthoekszijden samen is gelijk aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde.
In de figuur:
oppervlakte 1 + oppervlakte 2 = oppervlakte 3
De stelling van Pythagoras algebraïsch
We gaan de stelling van Pythagoras nu algebraïsch bewijzen. Hierbij wordt wel gerekend; we hebben “merkwaardige producten” nodig.
We schrijven ze nog eens op.
\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\)
\({(a - b)^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\)
\((a + b)(a - b) = {a^2} - {b^2}\)
“Merkwaardig” moet hier in een oude betekenis gelezen worden: waard om te merken=onthouden.
Hieronder is de stelling van Pythagoras algebraïsch geformuleerd.
De stelling van Pythagoras De rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek noemen we \(a\) en \(b\), de schuine zijde \(c\).
Dan is \({a^2} + {b^2} = {c^2}\).
Rechthoekig
In Bouwtechniek, Meten en Uitzetten wordt uitgelegd hoe je een rechte hoek uit kunt zetten.
Daarvoor gebruik je een zogenaamde bouwhaak. De bouwhaak wordt ook wel de 3-4-5-steek genoemd. Op de drie latten zet je lengtes uit in de verhouding \(3:4:5\), bijvoorbeeld: \(3×20\) cm, \(4×20\) cm, \(5×20\) cm, zie Meten en uitzetten.
Voor de zijden van een 3-4-5-steek geldt de stelling van Pythagoras. Om een rechte hoek uit te zetten wordt dus eigenlijk de omkering van de stelling van Pythagoras gebruikt!
Redenering
Stel dat in een driehoek geldt: \({a^2} + {b^2} = {c^2}\). Hierbij zijn de zijden van de driehoek \(a\), \(b\) en \(c\). Dan is deze driehoek hetzelfde als een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden \(a\) en \(b\), want ze hebben alle zijden gelijk. Dus heeft de driehoek een rechte hoek (namelijk de hoek tegenover zijde \(c\)).
De omkering van de stelling van Pythagoras is dus ook waar:
als voor de zijden \(a\), \(b\) en \(c\) van een driehoek geldt: \({a^2} + {b^2} = {c^2}\), dan is de driehoek rechthoekig.
Stomp, recht, scherp
Bekijk figuur 1. Het latje \(SX\) zit scharnierend aan latje \(AS\) vast. Tussen \(A\) en \(X\) is een elastiekje gespannen. De volgende uitspraak ligt voor de hand. Hoe groter de hoek tussen de latjes wordt, hoe langer het elastiekje wordt.
figuur 1
figuur 2
In figuur 2 is het latje \(SX\) in twee posities getekend: \(SX_1\) en \(SX_2\). Het ziet ernaar uit dat \(AX_2>AX_1\). Maar is dat altijd zo? Ook als \(X_2\) minder ver naar rechts geschoven is, of als hoek \(ASX_1\) en \(ASX_2\) kleiner zijn (maar wel hoek \(ASX_1\) kleiner dan \(ASX_2\)), of \(A\) verder naar links of rechts ligt?
Dat moet bewezen worden. In het volgende doen we dat. Het bewijs mag je overslaan. Je kunt dan verder gaan vanaf de eerstvolgende stelling. Verderop, als we de cosinusregel eenmaal kennen, volgt een eenvoudiger bewijs.
\(P′\) is de loodrechte projectie van \(P\) op lijn door \(A\) en \(B\).
Als \(B\) verder dan \(A\) van \(P′\) ligt, is \(PB>PA\), en omgekeerd.
Ga na dat dit uit de stelling van Pythagoras volgt.
Laat in driehoek \(ABC\) hieronder, de loodlijn uit \(C\) neer op \(AB\); noem het voetpunt \(C′\).
We gaan bewijzen: als \(b>a\), dan \(β > α\).
Eerst spiegelen we \(B\) in \(C′\): dat geeft het punt \(B′\). Als \(b>a\), dan ligt \(B′\) dichter bij \(C′\) dan \(A\).
Omdat \(β=∠CB′B=∠CAB′+∠ACB′\), want een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee niet aanliggende binnenhoeken, volgt dat \(β > α\).
In een driehoek ligt tegenover een grotere hoek een langere zijde.
Voorbeeld:
figuur 1
figuur 2
In figuur 1 hierboven is driehoek \(ABC\) op schaal getekend. Dan is zijde \(BC\) korter dan \(4\) cm en zijde \(AB\) langer dan \(4\) cm.
We komen terug op het elastiekje. Voor het gemak staat het plaatje van de situatie nog eens hierboven in figuur 2. \(X_1\) en \(X_2\) liggen op de cirkel met middelpunt \(S\). Verder is \(∠X_2SA>∠X_1SA\).
We gaan bewijzen dat \(AX_2>AX_1\). \(\angle {X_2}{X_1}A > \angle {X_2}{X_1}S = \angle {X_1}{X_2}S > \angle {X_1}{X_2}A\)
In driehoek \(X_2X_1A\) ligt tegenover hoek \(X_2X_1A\) zijde \(X_2A\) en tegenover hoek \(X_1X_2A\) ligt zijde \(X_1A\).
Nu hoeven we alleen nog de bovenstaande stelling toe te passen.
Stelling
Voor een driehoek met zijden \(a\), \(b\) en \(c\) geldt: \({a^2} + {b^2} < {c^2} \Leftrightarrow \) de hoek tegenover \(c\) is stomp, \({a^2} + {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow \) de hoek tegenover \(c\) is recht, \({a^2} + {b^2} > {c^2} \Leftrightarrow \) de hoek tegenover \(c\) is scherp.
Drie punten in een assenstelsel
Drie punten in een assenstelsel
Meetkundige formulering van de stelling van Pythagoras
Het arrangement De stelling van Pythagoras is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Je gaat in deze paragraaf leren ...
De oppervlakte van de vierkanten op de rechthoekszijden samen is gelijk aan de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde.
De rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek noemen we 
In Bouwtechniek, Meten en Uitzetten wordt uitgelegd hoe je een rechte hoek uit kunt zetten.
