Bekijk figuur 1. Het latje zit scharnierend aan latje
vast. Tussen
en
is een elastiekje gespannen. De volgende uitspraak ligt voor de hand.
Hoe groter de hoek tussen de latjes wordt, hoe langer het elastiekje wordt.
In figuur 2 is het latje in twee posities getekend:
en
. Het ziet ernaar uit dat
. Maar is dat altijd zo? Ook als
minder ver naar rechts geschoven is, of als hoek
en
kleiner zijn (maar wel hoek
kleiner dan
), of
verder naar links of rechts ligt?
Dat moet bewezen worden. In het volgende doen we dat. Het bewijs mag je overslaan. Je kunt dan verder gaan vanaf de eerstvolgende stelling. Verderop, als we de cosinusregel eenmaal kennen, volgt een eenvoudiger bewijs.
is de loodrechte projectie van
op lijn door
en
.
Als verder dan
van
ligt, is
, en omgekeerd.
Ga na dat dit uit de stelling van Pythagoras volgt.
Laat in driehoek hieronder, de loodlijn uit
neer op
; noem het voetpunt
.
We gaan bewijzen: als , dan
.
Eerst spiegelen we in
: dat geeft het punt
. Als
, dan ligt
dichter bij
dan
.
Omdat , want een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee niet aanliggende binnenhoeken, volgt dat
.
In een driehoek ligt tegenover een grotere hoek een langere zijde. |
|
Voorbeeld:
In figuur 1 hierboven is driehoek |
Stelling |