Stomp, recht, scherp

Bekijk figuur 1. Het latje zit scharnierend aan latje vast. Tussen en is een elastiekje gespannen. De volgende uitspraak ligt voor de hand.
Hoe groter de hoek tussen de latjes wordt, hoe langer het elastiekje wordt.

 

figuur 1
figuur 2

 

 

In figuur 2 is het latje in twee posities getekend: en . Het ziet ernaar uit dat . Maar is dat altijd zo? Ook als minder ver naar rechts geschoven is, of als hoek en kleiner zijn (maar wel hoek kleiner dan ), of verder naar links of rechts ligt?
Dat moet bewezen worden. In het volgende doen we dat. Het bewijs mag je overslaan. Je kunt dan verder gaan vanaf de eerstvolgende stelling. Verderop, als we de cosinusregel eenmaal kennen, volgt een eenvoudiger bewijs.

is de loodrechte projectie van op lijn door en .

Als verder dan van ligt, is , en omgekeerd.
Ga na dat dit uit de stelling van Pythagoras volgt.

Laat in driehoek hieronder, de loodlijn uit neer op ; noem het voetpunt .
We gaan bewijzen: als , dan .

Eerst spiegelen we in : dat geeft het punt . Als , dan ligt dichter bij dan .
Omdat , want een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee niet aanliggende binnenhoeken, volgt dat .

 

In een driehoek ligt tegenover een grotere hoek een langere zijde.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Voorbeeld:

             

figuur 1

figuur 2

In figuur 1 hierboven is driehoek op schaal getekend. Dan is zijde korter dan cm en zijde langer dan cm.

We komen terug op het elastiekje. Voor het gemak staat het plaatje van de situatie nog eens hierboven in figuur 2.
en liggen op de cirkel met middelpunt . Verder is .
We gaan bewijzen dat .

In driehoek ligt tegenover hoek zijde en tegenover hoek ligt zijde .
Nu hoeven we alleen nog de bovenstaande stelling toe te passen.

 

 

Stelling
Voor een driehoek met zijden , en geldt:
de hoek tegenover is stomp,
de hoek tegenover is recht,
de hoek tegenover is scherp.