In dit hoofdstuk staat differentiëren centraal.
Je weet nog niet wat dat is, maar dat ga je dus leren.
Formules van functies kunnen gedifferentieerd worden. De functie die dan ontstaat heet de afgeleide van de functie. Deze afgeleide zegt iets over de mate waarin de functie groeit. In de volgende paragrafen leer je alles over deze groeisnelheid van een functie.
Je zal eerst de gemiddelde groei op een interval bekijken.
Vervolgens gaan we inzoomen, en bekijken we de groei op één moment. Deze groei gaan we linken aan de afgeleide van de functie.
Afleiden van een functie wordt differentiëren genoemd. Het differentiëren van een functie gebeurt volgens een aantal regels. Met deze regels kunnen we zelfs erg grote formules differentiëren, wat je ook zal gaan doen.
Paragrafen
Hieronder vind je per paragraaf een knop met een link naar het betreffende arrangement.
In de paragraaf 'rekentechniek' staat allerlei algebraïsche rekentechniek uit klas 1 t/m 3 die je nodig hebt bij de rest van het hoofdstuk. Het is erg raadzaam eerst te zorgen dat je deze vaardigheden goed beheerst voordat je aan de rest van het hoofdstuk begint.
Gegeven een functie \(f\) met daarop de punten \(A\) en \(B\), met eerste coördinaat \(a\) en \(b\).
De gemiddelde groeisnelheid van \(f\) op het interval \([a,b]\) is: \(\frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\).
Het is de richtingscoëfficiënt (helling) van lijnstuk \(AB\).
Vaak schrijven we \(Δx\) in plaats van \(b−a\) en \(Δy\) in plaats van \(f(b)−f(a)\). Dan is \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}}\).
We noemen \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\) een differentiequotiënt (een quotiënt van verschillen).
Rekenschema
Bij het berekenen van de gemiddelde groeisnelheid is een rekenschema handig. We geven een voorbeeld.
Bereken de gemiddelde groeisnelheid van \(y=4x−x^3\) op het interval \([1 ; 1,01]\).
Rekenschema
\(x=1\)
\(→\)
\(y=3\)
\(\underline {x=1,01}\)
\(→\)
\(\underline {y = 3,009699}\)
\(Δx=0,01\)
\(→\)
\(Δy=0,009699\)
Dus de gemiddelde groeisnelheid op \([1 ; 1,01]\) is \(\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 0,9699\).
Groeisnelheid
De groeisnelheid van \(f(x)\) is het getal dat aangeeft hoeveel keer zo snel \(f(x)\) groeit in verhouding tot \(x\).
De groeisnelheid voor \(x=a\) vind je door in \(\frac{{f(a + \Delta x) - f(a)}}{{\Delta x}}\) het getal \(Δx\) naar \(0\) te laten naderen.
De gevonden waarde noteer je met \(f′(a)\).
De functie \(f′\) heet de afgeleide functie van \(f\).
Bij een functie de afgeleide bepalen heet: de functie differentiëren.
Raaklijn
Als \(P\) het punt op de grafiek van \(f\) met eerste coördinaat \(a+Δx\) is, nadert lijn \(AP\) de raaklijn in \(A\) als \(Δx\) naar \(0\) nadert.
De raaklijn in \(A\) aan de grafiek van \(f\) is de lijn door \(A\) met \(f′(a)\) als richtingscoëfficiënt.
Als je op een punt van de grafiek inzoomt, wordt de grafiek bij dat punt (bijna) recht. De raaklijn in dat punt is die rechte lijn.
Regels voor differentiëren
Somregel
als \(s(x)=f(x)+g(x)\) dan \(s′(x)=f′(x)+g′(x)\).
Veelvoudregel
als \(g(x)=c⋅f(x)\) voor een zeker getal \(c\), dan \(g′(x)=c⋅f′(x)\).
De afgeleide van enkele functies
Als \(f:x→ax+b\), dan \(f′(x)=a\).
Als \(f:x→x^2\), dan \(f′(x)=2x\).
Als \(f:x→x^3\), dan \(f′(x)=3x^2\).
Uit het voorgaande volgt:
als \(f:x \to a{x^3} + b{x^2} + cx + d\), dan \(f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\).
Voorbeelden
Als \(f:x→3−2x\), dan \(f′(x)=‐2\).
Als \(f:x→3x^2−2x+1\), dan \(f′(x)=6x−2\).
Als \(f:x→3x^3+3x^2−2x+1\), dan \(f'(x) = 9{x^2} + 6x - 2\).
Maxima en minima
Zie de figuur hieronder. \(f(x)\) is maximaal voor \(x=‐2\), het maximum is \(3\). \(f(x)\) is minimaal voor \(x=1\), het minimum is \(‐2\).
Bij een gladde functie geldt:
als \(f(x)\) maximaal of minimaal is voor \(x=a\), dan \(f′(a)=0\).
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Het arrangement Thema: Veranderingen - 4V Wiskunde A is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
