\(\small y\) is evenredig met \(\small x\), notatie: \(\small y∼x\), komt op hetzelfde neer als:
als \(\small x\)\(\small k\) keer zo groot wordt, dan wordt \(\small y\) ook \(\small k\) keer zo groot, voor alle \(\small k\),
de grafiek van het verband is een rechte lijn door de oorsprong \(\small (0\text{,}0)\),
\(y=c⋅x\), voor een of ander getal \(\small c\).
De constante \(\small c\) heet evenredigheidsconstante.
\(\small y\) en \(\small x\) zijn omgekeerd evenredig komt op hetzelfde neer als:
als \(\small x\)\(\small k\) keer zo groot wordt, wordt wordt \(\small y\)\(\small k\) keer zo klein (\(\small k≠0\)),
er is een getal \(\small c\) zó, dat \(\small y={c\over x}\).
De grafiek van het verband is een hyperbool met de \(x\)-as en de \(y\)-as
als asymptoten.
Groeiprincipe
Als een hoeveelheid eerst \(\small a\) keer zo groot wordt en vervolgens nog eens \(\small b\) keer zo
groot wordt, wordt de hoeveelheid in totaal \(a⋅b\) keer zo groot.
Afspraak
\(x^{1\over n}=\sqrt[{n}]{x}\) \(x^{p\over n}=(x^{1\over n})^{p}=(\sqrt[{n}]{x})^{p}=\sqrt[{n}]{x^p}\) \(x^{\text{-}α}={1\over x^{α}}\)
Hierbij zijn \(\small x\), \(\small α\), \(\small p\) en \(\small n\) positief en bovendien \(\small p\) en \(\small n\) geheel.
Rekenregels voor machten
\(a^p ⋅ a^q=a^{p+q}\)
\(a^p:a^q=a^{p-q}\)
\((a^p)^q=a^{p⋅q}\)
\(a^p⋅b^p=(a⋅b)^p\)
De regels gelden voor alle positieve getallen \(\small a\) en \(\small b\) en willekeurige exponenten \(\small p\) en \(\small q\).
Regel 1 wordt wel de hoofdeigenschap voor het rekenen met machten genoemd.
Machtsverband
Als \(\small y\) evenredig is met een macht van \(\small x\), noemen we het verband van \(\small y\) en \(\small x\) een machtsverband. Dus \(y=c⋅x^α\), voor zekere getallen \(\small α\) en \(\small c\), beide positief.
Als \(\small 0<α<1 \), dan is \(\small y\) afnemend stijgend,
als \(\small α>1\), dan is \(\small y\) toenemend stijgend (als functie van \(\small x\)).
In de figuur is \(\small H\) een afnemend stijgende functie van \(\small G\) en \(\small S\) een toenemend stijgende functie van \(\small G\).
Vergelijkingen oplossen
Bij het oplossen van vergelijkingen gebruik je vaak de volgende regel: als \(\small x^{p\over q}=a\), met \(\small x\) en \(\small a\) positief, dan \(x=a^{q\over p}\). We geven een voorbeeld. Voor
welke \(\small x\) geldt: \(\small 0\text{,}2x\sqrt{x}=\sqrt[{3}]{x}\)?
We drukken \(\small x\) uit in \(\small y\) als \(\small 3\sqrt[{3}]{x^2+2}=y\).
Ga zelf na wat er bij elke stap gebeurt.
\(\small 3\sqrt[{3}]{x^2+2}\)
\(\small =\)
\(\small y\)
\(\small \sqrt[{3}]{x^2+2}\)
\(\small =\)
\(\small {1\over3}y\)
\(\small x^2+2\)
\(\small =\)
\(\small {1\over27}y^3\)
\(\small x\)
\(\small =\)
\(\small \sqrt{{1\over27}y^3{}-2}\)
In stappen berekenen
Druk \(\small z\) uit in \(\small y\) als \(\small y=7x^{1\text{,}8}\) en \(\small z=2x^{0\text{,}2}\). Schrijf je antwoord in de vorm: \(z=a⋅y^b\), met \(\small a\) en \(\small b\) in twee decimalen.
Oplossing
Uit \(\small y=7x^{1\text{,}8}\) volgt: \(\small x=({1\over7}y)^{1\over{1\text{,}8}}\), dus \(\small z=2x^{0\text{,}2}=2⋅({{1\over7}y})^{{1\over1\text{,}8}⋅0\text{,}2}=2⋅({1\over7})^{0\text{,}11...}⋅y^{0\text{,}11}≈1\text{,}61y^{0\text{,}11}\)
Diagnostische toets
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.
Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.
Het arrangement Thema: Verbanden - 4V Wiskunde A/C is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Eindtoets over het thema; in principe de zelftoets.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
