De lessen rond hoofdstuk 11 worden anders ingevuld dan dat jullie gewoon zijn van de voorgaande hoofdstukken. Deze studiewijzer dient als algemeen instuctie en sturingselement om jullie te begeleiden door heen deze lessenreeks. Door de overzichtelijke structuur kan je gemakkelijk een antwoord vinden op de volgende zaken.
Waar gaat de leerstof over? Wat is de link met andere hoofdstukken en andere vakken?
Hoe worden de lessen ingedeeld?
Wat moet ik kennen en kunnen op het einde van dit hoofdstuk?
Hoe word ik geëvalueerd?
Hoe wordt de inhoud getoetst op het eindexamen?
...
Leerinhoud
Toekomstgericht
Wiskunde is zeer breed vak en kent vele toepassingen in het dagelijks leven. Naargelang je vervolgstudie en latere baan zal je veel of weinig in contact komen met de wiskunde die je in dit hoofdstuk tegenkomt.
Dit hoofdstuk biedt veel interessante wegen naar allerhande toepassingen in de praktijk. Met verbanden en functies kunnen we het gedrag van allerhande zaken bestuderen en analyseren. Aan de hand van een wiskundigmodel kunnen we bijvoorbeeld bepalen wanneer een bedrijf maximale winst kan behalen of hoe dit bedrijf zijn kosten moet minimaliseren. Omdat je veel van deze voorbeelden in de praktijk tegenkomt ligt dit aan de basis van de wiskunde in de meeste vervolgstudies.
Voorkennis
Verbanden en functies is een heel breed onderwerp. Daarom heb je een goede basis aan voorkennis nodig om dit hoofdstuk grondig te kunnen verwerken. Samengevat staan hieronder de hoofdthema's met de leerdoelen die je moet beheersen aan de start van dit hoofdstuk.
Stelsels oplossen: de oplossing van een stelsel vergelijkingen kan meetkundig geïnterpreteerd worden als het snijpunt van 2 of meerdere figuren zoals een lijnen en een parabool.
Leerdoelen:
Je kan een stelsel van twee lineaire formules oplossen door 'te elimineren door aftrekken en optellen'.
Je kan een stelsel van twee lineaire formules oplossen door 'te elimineren door substitutie'.
Kwadratische formules: de grafiek van een tweedegraadsfunctie is een parabool. Een parabool kan je voorstellen met verschillende formules die allemaal zijn meetkundige meerwaarde bieden.
Leerdoelen:
Je kan de nulpunten van een parabool algebraisch berekenen.
Je kan de formule van een parabool opstellen als de top en een ander punt gegeven zijn.
Je kan de formule van een parabool opstellen als de snijpunten met de x-as en een ander punt gegeven zijn.
Je kan uit de formule y = ax² + bx + c de coördinaten van de top en het snijpunt met de y-as berekenen.
Je kan uit de formule y = a(x - d)(x - e) de coördinaten van de snijpunten met de x-as en de coördinaten van de top berekenen.
Je kan uit de formule y = a(x - p)² + q de coördinaten van de top berekenen.
De afgeleide functie: de afgeleide van een functie in een punt geeft je de richtingscoëfficient van de raaklijn door dat punt. In de natuurkunde is een interessant verband tussen een functie en zijn afgeleide bijvoorbeeld de afstand- en snelheidsfunctie.
Leerdoelen:
Je kan de volgende regels voor het berekenen van de afgeleide toepassen.
Je kan algebraïsch de extreme waarden van een functie berekenen.
Je kan algebraïsch aantonen of een functie een extreme waarde heeft voor x = a.
vakspecifiek
Hoofdstuk 11 is een vervolghoofdstuk op hoofdstuk 1, 2, 4, 5 en 6 waarbij veel thema's aan bod komen die je kunt plaatsen onder de tak van de analyse (Engels: Calculus).
De analyse komt voort uit de rekenkunde en de meetkunde. Zo worden veel meetkundige concepten zoals snijpunten en raaklijnen rekenkundig benaderd door middel van stelsels of afgeleiden. In het algemeen onderzoekt de analyse verandering van functies, oftewel differentiaalrekening, en problemen die te maken hebben met oppervlakte oftewel integraalrekening. Leibniz en Newton vonden beide studies gelijktijdig uit om verschillende redenen. Leibniz om meetkundige objecten te bestuderen en Newton om hemellichamen te bestuderen.
Vakoverstijgend
De onderwerpen die aan bod komen binnen dit hoofdstuk hebben toepassingen binnen alle vakgebieden. Hieronder vind je per vakgebied enkele onderwerpen die met dit hoofdstuk gelinkt kunnen worden.
Biologie:
Gebroken functies kan je tegenkomen bij het toedienen van medicijnen. Via deze gebroken functie: \(C(t) = {4t \over t²+2}\) kan je de concentratie van een medicijn in het bloed bepalen na een bepaalde tijd.
Een ander voorbeeld de fotosynthese bij planten. De bladgroenkorrels vangen het licht op en via complexe chemische omzettingen wordt er energie geproduceerd. Het licht dat opgevangen wordt door de planten is omgekeerd evenredig met de afstand in het kwadraat. Hoe groter de afstand van de lichtbron tot de plant hoe minder energie er dus omgezet kan worden.
De natuurkunde kent veel verbanden. Bekende rechtevenredige verbanden zijn die tussen de zwaartekracht en de massa van een voorwerp of de afgelegde afstand t.o.v. de snelheid. Optimalisering kom je ook vaak tegen kijk maar naar het volgende voorbeeld. 'Een lampje wordt opgehangen boven het middelpunt van een ronde tafel. Op welke hoogte wordt de rand van de tafel het best verlicht?
Economie:
In de microeconomie willen bedrijven altijd maximale winst draaien. Het hoofddoel van een bedrijf is op zich dus al een optimaliseringsprobleem. Wanneer je een model voor je kosten en opbrengsten kunt vinden kan je optimale productie en maximale winst berekenen. In de praktijk zijn er natuurlijk ook veel randvoorwaarden die hierop invloed hebben.
De opbrengst voor een product is gegeven door \(R(x) = 100-{400 \over x+5}-x\). Vind de waarde voor x zodat de opbrengst maximaal is.
Ook omgekeerd evenredige verbanden duiken op in de economie. Wanneer de prijs van een product stijgt zal de vraag naar een product dalen.
Inhoud lessen en studietijd
Studietijd in de lessen.
Deze lessenreeks wordt uitgevoerd in drie weken en omvat 10 lessen. In de eerste 6 lessen wordt de theorie besproken. Hiervoor wordt per les rond de 20 à 30 minuten gerekend, afhankelijk van de hoeveelheid theorie die besproken moet worden. De resterende tijd krijg je de tijd om de theorie te verwerken.
In de daarop volgende les volgt de formatieve toets met een zelfreflectie. Hiervoor wordt de volledige les gerekend.
Op het einde van de lessenreeks worden er drie lessen georganiseerd voor het herhalings- of verdiepingstraject. Dit staat garant voor 150 minuten waarbij je zelfstandig bezig bent met herhalen of verdiepen.
Studietijd thuis
De opgaven die je niet in de les afkrijgt moet je thuis verwerken. Er wordt geteld dat je per drie lessen 60 minuten zelfstandig thuis bezig bent. In het totaal over de lessenreeks ben je dus tussen de 200 en 250 minuten thuis bezig met de opgaven te verwerken. Hierin wordt niet de tijd ingerekend dat je je moet voorbereiden op het proefwerk.
Doelen
De doelen worden per les opgesomd. Onderaan de pagina vind je een bijlage met de doelen die worden gesteld vanuit de syllabus. Deze kan je doornemen wanneer je je voorbereid op de eindexamens.
Les 1:
Ik kan een stelsel van twee lineaire vergelijkingen met twee variabelen oplossen. De oplossing van het stelsel is het snijpunt van twee lijnen.
Ik kan bij een gegeven formule met parameters een stelsel van vergelijkingen opstellen. Dit stelsel kan je oplossen om de waarden van de parameters te bepalen.
Les 2:
Ik ken het begrip evenredig: recht evenredig, evenredigheidsconstante, verhoudingstabel, de formule \(y=ax\), een rechte lijn door de oorsprong.
Ik kan evenredigheid ook gebruiken bij formules met een macht, bv. \(y=ax^n\).
Ik ken het begrip omgekeerd evenredig en kan het vertalen naar formule \(y = {c \over x}\) waarbij c een constante is.
Ik kan werken met formules waarbij y omgekeerd evenredig is met een macht van x.
Les 3:
Ik kan met behulp van tabellen rechtevenredigheid en omgekeerd evenredigheid aantonen.
Ik kan een stelsel opstellen bij evenredigheid en de onbekende parameters bepalen.
Ik ken de kenmerken van een aantal standaardfuncties: parabool, derdemachtsfunctie, hyperbool, wortelfunctie, exponentiele functie, logaritmische functie, sinus- en cosinusfunctie.
Ik ken de machtsfunctie als standaardfunctie \(y=ax^n\) en ik ken de eigenschappen van machtsfuncties.
Ik ken de transformaties van grafieken. Ik weet hoe dat werkt, hoe je het functievoorschrift kan veranderen en hoe je bij een gegeven functies kunt bepalen welke transformaties mogelijkerwijs op de standaardfunctie zijn toegepast. Dat kan ik dan ook gebruiken voor het bepalen van het domein, het bereik, de extreme waarden en de asymptoten.
Les 4:
Ik ken de rekenregels (algemene vormen maar ook wortelvormen) om vergelijking op te lossen.
Ik ken \(f(x) = {a+b \sqrt{cx+d} }\) . als de algemene wortel functie met als functievoorschrift en ik weet wat de 'betekenis' is van de parameters a, b, c en d. Je weet ook hoe je bij een wortelfunctie het startpunt kunt vinden en hoe de grafiek (globaal) verder loopt.
Ik ken \(f(x) = a+ \sqrt{-x²+bx+c} \) als een bijzondere functie. Ik kan de formule herschrijven naar (bijvoorbeeld) de standaardvergelijking voor een cirkel. Daarmee kan ik bepalen of de grafiek van de functie een (deel van) een cirkel is, wat dan het middelpunt is en wat de straal is van die cirkel.
Les 5:
Ik ken \(f(x) = {ax+b \over cx+d}\) als vorm voor de gebroken lineaire functie. De grafiek is eenhyperbool en heeft een verticale en horizontale asymptoot. Je kunt deze functie opvatten als een transformatie van de standaardfunctie \(y = {1 \over x}\).
Les 6:
Ik kan bij gegeven functies een formule opstellen voor de verticale afstand tussen de gegeven functies. Met behulp van de afgeleide kan ik algebraisch de kleinste of grootste afstand bepalen.
Algemene aanwijzingen
Afspraak: bij het tekenen of schetsen van de grafiek van een gebroken functie stel je eerst de formules op van de asymptoten. Je tekent de asymptoten als stippellijnen in de figuur en zet de formules erbij.
Werkvormen
De lessen waarin we werken met hoofdstuk 11 zijn opgebouwd in 3 delen.
Het eerste deel bestaat uit een lessenreeks waarbij de theorie klassikaal wordt besproken. Tijdens deze lessen wordt er van je verwacht de opgegeven verwerkingsopdrachten te maken in de klas. Indien je deze in de les niet afkrijgt, dan is dat huiswerk voor de volgende les.
Na de lessenreeks volgt een formatieve toets. Tijdens deze toets wordt je niveau gemeten en op basis van een voldoende of onvoldoende op de toets wordt het traject van iedere leerling voor het derde deel vastgelegd. Na de toets volgt diezelfde les nog een zelfreflectie. Hiermee geef je zelf aan wat je makkelijk en moeilijk vond. Deze reflectie wordt gespiegeld aan je formatieve toets.
In het derde en laaste deel ga je aan de slag met het herhalingstraject waarbij voornamelijk herhalingsopgaven worden aangeboden of met het verdiepingstraject waarbij verdiepingsopgaven worden aangeboden.
Omdat een formatieve toets het niveau weergeeft tijdens het leerproces wordt het resultaat hiervan niet opgenomen in het PTA.
Meer informatie over de evaluatie van dit onderdeel vind je bij het kopje 'Toetsing'.
Bronnen
Extra uitleg via video's
Onder dit kopje vind je links die leiden naar video's waarin je extra uitleg over een bepaald onderwerp krijgt.
11.1 Stelsels bij parabolen en wiskundige modellen
Hoofdstuk 11 staat in vergelijking met de andere hoofdstukken op zijn eentje. Dit hoofdstuk wordt tussentijds geëvalueerd door middel van een formatieve toets. Deze toets meet je vaardigheden tijdens je leerproces en geeft je zo een beeld over de vaardigheden die je beheerst en die je nog eens moet doornemen.
Deze formatieve toets is niet opgenomen in het PTA en wordt dus ook niet meegeteld in je eindcijfer voor wiskunde.
De summatieve toets
Een summatieve toets neem je af op het einde van het leerproces. Voor dit hoofdstuk is dat het proefwerk in proefwerkweek 3. Deze toets bepaalt je eindcijfer voor dat onderdeel en geeft het resultaat weer van de vaardigheden die hebt behaald op het einde van de rit.
Evaluatie
Onder dit kopje vind je terug hoe de toetsen geëvalueerd zullen worden. Deze methode kan je inzicht geven over de toets en de manier waarop je je moet voorbereiden.
De formatieve toets zal geëvalueerd worden met een toetsmatrijs. Dit is een tabel waarin wordt aangegeven hoe de opgaven in de toets zijn verdeeld over de leerstof, in relatie tot de vooropgestelde leerdoelen. Deze leerdoelen kan je ook terugvinden onder het kopje 'Doelen'.
Na de toets volgt een zelfreflectie waarin je aangeeft wat je leuk en minder leuk vond en welke onderdelen je naar eigen mening goed beheerste en welke niet. Het is belangrijk dat je deze reflectie serieus neemt. Het geeft namelijk een beeld weer voor de leerkracht of je zelf goed kan inschatten waar je nog tijd aan moet besteden voor toekomstige evaluaties. Zelfreflecties zal je nog vaak tegenkomen in je vervolgopleiding om diezelfde reden.
De summatieve toets of het proefwerk wordt geëvalueerd in samenspraak met alle vakdocenten wiskunde. Hierbij wordt een correctiemodel opgesteld vergelijkend aan een beoordelingsmodel van een eindexamen wiskunde B. Je vindt een voorbeeld op de website van examenblad (zie onderstaande link).
In het onderstaande bestand vind je een begrippenlijst van begrippen die je moet kennen voor en na hoofdstuk 11. Je kan het bestand downloaden en begrippen aanvinken als je ze al kent. Ken je een begrip nog niet, dan kan je het even opzoeken op de bijhorende pagina.
Het arrangement Studiewijzer hoofdstuk 11 havo wiskunde B is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Niels Venken
Laatst gewijzigd
2020-02-18 10:57:28
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen
4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en
publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of
bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Leerniveau
HAVO 5;
Leerinhoud en doelen
Lengte, oppervlakte en inhoud van figuren;
Vaktaal wiskunde;
Wiskunde herkennen en toepassen;
Rekenen in de meetkunde;
Vaktaal wiskunde kennis en vaardigheid;
Wiskundig redeneren;
Herkennen en gebruiken wiskunde;
Reflecteren en beoordelen;
Probleem verbinden met wiskunde;
Meten en meetkunde;
Wiskunde B;
Inzicht en handelen;
Berekenen van oppervlakte en inhoud in de meetkunde;
Probleem vertalen naar wiskunde;
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
Globale studieplanner periode 3
