Startpagina
Welkom
Deze website gaat over hoofdstuk 5 "goniometrie" uit het boek "getal en ruimte 10e editie". Deze website is uitsluitend bedoeld voor 3 vmbo kader.
Goniometrie is één van de leukste onderwerpen in wiskunde. Als je het eenmaal snapt dan wil je het nergens meer anders over hebben. De thema's die je kunt verwachten zijn onder andere: hellingspercentage, tangens berekenen, hoek berekenen met tangens en zijden berekenen met tangens.
Het is de bedoeling dat je deze website gaat gebruiken ter voorbereiding op de toets. De volgende leerdoelen moet je bereiken om de toets succesvol te kunnen maken. De leerdoelen luiden als volgt:
Aan het einde van hoofdstuk 5..
Onder het kopje "Lesstof" kun je de uitleg vinden over de paragrafen van hoofdstuk 5. Onder het kopje "Oefenentoets" kun je oefeningen vinden die bij het toetsniveau aansluiten.
Let op: Dit leermateriaal is ondersteunend voor je studieboek en dus niet vervangend voor de opdrachten uit het boek!
Veel succes met het oefenen en de toets!
Lesstof
Hellingspercentage
Een praktijkvoorbeeld
Stel, je rijdt tegen een bergweg op. Het hoogteverschil tussen het laagste en hoogste punt van die weg is 80 m. De afstand die je aflegt (horizontale afstand) is 300 m. Je deelt dan het hoogteverschil 80 door de horizontale afstand 300, dan krijg je 80:300=0,266... Deze uitkomst vermenigvuldig je met 100. Dat is 26,6. Het hellingspercentage van de weg is dan 27%.
Opmerkingen:
Bij het berekenen van het hellingspercentage ronden we af op een geheel getal.
Maateenheden van het hoogteverschil en de horizontale afstand moet hetzelfde zijn.
Theorie:
Een rechthoekige driehoek kun je zien als een soort helling. Het hellingspercentage kan je dan berekenen met de formule:
Hellingspercentage \(= {hoogteverschil\over horizontale afstand}\)×100
Hoe steiler de helling, hoe groter het hellingspercentage!
Voorbeeld 1:
Je ziet hieronder twee rechthoekige driehoeken. De horizontale afstand is bij beide driehoeken 160 m.
Bereken het hellingspercentage.
Uitwerking:
Bij de eerste driehoek is hellingspercentage\( = {35 \over 160}\)×100 = 21,875.
Het hellingspercentage = 22%.
Bij de tweede driehoek is hellingspercentage \(= {17 \over 160}\)×100 =10,625.
Het hellingspercentage = 11%.
Eerste driehoek is steiler dan de tweede omdat het hellinspecentage is groter.
Voorbeeld 2:
Hieronder zie je twee rechthoekige driehoeken. Bij elke driehoek hoort een verkeersbord die hellingspercentage aangeeft.
Bereken het hellingspercentage die bij de verkeersborden horen.
Uitwerking:
In de eerste driehoek zie je dat het hoogteverschil gegeven is in km dus je moet deze omrekenen naar meters.
0,08 km = 80 m.
Hellingspercentage \( = {80 \over 700}\) ×100 = 11,42...
Het hellingspercentage is 11%.
Trouwens kunnen we ook 700 m omrekenen naar kilometer.
700 m = 70 km.
Hellingspercentage \(= {8 \over 70}\)×100 = 11,42....
Het hellinspercentage is 11%.
Dus het maakt niet uit welke van de zijde je gaat omrekenen zolang de maateenheid hetzelfde is bij het hoogteverschil en de horizontale afstand. Het resultaat blijft hetzelfde!
In de tweede driehoek hoef je niet om te rekenen. Het hoogteveschil en de horizontale afstand zijn allebei in meters gegeven.
Hellingspercentage \(= {70 \over 900}\)×100 = 7,77...
Het hellingspercentage is 8%.
Hellingspercentage bij hellingshoek
Een hellingshoek van 20 º is geen hellingspercentage van 20 %. Hoe bereken je nou het hellingspercentage als je de hellingshoek in graden weet?
Het hellingsspercentage bereken je met de formule:
Hellingspercentage = tan (hoek) × 100
Voorbeeld:
Je fietst tegen een helling op. De hellingshoek is 20 º.
Bereken het hellingspercentage van deze hoek.
Uitwerking:
Gebruik het knopje "tan" op je rekenmachine.
Tik in tan (20) × 100 = 36 %.
Het hellingspercentage is 36 %.
Instructie op rekenmachine:
Ga naar het knopje "mode". Stel je rekenmachine in op "Deg".
Gebruik de knop "tan" op je rekenmachine. Deze optie geeft je bij een hoek de waarde van tangens.
Tik in tan open een haakje ( typ je hoek in en sluit het haakje )
Vermenigvuldig met 100.
Tangens berekenen
Rechthoekige driehoek
Een rechhoekige driehoek is een driehoek waarvan een hoek 90 graden is. De twee zijden die vastzitten aan een hoek van 90 graden noemen we rechthoekszijden en de overige zijde noemen we de schuine zijde.
In ΔABC zijn AB en BC de rechtshoekszijden en AC de schuine zijde.
AB is tegenover ∠ C dus we zeggen dat AB de overstaande rechthoekszijde is van ∠C.
BC ligt naast ∠C dus we zeggen dat BC de aanliggende rechthoekszijde is van ∠C.
Opmerking
AB is niet altijd een overstaande rechthoekszijde maar is alleen maar overstaande voor de hoek C. Hetzelfde geldt voor de aanliggende rechthoekszijde.
Bijvoorbeeld BC is de overstaande rechthoekszijde van ∠A en AB is de aanliggende rechthoekszijde van ∠A.
Overstaande en aanliggende rechthoekszijden hangen dus samen af van de hoek.
Theorie
Met de tangens kun je de zijden en hoeken berekenen in een rechthoekige driehoek. Je schrijft tangens kortweg op als tan.
Bij het berekenen van het helligspercentage heb je gewerkt met het hoogteverschil en de horizontale afstand.
Bij het berekenen van tangens hellingshoek vervangen we het hoogteverschil door de overstaande rechthoekszijde en de horizontale afstand door de aanliggende rechthoekszijde.
Tan hellingshoek bereken je met de formule:
Tan hellingshoek\(= {overstaande \over aanliggende }\)
Een voorbeeld ter verduidelijking
Tan ∠C = \( = {overstaande \over aanliggende }\)
Overstaande rechthoekszijde van ∠C is AB.
Aanliggende rechthoekszijde van ∠C is BC.
Dus tan ∠C \( = {70 \over 900}\)= 0,078
Opmerking: tan rond je af op drie decimalen.
Als ezelsbruggetje gebruiken we tan \( = {O \over A}\) (TOA)
Voorbeeld:
a) Bereken de tangens van ∠K.
b) Bereken het hellingspercentage van ∠K.
Uitwerking:
a) tan ∠K \(= {overstaande \over aanliggende}\)= \( {6 \over 16}\)= 0,375
b) Hellingspercentage is \( {hoogteverschil \over horizontale afstand}\)×100
Hellingspercentage = \( {6 \over 16}\)×100=37,5.
Dus het hellingspercentage is 38 %.
Merk op dat : tan ∠K = Hellingspercentage
Want hellingspercentage = 37,5 % en dat is \({37,5 \over 100}\)= 0,375
Dus voortaan bij het berekenen van het hellingspercentage kan je de tan van hellingshoek gebruiken en deze vermenigvuldigen met 100.
De tangensregel geldt alleen maar voor een rechthoekige driehoek!
Hoek berekenen met tangens
Je weet inmiddels hoe je een tangens hellingshoek kan berekenen met de formule:
tan hoek\( = {overstaande \over aanliggende }\) . Maar hoe berekenen we de hoek zelf?
Theorie
In ΔKLM is tan ∠K = \( {6 \over 16}\)= 0,375.
∠K = tan-1 (\({6 \over 16}\)) = tan-1 ( 0,375) = 21º.
Opmerking: hoeken ronden we af op hele graden.
Instructie op je rekenmachine
- Druk op het knopje "SHIFT" bij sommige rekenmachines is dat "2ND".
- Nu druk je op het knopje "tan". Dan komt "tan-1" te voorschijnen op je rekenmachine.
- Bij sommige rekenmachines opent een haakje automatisch, als dit niet het geval is op je rekenmachine dan open je een haakje.
- Tik 0,375 in en sluit het haakje af.
- Nu heb je je hoek berekent in graden.
Voorbeeld:
a) Bereken ∠D.
b) Bereken ∠E.
Uitwerking:
a)
Eerste stap:
Tan ∠D = \({6 \over 13}\)= 0,462.
Tweede stap:
∠D = tan-1 (0,462) = 25º.
b)
Manier 1:
Tan ∠E = \({13 \over 6}\)=2,167.
∠E = tan-1 (2,167) = 65º.
Manier 2:
∠D = 25º (antwoord van vraag a).
∠F = 90º ( EFD is een rechthoekige driehoek).
Dus ∠E = 180º-∠F -∠D = 180º-90º-25º = 65º (hoekensom driehoek is 180º).
Hoeken benoemen met drie hoofdletters
Hoek A (∠A) wordt ook wel ∠BAC of ∠CAB genoemd.
Bij de middelste letter vind je de hoek.
∠BAC of ∠CAB zijn de drieletternotatie van ∠A.
Let op: ∠BAC is niet hetzelfde als ΔBAC.
Δ staat voor driehoek.
Zijden berekenen met tangens
Wij hebben geleerd dat je met behulp van de tangens een hoek kunt berekenen. De formule die we hiervoor gebruiken is als volgt: tan hoek \(= {overstaande rechthoekszijde \over aanliggende rechthoekszijde}\). De lengte van de overstaande en de aanliggende zijde werden gegeven.
Andersom kunnen we ook een zijde berekenen met behulp van een hoek en andere zijde. Hoe dat precies werkt zie je in de theorie.
Theorie:
Hoe berekenen we de aanliggende rechthoekszijde FD?
Tan ∠D = \({overstaande rechthoekszijde \over aanliggende rechthoekszijde }\)= \( {EF \over FD}\).
Tan ∠D =\({6 \over FD}\)
We weten dat ∠D= 24,7º dus tan 24,7 = 0,460.
FD = \( {6 \over tan (24,7)}\)= \( {6 \over 0,460}\)= 13 cm.
We willen nu weten wat de lengte van EF is.
Tan ∠D = \( {overstaande rechthoekszijde \over aanliggende rechthoekszijde}\)= \({EF\over FD}\).
Tan (24,7) = \({EF \over 13}\)
Dus EF = tan (24,7) ×13 = 6 cm.
Je vult de bekende zijde en hoek in de formule. Vervolgens omschrijf je deze formule zodat een van de zijden alleen aan de linkerkant staat.
Een ander voorbeeld
Bereken de lengte van AB in ΔABC.
Anpak:
Vul eerst in:
Tan ....= \({AB \over ...}\)
Uitwerking:
Tan (60)= \({AB \over 4}\)
AB= tan (60) ×4 = 7 cm.
Nog een ander voorbeeld
Bereken BC.
Aanpak:
Vul eerst in:
tan...= \( {...\over BC}\)
Uitwerking:
tan (60) = \( {7 \over BC}\)
BC = \( {7 \over tan (60)}\)=\({7 \over 1,732}\)= 4 cm.
Schets maken
Een schets is handig om een probleemstelling op te kunnen lossen.
Voorbeeeld
Je fietst tegen de helling op. Je hellingshoek is 30º en het hoogteverschil is 18 m.
Maak een schets van de situatie en bereken de aanstaande rechthoekszijde.
Schets:
Voor het gemaak noem je ook de hoekpunten. Zo is het makkelijker bij het berekenen van zijden.
Oplossing
BC is de aanliggende rechthoekszijde van hoek C.
Tan (30) = \({18 \over BC}\) .
BC = \({18 \over tan (30)}\)= \({18 \over 0,577}\)= 31 cm
Wat nou als je wilt weten wat de lengte van een schuine zijde is ?
Je driehoek is een rechthoekige driehoek dus je kan ook de stelling van Pythagoras gebruiken.
Stelling van Pythagoras in ΔABC:
AC² = BC² + AB².
AB heb je al AB=7,2
Om de lengte van AC te weten moet je eerst de lengte van BC weten.
Je hebt eerder geleerd hoe je BC kan berekenen.
Tan(∠48º)= \( {7,2 \over BC}\).
BC = \({7,2 \over tan(∠48)}\)= \({7,2\over 1,111}\)=6,5 cm.
AC² = (7,2)² + (6,5)²
= 51,84 + 42,25
AC² = 94,09
AC = \( { \sqrt{94,09} }\) = 9,7 cm
In het onderstaande filmpje wordt er extra uitleg gegeven over zijden berekenen met tangens.
Zijden berekenen met tangens
Oefeningen
Oefening
Deze oefentoets is gemaakt om je meer te laten oefenen voordat je de eindtoets maakt. Oefenen baart kunst!. Lees de vragen goed door en schrijf de uitwerking voor jezelf op. Je hoeft alleen maar je eindantwoord te noteren. Deze oefening bestaat uit 11 vragen. Succes!
Goed zo!
Je hebt alle vragen beantwoord. Je kunt je
antwoorden bekijken door terug te gaan naar
de vragen.
Filmpje met Vragen
Jullie gaan een filmpje bekijken. Het filmpje gaat over zijden berekenen met tangens. Tijdens het bekijken van dat filmpje krijg je vragen of opmerkingen. De vragen zijn open vragen en meerkeuzevragen.
Kruiswoordpuzzel
Deze puzzel kun je maken nadat we klaar zijn met hoofdstuk 5.
Eindtoets
Je staat nu op het punt om eindtoets te maken. Deze toets kan je alleen maar ÉÉN keer maken, dus lees de vragen goed en schrijf je tussenstappen voor jezelf op. Daarna noteer het eindantwoord. Deze toets telt niet mee voor je eindbeoordeling. Maak deze toets wanneer je helemaal klaar bent met hoofdstuk 5 "Goniometrie". Dan heb je alle theorie die je nodig hebt gehad om de toets succesvol te maken. Succes!
Evaluatie
Nadat je de website hebt doorgelopen wil ik graag dat je deze gaat evalueren door de onderstaande vragen te beantwoorden.
