Je gaat in deze paragraaf leren wat de stelling van Pythagoras is en hoe je die kan gebruiken om een zijde van een driehoek te berekenen als de andere twee zijden gegeven zijn.
Opgaven
Oppervlaktes
In een rooster
Stelling van Pythagoras
De driehoeken die je bij de vorige opgave opgeschreven hebt zijn rechthoekig. Alle rechthoekige driehoeken hebben namelijk de eigenschap dat de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden. Deze eigenschap staat bekend als de stelling van Pythagoras.
Een bewijs van de stelling van Pythagoras berust op de legpuzzel uit de introductie. We laten nu in het midden hoe groot de lengtes van de zijden van de rechthoekige driehoeken zijn. We duiden ze aan met letters, of beter gezegd met variabelen.
In de tekening zie je twee even grote vierkanten met zijden \(a+b\).
Het linker vierkant is verdeeld in één vierkant met zijden \(a\), één vierkant met zijden \(b\) en vier rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden \(a\) en \(b\) en schuine zijde \(c\).
Het rechter vierkant is verdeeld in één vierkant met zijden \(c\) en vier rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden \(a\) en \(b\) en schuine zijde \(c\).
De rechthoekige driehoeken zijn allemaal even groot. Laten we deze weg, dan houden we twee figuren over die nog steeds dezelfde oppervlakte hebben.
De figuur links bestaat uit de twee vierkanten op de rechthoekszijden.
De figuur rechts bestaat uit het vierkant op de schuine zijde.
We vinden het volgende verband.
In een rechthoekige driehoek geldt: de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden.
In het plaatje:
oppervlakte I + oppervlakte II = oppervlakte III.
Deze eigenschap heet de stelling van Pythagoras.
We kunnen de stelling van Pythagoras ook als volgt formuleren.
Noemen we de rechthoekszijden van de driehoek \(a\) en \(b\) en de schuine zijde \(c\), dan geldt: \(a^2+b^2=c^2\).
Let op:
de stelling van Pythagoras geldt alleen voor rechthoekige driehoeken.
De Griek Pythagoras leefde in de zesde eeuw v. Chr. De jaren van zijn geboorte en sterfte zijn niet precies bekend. Pythagoras stichtte zijn eigen school in Croton (Zuid-Italie), waar hij en zijn volgelingen, pythagoreeërs genaamd, zich bezighielden met religieuze en ethische vraagstukken en het beoefenen van wiskunde, muziektheorie en astronomie.
De stelling die aan Pythagoras wordt toegeschreven, was al aan de Babyloniërs bekend. Maar het is mogelijk dat de pythagoreeërs de eerste waren die er een bewijs voor hadden. Voor de stelling van Pythagoras bestaan tegenwoordig heel veel bewijzen. Zo publiceerde Elisha Scott Loomis in 1940 The Pythagorean Proposition met 367 verschillende bewijzen.
Het arrangement De stelling van Pythagoras is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
De Griek Pythagoras leefde in de zesde eeuw v. Chr. De jaren van zijn geboorte en sterfte zijn niet precies bekend. Pythagoras stichtte zijn eigen school in Croton (Zuid-Italie), waar hij en zijn volgelingen, pythagoreeërs genaamd, zich bezighielden met religieuze en ethische vraagstukken en het beoefenen van wiskunde, muziektheorie en astronomie.
