De driehoeken die je bij de vorige opgave opgeschreven hebt zijn rechthoekig. Alle rechthoekige driehoeken hebben namelijk de eigenschap dat de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde gelijk is aan de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden. Deze eigenschap staat bekend als de stelling van Pythagoras.
Een bewijs van de stelling van Pythagoras berust op de legpuzzel uit de introductie. We laten nu in het midden hoe groot de lengtes van de zijden van de rechthoekige driehoeken zijn. We duiden ze aan met letters, of beter gezegd met variabelen.
In de tekening zie je twee even grote vierkanten met zijden .
Het linker vierkant is verdeeld in één vierkant met zijden , één vierkant met zijden
en vier rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden
en
en schuine zijde
.
Het rechter vierkant is verdeeld in één vierkant met zijden en vier rechthoekige driehoeken met rechthoekszijden
en
en schuine zijde
.
De rechthoekige driehoeken zijn allemaal even groot. Laten we deze weg, dan houden we twee figuren over die nog steeds dezelfde oppervlakte hebben.
De figuur links bestaat uit de twee vierkanten op de rechthoekszijden.
De figuur rechts bestaat uit het vierkant op de schuine zijde.
We vinden het volgende verband.
In een rechthoekige driehoek geldt: de oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde is gelijk aan de som van de oppervlaktes van de vierkanten op de rechthoekszijden. Let op: |
In de applet "Pythagoras Theorem" wordt de stelling van Pythagoras bewezen. |