Viel dit mee of tegen of heb je stiekum gekeken toen het niet lukte?
In dit thema leer je om op een systematische manier kwadratische vergelijkingen op te stellen op basis van een verhaal en om deze daarna ook op te lossen.
We kijken zelfs ook nog naar hogeregraadsvergelijkingen.
Je moet hiervoor kunnen ontbinden in factoren en kunnen werken met priemfactoren. Ook dat leer je in dit hoofdstuk.
Wat kan ik straks?
Aan het einde van dit thema kan je:
een getal en een uitdrukking met een variabele ontbinden in factoren
uitleggen wat een priemgetal is
een kwadratische vergelijking opstellen op basis van een verhaal
een kwadratische vergelijking systematisch oplossen
een aantal hogeregraads vergelijkingen oplossen.
Wat kan ik al?
Hieronder ga je ter voorbereiding op dit hoofdstuk oefenen met eenvoudige vergelijkingen en met machten.
Het thema Ontbinden bestaat uit de volgende onderdelen:
Onderdeel
Tijd in lesuren
Start
Inleiding
0,5 uur
Wat kan ik straks?
Wat kan ik al?
Wat ga ik doen?
Paragrafen
De oplossing zoeken (1)
2 uur
De oplossing zoeken (2)
2 uur
Het product is 0
1,5 uur
Systematisch oplossen
1 uur
Vergelijkingen opstellen
1,5 uur
Hogeregraads vergelijkingen
0,5 uur
Afsluiting
Samenvatting
Thema-opdracht
2 uur
Diagnostische toets
0,5 uur
Extra opgaven
0,5 uur
Terugblik
Totaal
12 uur
Gewone opgaven en Super opgaven
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
Die Super variant is wel wat moeilijker. Let op: Je hoeft dan niet ook de 'normale' variant te maken.
Je herkent de opgaven waar een Super variant van is aan dit teken
Als je op dit teken klikt, dan ga je naar de Super variant.
In de Super variant staat dit teken
Als je daarop klikt, ga je weer terug naar de gewone opgave.
De Super opgaven staan ook steeds bij elkaar onder aan iedere paragraaf.
Paragrafen
In dit thema gaan we aan de slag met ontbinden in factoren.
In de volgende paragrafen leer je om zowel een getal als een uidrukking met een variabele te ontbinden in factoren daarmee een kwadartische vergelijking op te lossen. Je leert ook om een kwadratische vergelijking op te stellen op basis van een verhaal en we maken een uitstapje naar het oplossen van hogeregraads vergelijkingen.
Een positief getal dat je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen, noemen we een priemgetal. Het getal \(1\) neemt een uitzonderingspositie in: we spreken af dat \(1\) geen priemgetal is.
Ontbinden in factoren
Een veelterm schrijven als product van factoren, heet ontbinden in factoren.
Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen en vóór het tegengestelde nemen.
Dus: \(2x^2=2⋅x⋅x\) en \(‐x^2=‐(x⋅x)\)
Systematisch oplossen
Soms kun je een vergelijking ontbinden in factoren. In dat geval kun je de vergelijking oplossen met de regel: een product is 0 als minstens één van de factoren 0 is. Voordat je kunt ontbinden in factoren, moet je vaak een aantal bewerkingen uitvoeren, zoals:
op nul herleiden,
haakjes uitwerken,
termen rangschikken,
delen door een getal.
Voorbeeld \((x+3)^2=‐(x−1)^2+58\) \(x^2+6x+9=‐x^2+2x−1+58\) \(2x^2+4x−48=0\) \(x^2+2x−24=0\) \((x+6)(x−4)=0\) \(x=‐6\) of \(x=4\)
Controle: \((x+3)^2=(‐3)^2=9 \) en \(‐(x−1)^2+58=‐49+58=9\) \((x+3)^2=7^2=49\) en \(‐(x−1)^2+58=‐3^2+58=49\)
Voorbeeld
We lossen de vergelijking \((x^2−4)(x^2+9)=0 \) op. Er zijn twee mogelijkheden:
Of \(x^2=4\), dus \(x=2\) of \(x=‐2,\)
of \(x^2=‐9\), maar dat kan niet.
De vergelijking heeft dus twee oplossingen: \(2\) en \(‐2\).
Product is 0
Als het product van twee getallen nul is, dan is het ene getal nul of is het andere getal nul.
In algebrataal
Als \(a⋅b=0\), dan \(a=0\) of \(b=0\).
Een dergelijke uitspraak geldt ook voor het product van drie of meer factoren dat nul is.
Distributiewetten
Voor alle getallen \(a, b\) en \(c\) geldt:
\(a(b+c)=ab+ac\)
\(a(b−c)=ab−ac\)
Product van tweetermen
Voor alle getallen \(a, b, c\) en \(d\) geldt:
\((a+b)(c+d)=ab+ad+bc+bd\)
Merkwaardige producten
Voor alle getallen \(a\) en \(b\) geldt:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)
\((a+b)(a−b)=a^2−b^2\)
Vergelijkingen opstellen
Een rechthoek heeft oppervlakte 21; zijn lengte is 4 groter dan zijn breedte. Wat zijn de afmetingen?
Noem de breedte \(x\).
We krijgen dan de vergelijking: \(x(x+4)=21\).
Deze vergelijking heeft twee oplossingen: \(‐7\) en \(3\).
De oplossing \(‐7\) kan niet omdat lengte en breedte allebei positief moeten zijn. De breedte van de rechthoek is dus 3 en de lengte 7.
De graad van een vergelijking
De vergelijking \(5x=x^2+4x−12\) is een tweedegraads vergelijking: de hoogste macht van \(x\) in deze vergelijking is \(2\). Er zijn ook derde-, vierde- of tiendegraads vergelijkingen. De vergelijking \(5(x+3)=2x−5\) is een eerstegraads vergelijking.
Thema-opdracht
In dit hoofdstuk heb je geleerd om getallen en uitdrukkingen met een variabele te ontbinden in factoren. Hiermee kun je kwadratische vergelijkingen systematisch oplossen.
In deze eindopdracht ga jullie deze kennis gebruiken om een chocoladeletter alfabet te maken.
Het bijzondere is dat alle 26 letters evenveel chocolade moeten bevatten en moeten passen in hetzelfde doosje.
Veel succes!
Het arrangement Thema: Ontbinden - 2V is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Viel dit mee of tegen of heb je stiekum gekeken toen het niet lukte?
Hieronder ga je ter voorbereiding op dit hoofdstuk oefenen met eenvoudige vergelijkingen en met machten.
Het thema Ontbinden bestaat uit de volgende onderdelen:
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
In dit hoofdstuk heb je geleerd om getallen en uitdrukkingen met een variabele te ontbinden in factoren. Hiermee kun je kwadratische vergelijkingen systematisch oplossen.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
