Thema 14 Vergelijkingen - vwo2

Thema 14 Vergelijkingen - vwo2

Vergelijkingen

Inleiding

In dit thema leer je om een vergelijking op te stellen bij de beschrijving van een probleem in woorden en vervolgens om deze vergelijking op te lossen. Ook leer je om bij een vergelijking een tabel en een grafiek op te stellen en andersom.  

In de eindopdracht ga je een balans maken en gebruiken om met een echte balans vergelijkingen op te lossen.

Maar we beginnen eerst met een aantal wiskundige puzzels. Probeer maar of je het antwoord kan vinden.

Wat kan ik al?

Je bent in de brugklas al veel formules tegengekomen.
Bijvoorbeeld bij het opstellen van een formule bij stippenpatronen, of bij een stroomschema. Ook heb je al geleerd hoe je met haakjes kunt werken.

In dit thema gaan we hiermee verder. Het is dus van groot belang om de basiskennis over formules van vorig jaar weer te herhalen.

Door deze test te maken kom je erachter wat je nog allemaal weet van vorig jaar.

Wat kan ik straks?

Aan het eind van dit thema kan ik:

  • een vergelijking opstellen bij een beschrijving van een probleem of situatie in woorden
  • uitleggen wat wordt bedoeld met de oplossing van een vergelijking
  • de balansmethode gebruiken bij het oplossen van vergelijkingen
  • grafieken met vergelijkingen tekenen en aflezen
  • een vergelijking ook met breuken erin oplossen;
  • een vergelijking opstellen bij een beschrijving van een probleem of situatie in woorden.

 

Wat ga ik doen?

Het thema Vergelijkingen bestaat uit de volgende onderdelen:

Onderdeel Tijd in lesuren
Start Inleiding 0,5 uur
  Wat kan ik straks?
  Wat kan ik al?
  Wat ga ik doen?
Paragrafen Wat is het getal x? 0,5 uur
  De weegschaalmethode 0,5 uur
  Vergelijkingen en grafieken 1 uur
  Vergelijkingen met breuken 1,5 uur
  Vergelijkingen opstellen 2 uur
  Balansen 0,5 uur
Afsluiting Samenvatting  
  Eindopdracht 1 uur
  Diagnostische toets 1 uur
  Extra opgaven 1 uur
  Terugblik  
Totaal 9,5 uur

 

Gewone opgaven en Super opgaven

Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
Die Super variant is wel wat moeilijker.
Let op: Je hoeft dan niet ook de 'normale' variant te maken.

Je herkent de opgaven waar een Super variant van is aan dit teken
Als je op dit teken klikt, dan ga je naar de Super variant.

In de Super variant staat dit teken
Als je daarop klikt, ga je weer terug naar de gewone opgave.

De Super opgaven staan ook steeds bij elkaar onder aan iedere paragraaf.

 

Paragrafen

In dit thema gaan we aan de slag met Vergelijkingen.

In de volgende paragrafen leer je stap voor stap steeds moeilijkere vergelijkingen oplossen. Je leert ook om vergelijkingen op te stellen op basis van een verhaal en deze vervolgens systematisch op te lossen.

 

Paragraaf 1  Wat is het getal x?
Paragraaf 2  De weegschaalmethode
Paragraaf 3  Vergelijkingen en grafieken
Paragraaf 4  Vergelijkingen met breuken
Paragraaf 5  Vergelijkingen opstellen
Paragraaf 6  Balansen

Afsluiting

Samenvatting

Weegschaalmethode

Om het onbekende gewicht op een weegschaal (of balans) te vinden, doe je steeds twee dingen:

  • je haalt van beide schalen hetzelfde gewicht af (of doet het erbij),

  • je neemt van beide schalen hetzelfde deel.

Bij een vergelijking komt dat hier op neer:

  • je trekt van beide kanten hetzelfde getal of dezelfde variabele af, of telt ze erbij op,

  • je deelt beide kanten door hetzelfde getal of dezelfde variabele, of vermenigvuldigt ze ermee.

 

Systematisch oplossen

Elke vergelijking kun je oplossen volgens het volgende schema.

Voorbeeld:

\(\small \frac{1}{3}(2x-5)+\frac{3}{4}=x-1\)

\(\small \frac{2}{3}x-\frac{5}{3}+\frac{3}{4}=x-1\)

\(\small 8x-20+9=12x-12\)

\(\small 8x-11=12x-12\)

\(\small 1=4x\)

\(\small \frac{1}{4}=x\)

 

Controle:

Linkerkant: \(\small \frac{1}{3}(2x-5)+\frac{3}{4}=\frac{1}{3}(\frac{1}{2}-5)+\frac{3}{4}=\text{-}1\frac{1}{2} +\frac{3}{4}=\text{-}\frac{3}{4} \)

Rechterkant: \(\small x-1=\frac{1}{4}-1=\text{-}\frac{3}{4}\)

Conclusie: als \(\small x=\frac{1}{4} \) zijn linker- en rechterkant gelijk, dus \(\small x= \frac{1}{4}\) is de oplossing van deze vergelijking.

 

 

Vergelijkingen opstellen en grafieken

Een energiezuinige koelkast \(\small EK\) kost € 710,-- en verbruikt € 60,-- aan stroom per jaar. Een goedkope koelkast \(\small GK\) kost € 390,-- en verbruikt € 100,-- aan stroom per jaar.

Als je de gebruikskosten wilt vergelijken met grafieken, is het handig om de volgende tabel te maken.

aantal jaren

0

5

10

15

kosten \(\small EK\)

710

1010

1310

1610

kosten \(\small GK\)

390

890

1390

1890

 

Bij de tabel horen twee grafieken.

Denk aan de namen bij de assen en dat elk stapje op de horizontale as hetzelfde is. Dit geldt ook voor de verticale as.

Stel dat we het aantal jaren \(\small a\) noemen. Dan zijn de kosten na \(\small a\) jaar voor \(\small EK\) gelijk aan \(\small 710+60a\) en voor \(\small GK\) gelijk aan \(\small 390+100a\).

Met een vergelijking kunnen we nu het aantal jaren uitrekenen waarbij de kosten voor \(\small EK\) en \(\small GK\) gelijk zijn.

Die vergelijking is: \(\small 710+60a=390+100a\).

De oplossing is \(\small a=8\), dus na 8 jaar.

Check in de grafiek of het antwoord kan kloppen (anders heb je misschien een rekenfoutje gemaakt).

Je kunt het antwoord controleren door de kosten van \(\small EK\) en \(\small GK\) na 8 jaar uit te rekenen.

Kosten \(\small EK\) na 8 jaar = \(710+8\times60=€1190,-\small \).

Kosten \(\small GK\) na 8 jaar = \(\small 390+8\times100=€1190,-\).

Je ziet dat de kosten na 8 jaar inderdaad gelijk zijn.

 

 

Vergelijkingen opstellen

Ton is één jaar jonger dan Janneke en elf jaar ouder dan Gerd. Samen zijn ze 92 jaar. Hoe oud is ieder?

Noem de leeftijd van Ton \(\small x\). Dan is Janneke \(\small x+1\) jaar en Gerd \(\small x-11\) jaar.

Een vergelijking voor \(x\) is dan \(\small x+(x+1)+(x-11)=92\).

De oplossing is \(\small x=34\).

Dus Ton is 34, Janneke is 35 en Gerd is 23 jaar oud.

 

 

Balansen

Als een balans in evenwicht is, dan is het product
\(\small \text {plaats × aantal gewichtjes}\) links en rechts gelijk.

De balans hiernaast is in evenwicht.
De vergelijking die er bij hoort is:
\(\small 2(3x+4)=3(4x+1\frac{1}{3})\)

De oplossing is \(\small x=23\).

Controle:
Linkerkant: \(\small 2(3\times\frac{2}{3}+4)=12\)

Rechterkant: \(\small 3(4\times\frac{2}{3}+1\frac{1}{3})=12\), dus het klopt.

Eindopdracht

In dit thema heb je veel geleerd over vergelijkingen en hoe je die kan oplossen met de balansmethode. In deze eindopdracht gaan jullie met een groepje een echte balans maken met bekende en onbekende gewichten. Jullie gebruiken die balans vervolgens om de waardes van onbekende gewichten van je klasgenoten te bepalen.

 

Eindopdracht  Balans maken en gebruiken

 

 

Diagnostische toets

Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.

Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema voor kunnen komen.

Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.

 

Bij deze toets hoort een werkblad​ ; die moet je eerst afdrukken.

 

Extra opgaven

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Terugblik

Reflectie op leerdoelen en op het proces. Wat ging goed, wat ging minder goed.

Heb ik mijn eigen planning gehaald?

  • Het arrangement Thema 14 Vergelijkingen - vwo2 is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2025-08-12 12:35:16
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Dit thema is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.

    Fair Use

    In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use

    Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Rearrangeerbare lessenserie wiskunde stercollectie VO-content wiskunde vwo
    Leerniveau
    VWO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Vergelijkingen en ongelijkheden;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    9 uur 30 minuten
    Trefwoorden
    leerlijn, rearrangeerbare, vo-content

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    Vergelijkingen

    Vergelijkingen

    Extra oefening Basis

    Extra oefening Plus

    Vergelijkingen

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van