§5 Vergelijkingen oplossen
Uitleg
H6 §5 vergelijkingen oplossen....................................................................................................
Vergelijkingen oplossen.
Een vergelijking is een formule waarbij het antwoord al is ingevuld.
Voorbeeld:
31 = 11 + 2x
3a + 6 = -2a +26
\( \sqrt{2a + 6} \) = 10
-3x2 + 100 = 25
In de voorbeelden hierboven is er telkens één onbekende variabele. Het is de bedoeling dat wij achterhalen hoeveel die variabele waard is. Dus: 'welk getal moet je invullen op de plek van de letter zodat de opgave klopt'?
Dit kan op 2 verschillende manieren.
1. De balansmethode.
De balansmethode gebruik je wanneer je met lineaire formules werkt.
Een lineaire formule bestaat uit een begingetal en een stapgrootte.
In hoofdstuk 2 heb je geleerd hoe je een vergelijking met lineaire formules oplost.
2. Inklemmen.
Is de formule waarmee je werkt niet-lineair, dan kun je een vergelijking oplossen met de inklem-methode. De inklem-methode is als het ware gokken. Je vult net zo lang getallen in tot je het goede antwoord hebt gevonden. Bij inklemmen houdt je in een schema bij wat je allemaal geprobeerd hebt.
In het filmpje wordt voorgedaan hoe je met het inklemschema werkt
Voorbeeld.
Uitwerking:
In een inklem-schema noteer je minimaal 3 antwoorden!
- één er boven,
- één er onder.
- het goede antwoord.
Meer mag altijd, minder niet, dan krijg je voor je uitwerking minder punten!
Opgaven
Hiernaast is de balansmethode afgebeeld als weegschaal.
Op de balans hiernaast zie je uitgebeeld:
2 + 4x = 12
- Neem de vergelijking over in je schrift.
2 + 4x = 12
- Haal aan beide kanten losse blokjes weg
*let op: bewaar het evenwicht. Noteer je stappen.
- Als je het goed gedaan hebt, heb je links de x-jes over en recht de losse blokjes
Controleer dit met wat er in je schrift staan. Fout? doe vraag a en b opnieuw.
- Bereken wat één x waard is. Noteer de stap in je schrift en schrijf je antwoord op.
Hiernaast zie je een balans getekend.
- Noteer de vergelijking die bij de balans hoort in je schrift.
- Los de vergelijking op.
- Welke waarde van x heb je gevonden?
|
Hieronder zie je de uitwerking van de vergelijking 2x + 1 = 9. Ergens gaat het fout.
| 2x + 1 |
=
|
9 |
 |
| -1x |
|
-1x |
|
1x + 1
|
=
|
8
|
| -1 |
|
-1 |
|
1x
|
=
|
7
|
- Bij welke stap zit de fout?
- Welke fout wordt er gemaakt?
- Neem de vergelijking over en los hem netjes op (verbeter de opgaven!)
 Begrijp je nog niet helemaal wat we aan het doen zijn? Bekijk dan dit filmpje nog even voordat je verder gaat met vraag vier.
|
Vul in: De balans hiernaast is in evenwicht.
- Neem over en vul in.
Aan de linkerkant van de balans liggen:
... losse en ... x-en
- Aan de rechterkant van de balans liggen:
... losse en ... x-en
- De vergelijking die bij de balans hoort is:
4 + ...x = ... + 3x
- Los de vergelijking op.
| 4 + 5x |
= |
10 + 3x |
| ... |
|
... |
| 5x |
= |
6 + 3x |
| ... |
|
... |
| ... |
= |
6 |
| ... |
|
... |
| x |
= |
..... |
Het op deze manier oplossen van een vergelijking noem je de .........
Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:
- 4x = 16 + 2x
- 14a + 9 = 7a + 86
- 8 - 6y = 3y - 28
Lees eerst in de uitleg hoe je werkt met de inklemmethode, ga daarna pas verder aan opg 6 t/m 14!
| ..6. |
 |
Formules herkennen. |
In opgave 1 t/m 5 heb je jouw kennis over de balansmethode weer even herhaalt. Je werkte in al die opgaven met lineaire formule. Is de formule niet-lineair, dan kun je de balansmethode niet gebruiken, je gebruikt dan de inklemmethode.
Bekijk de formules hieronder, vul deze formule in de goede kolom op je werkblad in.
• y = 3x + 2 • A = n2 + 1 • y = x4 - x - 4
• H = 0,5 x \( \sqrt{3t} \) • B = -2u2 - 3u + 2 • y = 6 - \( \sqrt{0,5\space x} \)
• p = - 6 + 2r • k = -0,2 x3,5 + 4 • y = x7 - 1000
• y = -0,5x2 + x - 6 • y = 0,5 x \( \sqrt{2 + x} \) • y = x + 6
| Lineaire formule |
Kwadratische formule |
Wortelformule |
Machtsformule |
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| |
|
|
|
| ..7. |
|
Inklemmen met lineiare formules. |
Klik op het youtube-icoon om een video-uitleg over de inklemmethode te bekijken. Los daarna de opgave hieronder op met de inklemmethode.
Los op:
- 3,5a + 10 = 41,5
- - 6 + 1,2x = 10,8
- 2c + 7 = 16
Los de volgende vergelijkingen op met inklemmen. Schrijf het inklemschema dat je gebruikt telkens netjes in je schrift.
Los op:
- 2 x 4r - 500 = 12
- 0,25x2 + 6= 26,25
- \( 0,5 \times \sqrt{28 \space + \space a}\) = 3
Hiernaast zie je een kaars. Een formule die ongeveer het verband tussen de hoogte van deze kaars en de brandtijd aangeeft, is:
hoogte = 32 – 4 x \(\sqrt{brandtijd} \)
Hierin is hoogte in cm en brandtijd in uren.
- Hoe heet het wiskundige model van deze kaars?
- Na een aantal uur branden is de kaars nog maar 12 cm lang. Bereken bij hopeveel branduren dat is.
Hiernaast zie je een foto van de Red-Bull Cliffdive competitie. Hierbij hoort een verband tussen de hoogte van het plateau en de tijdsduur van de sprong in seconden. Voor dit verband geldt de volgende formule
tijdsduur = 0,46 x \( \sqrt{hoogte}\)
Hierin is de tijdsduur van de sprong in seconden en de hoogte waar vanaf gesprongen wordt in meters.
- Joshua springt van een hoogte van 9 meter. Bereken de tijdsduur van zijn sprong, rond je antwoord af op 1 decimaal.
Om een sprong te maken die minstens 1,5 seconden duurt, moet van een bepaalde hoogte in het water gesprongen worden.
- Bereken in hele meters hoe hoog het plateau dan minstens moet zijn. Schrijf je berekening op.
Sarah is bloemiste, zij heeft een eigen bloemenzaak.
Om de opbrengst van de winkel te berekenen gebruikt ze de vergelijking:
O = -5p2 + 250p Hierin is O de opbrengst in euro en P de prijs van de bossen bloemen.
- Bereken de verdienste van Sarah wanneer zij €10,- per bos bloemen vraagt.
.
- Bereken O voor p = €12,50
Afgelopen week heeft Sarah €2405,- euro verdiend.
- Bereken de prijs die Sarah voor de bossen bloemen vroeg.
Uit de krant:
|
Nederland moet het wereldrecord krattenstapelen afstaan aan Duitsland. In de Noord-Duitse plaats Satow bij Rostock bouwden vrijwilligers vandaag de grootste piramide van kratten voor bier- en andere drankflesjes.
Ze stapelden 105.995 lege kratten tot een hoogte van 13 meter. Dat gebeurde met hulp van een bouwkraan, vertelde medewerkster Vera Jahnke. Een vertegenwoordiger van Guiness Records kwam de vrijwilligers een oorkonde overhandigen.
|
Als een piramide geheel uit kratten bestaat, kan men het totaal aantal kratten t uitrekenen door het aantal lagen n te tellen en de volgende formule te gebruiken:
t = (2n3 + 3n2 + n) : 6
|
- Laat met een berekening zien dat voor een piramide met 60 lagen 73 810 kratten nodig zijn.
- Bereken hoeveel lagen (n) de piramide van het nieuwe record heeft. Schrijf je berekening op
| ..13. |
|
Los op. Kies zelf de goede oplossingsmethode
(balansmethode of inklemmen) |
- 10 = 2 x \(\sqrt{\space x}\)
.
- 3x - 4 = 32
.
- 4098 = 2 + 8r
- 128 - 0,5 x 2a = 112
.
- 64 = 4 + 12x
.
- 6 = 2x2 - 3x + 4
Uitwerkingen
Test jezelf
