Je hebt al eerder kennisgemaakt met de kwadraten: \(3^2=3 \times 3 = 9\), en zelfs in combinatie met variabelen: \(n^2 = n \times n\).
In dit thema gaan we een stapje verder: ook voor lange berekeningen zoals \(3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3\) is een kortere manier bedacht om dit op te schrijven: \(3^6 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 729\) (reken maar na!).
Dit noemen we machten.
Je leert hiermee te rekenen, natuurlijk ook weer met letters en variabelen.
Bekijk ook onderstaande cartoon (bron onbekend).
Wat kan ik straks?
Aan het einde van dit thema
kun je in dagelijkse praktijk (tel)problemen herkennen waar je te maken hebt met herhaald vermenigvuldigen en machten
kun je bij deze problemen formules maken en berekeningen uitvoeren, waarbij machten een rol spelen
leer je een aantal rekenregels voor machten en je kunt deze toepassen bij het rekenen met machten
kun je de rekenregels voor machten ook toepassen bij variabelen en in formules
Wat kan ik al?
Je kan al rekenen met formules en (eenvoudige) telproblemen oplossen.
Dat gaan we nog even oefenen met een aantal opgaven uit voorgaande thema's.
Het thema 'Machten' bestaat uit de volgende onderdelen:
Onderdeel
Tijd (u:min)
Inleiding
0:35
§ Overal machten
2:15
§ Hoeveel mogelijkheden
0:55
§ Rekenen met machten
2:25
Afsluiting
Samenvatting (goed doornemen)
0:15
Diagnostische toets
0:50
Extra opgaven (keuze)
0:50
Thema-opdracht (keuze)
2:00
Totaal
±10:00
Gewone opgaven en Super opgaven
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
Die Super variant is wel wat moeilijker. Let op: Je hoeft dan niet ook de 'normale' variant te maken.
Je herkent de opgaven waar een Super variant van is aan dit teken
Als je op dit teken klikt, dan ga je naar de Super variant.
In de Super variant staat dit teken
Als je daarop klikt, ga je weer terug naar de gewone opgave.
De Super opgaven staan ook steeds bij elkaar onder aan iedere paragraaf.
Paragrafen
In dit thema leer je om te rekenen met machten, zoals \(3^5\). Ze komen voor in allerlei situaties waarbij je iets wilt tellen of uitrekenen.
In de volgende paragrafen leer je dit stap voor stap, waarbij het telkens een beetje lastiger wordt. In de laatste paragraaf leer je hoe je met machten kunt rekenen in formules.
Als iets elke dag verdubbelt, dan wordt het in \(n\) dagen \(2^n\) keer zo groot.
Als iets elke dag halveert, dan wordt het in \(n\) dagen \((\frac12)^n\) keer zo groot.
Regels voor rekenen met machten
Afspraak \(2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2⋅2\) (het product van \(7\) factoren \(2\)) korten we af met \(2^7\).
In het bijzonder: \(2^0=1\).
Algemeen: \(a^n\) is het product van \(n\) factoren \(a\), voor elk getal \(a\) en elk positief geheel getal \(n\).
In het bijzonder: \(a^0=1\).
Hoofdeigenschap \(2^2⋅2^6=2^8\)
Algemeen: voor alle getallen \(a\) en alle postieve gehele getallen \(m\) en \(n\) geldt: \(a^m⋅a^n=a^{m+n}\).
Machten delen \(3^{10}:3^4=3^6 \)
Algemeen: voor alle getallen \(a\) en alle postieve gehele getallen \(m\) en \(n\) met \(m>n\) geldt: \(a^m:a^n=a^{m−n}\).
Macht van een breuk \((\frac23)^3=\frac{2^3}{3^3}\)
Algemeen: voor alle gehele getallen \(a\) en \(b\), met \(b\) niet \(0\) en alle postieve gehele getallen \(n\) geldt: \((\frac ab)^n=\frac{a^n}{b^n}\).
Machten met dezelfde exponent vermenigvuldigen \(2^3⋅5^3=10^3\)
Algemeen: voor alle getallen \(a\) en \(b\) en alle postieve gehele getallen \(m\) geldt: \(a^m⋅b^m=(a⋅b)^m\).
Grondtal en exponent
\(3^5\) kun je op verschillende manieren uitspreken.
de vijfde macht van \(3\), of
\(3\) tot de macht vijf, of
\(3\) tot de vijfde.
De getallen \(3\) en \(5\) in deze macht hebben een verschillende betekenis: \(3\) noemen we het grondtal en \(5\) noemen we de exponent.
Handig om te weten
\(n\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(6\)
\(7\)
\(8\)
\(9\)
\(10\)
\(2^n\)
\(2\)
\(4\)
\(8\)
\(16\)
\(32\)
\(64\)
\(128\)
\(256\)
\(512\)
\(1024\)
Namen van machten van 10
\(10^3\) is duizend
\(10^{12}\) is biljoen
\(10^6\) is miljoen
\(10^{15}\) is biljard
\(10^9\) is miljard
\(10^{18}\) is triljoen
Op hoeveel manieren
Er zijn even veel wegen in het diagram hieronder als er torentjes zijn van vier hoog in drie kleuren.
Er zijn \(3^4\) wegen, dus \(3^4=81\) torentjes.
Er zijn even veel wegen in het diagram hieronder als er torentjes zijn van drie hoog in vier kleuren.
Er zijn \(4^3\) wegen, dus \(4^3=64\) torentjes.
Metriek
lengte
\(1\) km
\(=\)
\(10\) hm
\(1\) m
\(=\)
\(10\) dm
\(1\) hm
\(=\)
\(10\) dam
\(1\) dm
\(=\)
\(10\) cm
\(1\) dam
\(=\)
\(10\) m
\(1\) cm
\(=\)
\(10\) mm
oppervlakte
\(1\) km\(^2\)
\(=\)
\(10^2\) hm\(^2\)
\(1\) m\(^2\)
\(=\)
\(10^2\) dm\(^2\)
\(1\) hm\(^2\)
\(=\)
\(10^2\) dam\(^2\)
\(1\) dm\(^2\)
\(=\)
\(10^2\) cm\(^2\)
\(1\) dam\(^2\)
\(=\)
\(10^2\) m\(^2\)
\(1\) cm\(^2\)
\(=\)
\(10^2\) mm\(^2\)
inhoud
\(1\) km\(^3\)
\(=\)
\(10^3\) hm\(^3\)
\(1\) m\(^3\)
\(=\)
\(10^3\) dm\(^3\)
\(1\) hm\(^3\)
\(=\)
\(10^3\) dam\(^3\)
\(1\) dm\(^3\)
\(=\)
\(10^3\) cm\(^3\)
\(1\) dam\(^3\)
\(=\)
\(10^3\) m\(^3\)
\(1\) cm\(^3\)
\(=\)
\(10^3\) mm\(^3\)
Thema-opdracht
De afgelopen tijd hebben veel scholieren in verschillende landen in Europa meegelopen met een klimaatmars. Met deze acties willen de scholieren aandacht vragen voor een beter klimaatbeleid.
Maar heb je wel eens van de hockeystick-curve gehoord?
Die naam wordt gebruikt voor een curve, die de ontwikkeling van broeikasgassen op aarde beschrijft. En die broeikasgassen hebben direct te maken met de opwarming van de aarde.
In deze opdracht gaan we stap voor stap een model maken van zo'n hockeystickcurve. We gebruiken daarbij de kennis die je in het arrangement Machten hebt geleerd.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Het thema 'Machten' is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Stercollectie Wiskunde 2.0 HV op basis van Wageningse Methode
Je hebt al eerder kennisgemaakt met de kwadraten: 
Aan het einde van dit thema
Je kan al rekenen met formules en (eenvoudige) telproblemen oplossen.
Het thema 'Machten' bestaat uit de volgende onderdelen:
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
In dit thema leer je om te rekenen met machten, zoals 
De afgelopen tijd hebben veel scholieren in verschillende landen in Europa meegelopen met een klimaatmars. Met deze acties willen de scholieren aandacht vragen voor een beter klimaatbeleid.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
