Thema 6 Roosterdam - havo/vwo1

Thema 6 Roosterdam - havo/vwo1

Roosterdam

Inleiding

In dit thema leer je de eerste beginselen van algebra; het rekenen met variabelen.

In de eindopdracht ga je zelf een goocheltruc met getallen bedenken, je weet wel zo'n rekentruc waarbij je een getal in gedachten moet nemen, een aantal bewerkingen moet uitvoeren en daarna weet de goochelaar welk getal je in gedachten had.

Wat kan ik al?

Je kan al formules maken: in de voorgaande thema's 'Tellen' en 'Formules' heb je al formules moeten maken bij regelmatige patronen en dergelijke. En ook bij het thema 'De ruimte in' ben je ze tegengekomen.

Ook heb je in het thema 'Formules' al kennisgemaakt met de distributiewetten, om formules met of zonder haakjes te schrijven.

We herhalen een paar opgaven uit die thema's.

Wat kan ik straks?

Aan het einde van dit thema kan ik:

  • Rekenen met variabelen: variabelen optellen, aftrekken en met elkaar vermenigvuldigen;
    Ofwel: de eerste beginselen van algebra;
  • Problemen vertalen naar een formule met variabelen en deze formules zo nodig omschrijven of te vereenvoudigen in andere vormen en gedaantes;
  • Formules met variabelen gebruiken om bepaalde regelmatigheden aan te tonen.

Wat ga ik doen?

Het thema 'Roosterdam' bestaat uit de volgende onderdelen:

 

Onderdeel Tijd (lesuren)
Inleiding 0,5
Paragraaf 1: Routes in Vakhorst 2
Paragraaf 2: Oppervlaktes in Vakhorst 1,5
Paragraaf 3: Roosterkwartier 1,5
Paragraaf 4: Op de grens 1,5
Paragraaf 5: Weg uit Roosterdam 1
Afsluiting  
Samenvatting (goed doornemen) 0,25
Diagnostische toets 0,75
Extra opgaven (keuze) 0,5
Eindopdracht 1,5
Totaal 11

 

Gewone opgaven en Super opgaven

Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
Die Super variant is wel wat moeilijker.
Let op: Je hoeft dan niet ook de 'normale' variant te maken.

Je herkent de opgaven waar een Super variant van is aan dit teken
Als je op dit teken klikt, dan ga je naar de Super variant.

In de Super variant staat dit teken
Als je daarop klikt, ga je weer terug naar de gewone opgave.

De Super opgaven staan ook steeds bij elkaar onder aan iedere paragraaf.

 

Paragrafen

In dit thema leer je de eerste beginselen van algebra: het rekenen met variabelen.

In de volgende paragrafen leer je stap voor stap nieuwe mogelijkheden erbij, aan de hand van het bijzondere straten- en wijkenplan van het (fictieve) plaatsje Roosterdam.

Paragraaf 1

Routes in Vakhorst
Paragraaf 2

Oppervlaktes in Vakhorst
Paragraaf 3

Roosterkwartier
Paragraaf 4

Op de grens
Paragraaf 5

Weg uit Roosterdam

Afsluiting

Samenvatting

Vereenvoudigen

In de plattegrond is een route getekend. Bij de route hoort de gelijkheid \(a+2b+3a+5b=4a+7b\).

 

 

Gelijkheden

Rechthoek
Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.

  1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
   de lengte is \(3a\)
   de breedte is \(2b\)
   de oppervlakte is dus \(3a⋅2b\)

  2e manier: hokjes tellen
   de rechthoek bestaat uit \(6\) hokjes
   elk hokje heeft oppervlakte \(ab\)
   de oppervlakte is dus \(6ab\)

Je vindt zo de gelijkheid \(3a⋅2b=6ab\).
Deze gelijkheid volgt ook uit de regel \(a⋅b=b⋅a\).
Immers \(3a⋅2b=3⋅a⋅2⋅b=3⋅2⋅a⋅b=6⋅a⋅b=6ab\).


Vierkant
Je kunt de oppervlakte van het blauw gekleurde vierkant op twee manieren berekenen.

  1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
   de lengte is \(4a\)
   de breedte is \(4a\)
   de oppervlakte is dus \(4a⋅4a\), kortweg \((4a)^2\)

  2e manier: hokjes tellen
   de rechthoek bestaat uit \(16\) hokjes
   elk hokje heeft oppervlakte \(a^2\)
   de oppervlakte is dus \(16a^2\)

Je vindt zo de gelijkheid \((4a)^2=4a⋅4a=16a^2\).

Let op: \(a^2=a⋅a\) en \(2a=a+a\).

 

Gelijkheden controleren

Door getallen in te vullen voor de variabelen kun je een gelijkheid controleren. Als een gelijkheid klopt, levert de uitdrukking links van het gelijkteken dezelfde uitkomst op als de uitdrukking rechts van het gelijkteken. Zo niet, dan heb je met een tegenvoorbeeld laten zien dat de gelijkheid niet klopt.

Voorbeeld
De uitdrukkingen \(4a+5b\) en \(9ab\) stellen niet hetzelfde getal voor als \(a=2\) en \(b=3\).
Immers, \(4⋅2+5⋅3=8+15=23\) en \(9⋅2⋅3=54\).
Dus de gelijkheid \(4a+5b=9ab\) klopt niet.

Let op: je kunt met getallenvoorbeelden niet laten zien dat een gelijkheid wél geldig is!
Want je moet dan laten zien dat het voor álle getallen geldt. En dan is één, of honderd, of een miljoen voorbeelden niet genoeg: dan weet je nog steeds niet zeker dat er niet toch toevallig een getal is waarvoor de gelijkheid niet geldt.
 

Met en zonder haakjes

Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.

  1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
   de lengte is \(3a\)
   de breedte is \(2a+4b\)
   de oppervlakte is dus \(3a⋅(2a+4b)\)

  2e manier: hokjes tellen
   de rechthoek bestaat uit \(6\) hokjes met oppervlakte \(a^2\)
   en uit \(12\) hokjes met oppervlakte \(ab\)
   de oppervlakte is dus \(6a^2+12ab\)

Je vindt zo de gelijkheid \(3a⋅(2a+4b)=6a^2+12ab\).

Deze gelijkheid volgt ook uit de distributiewet.
Immers, \(3a⋅(2a+4b)=3a⋅2a+3a⋅4b=6a^2+12ab\)

 

Gelijksoortige termen optellen

De uitdrukking \(5a+7b+9a+6b\) bestaat uit vier termen. De termen \(5a\) en \(9a\) zijn van dezelfde soort (beide \(a\), de lengte van een hokje in Vakhorst). Dat geldt ook voor de termen \(7b\) en \(6b\) (beide \(b\), de breedte van een hokje in Vakhorst). Gelijksoortige termen kun je optellen: \(5a+7b+9a+6b=14a+13b\).

Omdat de termen \(7a^2\) en \(5a^2\) van dezelfde soort zijn (beide \(a^2\), de oppervlakte van een hokje in Roosterkwartier), is \(7a^2+5a^2=12a^2\).

Maar de gelijkheid \(3a^2+5a=8a^2\) klopt niet. Vul maar eens \(a=2\) in. De termen \(3a^2\) en \(5a\) zijn niet van dezelfde soort. Immers \(a^2\) is de oppervlakte van een hokje in Roosterkwartier en \(a\) de lengte van een hokje in Roosterkwartier.

 

 

Eindopdracht

Jullie gaan zelf een goocheltruc met getallen maken en opvoeren.

Eindopdracht  Goochelen met getallen

(Let niet op de spelfouten...)

 

 

D-toets

Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Dit zijn voorbeeldopgaven die een goed beeld geven van de opgaven die in een eindtoets over dit thema 'hoeken' voor kunnen komen.

Als je een score van 70% haalt, heb je een voldoende.

Extra oefening Basis

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Extra oefening Plus

Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.

  • Extra oefening Basis is bedoeld voor leerlingen die de Diagnostische toets NIET goed gemaakt hebben.
  • Extra oefening Plus is bedoeld voor de leerlingen die de Diagnostische toets WEL goed gemaakt hebben.

Je moet dus sowieso eerst de Diagostische toets af hebben vóórdat je aan de Extra oefening begint.
Vraag bij twijfel aan je docent wat je moet doen.

Terugblik

  • Het arrangement Thema 6 Roosterdam - havo/vwo1 is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2025-08-17 11:53:52
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Het thema 'Roosterdam' is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.

    Fair Use

    In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use

    Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo/vwo leerjaar 1. Dit is thema ’Roosterdam'. De volgende onderdelen worden behandeld: rekenen met variabelen: variabelen optellen, aftrekken en met elkaar vermenigvuldigen, de eerste beginselen van algebra, problemen vertalen naar een formule met variabelen en deze formules zo nodig omschrijven of te vereenvoudigen in andere vormen en gedaantes en formules met variabelen gebruiken om bepaalde regelmatigheden aan te tonen.
    Leerniveau
    HAVO 1; VWO 1;
    Leerinhoud en doelen
    Rekenen met variabelen;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Studiebelasting
    11 uur 0 minuten
    Trefwoorden
    algebra, arrangeerbaar, formule met variabelen, havo/vwo 1, omschrijven, regelmatigheden, stercollectie, variabelen, vereenvoudigen, wiskunde

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    Oefeningen en toetsen

    Roosterdam

    Roosterdam

    Roosterdam

    Roosterdam

    Roosterdam

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    QTI

    Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

    Versie 2.1 (NL)

    Versie 3.0 bèta

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van