rekenen met variabelen: je weet hoe je variabelen kunt optellen, aftrekken en met elkaar kunt vermenigvuldigen.
Ofwel: je kent de eerste beginselen van algebra.
je kunt problemen vertalen naar een formule met variabelen en deze formules zonodig omschrijven of te vereenvoudigen in andere vormen en gedaantes.
je kunt formules met variabelen gebruiken om bepaalde regelmatigheden aan te tonen.
Wat kan ik al?
Je kan al formules maken: in de voorgaande thema's 'Tellen' en 'Formules' heb je al formules moeten maken bij regelmatige patronen en dergelijke. En ook bij het thema 'De ruimte in' ben je ze tegengekomen.
Ook heb je in het thema 'Formules' al kennisgemaakt met de distributiewetten, om formules met of zonder haakjes te schrijven.
Het thema 'Roosterdam' bestaat uit de volgende onderdelen:
Onderdeel
Tijd (u:min)
Inleiding
0:30
§ Routes in Vakhorst
2:15
§ Oppervlaktes in Vakhorst
1:25
§ Roosterkwartier
1:45
§ Op de grens
1:35
§ Weg uit Roosterdam
1:15
Afsluiting
Samenvatting (goed doornemen)
0:10
Diagnostische toets
0:50
Extra opgaven (keuze)
0:50
Thema-opdracht (keuze)
0:50
Totaal
±12:00
Gewone opgaven en Super opgaven
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
Die Super variant is wel wat moeilijker. Let op: Je hoeft dan niet ook de 'normale' variant te maken.
Je herkent de opgaven waar een Super variant van is aan dit teken
Als je op dit teken klikt, dan ga je naar de Super variant.
In de Super variant staat dit teken
Als je daarop klikt, ga je weer terug naar de gewone opgave.
De Super opgaven staan ook steeds bij elkaar onder aan iedere paragraaf.
Paragrafen
In dit thema leer je de eerste beginselen van algebra: het rekenen met variabelen.
In de volgende paragrafen leer je stap voor stap nieuwe mogelijkheden erbij, aan de hand van het bijzondere straten- en wijkenplan van het (fictieve) plaatstje Roosterdam.
In de plattegrond is een route getekend. Bij de route hoort de gelijkheid \(a+2b+3a+5b=4a+7b\).
Gelijkheden
Rechthoek
Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.
1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
de lengte is \(3a\)
de breedte is \(2b\)
de oppervlakte is dus \(3a⋅2b\)
2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(6\) hokjes
elk hokje heeft oppervlakte \(ab\)
de oppervlakte is dus \(6ab\)
Je vindt zo de gelijkheid \(3a⋅2b=6ab\).
Deze gelijkheid volgt ook uit de regel \(a⋅b=b⋅a\).
Immers \(3a⋅2b=3⋅a⋅2⋅b=3⋅2⋅a⋅b=6⋅a⋅b=6ab\).
Vierkant
Je kunt de oppervlakte van het blauw gekleurde vierkant op twee manieren berekenen.
1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
de lengte is \(4a\)
de breedte is \(4a\)
de oppervlakte is dus \(4a⋅4a\), kortweg \((4a)^2\)
2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(16\) hokjes
elk hokje heeft oppervlakte \(a^2\)
de oppervlakte is dus \(16a^2\)
Je vindt zo de gelijkheid \((4a)^2=4a⋅4a=16a^2\).
Let op: \(a^2=a⋅a\) en \(2a=a+a\).
Gelijkheden controleren
Door getallen in te vullen voor de variabelen kun je een gelijkheid controleren. Als een gelijkheid klopt, levert de uitdrukking links van het gelijkteken dezelfde uitkomst op als de uitdrukking rechts van het gelijkteken. Zo niet, dan heb je met een tegenvoorbeeld laten zien dat de gelijkheid niet klopt.
Voorbeeld
De uitdrukkingen \(4a+5b\) en \(9ab\) stellen niet hetzelfde getal voor als \(a=2\) en \(b=3\).
Immers, \(4⋅2+5⋅3=8+15=23\) en \(9⋅2⋅3=54\).
Dus de gelijkheid \(4a+5b=9ab\) klopt niet.
Let op: je kunt met getallenvoorbeelden niet laten zien dat een gelijkheid wél geldig is!
Want je moet dan laten zien dat het voor álle getallen geldt. En dan is één, of honderd, of een miljoen voorbeelden niet genoeg: dan weet je nog steeds niet zeker dat er niet toch toevallig een getal is waarvoor de gelijkheid niet geldt.
Met en zonder haakjes
Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.
1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
de lengte is \(3a\)
de breedte is \(2a+4b\)
de oppervlakte is dus \(3a⋅(2a+4b)\)
2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(6\) hokjes met oppervlakte \(a^2\)
en uit \(12\) hokjes met oppervlakte \(ab\)
de oppervlakte is dus \(6a^2+12ab\)
Je vindt zo de gelijkheid \(3a⋅(2a+4b)=6a^2+12ab\).
Deze gelijkheid volgt ook uit de distributiewet.
Immers, \(3a⋅(2a+4b)=3a⋅2a+3a⋅4b=6a^2+12ab\)
Gelijksoortige termen optellen
De uitdrukking \(5a+7b+9a+6b\) bestaat uit vier termen. De termen \(5a\) en \(9a\) zijn van dezelfde soort (beide \(a\), de lengte van een hokje in Vakhorst). Dat geldt ook voor de termen \(7b\) en \(6b\) (beide \(b\), de breedte van een hokje in Vakhorst). Gelijksoortige termen kun je optellen: \(5a+7b+9a+6b=14a+13b\).
Omdat de termen \(7a^2\) en \(5a^2\) van dezelfde soort zijn (beide \(a^2\), de oppervlakte van een hokje in Roosterkwartier), is \(7a^2+5a^2=12a^2\).
Maar de gelijkheid \(3a^2+5a=8a^2\) klopt niet. Vul maar eens \(a=2\) in. De termen \(3a^2\) en \(5a\) zijn niet van dezelfde soort. Immers \(a^2\) is de oppervlakte van een hokje in Roosterkwartier en \(a\) de lengte van een hokje in Roosterkwartier.
Thema-opdracht
Jullie gaan zelf een goocheltruc met getallen maken en opvoeren.
Het arrangement Thema: Roosterdam hv is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Het thema 'Roosterdam' is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Stercollectie Wiskunde 2.0 HV op basis van Wageningse Methode
Aan het einde van dit thema kan je:
Je kan al formules maken: in de voorgaande thema's 'Tellen' en 'Formules' heb je al formules moeten maken bij regelmatige patronen en dergelijke. En ook bij het thema 'De ruimte in' ben je ze tegengekomen.
Het thema 'Roosterdam' bestaat uit de volgende onderdelen:
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
In dit thema leer je de eerste beginselen van algebra: het rekenen met variabelen.
In de plattegrond is een route getekend. Bij de route hoort de gelijkheid 
Rechthoek
Vierkant
Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.
Jullie gaan zelf een goocheltruc met getallen maken en opvoeren.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
