Lineair verband
Lineair* verband in een grafiek
In de grafiek is het verband tussen de tijd (uur) en de prijs (euro) weergegeven.
De grafiek is een rechte lijn.
Het verband tussen de tijd en de prijs is een lineair verband.
* Lineair betekent 'rechtlijnig' (Latijn: linearis, 'uit een lijn bestaand'). In het dagelijks spraakgebruik wordt dit ook wel recht-evenredig genoemd.
Lineair verband in een tabel
In de tabel is een verband tussen de tijd (uur) en de prijs (euro) weergegeven.
In de tabel zie je een regelmaat.
Als de tijd met 1 uur toeneemt, neemt de prijs met 20 euro toe.
Het verband tussen de tijd en de prijs is een lineair verband.
Lineair verband in een formule
Bij een verband tussen de tijd (uur) en de prijs(euro) hoort de formule:
prijs = 20 × tijd + 40
Bij de formule kun je een tabel en een grafiek maken. De grafiek is een rechte lijn.
Het verband tussen de tijd en de prijs is dus een lineair verband.
Bij een lineair verband hoort altijd een formule in de vorm:
y = ax + b of, met woorden: uitkomst = getal1 x invoer + getal2
Er zijn veel verschillende aanbieders van mobiele telefonie.
Op internet zijn er verschillende sites waar aanbieders met elkaar worden vergeleken.
Als Yorrick op internet zoekt, vindt hij de gegevens van Flexi-Bel.
Met deze gegevens kun je uitrekenen hoeveel je per maand betaalt als je 50 minuten belt:
belkosten = 25 + 0,20 × 50 = 25 + 10 = 35
Per maand betaal je dan dus € 35,00.
Yorrick maakt de volgende tabel.
In de tabel zie je een regelmaat.
Als de belijd met 25 minuten toeneemt, nemen de belkosten met € 5,00 toe.
Het verband tussen de beltijd en de belkosten is een lineair verband.
Als er tussen twee variabelen een lineair verband is dan:
- is de grafiek een rechte lijn;
- is er sprake van regelmaat in de tabel;
- kun je de formule schrijven in de vorm:
uitkomst = ... × getal + ...
Bij een verband tussen de tijd t (uur) en de prijs p (euro) is een grafiek getekend.
De grafiek is een rechte lijn:
er is sprake van een lineair verband tussen de tijd t en de prijs p
Bij het lineaire verband tussen de tijd t en de prijs p is een tabel gemaakt:
In de tabel zie je een regelmaat: als de tijd t met 1 toeneemt, neemt de prijs p steeds met 20 toe.
Aan deze regelmaat in de tabel kun je zien dat het verband tussen de tijd t en de prijs p een lineair verband is.
Bij het lineaire verband tussen de tijd t en de prijs p hoort de formule:
p = 20t + 40
In de grafiek vind je de getallen 40 en 20 terug.
Het getal 40 geeft aan waar de grafiek de verticale as snijdt. Dit is het begingetal.
Het getal 20 geeft aan hoe steil de grafiek is. Dit is het hellingsgetal*.
In het hellingsgetal zie je hoeveel stappen je omhoog (of omlaag) gaat als je 1 stap naar rechts gaat.
Het hellingsgetal is positief bij een stijgende grafiek en negatief bij een dalende grafiek.
* in plaats van hellingsgetal wordt dit ook wel genoemd: richtingscoëfficiënt.
Bekijk de volgende vier formules:
I p = 20t
II p = 20t + 20
III p = 20t + 40
IV p = 20t + 60
Iedere formule hoort bij een lineair verband tussen de tijd t en de prijs p.
Bij iedere formule is de grafiek getekend.
Je ziet dat de grafieken alle vier evenwijdig lopen:
van alle formules is het hellingsgetal 20.
Bekijk de volgende vier formules:
I p = 20 × t + 40
II p = 10t + 40
III p = −10 × t + 40
IV p = −20∙t + 40
Iedere formule hoort bij een lineair verband tussen de tijd t en de prijs p.
Bij iedere formule is de grafiek getekend.
Alle vier de grafieken snijden de verticale as in het punt (0, 40).
Lineaire vergelijking
In het assenstelsel zie je twee grafieken.
Bij grafiek I hoort de formule:
uitkomst = 3∙getal − 4
Bij grafiek II hoort de formule:
uitkomst = −2∙getal + 6
Bij het snijpunt hoort de lineaire vergelijking:
3∙getal − 4 = −2∙getal + 6
De oplossing van deze vergelijking is: getal = 2
Controle:
I: uitkomst = 3 ∙ 2 − 4 = 6 − 4 = 2
II: uitkomst = −2 ∙ 2 + 6 = −4 + 2 = 2 Klopt!
In lineaire vergelijkingen zijn de variabelen vaak lettervariabelen.
5x + 7 = 2x + 16 is een lineaire vergelijking.
De oplossing van deze vergelijking is x = 3
Controle:
5 × 3 + 7 = 2 × 3 + 16
22 = 22 
Klopt!
Twee bedrijven berekenen hun prijs met de volgende formules:
bedrijf A: prijs = 20∙tijd + 40
bedrijf B: prijs = 15∙tijd + 65
Bij welke tijd zijn de bedrijven even duur?
Bij het snijpunt hoort de lineaire vergelijking:
20∙tijd + 40 = 15∙tijd + 65
De oplossing van deze vergelijking is: tijd = 5
Controle:
bedrijf A: prijs = 20 ∙ 5 + 40 = 100 + 40 = 140
bedrijf B: prijs = 15 ∙ 5 + 65 = 75 + 65 = 140
Beide bedrijven zijn bij 5 uur even duur!
Balansmethode
Een balans is in evenwicht.
Als je van beide kanten van de balans hetzelfde weghaalt, blijft de balans in evenwicht.
Op de balans liggen links vier rode doosjes met een onbekend gewicht en drie gewichtjes van 1 gram.
Rechts liggen twee dezelfde rode doosjes en negen gewichtjes van 1 gram.
Aan beide kanten worden 2 rode doosjes en 2 gewichtjes 
van 1 gram weggehaald. De balans blijft in evenwicht.
Met de rechterbalans zie je dat 2 rode doosjes 6 gram wegen.
1 rood doosje weegt dan dus 3 gram.
Bij het oplossen van een vergelijking kun je
vaak denken aan een balans.
| 4x + 3 |
= |
2x + 9 |
|
| -2x |
|
-2x |
aan beide zijden 2x eraf |
| 2x + 3 |
= |
9 |
|
| -3 |
|
-3 |
aan beide zijden 3 eraf |
| 2x |
= |
6 |
|
| :2 |
|
:2 |
aan beide zijden gedeeld door 2 |
| x |
= |
3 |
|
De vergelijking blijft 'in evenwicht' als je aan beide kanten dezelfde bewerking uitvoert. Deze manier van oplossen wordt de balansmethode genoemd.
In een vergelijking kunnen natuurlijk ook negatieve getallen voorkomen.
Dan is het misschien wat lastiger om aan een balans te denken. Maar de vergelijkingen kun je wel oplossen met de balansmethode:
| 3x - 2 |
= |
-2x + 13 |
|
| +2x |
|
+2x |
aan beide zijden 2x ERBIJ |
| 5x - 2 |
= |
13 |
( + voor 13 mag je weglaten ) |
| +2 |
|
+2 |
aan beide zijden 2 ERBIJ |
| 5x |
= |
15 |
|
| :5 |
|
:5 |
aan beide zijden gedeeld door 5 * |
| x |
= |
3 |
|
* je kunt onthouden: delen door het getal dat voor de variabele staat
Hiernaast zie je een balans.
Links liggen 5 rode blokjes en 3 blokjes van 4 gram.
Rechts liggen 3 rode blokjes en 5 blokjes van 4 gram.
Bij de balans hoort de vergelijking:
5x + 12 = 3x + 20
Bekijk de volgende stappen om te zien hoe je de vergelijking kunt oplossen:
- Haal aan beide kanten evenveel blokjes van 4 gram weg.
Je houdt links 5 rode blokjes over.
Rechts blijven 3 rode blokjes en 2 blokjes van 4 gram liggen: 5x = 3x + 8
- Haal aan beide kanten evenveel rode blokjes weg.
Je houdt links 2 rode blokjes over.
Rechts blijven 2 blokjes van 2 gram liggen: 2x = 8
Ieder blokje weegt 4 gram. De oplossing van de vergelijking is: x = 4
Uitgewerkt met de balansmethode zie het oplossen van
5x + 12 = 3x + 20
er zo uit:
| 5x +12 |
= |
3x + 20 |
|
| -12 |
|
-12 |
aan beide zijden 12 eraf |
| 5x |
= |
3x + 8 |
|
| -3x |
|
-3x |
aan beide zijden 3x eraf |
| 2x |
= |
8 |
|
| :2 |
|
:2 |
aan beide zijden gedeeld door 2 |
| x |
= |
4 |
|
Zo noteer je het ook in je schrift!
Je ziet twee figuren.
De omtrek van het bovenste figuur is 6 ∙ a + 16
De omtrek van het onderste figuur is 2 ∙ a + 28
Als je wilt weten voor welke waarde van a de figuren dezelfde omtrek hebben, moet je de vergelijking:
6a + 16 = 2a + 28 oplossen.
Dat kan met de balansmethode.
Controleer dat de oplossing is: a = 3
Niet-lineaire verbanden
Bij een formule kun je een grafiek tekenen.
Bekijk de formule: uitkomst = 64 / getal
Maak eerst een tabel.
Teken de punten uit de tabel. Verbind de punten met een vloeiende lijn.
De grafiek is geen rechte lijn.
Het verband tussen het getal en de uitkomst is een niet-lineair verband.
De rechthoek PQRS heeft een oppervlakte van 120 cm².
De zijden van de rechthoeken heten a en b.
Voor de rechthoek geldt de formule: a × b = 120.
Bij de formule is een tabel gemaakt.
Bij de formule is een grafiek getekend.
Het verband tussen a en b is een niet-lineair verband.
Kwadratische verbanden
Een voorbeeld van een kwadraat is de oppervlakte van een vierkant.
Als de zijde een lengte x heeft, is de oppervlakte y te berekenen met de formule:
y = x²
Een tabel bij deze formule is:
| x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| y |
0 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
Stel je nu eens voor dat x ook negatief zou kunnen zijn. (Bij een vierkant gaat dat niet.)
Je krijgt dan de volgende tabel:
| x |
-6 |
-5 |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
| y |
36 |
25 |
16 |
9 |
4 |
1 |
De grafiek van dit verband, als je voor x de waarden
van -4 t/m 4 gebruikt, zie je hier rechts:
De grafiek van een kwadratisch verband is een parabool.
De formule y = x² beschrijft een kwadratisch verband.
De grafiek bij deze formule zie je in de figuur. Het is de rode lijn. Je noemt dit een dalparabool. Elke parabool heeft een top. In dit geval is de top het laagste punt (0,0).
Door de top van een parabool kun je een verticale lijn tekenen.
Dat is de symmetrie-as van de parabool.
De formule y = –x² beschrijft ook een kwadratisch verband.
Als je de waarden x = –3 tot en met x = 3 invult, krijg je:
| x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
| y=-x² |
-9 |
-4 |
-1 |
0 |
-1 |
-4 |
-9 |
De grafiek bij de formule y = –x² is blauw getekend. Het is een bergparabool. In dit geval is de top het hoogste punt (0,0) .
Deze dal- en bergparabool hebben beide de verticale as als symmetrieas.
Voor deze symmetrieas geldt: x = 0.
De linker- en rechterhelft van de parabolen zijn elkaars spiegelbeeld.
Soms kan je hier handig gebruik van maken als je al een halve parabool hebt: je kunt dan zonder berekeningen de ander helft erbij tekenen.
Misschien vraag je je af waarom de punten uit de twee tabellen
niet door (rechte) lijnstukjes met elkaar verbonden zijn.
Wel, neem y = x²
Bij x = 2,5 vind je dan y = 2,5² = 6,25.
Trek je een lijnstukje tussen (2,4) en (3,9) , dan gaat dat
bij x = 2,5 door het punt (2,5;6,5).
Dat klopt niet met de waarde die je met de formule hebt uitgerekend. Als je meer punten uitrekent, zie je dat je echt de getekende figuur krijgt.
Naast de kwadratische verbanden zijn er ook nog kwadratische vergelijkingen.
Sommige van die vergelijkingen moet je kunnen oplossen met de balansmetheode.
Andere los je op met behulp van grafieken of met inklemmen.
Vaak kun je vergelijkingen met alleen een kwadraat bij de variabele wel oplossen, bijvoorbeeld:
| 3x² + 15 |
= |
258 |
| -15 |
|
-15 |
| 3x² |
= |
243 |
| : 3 |
|
: 3 |
| x² |
= |
81 |
|
√
|
|
√
|
| x |
= |
9 |
Als oplossen niet lukt kun je gebruik maken van inklemmen (slim proberen), bijvoorbeeld:
3x² + 2x = 72
Je maakt nu een verticale tabel waarin je waarden voor x probeert en kijkt of je lager (<) of hoger (>) dan 72 uitkomt.
| x |
72? |
|
| 5 |
85
|
> |
| 4 |
56 |
< |
| 4,5 |
69,75 |
< |
| 4,6 |
72,68 |
> |
| 4,58 |
72,0892 |
> dichtst bij |
| 4,57 |
71,7947 |
< |
| Je ziet dat je niet het preciese antwoord kunt bepalen, maar je komt er stapsgewijs steeds dichter bij. Op twee decimalen nauwkeurig zou hier je conclusie moeten zijn: x ≈ 4,58 |
Inklemmen kun je vaak gebruiken als je niet direct met behulp van de balansmethode een vergelijking kunt oplossen.
