Einstein ontdekte de beroemde formule \(E=m \cdot c^2\) (in dit hoofdstuk leer je wat de \(\cdot\) en \(c^2\) betekenen). Dankzij die formule kunnen we kernenergie opwekken en - helaas - atoombommen maken. In hoofdstuk 1 ben je zelf al met formules bezig geweest. Zo heb je gezien dat het aantal grensvlakken van een \(n\)-zijdige prisma gelijk is aan \(n +2\).
In de bovenstaande voorbeelden legden Einstein en jijzelf verbanden tussen grootheden. We spreken over een verband als de ene grootheid afhangt van de andere. Mensen zijn gek op het leggen van verbanden. We doen dat zelfs onbewust. Ook jij legt verbanden. Lees maar eens de volgende voorbeelden.
Hoe groter het grasveld, des te langer duurt het maaien. De grootheid maaitijd is afhankelijk van de grootheid grootte van het grasveld.
Hoe langer het telefoongesprek, des te hoger zijn de kosten. De grootheid kosten is afhankelijk van de grootheid beltijd.
Hoe meer hoeken in een veelhoek, des te meer zijden. De grootheid aantal zijden is afhankelijk van de grootheid aantal hoeken.
Wat kan ik straks?
Aan het einde van dit thema kan je:
een regelmaatherkennen en en benoemen
bij een regelmaat een tabelmaken
een regelmaat omzetten naar een formule
een bijzonder kwadratisch verband herkennen en gebruiken: de driehoeksgetallen
formules anders en/of eenvoudiger schrijven, met name als er haakjes in staan
al een beetje met formules rekenen
Wat kan ik al?
Je kunt al een regelmaat herkennen in een (eenvoudige) rij van patronen.
Het thema 'Formules' bestaat uit de volgende onderdelen:
Onderdeel
Tijd (u:min)
Inleiding
0:25
§ Patronen en formules
1:15
§ Kwadraten
0:25
§ Formules en gelijkheden
0:50
§ Driehoeksgetallen
1:15
§ De distributiewetten
3:00
Afsluiting
Samenvatting (goed doornemen)
0:10
Diagnostische toets
0:50
Extra opgaven (keuze)
0:50
Thema-opdracht (keuze)
2:00
Totaal
±11:00
Gewone opgaven en Super opgaven
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
Die Super variant is wel wat moeilijker. Let op: Je hoeft dan niet ook de 'normale' variant te maken.
Je herkent de opgaven waar een Super variant van is aan dit teken
Als je op dit teken klikt, dan ga je naar de Super variant.
In de Super variant staat dit teken
Als je daarop klikt, ga je weer terug naar de gewone opgave.
De Super opgaven staan ook steeds bij elkaar onder aan iedere paragraaf.
Paragrafen
Het eerste waar je bij 'wiskunde' aan denkt zijn misschien toch wel formules. In strips en in films zie je vaak grote borden vol met ingewikkelde formules.
In dit thema gaan we aan de slag met de eerste (eenvoudige) formules: als we een regelmaat ontdekken, dan gaan we dat proberen te vatten in een formule.
Formules gaan in het algemeen over verbanden. We spreken over verbanden als de ene grootheid afhangt van de andere.
In de volgende paragrafen leer je welke formules er horen bij welke soort verbanden en patronen, hoe je het resultaat van een formule kunt uitrekenen en hoe je formules eenvoudiger kunt opschrijven.
In plaats van de \(×\) voor vermenigvuldiging schrijf je voortaan een punt. Dus \(3×5=15\) wordt nu \(3⋅5=15\). En \(12×x\) wordt \(12⋅x\).
Bij het product van een getal en een variabele zet je altijd het getal voorop. Dus in plaats van \(x⋅3\) schrijf je voortaan altijd \(3⋅x\).
Patronen en formules
In de rij met vierkante roosters zit regelmaat.
De formule \(g=3⋅z−2\) geeft het verband tussen de grootheden "aantal gekleurde hokjes" (\(g\)) en "lengte van de zijde" (\(z\)). Omdat de waarde van de letters kan varieren, noemen we deze variabelen. Je kunt een formule controleren door enkele getallen in te vullen.
Om de regelmaat in een rij patronen te ontdekken, kan het helpen om:
het volgende patroon uit de rij te tekenen;
een tabel te maken.
Kwadraten
\(81\) is een kwadraat, want \(81=9⋅9\).
Je kunt ook zeggen: \(81\) is het kwadraat van \(9\).
Je kunt \(9⋅9\) ook schrijven als \(9^2\).
Spreek uit: negen-kwadraat.
Je kunt \(n⋅n\) ook schrijven als \(n^2\).
Spreek uit: \(n\)-kwadraat.
Gelijkheden
De oppervlakte van de rechthoek kun je op twee manieren berekenen:
lengte \(\cdot\) breedte:
\((a+2)⋅(b+3)\)
de som van de delen:
\(a⋅b+3⋅a+2⋅b+6\)
Deze uitdrukkingen zien er verschillend uit, maar na het invullen van willekeurig getallen voor \(a\) en \(b\) geven ze dezelfde uitkomst. Zo krijg je de gelijkheid \((a+2)⋅(b+3)=a⋅b+3⋅a+2⋅b+6\).
Driehoeksgetallen
Bij het driehoeksgetal \(21\) kan een stippenplaatje worden getekend. Het plaatje bestaat uit \(21\) stippen.
Getallen die je door een driehoekig stippenpatroon kunt voorstellen, worden driehoeksgetallen genoemd. Het aantal stippen op de onderste rij heet de basis van het driehoeksgetal.
Het driehoeksgetal met basis \(6\) kun je op twee manieren berekenen:
\(1^e\) manier:
\(1+2+3+4+5+6=21\)
\(2^e\) manier:
\((6+1)⋅6:2=21\)
Dus:
\(1+2+3+4+5+6=(6+1)⋅6:2\)
Het stippenplaatje van het driehoeksgetal met basis \(n\) bestaat uit \(1+2+3+…+n=(n+1)⋅n:2\) stippen.
Distributiewetten
figuur 1
Je kunt de oppervlakte van de rechthoek in figuur \(1\) op twee manieren schrijven:
met haakjes:
\(a⋅(b+c)\)
zonder haakjes:
\(a⋅b+a⋅c\)
Zo vind je de gelijkheid \(a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c\).
figuur 2
Bij de oppervlakte van het donkere stuk in figuur \(2\) hoort de gelijkheid \(a⋅(b−c)=a⋅b−a⋅c\).
De gelijkheden
\(a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c\)
\(a⋅(b−c)=a⋅b−a⋅c\)
heten de distributiewetten.
Thema-opdracht
Een champagnetoren ontstaat door een aantal champagneglazen op elkaar te stapelen. Er ontstaat een tapse vorm met een glas op het hoogste punt.
In deze opdracht gaan we een champagnetoren bouwen in de klas.
We gebruiken geen echte glazzen, maar 1000 kartonnen bekertjes.
Maar eerst gaan we uitrekenen hoe hoog en hoe breed onze toren wordt.
Het arrangement Thema: Formules hv is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Het thema 'Formules' is ontwikkeld door auteurs en medewerkers van de Wageningse Methode.
Fair Use
In de Stercollecties van VO-content wordt gebruik gemaakt van beeld- en filmmateriaal dat beschikbaar is op internet. Bij het gebruik zijn we uitgegaan van fair use. Meer informatie: Fair use
Mocht u vragen/opmerkingen hebben, neem dan contact op via de helpdesk VO-content.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Stercollectie Wiskunde 2.0 HV op basis van Wageningse Methode
Leerniveau
HAVO 1;
VWO 1;
Leerinhoud en doelen
Rekenen met variabelen;
Kwadratische verbanden;
Grafieken, tabellen, verbanden en formules;
Einstein ontdekte de beroemde formule 
Aan het einde van dit thema kan je:
Je kunt al een regelmaat herkennen in een (eenvoudige) rij van patronen.
Het thema 'Formules' bestaat uit de volgende onderdelen:
Voor een aantal opgaven in dit hoofdstuk is een Super variant beschikbaar.
Het eerste waar je bij 'wiskunde' aan denkt zijn misschien toch wel formules. In strips en in films zie je vaak grote borden vol met ingewikkelde formules.
bestaat uit 
Een champagnetoren ontstaat door een aantal champagneglazen op elkaar te stapelen. Er ontstaat een tapse vorm met een glas op het hoogste punt.
Je gaat nu een aantal gevarieerde opgaven maken waarin je kunt laten zien of je de geleerde stof uit de voorgaande paragrafen beheerst.
Je ziet hier twee Extra oefeningen. Je hoeft er maar één te doen.
