2KGT H02 Vergelijkingen

2KGT H02 Vergelijkingen

Inleiding

2H02.0 Inleiding ..................................................................................................
Het spel ganzenbord ken je vast wel. Hiernaast zie je een stukje van een speelbord voor ganzenbord. Op de hokjes staan formules met een 'x'. De 'x' staat voor het aantal ogen dat je gooit.
Sta je bijvoorbeeld op het hokje met de formule 'x + 2' en je gooit '3', dan mag je 3 + 2 = 5 stappen vooruit. Sta je op het hokje met de formule '2 - x' en je gooit '3', dan krijg je als uitkomst 2 - 3 = -1 en dan moet je 1 hokje terug.
Enzovoorts...
Stel je staat nog 8  hokjes voor de finish. Je staat op het hokje met de formule '2x + 2'. Je wilt weten hoeveel ogen je moet gooien om precies op de finish te komen. De uitkomst van de formule 2x + 2 moet dus 8 zijn.

Om het antwoord op dat soort vragen te kunnen geven, moet je eigenlijk weten wat een vergelijking is en moet je vergelijkingen kunnen oplossen en dat ga je leren in dit hoofdstuk.

Leerdoelen

2H02.0 Leerdoelen .............................................................................................................................................................................

Aan het eind van dit thema:

  • weet je wat lettervariabelen zijn en weet je hoe je lettervariabelen kunt gebruiken in een formule;
  • weet je wat een vergelijking is;
  • weet je wat wordt bedoeld met de oplossing van een vergelijking en weet je hoe je kunt controleren of een getal de oplossing van een vergelijking is.
  • weet je wat een rekenschema is en kun je rekenschema's gebruiken bij het oplossen van vergelijkingen
  • weet je dat je gelijke lettervariabelen bij elkaar kunt optellen en van elkaar kunt aftrekken;
  • weet je dat het ×-teken tussen getallen en variabelen vaak weggelaten wordt; in plaats van 2 × a mag je ook 2a schrijven.
  • weet je dat je de 1 in 1a mag weglaten. Dus  1a  is hetzelfde als  a

 

 

 

§1 Voorkennis

Uitleg

Als voorkennis bij het hoofdstuk lineaire formules herhalen we onze kennis over het maken en invullen van een tabel en het tekenen van een grafiek bij de tabel.


Het tekenen van een tabel.

Een tabel bestaat uit twee onderdelen: invoer en uitvoer.
Voor invoer wordt er binnen wiskunde vaak de letter X gebruikt, voor de uitvoer de letter Y. Deze letters zie je dan ook vaak in tabellen of formules terug komen.

 

 

 

Hierboven zie je een tabel getekend. De invoer zet je  op de bovenste regel van je tabel, De uitvoer komt op de onderste regel. Je ziet dat er voor invoer al 4 getallen zijn ingevuld. Om een uitvoer in te kunnen vullen moeten we eerst wat te berekenen hebben.

Een voorbeeld:

In het machientje hieronder zie je dat wanneer je iets invoert, je dat eerst vermenigvuldigd met 3 en daarna er nog 4 bij op telt.

Vul je voor invoer (x) het getal 2 in dan krijg je:         Vul je voor invoer (x) het getal 7 in dan krijg je

2 \( \times 3 + 4 =\)10                                      7 \( \times 3 + 4 =\)25

In plaats van allerlei losse berekeningen opschrijven kun je dit ook netjes in een tabel invullen. Je krijgt dan de volgende tabel.

Het fijne aan werken met een tabel is dus dat je niet al je berekeningen hoeft op te schrijven, het is overzichtelijk en je kunt vaak gebruik maken van je tabel om verder te rekenen.

 

Grafiek tekenen bij een tabel.

Het tekenen van een grafiek bij een tabel is een handeling, iets dat je moet kunnen laten zien. Dit leer je vooral door te oefenen en te doen. Kijk maar eens naar de twee fimpjes onder aan deze uitleg. Hierin worden de stapjes voor het tekenen van een grafiek bij een tabel uitgelegd en voorgedaan. Teken ook de grafiek met het filmpje mee. Je kunt dus aan je docent de door jou getekende grafiek laten zien.

 

 

Hoe teken je een grafiek bij een tabel (1)

Hoe teken je een grafiek bij een tabel (2)

Opgaven

 

.1. Machientje                                                         
Bekijk het machientje hieronder. Schrijf daarna netjes je berekeningen op.
  1. Voer het getal 5 in, bereken de uitkomst.
  2. Voer het getal 9 in, bereken de uitkomst.
  3. Neem de tabel over in je schrift en vul deze netjes in.

 

.2. Machientje 2                                                           
Bekijk het machientje hieronder. Schrijf daarna netjes je berekeningen op.
  1. Voer het getal 8 in, bereken de uitkomst.
  2. Voer het getal 12 in, bereken de uitkomst.
  3. Neem de tabel over in je schrift en vul deze netjes in.

 

.3. Tabel invullen                                                         
Je kunt natuurlijk ook tabellen invullen wanneer je niet werkt met een machientje maar bijvoorbeeld met een formule
\(invoer \Longrightarrow \times 4 \Rightarrow + 2= uitvoer\)
  1. Voer het getal 2 in, bereken de uitkomst.
  2. Voer het getal 0 in, bereken de uitkomst.
  3. Voer het getal -3 in, bereken de uitkomst.
  4. Neem de tabel over in je schrift en vul deze netjes in.

 

 

.4. Tabel invullen 2                                                       
Vul onderstaande tabel in. Gebruik het bijbehorende pijlenschema
\(invoer \Longrightarrow :2 \Rightarrow + 11= uitvoer\)

 

.5. Een verhaaltjes opgave                                             
Ook bij een verhaaltje kun je natuurlijk een tabel invullen.

Mikail heeft voor zijn verjaardag een schildpad gekregen. Elke maand weegt en meet Mikail zijn schildpad om de groei van het diertje bij te houden.

Toen Mikail de schildpad kreeg woog het diertje 320 gram. Elke maand wordt de schildpad 40 gram zwaarder.
  • Houdt voor Mikail een tabel bij met daarin de groei van zijn schildpad gedurende het eerste jaar.
  • Maak handige stapjes zodat je tabel niet te lang wordt.
  • Denk ook goed na over de woordjes die je voor invoer en uitvoer wilt gebruiken.

 

 

.6. Teken de grafiek bij de tabel                                     
Hieronder zie je een ingevulde tabel en een leeg assenstelsel.

  1. Neem het assenstelsel over in je schrift.
  2. Denk na over de verdeling van de y-as. Maak handige stapjes en vul bij de y-as deze stapjes in.
  3. Vul ook de stapjes op de x-as in.
  4. Teken de punten uit je tabel in je assenstelsel.
  5. Verbind de punten met een lijn, zo ontstaat er een grafiek.

 

.7. Scheurlijntje                               
Hieronder zie je de grafiek van het aantal woningen dat in rotterdam per jaar is bijgebouwd.

  1. In de grafiek is een scheurlijntje (zaagtand) getekend. Waarom zou de maker dit gedaan hebben?
  2. Lees uit de grafiek af welke informatie er bij de x-as is verwerkt.
  3. Lees in de grafiek af hoeveel woningen er in het jaar 1995 zijn bijgebouwd.
  4. Teken een tabel bij de grafiek.

 

.8. Een persoonlijke trainer inhuren             
Hieronder zie je de tabel die hoort bij de prijs van het huren van een persoonlijke trainer.

  1. Kijk goed naar de gegevens van de y-as. Hoe groot ga je de stapjes op de y-as maken? Kun je ook een scheurlijntje gebruiken?
  2. Teken een assenstelsel in je schrift die pas bij de tabel hierboven. Maak je assen niet langer dan 10 cm.
  3. Teken de punten die volgen uit de tabel in je assenstelsel. Verbind de punten met een lijn zodat er een grafiek ontstaat.

 

.9. grafiek bij tabel tekenen       
Hieronder zie je wederom een tabel.

  1. Kijk goed naar de gegevens van de y-as. Hoe groot ga je de stapjes op de y-as maken? Kun je ook een scheurlijntje gebruiken?
  2. Teken een assenstelsel in je schrift die pas bij de tabel hierboven. Maak je assen niet langer dan 10 cm.
  3. Teken de punten die volgen uit de tabel in je assenstelsel. Verbind de punten met een lijn zodat er een grafiek ontstaat.

 

 

 

Uitwerkingen

§2 Wat is een lineaire verband

Uitleg

Een formule is een wiskundige zin met variabelen.
Variabele zijn woordjes of letters in je verband (formule).
Bijvoorbeeld:  Kosten =  18 + 6 x aantal personen    of     
R = 3k - 4

Kijk je naar het verband tussen het aantal personen en de kosten:
Kosten =  18 + 6 x aantal personen
Dan kun je er het volgende over zeggen:
'Ben je met meer personen, dan moet je ook meer betalen'.
'Neemt het aantal personen af of toe, dan nemen de kosten ook af of toe'.

De kosten en het aantal personen hebben een verband met elkaar. Veranderd de ene, dan veranderd de andere mee.

 

Je gebruikt een formule om het verband tussen variabelen te beschrijven of om een rekenregel kort op te schrijven.

Wat is nu een lineair verband?

Als er sprake is van een lineair verband, dan heb je een gelijke toename of afname. Je spreekt van regelmaat, een soort herhaling.

 

Hoe herken je een lineair verband?

  • In een grafiek

De grafiek van een lineair verband is een rechte lijn of losse punten die op een rechte lijn liggen.

 

  • In een tabel.

In een tabel van een lineair verband is er sprake van gelijke stappen. Van regelmaat, herhaling. Er komt telkens even veel bij of gaat telkens even veel af.

 

  • Aan de formule zelf.

Een lineaire verband heeft een vaste opbouw:

y = a x + b

Elke letter in deze vaste opbouw heeft een eigen functie. Dat zie je in het plaatje hieronder.

Het is handig om bovenstaande schema uit het hoofd te leren, je gaat het nog vaak gebruiken.
 

 

Opgaven

.1. Benzine verbruik              
In de grafiek hieronder zie je het verband tussen het bezineverbruik en de afgelegde afstand in km.
  1. Hoe zie je aan de grafiek dat het verband tussen het bezine verbruik en de afgelegde afstand een lineair verband is?
  2. Lees uit de grafiek af hoeveel kilometer je kunt rijden met 15 liter benzine. Noteer je antwoord in je schrift.
  3. Vul in: De auto rijdt 1 : ....
  4. Hoeveel kilometer kun je rijden met 7 liter benzine?

 

.2. Een kaars branden         
Een kaart wordt aangestoken. In de grafiek zie je het verband tussen de brandtijd en de lengte van de kaars weergegeven.
Afbeeldingsresultaat voor brandtijd kaars wiskunde
  1. Is het verband tussen de brandtijd en de lengte van de kaars een lineair verband? Hoe zie je dat aan de grafiek. Noteer je antwoord in je schrift.
  2. Lees uit de grafiek af hoeveel hoe lang de kaars nog is na 4 uur branden
  3. Hoe denk je dat de kaars er uitzag toen deze werd aangestoken. Maak een schets met potlood.
  4. Bij welke vorm van de kaars zal het verband tussen de brandtijd en de lengte van de kaars wel een lineair verband zijn?

 

.3. Gat in ton.     
Joachim vult twee grote tonnen met water. Helaas heeft Joachim niet gezien dat deze twee tonnen lek zijn. Daarom stroomt er langzaam water uit de ton. De grafiek geeft het verband tussen de inhoud van de tonnen en de tijd in minuten weer
  1. Hoe kun je aan beide grafieken zien dat we hier te maken hebben met een lineair verband?
  2. Welke ton is het eerste leeg?
  3. Welke ton heeft de grootste inhoud nadat deze gevuld zijn?
  4. Na hoeveel tijd zit er in beide tonnen even veel water?

 

.4. Folders bezorgen     

Mirac bezorgt iedere week voor het bedrijf van zijn vader folders in de wijk rond. Mirac krijgt van zijn vader 7,5 cent per folder die hij rondbrengt. Bekijk de tabel die hoort bij de verdiensten van Mirac.
  1. Tussen welke variabele is er in de tabel een verband weergegeven?
  2. Neem de tabel over in je schrift. Vul de tabel verder in.
  3. Is het verband lineair? Leg je antwoord uit.

 

.5. Reeks met lucifers.  
Met lucifers kun je allerlei figuurtje leggen. Het verband tussen het aantal lucifers en het aantal driehoeken kun je weergeven in een tabel
  1. Neem de tabel over en vul hem verder in.
  2. Geef met boogjes de regelmaat in je tabel weer.
  3. Maak de zinnen af: Als je een extra driehoek aan de figuur legt, dan komen er  ..... lucifers bij.
  4. Is het verband tussen het aantal lucifers en de driehoeken lineair? Hoe zie je dat aan de tabel?

 

.6. Oppervlakte vierkant.
Als je van een vierkant de zijden weet, dan kun je de oppervlakte uitrekenen. Bekijk de tabel.
  1. Tussen welke variabele is in de tabel een verband weergegeven?
  2. Neem de tabel over en vul hem verder in.
  3. Is het verband een lineair? Waarom wel of waarom niet?

 

.7. Spelcomputer huren.

Bij Gamespot kun je spelcomputers huren. Gamespot berekent het huur bedrag met de volgende formule:
huurprijs = 12,50 + 2,50 x aantal dagen

de huurprijs is in euro.
  1. Je wilt de spelcomputer 6 dagen huren. Bereken de huurprijs voor zes dagen. Noteer je berekening in je schrift.
  2. Neem de tabel over en vul hem verder in.
  3. Teken de boogjes bij je tabel.
  4. Teken een grafiek bij de tabel.
  5. Is het verband tussen het aantal dagen en de huurprijs lineair?

 

 

.8. Cijfers voor de wiskundetoets.

Bij een wiskundetoets kon je maximaal 45 punten halen.
De docent berekent jouw cijfer dan met de volgende formule:
\(cijfer = {1\over 5} \times aantal \space punten + 1\)

Het cijfer rond je af op 1 decimaal.
  1. Bereken het cijfer dat je haalt wanneer je 28 punten hebt behaald.
  2. Nizar beweert dat wanneer je het dubbele aantal punten hebt behaald je ook een twee keer zo hoog cijfer hebt. Laat met een berekening zien of Nizar gelijk heeft.
  3. Neem de tabel over en vul hem in.
  4. Teken de boogjes bij je tabel.
  5. Is hier sprake van een lineair verband?

 

.9. Stippenfiguur.

Bij de reeks met stippenfiguren hieronder.

Als je het nummer van de figuur weet kun je met behulp van een formule uitrekenen hoeveel stippen deze figuur groot is.

\(S = n \times n + n\)

Hierin is S het aantal stippen en N het nummer van de figuur
  1. Wat denk je, hoort de formule bij een lineair verband?
  2. Bereken het aantal stippen dat figuur nummer 6 heeft. Schrijf je berekening op.

  1. Neem de tabel over en vul hem verder in.
  2. Teken de boogjes bij je tabel..
  3. Kijk nu nog eens naar je antwoord bij vraag a. Had jij deze vraag goed?

 

 

Uitwerkingen

§3 begingetal en stapgrootte

Uitleg

Het begingetal.

Het begingetal geeft de begin hoeveelheid aan. Dit wordt ook wel het vaste bedrag of het startgetal genoemd.

Je vindt het begingetal door het getal nul in je formule in te vullen.
voorbeeld:
\(y = 3 + 2\space x\)

Vul je voor X het getal nul in dan krijg je
\(y = 3 + 2 \times 0 = 3\)
Het begingetal in deze formule is 3.

 

In een lineaire formule is het losse getal (het getal zonder letter) het begingetal.

In het laatste voorbeeld is het begingetal een keer vooraan in de formule gezet.

De stapgrootte

De stapgrootte geeft aan hoeveel er per eenheid bijkomt of afgaat.


Je kunt dit vooral goed in de tabel of in de grafiek zien

 

De stapgrootte heeft in de tabel te maken met de stapjes die zich telkens herhalen.
Maak je een stapje van 1 op de bovenste rij, dan komt er in de onderste rij een stapje van 20 bij.
Er is sprake van regelmatige toename


In de tabel hierboven zie je dat wanneer er één uur bij komt de prijs met 20 toeneemt.
de stapgrootte is dus +20 euro per uur.

Maak je in de tabel hierboven een stapje van +1 in de bovenste rij, dan neemt de hoeveelheid in de onderste rij met 4 af. Er is sprake van regelmatige afname.


*Belangrijk is dat je de stapgrootte altijd in stapjes van 1 berekend.

In de grafiek kun je de stapgrootte ook goed zien. Vaak wordt er in plaats van het begrip stapgrootte het begrip hellingsgetal gebruikt. Als je naar de grafieken kijkt dan heb je snel door waarom we de stapgrootte ook wel het hellingsgetal noemen.

Ga je een stapje van één naar rechts (x-as) dan gaat de grafiek twee omhoog( y-as).
Het hellingsgetal is +2 Bij een stijgende lijn hoort een positief hellingsgetal. 

 

 

Ga je een stapje van één naar rechts (x-as) dan gaat de grafiek twintig omlaag( y-as).
Het hellingsgetal is -20 Bij een dalende lijn hoort een negatief hellingsgetal. 

Voorbeeld

Een kaars met een lengte van 30 cm, brandt in 6 uur helemaal op.

Er is sprake van een lineaire verband.

 

In de tabel zie je dat bij gelijke stappen van tijd, gelijke stappen van lengte horen. Er is sprake van regelmatige afname.

Per uur neemt de lengte met 5 af. In de tabel kun je ook het begingetal aflezen, kijk maar onder nul. Het begingetal = 30 cm.

De grafiek die bij de tabel hoort is een rechte lijn.

Neemt de tijd met één uur toe, dan daalt de lijn met 5 cm. Je kunt in de grafiek ook het begingetal aflezen. Kijk maar bij x=0 de grafiek is daar 30 cm hoog. Het begingetal =30 (op een hoogte van 30 snijdt de grafiek de y-as)

Opgaven

.1. Huurprijs berekenen
Shariq wil graag een scooterhuren.
Verhuurbedrijf Go-Fast rekent hiervoor de volgende prijs:
Verzekeringskosten = €50, prijs per dag = €25. Bekijk ook de tabel
  1. Neem de tabel over en geef daarbij de stapjes aan.
  2. Is hier sprake van een lineair verband?
  3. Noteer de stapgrootte/hellingsgetal.

 

.2. Stapgrootte / hellingsgetal uitrekenen.
Hieronder zie je 2 tabellen.  Bij beide tabellen hoort een lineair verband (er is sprake van regelmaat in de tabellen). 
Reken bij beide tabellen de stapgrootte/hellingsgetal uit.

 

.3. Stapgrootte / hellingsgetal uitrekenen.
Hieronder zie je 2 tabellen.  Bij beide tabellen hoort een lineair verband (er is sprake van regelmaat in de tabellen).
Reken bij beide tabellen de stapgrootte/hellingsgetal uit.

 

.4. Huurprijs berekenen
Dunja heeft een aantal uur achter elkaar de temperatuur 's middags gemeten. De resultaten zie je in de tabel.
  1. Teken de grafiek bij de tabel.
  2. Bereken de stapgrootte/hellingsgetal
  3. Teken met potlood de stapgrootte/hellingsgetal net als in de uitleg in je grafiek.

 

.5. Hellingsgetal/stapgrootte berekenen.
De grafiek hieronder geeft het verband tussen de tijd en de temperatuur weer.

Link naar de grafiek hieronder.

Temperatuursgrafiek
  1. Hoort er bij deze grafiek een positief of een negatief hellingsgetal/stapgrootte?
  2. Bereken het hellingsgetal/stapgrootte bij de grafiek.
  3. Lees het begingetal af.

 

 

.6. Huurprijs berekenen
Matthijs huurt een quad in de grafiek zie je wat dit gaat kosten per kilometer. De rode grafiek hoort bij verhuurbedrijf Quadcore, de blauwe grafiek bij bedrijf Q-wheels

Link naar de grafiek hieronder.

Huur quad.

 
  1. Bereken het hellingsgetal dat hoort bij het bedrijf Quadcore.
  2. Je huurt een Quad bij Quadcore. In totaal rij je er 225 km mee. Laat met een berekening zien hoeveel dit kost
  3. Noteer het begingetal van Q-wheels
  4. Matthijs rijdt in totaal 180 km met de quad. Welk bedrijf adviseer jij aan Matthijs?

 

.7. Huurprijs berekenen
Als je op de link klikt zie je drie grafieken. Een rode (grafiek A) een groene (grafiek B) en een blauwe (grafiek C).
Drie grafieken.
  1. Bereken het hellingsgetal van grafiek A
  2. Van welke grafiek is het hellingsgetal negatief? Hoe zie je dat aan de grafiek?
  3. Lees het begingetal van grafiek C af.
  4. Is het hellingsgetal van grafiek B groter of kleiner dan het hellingsgetal van grafiek A. Laat dit met een berekening zien.

Uitwerkingen

§4 Een formule maken

Uitleg

Wanneer je het begingetal en de stapgrootte/hellingsgetal in een verhaaltje, tabel of grafiek herkent of kunt vinden. Dan kun je een lineaire formule maken.

 

Een lineaire formule heeft namelijk een vast voorschrift (een vast invulschema).
Elke lineaire formule ziet er hetzelfde uit.
Dit is handig, want dan kun je lineaire formules makkelijk herkennen en je kunt als je het voorschrift (het invulschema) kent ook zelf een lineaire formule maken bij een verhaaltje, tabel of formule.

 

Leer het vaste voorschrift van een lineaire formule uit het hoofd.

Zodra je dit schema kent, dan moet het nog leren invullen.
Hieronder volgen drie voorbeelden.

 

Formule bij context (verhaaltje)

Voorbeeld 1. Formule bij een context (verhaaltje)

Shanna werkt voor een pizzabakker.
De pizzabakker betaalt Shanna iedere week loon.

Per gewerkt uur krijgt Shanna € 2,50. Aan het eind van de week krijgt Shanna uit de fooienpot nog eens € 6,-.

hanna werkt deze week 8 uur.
Volgende week werkt zij 6 uur en in de vakantieweek werk Shanna wel 21 uur.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Herken jij in het verhaaltje een vorm van regelmaat (herhaling), er komt iedere keer hetzelfde bij, dan hoort er een lineaire formule bij die context (verhaaltje).

 

Shanna werkt voor een pizzabakker.
De pizzabakker betaalt Shanna iedere week loon.
Per gewerkt uur krijgt Shanna €2,50. Aan het eind van de week krijgt Shanna uit de fooienpot nog eens €6,-.  

 

In het voorbeeld krijgt Shanna per uur €2,50 (dit herhaalt zich dus elk uur)
en aan het eind van de week €6,- (eenmalig, een vast bedrag)

De formule wordt dan dus:

y = ax + b         Verdiensten =  .... x  aantal uren +  ....

                         Verdiensten = 2,50 x aantal uren + 6

 

 

Formule bij tabel

Voorbeeld 2. Formule bij een tabel.

Bij een tabel werkt het net zo als bij het verhaaltje. Herken je regelmaat (herhaling) in de tabel, dan hoort er een lineaire formule bij.  

 

Bij de verdiensten van Waïs hoort onderstaande tabel.

Deze tabel lijkt niet meteen regelmatig. Maar wanneer je de boogjes bij de tabel tekent zie je het misschien al iets duidelijker.

Als nog, het lijkt niet echt regelmatig. Maar wanneer je de stapjes boven allemaal even groot maakt, dan worden de stapjes onder ook allemaal even groot. Kijk maar.

\({3 euro \over 1 uur} = 3\)    en    \( {9 euro \over 3 uur} = 3\)    en   \({6 euro \over 2 uur} = 3\)  en   \({12 euro \over 4 uur} = 3\)

 

Wanneer je het getal bij het onderste boogje deelt door het getal bij het bovenste boogje krijg je telkens dezelfde uitkomst.   Elk stapje (van 1 uur) is 3 euro waard.

De stapgrootte is dus 3  (per uur krijgt hij 3 euro)

 

Het begingetal kon je al vinden in een tabel. Deze staat onder nul in je tabel.

 

Je hebt het begingetal afgelezen (onder nul in je tabel) en je stapgrootte/hellingsgetal berekend, dan kun je nu de formule gaan maken.

 

  1. Noteer het vaste formulevoorschrift in je schrift.
    y = stapgrootte • x + begingetal
  2. Vul voor de y en voor de x de woordjes van de y-as en x-as in.
  3. Lees het begingetal af en vul dit op de goede plek in.
  4. Bereken de stapgrootte en vul deze in.
    - Teken de boogjes bij de tabel.
    - Noteer de verschillen per boogje.
    - Maak de deelsom \(onderste \space boogje \space(y-as) \over bovenste \space boogje \space (x-as)\) en noteer het antwoord.
  5. Controlleer je formule door er 2 punten uit je tabel me na te rekenen.

 

 

 

 

 

 

Formule bij grafiek

Voorbeeld 3.  Formule bij een grafiek.

 

Bekijk eerst het filmpje bij deze uitleg. Daarna kun je de uitleg hieronder gebruiken als samenvatting. (neem de 5 stappen over in je schrift!)

 

Hoe maak je een formule bij een grafiek.

  1. Schrijf je vaste formule voorschrift op.

          y = hellingsgetal •  x  +  begingetal

 

  1. Noteer op de plek van de y  de woordjes van de y-as en op de plek

        van de x  de woordjes van de x-as.

 

  1. Lees het begingetal af uit je grafiek en vul dit in.

 

  1. Bereken het hellingsgetal:
    - zoek 2 roosterpuntjes.
    - kijk wat er gebeurt (hoeveel horizontaal / hoeveel verticaal)
    - Maak de deelsom \(verticaal \over horizontaal\)
    - vul nu je hellingsgetal op de juiste plek in je formule in.

 

  1. Controleer of je formule klopt door 2 punten uit je grafiek na te rekenen.


Opgaven

. 1. Taxibedrijf
Een taxibedrijf laat de prijs voor een rit afhangen van het aan kilometers van de rit. In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen de afstand in km en de ritprijs in euro

  1. Hoe kun je aan de grafiek zien dat het verband tussen de afstand en de ritprijs een lineaire verband is?
  2. Neem de tabel over en vul hem verder in.

  1. Vul in:
    Telkens als de afstand met 1km toeneemt, neemt de ritprijs met
    1.  ... ... euro toe. Het hellingsgetal van de grafiek is 2. ... ...
  2. In welk punt snijdt de grafiek de y-as (verticale as) noteer het coördinaat in je schrift.
  3. Maak de formule bij dit verband.

 

. 2. Roosterpunten uit de grafiek
In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen het aantal fouten en het cijfer.
De grafiek is een rechte lijn. Bij de grafiek hoort een lineaire formule.

  1. Vul in: De grafiek gaat door de punten (0 , ...) en (... , ...)
    Noteer twee roosterpunten die je in de grafiek kunt vinden.
  2. Bereken het hellingsgetal (stapgrootte) van de grafiek.
  1. Hoe kun je aan het hellingsgetal zien dat de grafiek dalend is?
  2. Maak een passende formule bij de grafiek.

 

 

. 3. Regelmaat herkennen.
Jolijn fietst elke dag naar school. Zonder verkeerslichten doet Jolijn 10 minuten over de route naar school. Helaas komt Jolijn heel veel verkeerlichten tegen op haar weg van school naar huis. Per rood verkeerslicht moet zij gemiddeld 45 seconden wachten.  Als Jolijn weet hoeveel rode verkeerslichten zij onderweg tegen zal komen dan kan zij berekenen hoe lang ze onderweg is naar school.

 
  1. Op maandag komt Jolijn 2 rode verkeerslichten tegen. Hoelang duurt de reis nu van huis naar school? Noteer een berekening in je schrift.
  2. Op dinsdag komt ze 5 rode verkeerslichten tegen. Hoe lang duurt de reis van huis naar school nu? Noteer een berekening in je schrift.
  1. Welk getal in het verhaaltje is het vaste getal (het begingetal?)
  2. Wel getal in het verhaaltje is de stapgrootte?
  3. Maak een formule waarmee Jolijn kan uitrekenen hoe lang zij onderweg is van huis naar school.
  4. Op vrijdag heeft Jolijn er 16 minuten en 45 seconden over. Hoeveel rode verkeerslichten is Jolijn nu tegen gekomen?

 

. 4. Scheikundeproef

Tijdens een scheikundeproef houden de leerlingen hun metingen bij. Bij elke meting noteren zij het aantal ml dat van de stof overblijf.

In de tabel hieronder zie je de uitkomsten van de metingen.

 

  1. Wanneer je de grafiek zou gaan tekenen, dan gaat de grafiek door
    het punt (0, ...)
  2. Vul in:
    Telkens als je een nieuwe meting doet, neemt de inhoud met .... af.
  3. Maak een formule bij de tabel.
  4. Controleer je formule door twee waarden uit de tabel na te rekenen.
    Noteer de berekeningen in je schrift.

 

. 5. Folders

Redouan brengt iedere woensdag folders rond. Hoeveel hij verdient, hangt af van het aantal folders dat hij rondbrengt.
Bij het verband tussen het aantal folders en de verdiensten is een grafiek getekend. In de grafiek zie je dat Redouan €7,50 verdient als hij 100 folders rondbrengt.

 

 

  1. Noteer het begingetal van de grafiek in je schrift.
  2. Lees in de uitleg de stapjes voor het berekenen van het hellingsgetal nog eens door en noteer de stappen in je schrift.
  3. Bereken het hellingsgetal van deze grafiek.
  4. Maak voor Redouan een formule bij het verband tussen het aantal folders en zijn verdiensten.

 

 

. 6. Festival

Maya organiseert een groot feest. Ze heeft voor 1200 euro een grote zaal gehuurd, een Dj gehuurd voor 500 euro en voor 600 euro aan drankjes en hapjes ingekocht. In totaal heeft zij dus 2300 euro uitgegeven. 
Daarom vraag Maya entree geld voor het feest. Per bezoeker vraagt Maya €12,50. 

Maya wil graag uitrekenen hoeveel bezoekers er minimaal moeten komen om uit de kosten te komen. Ook zou Maya het leuk vinden winst te maken zodat ze vaker feesten kan organiseren

 

  1. Wat is het bedrag dat Maya uitgeeft voor de organisatie voor het feest?
  2. Welk bedrag rekent Maya voor een kaartje voor het feest?
  3. Noteer het vaste formulevoorschrift van een lineaire formule in je schrift.
  4. Maak voor Maya een formule waarmee zij kan berekenen hoeveel winst/verlies zij maakt.
  5. Maakt Maya winst als er 200 bezoekers naar het feest komen? Noteer de berekening in je schrift.
  6. Hoeveel bezoekers moeten er minimaal naar Maya's feest komen om geen verlies te maken? Noteer de berekening in je schrift.

 

. 7. Reparatie kosten

De scooter van Rhama is stuk. Er moet een onderdeel vervangen worden. Voor het repareren van de scooter moet je naast een nieuw onderdeel ook nog de arbeidskosten betalen.

In de tabel zie je wat de kosten zijn als de reparatie twee kwartieren duurt
en wat de reparatie kost als het 4 kwartieren duurt.

 

  1. Op het werkblad staat de tabel. Vul de ontrekende waarden in.
  2. Zet boogjes bij de tabel en bereken de verschillen.
  3. Bereken de stapgrootte die bij de tabel hoort, noteer het in je schrift.
  4. Lees het begingetal af en noteer het in je schrift.
  5. Schrijf het vaste formulevoorschrift op in je schrift.
  6. Maak de formule die hoort bij de tabel.
  7. Controleer je formule door 2 waarden uit de tabel na te rekenen. Noteer de berekeningen in je schrift.

 

. 8. In de krant.

Lees het krantenartikel hieronder en bekijk de grafiek die in het krantenartikel staat.

 

 

  1. Als we voor de lengte als begin het jaar 1900 nemen. Welke waarde voor lengte hoort er voor de gemiddelde Nederlanders dan bij? (noteer het begingetal)
  2. In 1996 was de gemiddelde Nederlander al 1,75. Hoeveel centimeter is  de gemiddelde lengte van de Nederlander vanaf 1900 toegenomen? Hoeveel millimeter is dat? 
  3. Bereken hoeveel millimeter de gemiddelde lengte van de Nederlanders per jaar is toegenomen.
  4. Maak een formule die bij het krantenartikel past.
  5. Reken de gemiddelde lengte van de Nederlander in het jaar 1950 uit.
  6. Bereken met de formule hoe lang de gemiddelde Nederlander in het jaar 2020 volgens de formule zal zijn.

 

Uitwerkingen

§5 Oplossen met grafieken

Uitleg

2H05.3 Uitleg          .............................................................................................................................
In plaats van geschreven teksten en een koppeling naar de uitleg,
vandaag 2 filmpjes.

 

Bekijk eerst dit filmpje. Hierin wordt uitgelegd wat een vergelijking is.

 

 

 

Heb je het eerste filmpje gezien, misschien zelfs een aantekening
gemaakt die je makkelijk kunt leren, dan is het tijd voor de tweede uitlegvideo.

 

Begin dan nu aan de opgaven.

Opgaven

2H05.3 Opgaven ...................................................................................................................

 

 

1    Oplossen met een grafiek

 

Je besluit voor komend schooljaar zelf ook je schoolspullen online te kopen. Voor een pen betaal je € = 0,30. Behalve de prijs per pen betaal je ook nog €5,- aan verzendkosten.

Bij het bestellen van de pennen hoort de woordformule:

Kosten in € = 5 + 0,30 x aantal pennen.

  1. Maak van de woordformule een formule met letters. Laat ook het keerteken uit je formule weg.
  2. Teken een tabel bij de grafiek. Maak voor het aantal pennen
    stapjes van 2. Ga door tot je 10 pennen hebt berekend.
  3. Teken de grafiek bij de tabel.
  4. Je hebt voor je pennen €6,50 te besteden. Lees uit de grafiek af hoeveel pennen je nu kunt kopen. (teken ook de lijnen hiervoor in je grafiek zoals in het filmpje is voorgedaan).

 

2    Grafiek aflezen

 

In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen het aantal gewerkte uren (x-as) en de verdiensten in euro (y-as)

Bij de grafiek hoort de lineaire formule
Verdiensten = 10 + 5 x aantal uren
 
  1. Je hebt 20 euro verdient. Lees in de grafiek af hoeveel uur je daarvoor hebt gewerkt. Noteer het antwoord in je schrift.
  2. Je hebt 40 euro verdient. Lees in de grafiek af hoeveel uur je daarvoor hebt gewerkt. Noteer het antwoord in je schrift.
  3. Teken een tabel bij de grafiek. Maak op de x-as stapjes van 2, ga door tot je 10 werkuren in je tabel hebt staan.
  4. Je hebt 60 euro verdient. Dit bedrag kun je niet aflezen in de grafiek. Gelukkig kun je met de tabel wel laten zien hoeveel uur je daar voor moet werken. Omcirkel dit antwoord met potlood in je tabel.
  5. Je hebt 100 euro verdient, maak met behulp van de formule een berekening waarmee je kunt uitrekenen hoeveel uur je hebt gewerkt om 100 euro te verdienen.
Wanneer je een snijpunt van een lijn en een grafiek afleest, los je eigenlijk een vergelijking op.
Bij vraag   2a heb je verdiensten vergeleken met het aantal gewerkte uren.
 
3     Het snijpunt van de grafiek

 

In de grafiek hiernaast zie je het verband tussen de lengte van een kaars en het aantal branduren
Bij de grafiek hoort de volgend lineaire formule:

L = 22 - 2B
 
L = Lengte in cm
B = aantal branduren
 
  1. In de formule zie je 2B staan. Wat betekend dit?
  2. Hoe lang was de kaars toen deze werd aangestoken?
  3. Na hoeveel branduren is de kaars nog 14 cm lang?
  4. Na hoeveel branduren is de kaars op?
  5. Het is lastig aflezen na hoeveel branduren de kaars nog maar 11 cm lang is.
    Reken met behulp van de formule uit na hoeveelbrand uren de kaars 11 cm lang is.

 

Wanneer je een snijpunt van een lijn en een grafiek afleest, los je eigenlijk een vergelijking op.
Bij vraag   3c heb je de lengte van de kaars vergeleken met het aantal branduren.

 

4     Het snijpunt van de grafiek en een lijn.

 

Bij het verkopen van pennen via internet  hoort de volgende formule:

Aantal pennen in voorraad = 150 - 15 x aantal dagen.

  1. Maak van de woordformule een formule met letters. Laat ook het keerteken weg. Noteer je formule in je schrift.
  2. Teken een tabel bij de grafiek. Ga door tot je voorraad op is. *denk na over handige stapjes.
  3. Teken de grafiek bij de tabel.
  4. Lees uit je grafiek af na hoeveel dagen je nog 90 pennen over hebt op voorraad. Teken ook de bijbehorende lijnen zoals in het filmpje is voorgedaan.
 
Wanneer je een snijpunt van een lijn en een grafiek afleest, los je eigenlijk een vergelijking op.
Bij vraag   4 heb je de voorraad vergeleken met het aantal dagen.
 
 
 
5     Het snijpunt van twee lijnen

 

Je kunt ook grafieken met elkaar vergelijken. Hoe je dat doet zie je in dit filmpje

Bekijk eerst het filmpje. Daarna kun je onderstaande vragen beantwoorden.

Erdem en Jennifer werken beide bij DOMINO'S pizza. Erdem als bezorger en Jennifer achter de toonbank. Ze krijgen beiden anders betaald.
Erdem  \(\longrightarrow\)   V = 2 + 4,5u
Jennifer \(\longrightarrow\)  V = 8 + 2,50u
Hierin is V de verdiensten in euro en U het aantal gewerkte uren.

 

  1. Maak voor Erdem en Jennifer passende tabellen.
  2. Teken de grafieken die horen bij de formules/tabellen in één assenstelsel (net als in het filmpje)
  3. Lees het snijpunt van beide grafieken af.
  4. Wat betekend dit snijpunt (wat heb je nu eigenlijk afgelezen?)

 

 

Wanneer je een snijpunt van twee grafieken afleest, los je eigenlijk een vergelijking op.
Bij vraag   5c heb je verdiensten vergeleken met het aantal gewerkte uren.

 

 

 
6     Vergelijking van twee lijnen

 

In het assenstelsel hiernaast zijn de grafieken getekend van:

y = 6 + 6x    en    y= 12 + 4x
 
Bij het snijpunt hoort de vergelijking:
       6 + 6x  = 12 + 4x
 

  1. Volgens Ayoub is de oplossing x = 4.
    Vul het getal 4 in beide formules in en noteer je berekening.
    Wat valt je op aan de antwoorden?

  2. Noteer de coördinaten van het snijpunt in je schrift. ( ... , ... )

  3. Leg uit wat de coördinaten betekenen.

  4. Laat met een berekening zien (zoals bij opgave a) welke oplossing er bij de vergelijking hoort.

 

 

7     Installatiebedrijven

 

Twee installatiebedrijven berekenen hun prijzen met de volgende formules:

  • Bedrijf A:  p = 25 + 25 t  
  • Bedrijf B:  p = 50 + 20 t

          t is de tijd in uren en p is de prijs in euro’s.

  1. Neem de tabel over en vul de tabel verder in:

    t 0 2 4 6 8
    Bedrijf A p          
    Bedrijf B p          

  2. Teken in één assenstelsel beide grafieken.

 

Wanneer je twee grafieken (lijnen) elkaar laat snijden, los je een vergelijking op.

  1. Welke lineaire vergelijking hoort bij het snijpunt?

  2. Wat is de oplossing van deze vergelijking?

  3. Wat is de betekenis van de oplossing?

 
 
8    Grafieken en formules

 

Bij de grafieken hieronder horen de formules:

  • I:    belkosten = 22,5 + 0,1 × beltijd
  • II:   belkosten = 10 + 0,15 × beltijd

              beltijd in minuten, belkosten in euro’s.

 

  1. Maak van de woordformules formules met letters.
    Laat ook het keerteken weg.

  2. Het snijpunt van de twee grafieken vindt je bij:
    ( ... , ...) Noteer de coördinaten.

  3. Wat is de betekenins van deze coördinaten?

 

Wanneer je twee grafieken(lijnen) met elkaar laat snijden los je ook een vergelijking op.

  1. Welke vergelijking hoort er bij het snijpunt van de twee grafieken?
    ....  =  ....   (vul de twee formules in)
  2. Wat is de oplossing van deze vergelijking.
  3. Laat met een berekening zien dat je gevonden oplossing klopt.

 

9     Grafieken

 

In het assenstelsel zie je twee grafieken.

Bij de grafieken horen de volgende formules:

I:    u = 4 + 2 x g     of korter geschreven U = 4 + 2G
II:   u = 10 -2 × g     of korter geschreven U = 10 - 2G
 

Vul in:

  1. Het snijpunt van de twee lijnen vind je bij:
    (  ....   ;  ....  ) vul het coördinaat in.
  2. Wat betekend dit coördinaat?

Wanneer je twee lijnen met elkaar laat snijden los je ook een vergelijking op.

          4 + 2G = 10 - 2G

  1. Welk getal moet je nu voor voor G invullen zodat de grafieken elkaar raken?

Controle: Je kunt altijd je antwoord narekenen.
Vul nu in beide formules het getal dat jij afgelezen hebt op de plek van de G in. Als je het goed gedaan hebt heb je in beide formules hetzelfde antwoord gekregen.

I:    u = 4 + 2 x ... =
II:   u = 10 - 2 x ... =
 
  1. Schrijf de berekening die bij het controleren van de vergelijking hoort op.
    Laat ook duidelijk zien dat je nu twee keer hetzelfde antwoord hebt gekregen.

 

 

10     Vergelijkingen en oplossingen

 

Je ziet drie lineaire vergelijkingen en drie oplossingen.
Welke oplossing hoort bij welke vergelijking?

Vergelijkingen:
  1.   -6 + 6x = 2 + 4x
  2.   0 + 6 x = 2+ 4 x
  3.   6 + 6 x = 4 x + 2
 Oplossingen:
  1. x = -2
  2. x = 4
  3. x = 1

Noteer het antwoord in je schrift:
A = ....  (vul het juiste antwoord in)
B = ...

C = ...

 

Uitwerkingen

Weet je het nog?

  • Werk in je schrift met een kantlijn. Zet voor de kantlijn met welke opgaven je bezig bent.
  • Kijk na met een andere kleur pen of potlood.
  • Heb je de vraag goed? Zet een ✔️.
  • Heb je de vraag fout, zet een ❌ en verbeter je gemaakte fout. Een ❌ alleen is niet genoeg.
PDF openen in nieuw tabblad
PDF openen in nieuw tabblad
PDF openen in nieuw tabblad
PDF openen in nieuw tabblad

Test jezelf

2H05.3 Test jezelf .............................................................................................
Je sluit de paragraaf Lineaire vergelijking af met een toets.

Na het maken van de vragen krijg je een score en kun je de gegeven antwoorden vergelijken met de goede antwoorden.


Succes!

Test jezelf:Lineaire vergelijkingen

§6 Oplossen met de balansmethode

Uitleg

2H04.4 uitleg          .........................................................................................

Bestudeer uit de Kennisbank wiskunde het onderdeel:

Balansmethode

Bekijk ook de volgende video's:

  vlakke figuren 1    vlakke figuren 1   vlakke figuren 1

 

Hier vind je ook uitleg en nog enkele voorbeelden van oplossen met de balansmethode

Maak daarna de opgaven.

Opgaven

2H05.4 Opgaven ..............................................................................................................

1    Balans

 

Bekijk eerst even dit  vlakke figuren 1

Hier rechts zie je de balans uit het filmpje.
Links van de steen zie je 2 zakken en 1 losse knikker.
Rechts van de steen zie je 7 losse knikkers.
Wanneer we een vergelijking oplossen willen we de onbekende uitrekenen. We willen dus weten hoeveel 1 zak waard is.

  1. Noteer de vergelijking die bij de balans hoort.
    ... + 2 zakken = ....
  2. Wanneer we aan beide kanten 1 losse weg halen dan krijg je de volgende vergelijking:
    2 zakken = ....
  3. We willen niet weten wat 2 zakken waard is, maar we willen weten wat 1 zak waard is.
    daarom delen we beide kanten van de steen door 2. De oplossing is dan:
    1 zak  = ...

 

2    Balans

 

In plaats van een wipwap (de steen uit het filmpje) kun je ook een ouderwetse weegschaal gebruiken om de balansmethode voor je te zien.
Op de balans hiernaast zie je uitgebeeld:

2 + 4x = 12

  1. Neem de vergelijking over in je schrift.
    2 + 4x = 12
  2. Haal aan beide kanten losse blokjes weg
    *let op: bewaar het evenwicht. Noteer je stappen.
  3. Als je het goed gedaan hebt, heb je links de x-jes over en recht de losse blokjes
    Controleer dit met wat er in je schrift staan. Fout? doe vraag a en b opnieuw.
  4. Bereken wat één x waard is. Noteer de stap in je schrift en schrijf je antwoord op.

 

3    Balans

 

Hiernaast zie je een balans getekend.

  1. Noteer de vergelijking die bij de balans hoort in je schrift.
  2. Los de vergelijking op.
  3. Welke waarde van x heb je gevonden?

 

4     Waar zit de fout?

 

Hierboven zie je de balans getekend die hoort bij de vergelijking

2x + 1 = 9

Hieronder zie je de uitwerking van de vergelijking. Ergens gaat het fout.

                                       2x + 1   =       9                                     
                                      -1x     -1x
                                       1x + 1   =    8
                                            -1   -1
                                            1x   =    7

 

  1. Bij welke stap zit de fout?
  2. Welke fout wordt er gemaakt?
  3. Neem de vergelijking over en los hem netjes op (verbeter de opgaven!)

Begrijp je nog niet helemaal wat we aan het doen zijn? Bekijk dan dit   vlakke figuren 1 nog even voordat je verder gaat met vraag vijf.

 

5    Balans

 

Vul in: De balans hiernaast is in evenwicht.

  1. Neem over en vul in.
    Aan de linkerkant van de balans liggen:
    ... losse en ... x-en
  2. Aan de rechterkant van de balans liggen:
    ... losse en ... x-en
  3. De vergelijking die bij de balans hoort is:
    4 + ...x  =  ... + 3x
  4. Los de vergelijking op.
4 + 5x = 10 + 3x
...   ...
     5x = 6 + 3x
...   ...
      ... = 6
...   ...
      x = .....


Het op deze manier oplossen van een vergelijking noem je de .........

Lukt het je niet om de balans op te lossen? Bekijk dan even dit   vlakke figuren 1

 

6    Teken zelf de balans

 

  1. Teken zelf een balans bij:

          8x  + 6    =   2x   + 24

  1. Los de vergelijking op:
8x + 6 = 2x + 24
...   ...
..... + 6 = 24
...   ...
..... = .....
...   ...
x = .....

 

 

7    Twee vergelijkingen

 

Los deze vergelijkingen op met de balansmethode.

  • 5x + 6 = 2x + 24
  • 8x + 36 = x + 1

 

8     Taxibedrijf

 

Een taxibedrijf gebruikt bij het berekenen van de ritprijs de volgende formule:

prijs = 2 + 3 × afstand of korter genoteerd: p = 2 + 3a

De prijs is in euro’s en de afstand in kilometers.
 
Meneer Harmsen heeft een rit gemaakt met dit taxibedrijf.
Hij moet € 17,- afrekenen.
Meneer Harmsen wil weten hoeveel kilometer de rit was.
Hij moet de vergelijking:  2 + 3a = 17   oplossen.
 
  1. Los de vergelijking op met een (terug-)rekenschema
  2. Los de vergelijking op met de balansmethode
  3. Welke manier heeft jouw voorkeur?

 

9     Kaarsen

 

Twee kaarsen worden tegelijk aangestoken. De eerste kaars is 20 cm lang per branduur wordt de kaars 2 cm korter.  De tweede kaars is 30 cm lang wordt per branduur 4 cm korter.

  1. Neem je t voor brandtijd in uren en L voor de lengte van de kaars, wat zijn dan de twee formules die bij de lengtes van deze kaarsen horen?
  2. Je wilt weten na hoeveel uur branden beide kaarsen even lang zijn.
    Met welke vergelijking kun je dit berekenen? Noteer de vergelijking in je schrift
  3. Los die vergelijking op.
  4. Na hoeveel uren branden zijn beide kaarsen even lang?
  5. Hoe lang zijn de kaarsen dan?

 

10     Vergelijkingen oplossen

 

Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:

  1.   4x  = 16 + 2x
  2.   14a + 9 = 7a + 86
  3.    8  - 6y = 3y - 28

 

11     Omtrek

 

Bekijk deze twee figuren.
Wat kun je schrijven voor de omtrek van het linker figuur?
Wat kun je schrijven voor de omtrek van het rechter figuur?
Welke vergelijking moet je oplossen om uit te zoeken voor welke a de omtrek van beide figuren gelijk is?
Los die vergelijking ook op.

 

 

 

 

12     Toetscijfer

 

Voor een toets kun je maximaal 36 punten halen. De docent berekent bij deze toets het cijfer door bij het behaalde aantal punten vier op te tellen en dan de uitkomst daarvan te delen door vier.

  1. Stel het behaalde aantal punten voor door p en het cijfer door c .
    Maak het rekenschema dat de docent hierbij gebruikt.
  2. Stel een bijpassende formule op:  c = .....
  3. Je wilt weten hoeveel punten je moet halen voor een 7,5.
    Stel de vergelijking op die hier bij hoort en bepaal de oplossing.

 

 

13    Oplossen met de balansmethode

 

Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de balansmethode:

13  = 1 + 2x
23 + 3a = 38  
28 + 4x =  40 + 1x
3 + 3x  = x – 5
6x + 11 = –2x + 9
–3x – 11 = 1 + 3x

 

Uitwerkingen

2H05.4 Uitwerkingen ..........................................................................................................

1     

 

  1. 1 + 2 zakken = 7
  2. Wanneer we aan beide kanten 1 losse weg halen dan krijg je de volgende vergelijking:
    2 zakken = 6
  3. De oplossing is dan:
    1 zak  = 3

 

2     

 

  1. 2 + 4x = 12
  2. 2 + 4X = 12
    -2             -2
          4x = 10
  3. Als je het goed gedaan hebt, heb je links de x-jes over en recht de losse blokjes
    Controleer dit met wat er in je schrift staan. Fout? doe vraag a en b opnieuw.
  4.   4x = 10
      :4      :4
        x = 2,5

 

3     

 

3x + 8 = 26
-8   -8
3x = 18
:3   :3
x = 6

Je vindt:  x = 6

 

4     

 

  1. De fout zit bij de eerste stap: 9 - 1x geeft niet 8 !
  2. Er wordt van 1x van 9 afgehaald, maar dat kan niet.
  3. 2x + 1 = 9
    -1   -1
    2x = 8
    :2   :2
    x = 4

     

5     

 

  1. Aan de linkerkant van de balans liggen:
    4 losse en 5 x-en
  2. Aan de rechterkant van de balans liggen:
    10 losse en 3 x-en
  3. De vergelijking die bij de balans hoort is:
    4 + 5x  =  10 + 3x
  4. Los de vergelijking op.
4 + 5x = 10 + 3x
-4   -4
     5x = 6 + 3x
-3x   -3x
      2x = 6
:2   :2
      x = 3


Het op deze manier oplossen van een vergelijking noem je de balansmethode

 

6     

 

8x + 6 = 2x + 24
−2x   −2x
x + 6 = 24
-6   -6
6x = 18
:6   :6
x = 3

 

 

7     

 

5x + 6 = 2x + 24
−2x   −2x
2x + 6 = 24
−6   −6
3x = 18
:3   :3
x = 6

 

                          8x + 36 = x + 1
  −1x   −1x
  7x + 36 = 1
  -36   -36
  7x = -35
  :7   :7
  x = -5
8     

 

De uitkomsten zijn:

  1. x = 5
  2. y = 4
  3. a = 11

 

9     

 


  1. de afgelegde afstand is dus 5 km.
  2. 3 × afstand + 2 = 17
    −2   −2
    3 × afstand = 15
    :3   :3
    afstand = 5

     

  3. *

 

10     

 

  1. kaars 1: L = 20 - 2t
    kaars 2: L = 30 - 4t
  2. Vergelijking: 20 - 2t = 30 - 4t   (of:    30 - 4t = 20 - 2t )    
  3. 20 - 2t = 30 - 4t
    +4t   +4t
    20 + 2t = 30
    -20   -20
    2t = 10
    :2   :2
    t = 5
  4. Na 5 uren branden zijn beide kaarsen even lang.
  5. De kaarsen zijn dan (20 - 2 × 5 =) 10 cm lang

 

11     

 

  1. p c
  2. c = ( p + 4 ) : 4
  3. 7,5 = ( p + 4 ) : 4
    oplossen met een teurgrekenschema is, waarschijnlijk, de eenvoudigste manier:
    p 7,5    dus p = 26

    Toch kan het ook met de balansmethode:
    7,5 = (p + 4) : 4
    ×4   ​×4
    30 = p + 4
    −4   −4
    26 = p

     

Test jezelf

2H04.4T Test jezelf .......................................................................................................

Je sluit de paragraaf Balansmethode af met een toets.

Na het maken van de vragen krijg je een score en kun je de gegeven antwoorden vergelijken met de goede antwoorden.


Succes!

Test jezelf:Balansmethode

LvoorL

2H04.4.LvL ....................................................................................................

Leerlingen voor leerlingen
Op de website www.lvoorl.nl vind je verschillende video's die door leerlingen voor leerlingen zijn gemaakt.

Hieronder staat een video die goed past bij dit thema.
Bekijk de video. Kun je de video goed volgen?
Bespreek de inhoud van de video met een klasgenoot.
Vergelijkingen oplossen

Let op:
Als je de video wilt stoppen, druk dan eerst op de stopknop en klik dan de popup weg.

§7 Gemengde opgaven

Opgaven

In de gemengde opgaven oefen je met het toepassen van de uitleg uit de voorgaande paragrafen.
Kale opgaven en opgaven met een verhaaltje (een context) worden met elkaar afgewisseld.

 

. 1. Grafiek

Bekijk de grafiek hieronder.

  1. Welke woordjes horen bij de y-as?
  2. Welke woordjes horen bij de x-as?
  3. Lees het begingetal van de grafiek af.
  4. Bereken de stapgrootte (hellingsgetal) van de grafiek.
  5. Maak een formule die bij de grafiek past.
  6. Laat met 2 berekeningen zien dat je gemaakte formule bij
    vraag e klopt.
     

 

 

. 2. Tabellen.

Bekijk de drie tabellen hieronder.

  1. Bereken de stapgrootte van tabel 1.
  2. Hoort er bij tabel 1 een lineaire formule?
  3. Schrijf de formule die hoort bij tabel 1 op.
  4. Bij welke tabel hoort er nog meer een lineaire formule?

 
     

 

 

. 3. Machientjes schema
Bekijk het machientjes schema hiernaast. Schrijf daarna netjes je berekening op.
  1. Voer het getal -2 in, bereken de uitvoer.
  2. Voer het getal 2 in, bereken de uitvoer.
  3. Maak bij bovenstaand machientjes schema een tabel met
    invoer van  van -3 tot 3. Vul ook de antwoorden die daarbij
    horen in.

 

. 4. Balansmethode

Hiernaast zie je een ouderwetse balans met daaronder de bijbehorende vergelijking:

 

4x + 1 = x + 10
  1. Neem de vergelijking over in je schrift.
  2. Los de vergelijking op.
  3. Laat met een berekeningen zien dat jou gevonden oplossing bij deze vergelijking klopt.

 

 

. 5. Fietskoerier  

Mitchell wil graag wat bijverdienen in de vakanties. Hij geeft zich op om fietskoerier te worden. Als fietskoerier bezorg je allerlei pakketten in de stad met je fiets.


Van de baas krijgt Mitchell elke maand €4 vergoeding voor het onderhoud van zijn fiets.
Per uur verdient Mitchell € 3,20
  1. Mitchell heeft in mei 21 uur gewerkt. Bereken zijn verdiensten.
  2. In de maand juli werkt Mitchell 28 uur. Bereken zijn verdiensten.
  3. Maak een formule die bij de verdiensten van Mitchell past.
  4. In december verdient Mitchell €32,80.
    Welke vergelijking hoort er bij deze verdiensten?
  5. Los de vergelijking van vraag d op met de balansmethode.

 

.6. Ondernemen

Iedereen die een eigen bedrijf start wil natuurlijk zo snel mogelijk er iets aan verdienen. Je wilt meer geld binnen krijgen dan dat je moet uitgeven, dan maak je namelijk winst.

 

Bekijk de grafiek hieronder, deze gaat over inkomsten en uitgaven van een bedrijf

  1. Lees het begingetal van de uitgaven af en noteer het in je schrift.
  2. Noteer de coördinaten van het snijpunt van de grafieken.
  3. Leg uit wat dit snijpunt van de grafieken betekend.
     

 

. 7. Balansmethode

Bekijk de vergelijking en los deze op met de balansmethode

 

  1.    3x + 10 = 8x + 5
     
  2.    24 + 2x =  6x + 4
     
  3.    1,5x + 32 = 4,5x + 2

 

 

Uitwerkingen

D-toets

Herhaling

Opgaven

2H02.E2 opgaven ...............................................................................................................................

Lineair verband

Lees, vóórdat je aan de opgaven begint,eerst §2 de uitleg nog eens door.

1    Reeks ballen

 

Hieronder zie je reeks met een aantal ballen.

 

  1. Hoeveel ballen komen er telkens bij?
  2. Uit hoeveel ballen bestaat reeksnummer 5?
  3. Neem de tabel over en vul hem in.
    Reeksnummer   0   1   2   3   4   5   6
    Aantal ballen 3 5          
  4. Wat is het begingetal? Schrijf ook op hoe je dit gevonden hebt.
  5. Welke woordformule past er bij de reeks met ballen?
    A Aantal ballen = 5 + 3 x reeksnummer
    B Reeksnummer = 3 + 2 x aantal ballen
    C Aantal ballen = 3 + 2 x reeksnummer
    D Reeksnummer = 5 x aantal ballen.
  6. Controleer je gekozen formule door het aantal ballen van reeksnummer 4 en
    reeksnummer 6 te berekenen. Noteer ook de twee berekeningen.
2    Gameconsole

 

Joachim spaart voor een nieuwe gameconsole.
Hij heeft een bijbaantje en verdient daar iedere week €15,- mee. Voor zijn verjaardag heeft hij in totaal al 120 euro gekregen.  

  1. Hoeveel euro heeft Joachim in totaal als hij twee weken heeft gewerkt?
  2. En hoeveel euro heeft hij als hij 4 weken werkt?
  3. Neem de tabel over en vul hem in.
    Aantal weken   0   1   2   3   4   5   6
    Totaal bedrag (€) 120 135          
  4. Welke formule past er bij de tabel?
    A Totaal bedrag = 120 + 15 x aantal weken
    B Totaal bedrag = 120 + 15 + aantal weken
    C Aantal weken = 120 + 15 x aantal weken.
  5. Controleer je antwoord door het  bedrag voor 4 weken na te rekenen.
    Schrijf ook je berekening op.
  6. De gameconsole kost € 255.  Hoeveel weken moet Joachim hier voor sparen?

 

3    Blokjes bouwwerken

 

Hieronder zie je verschillende bouwwerkjes met blokjes.

  1. Hoeveel blokjes komen er per figuur bij?
  2. Bepaal het aantal blokjes van figuurnummer 0.  
  3. Neem de tabel over en maak hem af.
    Figuurnummer   0     1   2   3   4   5   6
    Aantal blokjes 5 8          
  4. Welke formule hoort er bij de tabel?
    A Figuurnummer = 2 + 3 x  aantal blokjes
    B Aantal blokjes = 2 + 3 x  figuurnummer
  5. Controleer je formule door het aantal blokjes van figuur nummer 1 en 4 na te rekenen.
    Schrijf ook je berekeningen op.
  6. Zoek uit welk figuurnummer er hoort bij een totaal van 32 blokjes.

 

Formule bij een verhaaltje of een tabel met regelmaat.

Lees eerst de uitleg van § 4 door voordat je aan onderstaande opgaven begint


4    Blokjes figuren

 

Gegeven is de volgende tabel:

Figuurnummer   0   1   2   3   4   5   6
Aantal blokjes 5 11 17        

 

  1. Neem de tabel over en maak vul hem verder in.
  2. Noteer de volgende gegevens bij de tabel:
    Het begingetal =  …
    De stapgrootte = …
    Woordjes van de x-as =  …
    Woordjes van de y-as =  …
  3. Maak de lineaire formule die bij de tabel past.
  4. Controleer je antwoord door het aantal blokjes van figuur nummer 2 en figuur nummer 5 na te rekenen.  
    Noteer ook je berekeningen.

 

5    Fietsen

 

Zehra fiets graag. Op haar e-bike heeft zij een kilometertellertje.
Op het tellertje kun je aflezen dat zij in totaal al 5203 kilometer heeft gefietst.  Elke week fietst Zehra in totaal 50 kilometer van en naar school.

  1. Noteer de volgende gegevens:
    Het begingetal =  …
    De stapgrootte = …
  2. Neem de formule over vul de ontbrekende gegevens in:
    Totaal aantal kilometer =  …  + … · aantal weken
  3. Bereken het aantal kilometer dat Zahra gefietst heeft na 5 weken.
  4. Hoeveel weken moet Zahra van en naar school fietsen om aan een totaal van 5803 kilometer te komen?

 

6    Sieraden

 

Ammara maakt sieraden. De inkoopkosten van dematerialen zijn afhankelijk van het aantal pareltjes dat zijgebruikt. Voor het zilver betaalt zijn € 25. Elk pareltje dat zij gebruik kost nog eens € 7,50 extra. 

  1. Ammara maakt in opdracht een paar oorbellen met in totaal 4 pareltjes. Bereken de kosten voor het maken van dit paar oorbellen.
  2. Noteer de volgende gegevens:
    Het begingetal =  …
    De stapgrootte = …
  3. Neem de tabel over en vul deze in:
    Aantal parels   0   1   2   3   4   5     6
    Totale kosten (€)     40 47,5      
  4. Maak een passende formule voor Ammara.
  5. Controleer je formule door het na te rekenen hoeveel je moet betalen voor een sieraad met 2 parels en voor een sieraad met 3 parels. Noteer ook je berekeningen

Rekenschema bij een lineaire formule

Bekijk de uitleg van §1 nog eens over machientjes.

 

7    Rekenschema's

 

Maak de pijlenschema’s hieronder af. Schrijf ze even netjes over op je papier!

  1. Lengte in cm  = 140 + 20 x aantal jaren

    aantal jaren  →   →     → lengte in cm
  2. Verdiensten in € = 12 +  2,50 x aantal uren

    aantal uren  →   →    → verdiensten in €
  3. Inkomsten = 3 x aantal rondes + 7

    aantal rondes  → → → inkomsten
  4. Aantal borden = 12 + 4 x aantal tafels

    …… →   →   → ……

 

8    Van rekenschema naar formule

 

Gegevens is het volgende rekenschema.
aantal liter benzine  →    → → aantal kilometer

  1. Noteer de volgende gegevens:
    De woordjes voor de x-as (invoer)
    De woordjes voor de y-as (uitvoer)
    De stapgrootte
    Het begingetal
  2. Maak de formule bij het rekenschema. Gebruik daarvoor je aangeleerde invulschema:
    y (uitvoer) = begingetal + stapgrootte · x (invoer)
  3. Bereken het aantal kilometer wanneer je 10 liter benzine hebt.
    Noteer je berekening.
  4. Je hebt in totaal 350 kilometer afgelegd.
    Hoeveel liter benzine heb je dan gebruikt?
    Noteer je berekening.

   

9    Lucifer figuren

 

In de reeks figuren hieronder zie je regelmaat. We kunnen hier dus een formule en
een rekenschema bij maken.

  1. Bereken de stapgrootte.
  2. Bereken eerst het begingetal.
  3. Bedenk welke woordjes je voor de invoer (x-as) wilt gebruiken
  4. Bedenk de woordjes voor de uitvoer (y-as).
  5. Maak het bijbehorende rekenschema
    …… →   →   → ……
  6. Schrijf de bijbehorende formule bij de reeks figuren op.
  7. Welk figuurnummer kun je leggen met 37 lucifers?

 

10    Te snel rijden

 

Gegeven is de volgende tabel:

aantal km/h te snel   0   10   20   30   40
Boete 0 75 150 225 300

 

  1. Bereken de stapgrootte.
    (let op hier zijn er stapjes van 10!! Stapgrootte hoort altijd bij stapjes van 1)
  2. Noteer het begingetal.
  3. Maak een formule bij de tabel.
  4. Contoleer je formule door 2 getallen uit de tabel na te rekenen.
    Noteer de gemaakte berekeningen!
  5. Maak een rekenschema bij je tabel/formule
  6. Iemand heeft 25 kilometer te hard gereden. Bereken de hoogte van de boete.
  7. Je krijgt een boete thuis gestuurd van 232,50. Hoeveel kilometer reed je te hard?

 

11    Formule 1

 

Gegeven is de volgende formule:  y = (x - 2 ) · 5

  1. Bereken y voor x = 4  hier staat dus: vul voor x het getal 4 in, wat is dan de uitkomst?
  2. Bereken y voor x = 7
  3. Bereken y voor x = 12
  4. Maak het bijbehorende pijlenschema (denk aan de volgorde van bewerkingen!)
  5. y = 75 voor welke x geldt dit?

 

12    Formule 2

 

Gegeven is de formule : y = (x + 24 ) : 3

  1. Bereken y voor x = 6  hier staat dus: vul voor x het getal 6 in, wat is dan de uitkomst?
  2. Bereken y voor x = 12
  3. Bereken y voor x = 21
  4. Maak het bijbehorende pijlenschema (denk aan de volgorde van bewerkingen!)
  5. y = 58 voor welke x geldt dit?

Wat is een vergelijking?


– Een formule met het antwoord ingevuld
– Twee formules aan elkaar gelijk gesteld (met het = -teken).

Voorbeelden
8 = 3x + 5 (een formule met het antwoord ingevuld)
7x + 4 = 9x – 4 (twee formules aan elkaar gelijk gesteld)

Moeilijker gezegd:
Een vergelijking in de wiskunde is een betrekking van twee uitdrukkingen, waarin een
of meer onbekende variabelen(letters), met elkaar worden vergeleken, dat wil zeggen
aan elkaar gelijk worden gesteld.

Alleen vergelijkingen met één onbekende variabele kunnen worden opgelost.

Voorbeeld:
Met de volgende formule kun je berekenen hoeveel euro je al op je spaarrekening
hebt staan:

Aantal euro = 200 + 15 x aantal weken

Wil je weten hoelang het nog duurt voordat je 290 euro op je rekening hebt staan dan
kun je de volgende vergelijking opschrijven (opstellen):

290 = 200 + 15 x aantal weken 

Deze vergelijking kun je oplossen door er een rekenschema bij te maken. Verderop
in het jaar leer je dit oplossen met de balansmethode

 

13    Nieuwe schoenen

 

Shariq spaart voor een nieuw paar schoenen. Hij heeft al 45 euro op zijn rekening
staan. Iedere week krijgt hij 7 euro zakgeld.  

  1. Maak een formule voor Shariq
  2. Vul de tabel in voor Shariq
    Aantal weken   0   1   2   3   4
    Spaarbedrag (€) 45 52      
  3. Het paar schoenen kost €136. Welke vergelijking hoort hierbij?
  4. Los de vergelijking op.
  5. Hoeveel weken moest Shariq in totaal sparen?

 

14    Klussen

 

Een bedrijf berekent de prijs voor een klus met de formule k = 115 + 5 · a .  
Hierbij is k de kosten in euro's en a het aantal gewerkte uren.
Je krijgt een rekening van 145 euro en wilt weten hoe lang ze gewerkt hebben.

  1. Welke vergelijking kun je opstellen bij bovenstaand verhaaltje?
  2. Maak een rekenschema en het terugrekenschema waarmee je kunt uitrekenen hoe lang het bedrijf heeft gewerkt.
  3. Bereken hoelang het bedrijf gewerkt heeft. Schrijf je berekening op je ruitjespapier.
  4. Welke vergelijking hoort er bij een rekening van €137,50
  5. Bereken het aantal uren dat het bedrijf werkt voor een rekening van €137,50

 

15    Vergelijkingen oplossen 1

 

Los de volgende vergelijkingen op

  1. 28 = 8 · x + 4  
  2. 192 = 12 + 30 · x

 

16    Vergelijkingen oplossen 2

 

Los de volgende vergelijkingen op

  1. 35 = 15 + 4x   (het keer teken tussen 4 en x is weggelaten 4x = 4 · x )
  2. 171 = 21 + 50x

 

17    Formule

 

Gegeven is de volgende formule:  y = 6x + 4

  1. Bereken x voor y = 64  
  2. Bereken x voor y = 34
  3. Bereken y voor x = 6

 

 

uitwerkingen