Breuken altijd gelijknamig maken
Bij de basis bewerkingen van breuken leren we dat we bij optellen en aftrekken breuken de noemer eerst gelijk moet zijn. Terwijl bij het vermenigvuldigen en het delen van breuken dit niet hoeft. Aan een kant eigenlijk wel verwarrend want een fout is snel gemaakt. En dan is je antwoord fout en heb je dus geen ‘punten’ gescoord.
Maar wat als we nu altijd gaan werken met gelijknamigheid? Wat zijn de voordelen en nadelen hiervan? En zijn het wel voordelen en nadelen?
Optellen en aftrekken
Maar laten we eerst eens even beginnen met het begin. Zoals eerder genoemd leren we bij optellen en aftrekken de werkwijze van het ‘gelijknamig maken’. Dat betekent dat je de noemer van beide breuken gelijk maakt. Het eenvoudigst gaat dit door bij de eerste breuk, de teller (het bovenste deel van de breuk) te vermenigvuldigen met de noemer (het onderste deel van de breuk) van de andere breuk. En deze handeling doen we ook met de noemer van de eerste breuk en de noemer van de tweede breuk. Je hebt nu eigenlijk de eerste breuk vermenigvuldigd met ‘1’, dus de waarde van de oorspronkelijke breuk is niet gewijzigd. Maar laten we dit eens bekijken in een voorbeeld:
\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a}{b} \times \frac{d}{d}+\frac{c}{d} \times \frac{b}{b}=\frac{a \times d}{b \times d}+\frac{c \times b}{d \times b}=\frac{ad+bc}{bd}\)
de volledige werkwijze van gelijknamigheid
\(\frac{2}{3}+\frac{1}{4}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4}+\frac{1 \times 3}{4 \times 3}=\frac{8}{12}+\frac{3}{12}=\frac{11}{12}\)
getallen voorbeeld
Wanneer we breuken van elkaar aftrekken dan is deze werkwijze exact hetzelfde en in het bovenstaande voorbeeld veranderd alleen de ‘+’ in een ‘-‘. In het rekenvoorbeeld met getallen is de uitkomst dan \(\frac{5}{12}\).
Vermenigvuldigen en delen
Voor het vermenigvuldigen leren we echter dat we ‘boven en boven’ en ‘onder en onder’ met elkaar mogen vermenigvuldigen en dan zijn we klaar. In dit geval laten we het vereenvoudigen voor nu even achterwege. In een voorbeeld uitgeschreven ziet het er dan zo uit:
\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}=\frac{ac}{bd}\)
de volledige werkwijze voor het vermenigvuldigen
\(\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2 \times 1}{3 \times 4}=\frac{2}{12}\)
getallen voorbeeld
En waar het vermenigvuldigen er zo simpel uitziet, zo gek worden we bij het delen door een breuk. Want hier wordt je geleerd om in plaats te delen, te gaan vermenigvuldigen met het omgekeerde! En dat kan best lastig zijn wanneer je het wiskundige trucje niet begrijpt. De grap van deze werkwijze is dat je namelijk deelt door ‘1’ en daarvan kennen we allemaal het antwoord: Er gebeurd niets. Maar laten we dit eens bekijken in een voorbeeld:
\({\frac{a}{b} \over \frac{c}{d}}={\frac{a}{b} \over \frac{c}{d}} \times {\frac{d}{c} \over \frac{d}{c}} = {\frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \over {\frac{c}{d} \times \frac{d}{c}}}={\frac{a \times d}{b \times c} \over \frac{c \times d}{d \times c}}= {\frac{a \times d}{b \times c} \over \frac{cd}{cd}}={\frac{ad}{bc} \over 1}=\frac{ad}{bc}\)
de volledige werkwijze voor het delen
\({\frac{2}{3} \over \frac{1}{4}}= {\frac{2 \times 4}{3 \times 1} \over \frac{1 \times 4}{4 \times 1}}={\frac{8}{3} \over \frac{4}{4}}={\frac{8}{3} \over 1}=\frac{8}{3}\)
getallen voorbeeld
En nu gelijknamig maken
Nu we alle 4 de basis-bewerkingen hebben besproken kunnen we voorzichtig concluderen dat we gelijknamigheid nodig zijn voor optellen en aftrekken en dat vermenigvuldigen en delen met breuken, met omkering, gelijk aan elkaar zijn.
En wat gebeurd er nu wanneer we voor alle 4 bewerkingen de gelijknamigheid toepassen, gaat het dan ook nog steeds goed? Van uit de wiskunde kunnen we volmondig zeggen: “Ja”.
Want net als bij het delen met breuken, gebruiken we bij gelijknamigheid ook een mooie eigenschap van het getal ‘1’! Immers wanneer we een waarde vermenigvuldigen of delen door ‘1’ dan veranderd er niets aan mijn oorspronkelijke waarde. Maar laten we gaan kijken naar een voorbeeld:
\(\frac{a}{b} \times \frac{d}{d} \times \frac{c}{d} \times \frac{b}{b}=\frac{a \times d}{b \times d} \times \frac{c \times b}{d \times b}=\frac{a \times b \times c \times d}{b \times b \times d \times d}=\frac{a \times c}{b \times d}=\frac{ac}{bd}\)
de volledige werkwijze voor het vermenigvuldigen en gelijknamigheid
\(\frac{2}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{2 \times 4}{3 \times 4} \times \frac{1 \times 3}{4 \times 3}=\frac{8}{12} \times \frac{3}{12}=\frac{8 \times 3}{12 \times 12}=\frac{24}{144} = \frac{12}{72}=\frac{6}{36}=\frac{2}{12}\)
getallen voorbeeld
En de uitkomst is wederom exact hetzelfde als het eerdere, niet verder vereenvoudigde, antwoord. Er is door de gelijknamigheid niets aan de uitkomst gewijzigd.
Gaat dit ook dan ook op voor het delen?
\({\frac{a}{b} \over \frac{c}{d}}={\frac{a \times d}{b \times d} \over \frac{c \times b}{d \times b}}\times {\frac{d \times b}{c \times b} \over \frac{d \times b}{c \times b}}={\frac{ad}{bd} \times \frac{db}{cb} \over \frac{cb}{db} \times \frac{db}{cb}}={\frac{ad \times db}{bd \times cd} \over \frac{cb \times db}{cd \times db}}={\frac{a \times d}{b \times c} \over \frac{cd}{cd}}={\frac{ad}{bc} \over 1}=\frac{ad}{bc}\)
de volledige werkwijze voor het delen en gelijknamigheid
\({\frac{2}{3} \over \frac{1}{4}}={\frac{2 \times 4 \times 4 \times 3}{3 \times 4 \times 1 \times 3} \over \frac{1 \times 3 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 1 \times 3}}= {\frac{96}{36} \over \frac{36}{36}}={\frac{96}{36} \over 1}=\frac{96}{36}=\frac{48}{18}=\frac{24}{9}=\frac{8}{3}\)
getallen voorbeeld
En ook hier is de uitkomst is wederom exact hetzelfde als het eerdere, niet verder vereenvoudigde, antwoord. Er is door de gelijknamigheid niets aan de uitkomst gewijzigd.
In het bovenstaande bewijs heb ik het gelijknamig maken 'meegenomen' in de gehele berekening. Hierdoor lijkt het bewijs en het voorbeeld zeer moeilijk te volgen en daar niet te begrijpen. Je mag ook eerst de breuken gelijknamig maken en dan de opgave verder uitwerken. Het ziet er dan inderdaad eenvoudiger uit, zoals het onderstaande voorbeeld:
\({\frac{2}{3} \over \frac{1}{4}}=?\)
Gelijknamig maken: \(\frac{2}{3} =>\frac{2\times 4}{3 \times 4}=\frac{8}{12}\) en \(\frac{1}{4}=>\frac{1 \times 3}{4 \times 3}=\frac{3}{12}\)
En nu de opgave uitwerken met deze nieuwe breuken:
\({\frac{8}{12} \over \frac{3}{12}}={\frac{8}{12} \times \frac{12}{3} \over \frac{3}{12} \times \frac{12}{3}}={\frac{8 \times 12}{12 \times 3} \over \frac{3 \times 12}{12 \times 3}}={\frac{96}{36} \over \frac{36}{36}}={\frac{96}{36} \over 1}=\frac{96}{36}\)
Door eerst de gelijknamigheid te gaan doen ziet de rest van de opgave er inderdaad 'eenvoudiger' uit.
Voor- en Nadelen
Goed met het bovenstaande hebben we dus bewezen dat we ook voor vermenigvuldigen en delen de breuken ook gelijknamig mogen maken. Hiermee kunnen we dus ook stellen dat we de breuken altijd eerst gelijknamig gaan maken en daarna de bewerking van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen of delen gaan uitvoeren.
Het voordeel van deze werkwijze is dat we niet meer hoeven te onthouden wanneer we nu wel of niet gelijknamigheid moeten uitvoeren. We doen het gewoon! Met als gevolg dat we dus één kans op een fout hebben weggewerkt. We hoeven immers niet meer na te denken over gelijknamigheid.
Een nadeel zou kunnen zijn dat de getallen groter worden. Echter bij het rekenen met breuken moeten we altijd naar een vereenvoudigde breuk gaan en maken we de breuk dus weer ‘kleiner’ voor wat het de gebruikte getallen betreft. En het moment van vereenvoudigen kunnen we ook naar voren halen zodat we weer met kleinere getallen kunnen werken.
Natuurlijk weten een ieder heel goed wanneer je breuken gelijknamig moet maken en zal dit ook feilloos toe gaan passen. Maar wanneer je begint te twijfelen, neem dan niet de gok en pas gelijknamigheid dan overal toe want het heeft geen invloed op je antwoord!
