Jullie zijn hier nu beland op mijn website over de stelling van Pythagoras. Deze website bestaat uit een stukje voorkennis, theorie (met oefenopgaven), kennisclips, oefen- en eindtoets(en) wat betreft de stelling.
Leerdoelen
Aan het einde van de les kun je:
Toelichten hoe je een rechthoekszijde en een schuine zijde kunt herkennen.
Stelling van Pythagoras op rechthoekige driehoeken toepassen door middel van schema’s en/of formules.
De stelling in een gegeven context toepassen.
Onder het kopje 'Theorie' kun je uitleg vinden over de stelling van Pythagoras (H6). Echter wordt er eerst een terugkoppeling gemaakt naar de voorgaande lessen over machtsverheffen en worteltrekken. Dit kopje wordt ondersteunt door een kennisclip.
Onder het kopje 'Oefeningen' kun je oefeningen vinden ter voorbereiding op de eindtoets. Deze eindtoets vind je onder het kopje 'Eindtoets' en telt mee voor je beoordeling. Zorg er dus voor dat je geconcentreerd aan de slag gaat. Je maakt alles zelfstandig.
Veel succes!
Theorie
Voorkennis
De stelling van Pythagoras gaat letterlijk over het optellen van oppervlaktes (kwadraten). Echter is uiteindelijk de bedoeling om de zijden van een (rechthoekige!) driehoek te berekenen. Om met deze stelling te kunnen werken moet je dus getrouwd zijn met twee rekenkundige bewerkingen, namelijk: machtsverheffen en worteltrekken. We gaan dus eerst de kennis van deze rekenkundige bewerkingen ophalen.
Let op! Worteltrekken is het omgekeerde van kwadrateren!
\(\sqrt{36} = 6\)
\(6^2 = 36\)
Machtsverheffen
Machten worden voornamelijk gebruikt om berekeningen snel uit te voeren of om formules korter te schrijven.
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 kun je korter schrijven, namelijk: 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = \(2^6\)
\(2^6\)is een macht.
\(2^6\)= 64
\(2^6\)spreek je uit als twee-tot-de-zesde of twee-tot-de-zesde-macht.
In \(2^6\)is 2 het grondtal en 6 de exponent.
Voorbeelden:
\(2^6\)= 6 x 6 = 36
\(-2^6\)= -(6 x 6) = -36
\((-2)^6\)= -6 x -6 = 36
Een macht slaat alleen op het getal en/of teken dat voor de macht staat. Bij \((-2)^6\) slaat de macht dus op alles wat tussen de haakjes staat!
Worteltrekken
Soms staan er berekeningen onder het wortelteken. Je moet dan eerst die berekeningen maken. Daarna trek je de wortel. Hierbij moet je niet vergeten dat worteltrekken het omgekeerde is van kwadrateren!
\( \sqrt{36}\) spreek je uit als wortel 36, de wortel uit36 of de wortel van 36.
Voorbeelden:
\(\sqrt{40+41} = \sqrt{81} = 9\)
\( \sqrt{25} + \sqrt{25} = 5 + 5 = 10\)
\(2\sqrt{50 + 50} = 2 x \sqrt{100} \)= 2 x 10 = 20
Eenrechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek een rechte hoek is, oftewel gelijk is aan 90°. De zijden van een rechthoekige driehoek hebben speciale namen, namelijk rechthoekszijden en schuine zijde. Maar hoe kunnen we deze zijden herkennen? De zijde tegenover de rechte hoek heet de schuine zijde (hypotenusa). De andere zijden zijn de benen van de rechte hoek. Deze zijden worden rechthoekszijden genoemd en zitten altijd vast aan de rechte hoek.
Voorbeeld: In figuur 1 zie je een rechthoekige driehoek.
Figuur 1
a) Welke zijden zijn de rechthoekszijden van deze rechthoekige driehoek? Licht dit toe.
Allereerst moeten we erachter komen welke hoek de rechte hoek is. In figuur 1 bevindt deze hoek zich bij A, dit kunnen we zien aan de symbool (een vierkant). Hiermee kunnen we beredeneren dat de zijden AB en AC de benen van de rechte hoek zijn. Deze zijden zitten namelijk vast aan deze hoek. De zijden AB en AC zijn dus de rechthoekszijden.
b) Welke zijde is de schuine zijde van deze rechthoekige driehoek? Licht dit toe.
Het gaat hier nog steeds om dezelfde figuur. Dit betekent dat hoek A ook bij deze opgave de rechte hoek is. In figuur 1 ligt de zijde BC tegenover de rechte hoek. Dus BC is de schuine zijde.
De kenmerken van een rechthoekige driehoek heb je nodig voor het toepassen van de stelling van Pythagoras. Echter is er iets bijzonders aan de hand bij deze driehoeken. De som van de oppervlakten van de twee kleinste vierkanten is namelijk gelijk aan de oppervlakte van het grootste vierkant (zie figuur 2). Als het ware geldt bij elke rechthoekige driehoek het volgende:
oppervlakte I + oppervlakte II = oppervlakte III
De oppervlakte van vierkant I met zijde AB kunnen we vervolgens berekenen met de volgende berekening: AB x AB = AB\(^2\). En zo is de oppervlakte van vierkant II gelijk aan AC x AC = AC\(^2\). En de oppervlakte van vierkant III is BC x BC = BC\(^2\). Verder weten we dat in driehoek ABC de zijden AB en AC de rechthoekszijden zijn en BC de schuine zijde is. Dit betekent dat we de stelling ook als volgt kunnen formuleren:
Dit wordt ook wel de stelling van Pythagoras genoemd.
Figuur 3
Voorbeeld: In figuur 3 zie je een rechthoekige driehoek.
In de driehoek KLM (zie figuur 3) is hoek K de rechte hoek. De rechthoekszijden zijn KL en KM. De zijde LM is de schuine zijde. Volgens de stelling van Pythagoras is KL\(^2\)+ KM\(^2\)= LM\(^2\).
Rechthoekszijde berekenen
Figuur 4
Je kunt de rechthoekszijden op twee manieren berekenen. Bij het maken van de oefeningen wordt er van je verwacht dat je beide methodes kunt toepassen. Tijdens de toets mag je echter zelf een methode kiezen om de opgave te kunnen oplossen. Hieronder worden beide manieren toegelicht en toegepast op een gegeven rechthoekige driehoek.
Zowel bij methode 1 als bij methode 2 moet je eerst opzoek gaan naar de rechthoekszijden, schuine zijde en rechte hoek!
Methode 1:
Je kunt de rechthoekszijden aan de hand van een schema berekenen. Deze schema is als volgt:
Aanpak:
In figuur 4 zie je een rechthoekige driehoek. Zoals hierboven beschreven staat, moet je eerst opzoek naar de speciale zijden en de rechte hoek. Hoek A is de rechte hoek en hieruit kunnen we direct concluderen dat zijden AB en AC de rechthoekszijden zijn en zijde BC de schuine zijde is. Noteren in de bovenstaande schema geeft de onderstaande schema.
Als we dit omschrijven naar een formule krijgen we het volgende:
6\(^2\)+ AC\(^2\)= 14\(^2\)
AC\(^2\)= 14\(^2\)- 6\(^2\)= 196 - 36 = 160
AC =\( { \sqrt{160} }\)= 12,64911 = 12,6 cm
De onbekende rechthoekszijde (AC) is dus 12,6 cm lang.
Methode 2:
Een rechthoekszijde kun je ook berekenen door gebruik te maken van de onderstaande formule:
rz = \({ \sqrt{(sz^2-rz^2)} }\) (rz staat voor rechthoekszijde en sz voor schuine zijde)
Aanpak:
In figuur 4 zie je een rechthoekige driehoek. Bij de eerste methode hebben we de rechthoekszijden en de schuine zijde bepaald. Dit invullen in de formule geeft:
Je kunt de schuine zijde ook op twee manieren berekenen. Bij het maken van de oefeningen wordt er van je verwacht dat je beide methodes kunt toepassen. Tijdens de toets mag je echter zelf een methode kiezen om de opgave te kunnen oplossen. Hieronder worden beide manieren toegelicht en toegepast op een gegeven rechthoekige driehoek.
Zowel bij methode 1 als bij methode 2 moet je eerst opzoek gaan naar de rechthoekszijden, schuine zijde en rechte hoek!
Methode 1:
Je kunt de schuine zijde aan de hand van een schema berekenen. Deze schema is als volgt:
Aanpak:
In figuur 5 zie je een rechthoekige driehoek. Zoals hierboven beschreven staat, moet je eerst opzoek naar de speciale zijden en de rechte hoek. Hoek A is de rechte hoek en hieruit kunnen we direct concluderen dat zijden AB en AC de rechthoekszijden zijn en zijde BC de schuine zijde is. Noteren in de bovenstaande schema geeft de onderstaande schema.
Als we dit omschrijven naar een formule krijgen we het volgende:
7\(^2\)+ 3\(^2\)= AB\(^2\)
AB\(^2\)= 49 + 9 = 58
AC = \( { \sqrt{58} }\)= 12,64911 = 12,6 cm
De onbekende rechthoekszijde (AC) is dus 12,6 cm lang.
Methode 2:
Een rechthoekszijde kun je ook berekenen door gebruik te maken van de onderstaande formule:
sz = \({ \sqrt{(rz^2+rz^2)} }\) (rz staat voor rechthoekszijde en sz voor schuine zijde)
Aanpak:
In figuur 5 zie je een rechthoekige driehoek. Bij de eerste methode hebben we de rechthoekszijden en de schuine zijde bepaald. Dit invullen in de formule geeft:
In het onderstaande filmpje wordt er extra uitleg gegeven over de rechthoekszijden en schuine zijde. Bekijk het filmpje alleen als je nog moeite hebt met het herkennen van deze speciale zijden en/of het toepassen van de stelling. Heb je het gevoel dat je alles begrijpt, ga dan door naar de oefeningen.
Oefeningen
Filmpjes met oefenvragen
Jullie gaan nu twee filmpjes bekijken. Het eerste filmpje gaat over het berekenen van de schuine zijde en wordt gevolgd door een filmpje over het bereken van de rechthoekszijden. Beide filmpjes bestaan uit vragen die je tijdens het bekijken moet beantwoorden. Dit zijn zowel open vragen als meerkeuzevragen. De resultaten krijg ik te zien. Ga dus serieus aan de slag, succes!
Filmpje 1:
Filmpje 2:
Kruiswoordpuzzel
Het is belangrijk dat je de leerstof in verschillende soorten opgaven gaat toepassen. Zo kun je checken of je de leerdoelen hebt behaald voordat je de eindtoets gaat maken. Je gaat nu dus de onderstaande kruiswoordpuzzel maken. Druk op ''Start'' om te beginnen. Succes!
UITDAGING!
Deze oefentoets is gemaakt voor leerlingen die extra uitgedaagd willen worden. Maak deze toets dus alleen als je voldoende tijd over hebt en de opgaven van de filmpjes en kruiswoordpuzzel hebt gemaakt. Deze toets bestaat uit 7 vragen. Succes!
Het arrangement Stelling van Pythagoras is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Beyza Adiyaman
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2019-02-03 22:04:04
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
Stelling van Pythagoras
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
Als we dit omschrijven naar een formule krijgen we het volgende:
7
