15. Gelijkvormigheid - Ashram

Rubric

15 Intro

Opgave 1

15.1 Wel of niet gelijkvormig

Je kunt een figuur of een afbeelding op verschillende manieren vergroten.

Kijk maar eens naar de verkeersborden hieronder.

 

Als het verkeerdbord A het origineel is. Dan zijn de borden, B, C  en D de vergrotingen. We noemen een vergroting ook wel het beeld.

Bord B is wel groter in de breedte, maar de hoogte is kleiner dan het origineel A. Ook de afbeelding zie er vreemd uit: helemaal plat ten opzichte van het origineel.

Bord C is ook groter in de hoogte, maar de breedte is kleiner dan het origineel B. Deze afbeelding ziet er ook vreemd uit: helemaal smal.

Bord C is groter in de lengte en de breedte in vergelijking met het origineel. Ook ziet de afbeelding D er nog steeds uit zoals het origineel. Als je gaat controleren dan zul je zien dat de verhouding van de lengte en de breedte, bij zowel het origineel A als het beeld D gelijk zijn aan elkaar. 

Daarom is het beeld D een vergroting van het origineel A.

 

We zeggen dan ook wel dat van twee figuren de één een vergroting van de ander is als:

  • de vorm gelijk is gebleven
  • als de verhoudingen van alle lengtes in het origineel en het beeld gelijk zijn aan elkaar

 

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

15.2 Vergrotingen met een factor

Een korte eenvoudige uitleg van wat nou de vergrotingsfactor is.

 

 

Je hebt gezien dat als het beeld en origneel dezelfde vorm en verhouding van lengtes hebben, we spreken van een vergroting.

De mate waarin de lengtes van het origineel groter of kleiner zijn noemen we de vergrotingsfactor, of korter gezegd: de factor.

De factor schrijven we meestal met de letter k.

 

De factor kun je met de volgende formule uitrekenen:

 

We gaan bij de volgende rechthoeken, die een vergroting van elkaar zijn, de factor uitrekenen.

 

Het origineel is rechthoek ABCD. Elk roostervierkantje heeft de afmeting van 1cm x 1cm.

AB = 2 cm en AD = 1 cm

In de rechthoek KLMN, is zijde KL = 3cm en KN = 1,5cm.

Je kunt nu voor de hoogte en de breedte apart de factor uitrekenen.

voor de breedte geldt

      factor = beeld : origineel = KL : AB = 3 : 2 = 1,5

voor de hoogte geldt

       factor = KN : AD = 1,5 : 1 =  1,5

Je ziet dat zowel voor de hoogte als de breedte er eenzelfde vergrotingsfsctor uit komt. Daarmee kunnen we de definitie die we eerder gaven wat aanscherpen:

Een beeld is een vergroting van het origineel als:

  • de vorm gelijk is gebleven
  • alle zijdes / lengte van het beeld met dezelfde factor vermenigvuldigd zijn t.o.v. het origineel

 

Die tweede regel van de definitie gaan we gebruiken om aan te tonen dat rechthoek PQRS een vergroting is van ABCD met de factor 2,5.

Uit de tweede regel volgt namelijk dat waar moet zijn:    AB x 2,5 = PQ  en AD x 2,5 = PS.

Dat gaan we uitrekenen:

PQ = AB x 2,5 = 2 x 2,5 = 5 cm.  Dat klopt met de afbeelding.

PS = AD x 2,5 = 1 x 2,5 = 2,5 cm. Dat klopt met de afbeelding.

En omdat beide zijden met dezelfde factor groter zijn geworden, is rechthoek PQRS een vergroting van rechthoek ABCD.

Vraag: waarom controleren we zijden QR en RS niet bij het beeld?

 

Behalve de formule voor de factor is er dus ook een formule om de lengte van het beeld uit te rekenen als je het origineel en de factor weet.  En ook als je terug moeten rekenen vanuit het beeld en de factor naar het origineel kun je een formule gebruiken:

Deze formules moet je gaan gebruiken bij het maken van de volgende opgaven.

 

Hieronder kun je dit nog samengevat in een filmpje terug zien.

 

 

 

 

Factor en vergroten

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

Opgave 12

Opgave 13

Opgave 14

Opgave 15

Opgave 16

Opgave 17

Opgave 18

15.3 Rekenen aan gelijkvormige figuren

Opgave 19

Opgave 20

Opgave 21

Opgave 22

Opgave 23

Opgave 24

Uitleg video's

Kruistabellen

Herkennen Snavel en zandloper figuur.

Rekenen met Snavel en zandloper figuur.

Opgave 25

Opgave 26

Opgave 27

Opgave 28

Opgave 29

Opgave 30

15.4 Oppervlakte en inhoud

Opgave 31

Theorie vergrotingsfactor bij oppervlakte en inhoud.

Opgave 32

Maak de opgaven 2 en 3 van het opdrachtenblad.

Opgave 33

Maak de opgaven 6 en 7 van het opdrachtenblad.

Theorie inhoud

Opgave 37

Opgave 38

Opgave 41

15.5 Eindpunt

Vergroten en verkleinen

Als een figuur wordt vergroot of verkleind, blijft hij gelijkvormig (houdt hij dezelfde vorm).

De verhoudingen van overeenkomstige lijnstukken van gelijkvormige figuren zijn hetzelfde.

Overeenkomstige hoeken van gelijkvormige figuren zijn gelijk.

Gelijkvormige driehoeken

Als twee driehoeken twee paar gelijke hoeken hebben, zijn de derde hoeken ook gelijk. Dan zijn de driehoeken gelijkvormig.

Als de verhoudingen van de zijden van twee driehoeken hetzelfde is, dan zijn de driehoeken gelijkvormig.

Oppervlakte

We vergelijken twee gelijkvormige vlakke figuren.
Als de afmetingen van de grootste \(f\) keer zo groot zijn als de overeenkomstige afmetingen van de kleinste,
dan is de oppervlakte van de grootste \(f^2\) keer zo groot als de oppervlakte van de kleinste.

Oppervlakte en inhoud

We vergelijken twee gelijkvormige ruimtelijke figuren.
Als de afmetingen van de grootste \(f\) keer zo groot zijn als de overeenkomstige afmetingen van de kleinste,
dan is de oppervlakte van de grootste \(f^2\) keer zo groot als de oppervlakte van de kleinste,
en is de inhoud van de grootste \(f^3\) keer zo groot als de inhoud van de kleinste.

Het geval evenwijdig

Als in driehoek \(ABC\) de punten \(D\) en \(E\) zó op \(AC\) en \(BC\) liggen dat \(DE\) evenwijdig is aan \(AB\),
dan hebben de driehoeken \(ABC\) en \(DEC\) gelijke hoeken,
dus zijn de driehoeken \(ABC\) en \(DEC\) gelijkvormig,
dus zijn de verhoudingen tussen de overeenkomstige zijden \(AB\) en \(DE\), \(AC\) en \(DC\), \(BC\) en \(EC\) gelijk.

Dit is ook zo als \(D\) en \(E\) op de verlengden van \(AC\) en \(BC\) liggen (dan ligt \(DE\) dus buiten driehoek \(ABC\)).

Het geval anti-evenwijdig

Als in driehoek \(ABC\) de punten \(D\) en \(E\) zó op \(AC\) en \(BC\) liggen dat \(\angle CED=\angle A\) en \(\angle CDE=\angle B\),
dan noemen we \(DE\) anti-evenwijdig aan \(AB\),
dan hebben de driehoeken \(ABC\) en \(DEC\) gelijke hoeken,
dus zijn de driehoeken \(ABC\) en \(DEC\) gelijkvormig,
dus zijn de verhoudingen tussen de overeenkomstige zijden \(AB\) en \(DE\), \(AC\) en \(EC\), \(BC\) en \(DC\) gelijk.

Dit is ook zo als \(D\) en \(E\) op de verlengden van \(AC\) en \(BC\) liggen (dan ligt \(DE\) dus buiten driehoek \(ABC\)).

15.6 Extra opgaven

Opgave 1

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

Opgave 12

Oker

Opgave 27-S

Opgave 28-S

Opgave 38-S

  • Het arrangement 15. Gelijkvormigheid - Ashram is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Sectie Wiskunde
    Laatst gewijzigd
    2021-11-20 11:09:08
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Rekenen/wiskunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, leerlijn, rearrangeerbare

    Bronnen

    Bron Type
    Een korte eenvoudige uitleg van wat nou de vergrotingsfactor is.
    https://www.youtube.com/watch?v=29X-8LaVoV0     		Video
    Factor en vergroten
    https://www.youtube.com/watch?v=MFj0rx-56cM     		Video
    Kruistabellen
    https://youtu.be/jZ3-ELwKx2g     		Video
    Herkennen Snavel en zandloper figuur.
    https://youtu.be/blxzH9YzqeY     		Video
    Rekenen met Snavel en zandloper figuur.
    https://youtu.be/hpo7KKAdIzM     		Video
    Theorie vergrotingsfactor bij oppervlakte en inhoud.
    https://www.youtube.com/watch?v=cun5zzdLjHw&t     		Video

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2017).

    15. Gelijkvormigheid

    https://maken.wikiwijs.nl/112713/15__Gelijkvormigheid

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van