30 Intro

Opgave 1

Opgave 2

30.1 is functie van ...

Opgave 3

Opgave 4

Bij een tijdstip t hoort nooit meer dan één afstand \(a\).
We noteren: \(t→a\).
We zeggen dat \(a\) een functie is van \(t\).

Opgave 5

Opgave 6

Bij een horizontale afstand \(h\) hoort nooit meer dan één (verticale) hoogte \(v\).
We noteren: \(h→v\).
We zeggen dat \(v\) een functie is van \(h\).

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

Bij een ketting van machientjes is de uitvoer \(y\) een functie van de invoer \(x\). Dat
wil zeggen: als je een invoer \(x\) kiest, ligt de daarbij behorende uitvoer \(y\) vast.
We noteren: \(x→y\).
In de Intro heb je twaalf grafieken gezien. Zes daarvan waren voorbeelden van
functies, de andere zes kunnen onmogelijk de grafiek van een functie zijn.

Je kunt een functie beschouwen als een machine. Daarin kun je getallen
invoeren. In het inwendige van de machine gebeurt het een en ander.
Daarna voert de machine een getal uit.
De uitvoer hangt af van de invoer.

Bij een getal als invoer hoort nooit meer dan één getal als uitvoer.

De invoer en uitvoer hoeven niet per se getallen te zijn. Maar voorlopig is dat
voor ons wel het geval. In de laatste paragraaf van dit hoofdstuk bekijken we ook
andere soorten functies.

Opgave 12

Opgave 13

Opgave 14

Opgave 15

Deze functie heeft een eigen naam: ABSOLUTE WAARDE, afgekort ABS.
De uitvoer bij invoer \(x\) noteren we als \(|x|\).
We noemen \(|x|\) de absolute waarde van \(x\).
Dus: \(x→[\)ABS\(]→|x|\).
\(| \space\space\space |\) heten de absolute-waardestrepen.

30.2 Nieuwe functies

Opgave 16

Opgave 17

Opgave 18

Opgave 19

Opgave 20

Opgave 21

Opgave 22

Opgave 23

Opgave 24

Opgave 25

Opgave 26

Als \(|A|=5\), dan \(A=5\) of \(A=‐5\).
Deze stap gebruiken we bij het oplossen van de volgende vergelijkingen.

Voorbeeld 1
Los op:
\(|3x+4|=5\)

\(3x+4=5\)	of	\(3x+4=‐5\)
\(3x=1\)	of	\(3x=‐9\)
\(x=\frac{1}{3}\)	of	\(x=‐3\)

Voorbeeld 2
Los op:
\(∣x^2−11∣=5\)

\(x^2−11=5\)	of	\(x^2−11=‐5\)
\(x^2=16\)	of	\(x^2=6\)
\(x=4\) of \(x=‐4\)	of	\(x=\sqrt{6}\) of \(x=‐\sqrt{6}\)

Opgave 27

Opgave 28

Als je \(3,68\) afrondt naar beneden op een geheel getal, krijg je \(3\). We zeggen ook wel: \(3\) is het gehele deel van \(3,68\). En \(0,68\) is de rest (het breukdeel) van \(3,68\).

De afrondfunctie die aan een getal zijn gehele deel koppelt, heet Integer (het Engelse woord voor geheel). Op een programmeerbaar rekenmachientje zit deze functie ook, meestal onder de naam Integer. De functie rondt consequent naar beneden af, ook bij negatieve getallen.

Dus \(‐3,14→[\)INT\(]→‐4\).

Opgave 29

Opgave 30

Opgave 31

30.3 Functies in ruimere zin

Opgave 32

We hebben ons tot nu toe beperkt tot functies met reële getallen als invoer en
uitvoer. In het vervolg van deze paragraaf bekijken we functies waarbij de invoer
en uitvoer ook andere dingen kunnen zijn.

Opgave 33

Opgave 34

Opgave 35

Opgave 36

Opgave 37

Opgave 38

Een meetkundige functie koppelt aan punten weer punten. We kunnen een meetkundige functie beschrijven door te zeggen wat er met elk punt gebeurt.

De invoer wordt wel origineel genoemd, de uitvoer beeld. Een meetkundige functie heet ook wel afbeelding.

30.4 Eindpunt

Wat is een functie?

Als een grootheid \(y\) volledig bepaald is door een andere grootheid \(x\), dan zeggen we dat \(y\) een functie is van \(x\).

Notatie: \(x→y\).

\(x\) heet de invoer van de functie, \(y\) heet de uitvoer.

De enige eis is dat er bij een waarde van \(x\) niet meer dan een waarde van \(y\) hoort.

De invoer noemen we vaak \(x\) en de uitvoer \(y\), maar dat hoeft niet.

black box
Een functie is een black box: je voert een getal in (of iets anders), wat er binnen in de box gebeurt weet je niet, en dan komt er een getal uit (of iets anders).

Soms moet je gevallen onderscheiden om de uitvoer door formules uit te drukken in de invoer.

Machientjes zijn functies

PLUS \(‐3=\) MIN \(3\)	\(y=x−3\)
PLUS \(5=\) MIN \(‐5\)	\(y=x+5\)
MAAL \(‐2=\) DEEL DOOR \(‐\frac12\)	\(y=‐2x\)
MAAL \(\frac12=\) DEEL DOOR \(2\)	\(y=\frac12x\)
TEGEN	\(y=‐x\)
OMGEKEERDE	\(y=\frac1x\)
KWADRAAT	\(y=x^2\)
WORTEL	\(y= \sqrt x\)
DERDEMACHT	\(y= x^3\)

Door functies na elkaar te schakelen ontstaan kettingen.

Lineaire en kwadratische functies

Een lineaire functie heeft een formule in de vorm \(y=ax+b\).
Hierbij is \(x\) de invoer en is \(y\) de uitvoer.
De grafiek is een rechte lijn.

Een kwadratische functie heeft een formule in de vorm \(y=ax^2+bx+c\).
Hierbij is \(x\) de invoer en is \(y\) de uitvoer.
De grafiek is een parabool.

Afronden
"Afronden" is ook een functie. Je kunt bijvoorbeeld naar beneden afronden op een geheel getal.
Dit komt vaak voor bij tarieven. De grafiek van een functie bij tarieven is vaak geknikt of maakt sprongen.

De functie ABS

De functie ABS voegt aan een getal zijn absolute waarde toe:
\(x→[\)ABS\(]→|x|\).
De grafiek van ABS is geknikt: ze bestaat uit twee halve lijnen die in \((0,0)\) een
hoek van \(90\)° maken.

De functie INT

De functie INT rondt af naar beneden op een geheel getal.
De grafiek van INT bestaat uit "tredes": horizontale lijnstukken die sprongen
maken.
Deze functie komt vaak voor bij tarieven.

Absolute waarde

De absolute waarde van een getal is zijn afstand tot \(0\) op de getallenlijn.
De absolute waarde van \(x\) noteren we zó: \(|x|\).
Als \(|x|=5\), dan \(x=5\) of \(x=‐5\).

\(|a−b|\) is het verschil van \(a\) en \(b\), waarbij de kleinste van de grootste wordt afgetrokken.

Speciale functies

De invoer en uitvoer hoeven niet per se getallen te zijn. Bijvoorbeeld bij:

functies bij familierelaties
functies bij verwisselingen
functies in de meetkunde (afbeeldingen)

30.5 Extra opgaven