Bij een tijdstip t hoort nooit meer dan één afstand \(a\).
We noteren: \(t→a\).
We zeggen dat \(a\) een functie is van \(t\).
Opgave 5
Opgave 6
Bij een horizontale afstand \(h\) hoort nooit meer dan één (verticale) hoogte \(v\).
We noteren: \(h→v\).
We zeggen dat \(v\) een functie is van \(h\).
Opgave 7
Opgave 8
Opgave 9
Opgave 10
Opgave 11
Bij een ketting van machientjes is de uitvoer \(y\) een functie van de invoer \(x\). Dat
wil zeggen: als je een invoer \(x\) kiest, ligt de daarbij behorende uitvoer \(y\) vast.
We noteren: \(x→y\).
In de Intro heb je twaalf grafieken gezien. Zes daarvan waren voorbeelden van
functies, de andere zes kunnen onmogelijk de grafiek van een functie zijn.
Je kunt een functie beschouwen als een machine. Daarin kun je getallen
invoeren. In het inwendige van de machine gebeurt het een en ander.
Daarna voert de machine een getal uit.
De uitvoer hangt af van de invoer.
Bij een getal als invoer hoort nooit meer dan één getal als uitvoer.
De invoer en uitvoer hoeven niet per se getallen te zijn. Maar voorlopig is dat
voor ons wel het geval. In de laatste paragraaf van dit hoofdstuk bekijken we ook
andere soorten functies.
Opgave 12
Opgave 13
Opgave 14
Opgave 15
Deze functie heeft een eigen naam: ABSOLUTE WAARDE, afgekort ABS.
De uitvoer bij invoer \(x\) noteren we als \(|x|\).
We noemen \(|x|\) de absolute waarde van \(x\).
Dus: \(x→[\)ABS\(]→|x|\). \(| \space\space\space |\) heten de absolute-waardestrepen.
30.2 Nieuwe functies
Opgave 16
Opgave 17
Opgave 18
Opgave 19
Opgave 20
Opgave 21
Opgave 22
Opgave 23
Opgave 24
Opgave 25
Opgave 26
Als \(|A|=5\), dan \(A=5\) of \(A=‐5\).
Deze stap gebruiken we bij het oplossen van de volgende vergelijkingen.
Voorbeeld 1
Los op: \(|3x+4|=5\)
\(3x+4=5\)
of
\(3x+4=‐5\)
\(3x=1\)
of
\(3x=‐9\)
\(x=\frac{1}{3}\)
of
\(x=‐3\)
Voorbeeld 2
Los op: \(∣x^2−11∣=5\)
\(x^2−11=5\)
of
\(x^2−11=‐5\)
\(x^2=16\)
of
\(x^2=6\)
\(x=4\) of \(x=‐4\)
of
\(x=\sqrt{6}\) of \(x=‐\sqrt{6}\)
Opgave 27
Opgave 28
Als je \(3,68\) afrondt naar beneden op een geheel getal, krijg je \(3\). We zeggen ook wel: \(3\) is het gehele deel van \(3,68\). En \(0,68\) is de rest (het breukdeel) van \(3,68\).
De afrondfunctie die aan een getal zijn gehele deel koppelt, heet Integer (het Engelse woord voor geheel). Op een programmeerbaar rekenmachientje zit deze functie ook, meestal onder de naam Integer. De functie rondt consequent naar beneden af, ook bij negatieve getallen.
Dus \(‐3,14→[\)INT\(]→‐4\).
Opgave 29
Opgave 30
Opgave 31
30.3 Functies in ruimere zin
Opgave 32
We hebben ons tot nu toe beperkt tot functies met reële getallen als invoer en
uitvoer. In het vervolg van deze paragraaf bekijken we functies waarbij de invoer
en uitvoer ook andere dingen kunnen zijn.
Opgave 33
Opgave 34
Opgave 35
Opgave 36
Opgave 37
Opgave 38
Een meetkundige functie koppelt aan punten weer punten. We kunnen een meetkundige functie beschrijven door te zeggen wat er met elk punt gebeurt.
De invoer wordt wel origineel genoemd, de uitvoer beeld. Een meetkundige functie heet ook wel afbeelding.
30.4 Eindpunt
Wat is een functie?
Als een grootheid \(y\) volledig bepaald is door een andere grootheid \(x\), dan zeggen we dat \(y\) een functie is van \(x\).
Notatie: \(x→y\).
\(x\) heet de invoer van de functie, \(y\) heet de uitvoer.
De enige eis is dat er bij een waarde van \(x\) niet meer dan een waarde van \(y\) hoort.
De invoer noemen we vaak \(x\) en de uitvoer\(y\), maar dat hoeft niet.
black box
Een functie is een black box: je voert een getal in (of iets anders), wat er binnen in de box gebeurt weet je niet, en dan komt er een getal uit (of iets anders).
Soms moet je gevallen onderscheiden om de uitvoer door formules uit te drukken in de invoer.
Machientjes zijn functies
PLUS \(‐3=\) MIN \(3\)
\(y=x−3\)
PLUS \(5=\) MIN \(‐5\)
\(y=x+5\)
MAAL \(‐2=\) DEEL DOOR \(‐\frac12\)
\(y=‐2x\)
MAAL \(\frac12=\) DEEL DOOR \(2\)
\(y=\frac12x\)
TEGEN
\(y=‐x\)
OMGEKEERDE
\(y=\frac1x\)
KWADRAAT
\(y=x^2\)
WORTEL
\(y= \sqrt x\)
DERDEMACHT
\(y= x^3\)
Door functies na elkaar te schakelen ontstaan kettingen.
Lineaire en kwadratische functies
Een lineaire functie heeft een formule in de vorm \(y=ax+b\).
Hierbij is \(x\) de invoer en is \(y\) de uitvoer.
De grafiek is een rechte lijn.
Een kwadratische functie heeft een formule in de vorm \(y=ax^2+bx+c\).
Hierbij is \(x\) de invoer en is \(y\) de uitvoer.
De grafiek is een parabool.
Afronden
"Afronden" is ook een functie. Je kunt bijvoorbeeld naar beneden afronden op een geheel getal.
Dit komt vaak voor bij tarieven. De grafiek van een functie bij tarieven is vaak geknikt of maakt sprongen.
De functie ABS
De functie ABS voegt aan een getal zijn absolute waarde toe: \(x→[\)ABS\(]→|x|\).
De grafiek van ABS is geknikt: ze bestaat uit twee halve lijnen die in \((0,0)\) een
hoek van \(90\)° maken.
De functie INT
De functie INT rondt af naar beneden op een geheel getal.
De grafiek van INT bestaat uit "tredes": horizontale lijnstukken die sprongen
maken.
Deze functie komt vaak voor bij tarieven.
Absolute waarde
De absolute waarde van een getal is zijn afstand tot \(0\) op de getallenlijn.
De absolute waarde van \(x\) noteren we zó: \(|x|\).
Als \(|x|=5\), dan \(x=5\) of \(x=‐5\).
\(|a−b|\) is het verschil van \(a\) en \(b\), waarbij de kleinste van de grootste wordt afgetrokken.
Speciale functies
De invoer en uitvoer hoeven niet per se getallen te zijn. Bijvoorbeeld bij:
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: in functie van, nieuwe functie en functie in ruimere zin.
Leerniveau
VWO 2;
HAVO 1;
VWO 1;
HAVO 3;
VWO 3;
HAVO 2;
Leerinhoud en doelen
Verbanden en formules;
Grafieken, tabellen, verbanden en formules;
Rekenen/wiskunde;
Functie (notatie);
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: in functie van, nieuwe functie en functie in ruimere zin.
