29. Parabolen en hyperbolen

29 Intro

Opgave 1

29.1 Conflictlijn

Opgave 2

Opgave 3

29.2 Parabolen

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

  • De parabool \(y=c(x−a)^2+b\) (met \(c≠0\)) ontstaat door de parabool \(y=cx^2\)
    als volgt te verschuiven:
    \(a\) eenheden naar rechts en \(b\) eenheden naar boven.

  • De top van de parabool is dus \((a,b)\).

  • Je krijgt een dalparabool als \(c>0\) en een bergparabool als \(c<0\). Het getal \(c\)
    bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.

  • De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top.
    Een vergelijking van de symmetrieas is: \(x=a\).

 

Opgave 12

Opgave 13

Opgave 14

Opgave 15

Opgave 16

29.3 Vergelijkingen opstellen voor parabolen

Opgave 17

Opgave 18


Van een parabool is de top \((‐2,3)\).
Een deel van de vergelijking van de parabool is: \(y=c(x+2)^2+3\).
Als je buiten de top nog een punt van de parabool kent, kun je \(c\) bepalen.

Als bijvoorbeeld \((‐6,‐5)\) er op ligt, krijg je:
\(‐5=c(‐6+2)^2+3\)
\(‐5=16c+3\)
\(‐8=16c\)
\(‐\frac{1}{2}\)\(=c\)

Een vergelijking van de parabool is: \(y=‐\frac{1}{2}(x+2)^2+3\).

 

Opgave 19

29.4 abc-formule

Opgave 20

Opgave 21

Opgave 22

Opgave 23

Opgave 24

Opgave 25

Opgave 26


Of de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\) oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van \(D=b^2−4ac.\) We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.
Discriminare (Latijn) betekent: onderscheid maken. (Hier wordt onderscheid gemaakt tussen het aantal oplossingen.)


De abc-formule (wortelformule)
De vierkantsvergelijking \(ax^2+bx+c=0\) met \(a≠0\) heeft

  • geen oplossingen als \(D<0\)

  • één oplossing als \(D=0\), namelijk: \(x=‐\frac{b}{2a}\)

  • twee oplossingen als \(D>0\) namelijk:
    \(x=\frac{‐b+\sqrt{D}}{2a}\)   of    \(x=\frac{‐b-\sqrt{D}}{2a}\)

 

Een bewijs van de abc-formule

\(ax^2+bx+c=0\)

MAAL \(4a\)
\(4a^2x^2+4abx+4ac=0\)

kwadraatafsplitsen
\((2ax+b)^2−b^2+4ac=0\)

PLUS \(b^2 \), MIN \(4ac\)
\((2ax+b)^2=b^2−4ac\)  
\(2ax+b=\sqrt{b^2−4ac}\) of \(2ax+b=‐\sqrt{b^2−4ac}\)
\(2ax=‐b+\sqrt{b^2−4ac}\) of \(2ax=‐b−\sqrt{b^2−4ac}\)
\(x=\frac{‐b+\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) of \(x=\frac{‐b-\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\)


Voorbeeld
\(7x^2−6x+1=0\)
Deze vergelijking krijg je uit \(ax^2+bx+c=0\) door \(a=7\), \(b=‐6\) en \(c=1\) in te vullen.
\(D=(‐6)^2−4⋅7⋅1=36−28=8\) (dus de vergelijking heeft twee oplossingen)
\(\sqrt{D}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)
\(x=\frac{‐(‐6)+2\sqrt{2}}{14}\)   of    \(x=\frac{‐(‐6)-2\sqrt{2}}{14}\)
\(x=\frac{3}{7}+\frac{1}{7}\sqrt{2}\)   of    \(x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\sqrt{2}\)

Opgave 27

Opgave 28

Opgave 29

 

Alle lijnen die evenwijdig met de symmetrieas van de parabool zijn, hebben natuurlijk één gemeenschappelijk punt met de parabool. Als een lijn niet evenwijdig met de symmetrieas is en één gemeenschappelijk punt met de parabool heeft, spreken we van een raaklijn aan de parabool.
De lijn \(y=x−\frac14\) is een raaklijn aan de parabool \(y=x^2\).
Het raakpunt is \((\frac12,\frac14)\).

 

Opgave 30

Opgave 31

Opgave 32

29.5 Hyperbolen

Opgave 33

Opgave 34


De hyperbool \((x−a)(y−b)=c\) ontstaat uit de hyperbool \(xy=c\) door \(a\) eenheden naar rechts en \(a\) eenheden omhoog te schuiven.
De vergelijking van de horizontale asymptoot is: \(y=b\) en de vergelijking van de verticale asymptoot is: \(x=a\).

 

Opgave 35

Opgave 36

29.6 Gemengde opgaven

Opgave 37

Opgave 38

Opgave 39

Opgave 40

Opgave 41

Opgave 42

Opgave 43

29.7 Eindpunt

Parabolen

De parabool met vergelijking \(y=x^2\) noemen we de standaardparabool.

De parabool \(y=c(x−a)^2+b\) (met \(c≠0\)) ontstaat uit de parabool \(y=cx^2\)
door die \(a\) eenheden naar rechts en \(b\) eenheden naar boven te schuiven.

De top van de parabool is \((a,b)\).

Je krijgt een dalparabool als \(c>0\) en een bergparabool als \(c<0\). Het getal \(c\)
bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.

De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top.
Een vergelijking van de symmetrieas is: \(x=a\).

Opstellen van een vergelijking voor parabolen

De vergelijking van een parabool is: \(y=c(x−a)^2+b\) (met \(c≠0\)), \( (a,b)\) is de top en een willekeurig punt is \((x,y)\).

De top van een parabool is \((‐1,2)\), dan \(a=‐1\) en \(b=2\).

Hier volgt uit: \(y=c(x+1)^2+2\).
Een punt op de parabool is \((3,1)\), dan \(x=3\) en \(y=1\).
Hier volgt uit:
\(1=c(3+1)^2+2\)
\(1=16c+2\)
\(‐1=16c\)
\(‐\frac{1}{16}=c\)
Vergelijking van de parabool: \(y=‐\frac{1}{16}(x+1)^2+2\).

Hyperbolen

De hyperbool \((x−a)(y−b)=c\) ontstaat uit de hyperbool \(xy=c\) door \(a\)
eenheden naar rechts en \(b\) eenheden omhoog te schuiven.

De vergelijking van de horizontale asymptoot is: \(y=b\) en de vergelijking van de
verticale asymptoot is: \(x=a\).

 

 

 

 

Opstellen van een vergelijking voor hyperbolen

De horizontale asymptoot van een hyperbool heeft vergelijking \(y=3\).
De verticale assymptoot heeft vergelijking \(x=‐1\).
Hieruit volgt dat \(a=‐1\) en \(b=3\) in de vergelijking \((x−a)(y−b)=c\).
Dus: \((x+1)(y−3)=c\).
Als je weet dat een punt van de hyperbool \((‐2,‐1)\) is, dan is \(x=‐2\) en \(y=‐1\).
Dus: \((‐2+1)(‐1−3)=4=c\).

Vergelijking van de hyperbool: \((x+1)(y−3)=4\).

 

 

abc-formule

Of de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\) oplossingen heeft, is te bepalen met de
waarde van \(D=b^2−4ac\).
We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.


De vierkantsvergelijking \(ax^2+bx+c=0\) met \(a≠0\) heeft

  • geen oplossingen als \(D<0\)

  • één oplossing als \(D=0\), namelijk: \(x=‐\frac{b}{2a}\)

  • twee oplossingen als \(D>0\) namelijk: \(x=\frac{‐b+\sqrt{D}}{2a}\)    of     \(x=\frac{‐b-\sqrt{D}}{2a}\)

Voorbeeld:
\(‐3(x−2)^2=8x−20\)
\(‐3x^2+12x−12=8x−20\)

\(‐3x^2+4x+8=0\)
\( \left. \begin{array}{l} a = ‐3\\ b = 4\\ c = 8 \end{array} \right\} \begin{array}{l} D=16-4⋅‐3⋅8=112\\ \sqrt{D}=\sqrt{112} = 4\sqrt7 \end{array}\)

\(x=\frac{‐4+4\sqrt7}{‐6} = \frac23-\frac23\sqrt7\)     of     \(x=\frac{‐4-4\sqrt7}{‐6} = \frac23+\frac23\sqrt7\)

Raaklijnen en raakpunten

Als een lijn één gemeenschappelijk punt met de parabool of hyperbool heeft,
spreken we van een raaklijn aan de parabool of hyperbool.

Voorbeeld:
Voor welke \(k\) raakt de lijn \(y=x+k\) aan de parabool \(y=x^2\)?
\(x^2=x+k⇒x^2−x−k=0\).
Raken betekent \(D=0\), dus \((‐1)^2−4⋅1⋅‐k=0⇒1+4k=0⇒k=‐\frac{1}{4}\).

Vergelijking raaklijn is: \(y=x−\frac{1}{4}\). Raakpunt is \((\frac{1}{2},\frac{1}{4})\).

29.8 Extra opgaven

Opgave 1

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

Opgave 12

Opgave 13

Opgave 14

Opgave 15

Opgave 16

Opgave 17

Opgave 18

Opgave 19

Oker

Opgave 14-S

Opgave 16-S

Opgave 19-S

Opgave 29-S

Opgave 31-S

Opgave 36-S

Opgave 38-S

Opgave 40-S

Opgave 41-S

  • Het arrangement 29. Parabolen en hyperbolen is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-10-04 19:49:24
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: conflictlijn, parabolen, vergelijkingen opstellen voor parabolen, abc-formule en hyperbolen.
    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Verbanden en formules; Werken met representaties - exponentiele formule opstellen; Grafieken, tabellen, verbanden en formules; Rekenen/wiskunde; Functie (notatie); Type verbanden;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    abc-formule, arrangeerbaar, conflictlijn, hyperbolen, parabolen, standaardparabool, stercollectie, vergelijking opstellen, vwo 3, wiskunde

    Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

    Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2018).

    29. Parabolen

    https://maken.wikiwijs.nl/120523/29__Parabolen

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van