De parabool \(y=c(x−a)^2+b\) (met \(c≠0\)) ontstaat door de parabool \(y=cx^2\)
als volgt te verschuiven: \(a\) eenheden naar rechts en \(b\) eenheden naar boven.
De top van de parabool is dus \((a,b)\).
Je krijgt een dalparabool als \(c>0\) en een bergparabool als \(c<0\). Het getal \(c\)
bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.
De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top.
Een vergelijking van de symmetrieas is: \(x=a\).
Opgave 12
Opgave 13
Opgave 14
Opgave 15
Opgave 16
29.3 Vergelijkingen opstellen voor parabolen
Opgave 17
Opgave 18
Van een parabool is de top \((‐2,3)\).
Een deel van de vergelijking van de parabool is: \(y=c(x+2)^2+3\).
Als je buiten de top nog een punt van de parabool kent, kun je \(c\) bepalen.
Als bijvoorbeeld \((‐6,‐5)\) er op ligt, krijg je: \(‐5=c(‐6+2)^2+3\) \(‐5=16c+3\) \(‐8=16c\) \(‐\frac{1}{2}\)\(=c\)
Een vergelijking van de parabool is: \(y=‐\frac{1}{2}(x+2)^2+3\).
Opgave 19
29.4 abc-formule
Opgave 20
Opgave 21
Opgave 22
Opgave 23
Opgave 24
Opgave 25
Opgave 26
Of de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\) oplossingen heeft, is te bepalen met de waarde van \(D=b^2−4ac.\) We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.
Discriminare (Latijn) betekent: onderscheid maken. (Hier wordt onderscheid gemaakt tussen het aantal oplossingen.)
De abc-formule (wortelformule)
De vierkantsvergelijking \(ax^2+bx+c=0\) met \(a≠0\) heeft
geen oplossingen als \(D<0\)
één oplossing als \(D=0\), namelijk: \(x=‐\frac{b}{2a}\)
twee oplossingen als \(D>0\) namelijk: \(x=\frac{‐b+\sqrt{D}}{2a}\) of \(x=\frac{‐b-\sqrt{D}}{2a}\)
Een bewijs van de abc-formule
\(ax^2+bx+c=0\)
MAAL \(4a\)
\(4a^2x^2+4abx+4ac=0\)
kwadraatafsplitsen
\((2ax+b)^2−b^2+4ac=0\)
PLUS \(b^2 \), MIN \(4ac\)
\((2ax+b)^2=b^2−4ac\)
\(2ax+b=\sqrt{b^2−4ac}\)
of
\(2ax+b=‐\sqrt{b^2−4ac}\)
\(2ax=‐b+\sqrt{b^2−4ac}\)
of
\(2ax=‐b−\sqrt{b^2−4ac}\)
\(x=\frac{‐b+\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\)
of
\(x=\frac{‐b-\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\)
Voorbeeld \(7x^2−6x+1=0\)
Deze vergelijking krijg je uit \(ax^2+bx+c=0\) door \(a=7\), \(b=‐6\) en \(c=1\) in te vullen. \(D=(‐6)^2−4⋅7⋅1=36−28=8\) (dus de vergelijking heeft twee oplossingen) \(\sqrt{D}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) \(x=\frac{‐(‐6)+2\sqrt{2}}{14}\) of \(x=\frac{‐(‐6)-2\sqrt{2}}{14}\) \(x=\frac{3}{7}+\frac{1}{7}\sqrt{2}\) of \(x=\frac{3}{7}-\frac{1}{7}\sqrt{2}\)
Opgave 27
Opgave 28
Opgave 29
Alle lijnen die evenwijdig met de symmetrieas van de parabool zijn, hebben natuurlijk één gemeenschappelijk punt met de parabool. Als een lijn niet evenwijdig met de symmetrieas is en één gemeenschappelijk punt met de parabool heeft, spreken we van een raaklijn aan de parabool.
De lijn \(y=x−\frac14\) is een raaklijn aan de parabool \(y=x^2\).
Het raakpunt is \((\frac12,\frac14)\).
Opgave 30
Opgave 31
Opgave 32
29.5 Hyperbolen
Opgave 33
Opgave 34
De hyperbool \((x−a)(y−b)=c\) ontstaat uit de hyperbool \(xy=c\) door \(a\) eenheden naar rechts en \(a\) eenheden omhoog te schuiven.
De vergelijking van de horizontale asymptoot is: \(y=b\) en de vergelijking van de verticale asymptoot is: \(x=a\).
Opgave 35
Opgave 36
29.6 Gemengde opgaven
Opgave 37
Opgave 38
Opgave 39
Opgave 40
Opgave 41
Opgave 42
Opgave 43
29.7 Eindpunt
Parabolen
De parabool met vergelijking \(y=x^2\) noemen we de standaardparabool.
De parabool \(y=c(x−a)^2+b\) (met \(c≠0\)) ontstaat uit de parabool \(y=cx^2\)
door die \(a\) eenheden naar rechts en \(b\) eenheden naar boven te schuiven.
De top van de parabool is \((a,b)\).
Je krijgt een dalparabool als \(c>0\) en een bergparabool als \(c<0\). Het getal \(c\)
bepaalt hoe ‘breed’ de parabool is.
De parabolen hebben allemaal een symmetrieas: de verticale lijn door de top.
Een vergelijking van de symmetrieas is: \(x=a\).
Opstellen van een vergelijking voor parabolen
De vergelijking van een parabool is: \(y=c(x−a)^2+b\) (met \(c≠0\)), \( (a,b)\) is de top en een willekeurig punt is \((x,y)\).
De top van een parabool is \((‐1,2)\), dan \(a=‐1\) en \(b=2\).
Hier volgt uit: \(y=c(x+1)^2+2\).
Een punt op de parabool is \((3,1)\), dan \(x=3\) en \(y=1\).
Hier volgt uit: \(1=c(3+1)^2+2\) \(1=16c+2\) \(‐1=16c\) \(‐\frac{1}{16}=c\)
Vergelijking van de parabool: \(y=‐\frac{1}{16}(x+1)^2+2\).
Hyperbolen
De hyperbool \((x−a)(y−b)=c\) ontstaat uit de hyperbool \(xy=c\) door \(a\)
eenheden naar rechts en \(b\) eenheden omhoog te schuiven.
De vergelijking van de horizontale asymptoot is: \(y=b\) en de vergelijking van de
verticale asymptoot is: \(x=a\).
Opstellen van een vergelijking voor hyperbolen
De horizontale asymptoot van een hyperbool heeft vergelijking \(y=3\).
De verticale assymptoot heeft vergelijking \(x=‐1\).
Hieruit volgt dat \(a=‐1\) en \(b=3\) in de vergelijking \((x−a)(y−b)=c\).
Dus: \((x+1)(y−3)=c\).
Als je weet dat een punt van de hyperbool \((‐2,‐1)\) is, dan is \(x=‐2\) en \(y=‐1\).
Dus: \((‐2+1)(‐1−3)=4=c\).
Vergelijking van de hyperbool: \((x+1)(y−3)=4\).
abc-formule
Of de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\) oplossingen heeft, is te bepalen met de
waarde van \(D=b^2−4ac\).
We noemen dit getal de discriminant van de vergelijking.
De vierkantsvergelijking \(ax^2+bx+c=0\) met \(a≠0\) heeft
geen oplossingen als \(D<0\)
één oplossing als \(D=0\), namelijk: \(x=‐\frac{b}{2a}\)
twee oplossingen als \(D>0\) namelijk: \(x=\frac{‐b+\sqrt{D}}{2a}\) of \(x=\frac{‐b-\sqrt{D}}{2a}\)
\(‐3x^2+4x+8=0\) \( \left. \begin{array}{l} a = ‐3\\ b = 4\\ c = 8 \end{array} \right\} \begin{array}{l} D=16-4⋅‐3⋅8=112\\ \sqrt{D}=\sqrt{112} = 4\sqrt7 \end{array}\)
\(x=\frac{‐4+4\sqrt7}{‐6} = \frac23-\frac23\sqrt7\) of \(x=\frac{‐4-4\sqrt7}{‐6} = \frac23+\frac23\sqrt7\)
Raaklijnen en raakpunten
Als een lijn één gemeenschappelijk punt met de parabool of hyperbool heeft,
spreken we van een raaklijn aan de parabool of hyperbool.
Voorbeeld:
Voor welke \(k\) raakt de lijn \(y=x+k\) aan de parabool \(y=x^2\)? \(x^2=x+k⇒x^2−x−k=0\).
Raken betekent \(D=0\), dus \((‐1)^2−4⋅1⋅‐k=0⇒1+4k=0⇒k=‐\frac{1}{4}\).
Vergelijking raaklijn is: \(y=x−\frac{1}{4}\). Raakpunt is \((\frac{1}{2},\frac{1}{4})\).
Het arrangement 29. Parabolen en hyperbolen is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: conflictlijn, parabolen, vergelijkingen opstellen voor parabolen, abc-formule en hyperbolen.
Leerniveau
VWO 2;
HAVO 1;
VWO 1;
HAVO 3;
VWO 3;
HAVO 2;
Leerinhoud en doelen
Verbanden en formules;
Werken met representaties - exponentiele formule opstellen;
Grafieken, tabellen, verbanden en formules;
Rekenen/wiskunde;
Functie (notatie);
Type verbanden;
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: conflictlijn, parabolen, vergelijkingen opstellen voor parabolen, abc-formule en hyperbolen.
Van een parabool is de top 
De parabool met vergelijking 
De vergelijking van een parabool is: 
De hyperbool 
De horizontale asymptoot van een hyperbool heeft vergelijking 
