28. Vierkantsvergelijkingen

28 Intro

Opgave 1

Opgave 2

De tegels die je hebt gebruikt voor de Penrosebetegeling, worden gemaakt op basis van de regelmatige vijfhoek en zijn diagonalen. Zie figuur hoe dat gaat.
Zowel de vlieger als de pijl zijn opgebouwd uit bijzondere gelijkbenige driehoeken. Voor deze driehoeken geldt namelijk dat de verhouding tussen een been en de basis gelijk is aan \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\). Het getal \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\) is een bijzonder verhoudingsgetal dat veel voorkomt in de (bouw)kunst en de natuur en een grootse rol speelt in de wiskunde. Het is namelijk het verhoudingsgetal dat hoort bij de gulden snede. We noemen \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\) daarom het gulden getal en noteren het kort als \(φ\) (spreek uit 'fie'). Verderop in het hoofdstuk komen we terug op het gulden getal.

 

 

 

Het Parthenon

De gulden snede wordt gezien als een "mooie" verhouding. Daarom wordt de gulden snede veel gebruikt in de architectuur. Zo is deze verhouding terug te vinden in piramides en in het Parthenon. Ook in schilderijen kom je de gulden snede tegen. Zo wordt de horizon vaak niet in het midden maar op gulden snede hoogte geschilderd.

 

 

 

 

 

 

Wil je experimenteren met Penrose-betegelingen, kijk dan eens naar de applet
Spelen met Penrose van School of Computer Science, University of Waterloo.

28.1 Terugblikken

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

28.2 Kwadraatafsplitsen

Opgave 8

In opgave 3g heb je de vergelijking \((x+5)^2=7\) opgelost. De oplossingen zijn \(‐5+\sqrt7\) en \(‐5-\sqrt7\). Als je de haakjes in de vergelijking wegwerkt en op \(0\) herleidt, vind je: \(x^2+10x+18=0\). Deze vergelijking kun je niet oplossen door ontbinden omdat er geen paar gehele getallen te vinden is waarvan het product \(18\) en de som \(10\) is. Haakjes wegwerken, werkt hier dus averechts.

Als je de vergelijking \(x^2+10x+18=0\) op wilt lossen, moet je proberen de vorm \((x+5)^2=7\) terug te vinden. Hoe je zoiets aanpakt, bekijken we in deze paragraaf.

Opgave 9

Opgave 10

We hebben steeds de oppervlakte van een L-vorm geschreven als het verschil in oppervlakte van twee vierkanten, bijvoorbeeld \(x^2+10x=(x+5)^2−25\).
We gebruiken dit bij het oplossen van vergelijkingen.

Voorbeeld
Los op:

\(x^2+10x+12\) \(=\) \(0\)

\(x^2+10x\) vervangen door \((x+5)^2−25\)

\((x+5)^2−25+12\) \(=\) \(0\)

Vereenvoudigen

\((x+5)^2−13\) \(=\) \(0\)

PLUS 13

\((x+5)^2\) \(=\) \(13\)  
\(x=‐5+\sqrt{13}\) of \(x=‐5−\sqrt{13}\)  

 


\(x^2+10x\) vervangen door \((x+5)^2−25\), noemen we kwadraatafsplitsen

 

Opgave 11

28.3 Vierkantsvergelijking oplossen

Voorbeelden

Drie voorbeelden

Voorbeeld 1
Los op:

\(x^2+3x\) \(=\) \(7x+10\)

op \(0\) herleiden

\(x^2−4x−10\) \(=\) \(0\)

kwadraatafsplitsen

\((x−2)^2−4−10\) \(=\) \(0\)

PLUS \(14\)

\((x−2)^2\) \(=\) \(14\)  
\(x=2+\sqrt{14}\) of \(x=2−\sqrt{14} \)  


Voorbeeld 2
Los op:

\(2x^2+12x\) \(=\) \(10x−20\)

op \(0\) herleiden

\(2x^2+2x+20\) \(=\) \(0\)

delen door \(2\)

\(x^2+x+10\) \(=\) \(0\)

kwadraatafsplitsen

\((x+\frac{1}{2})^2−14+10 \) \(=\)

\(0\)

MIN\(‐9\frac{3}{4}\)
\((x+\frac{1}{2})^2\) \(=\) \(‐9\frac{3}{4} \)

De vergelijking heeft geen oplossingen, want voor elke \(x\) geldt: \((x+12)^2≥0\)!


Voorbeeld 3
Los op:

\((x+1)^2\) \(=\) \(2x^2−(x+3)\)

haakjes wegwerken

\(x^2+2x+1\) \(=\) \(2x^2−x−3\)

op \(0\) herleiden

\(0\) \(=\) \(x^2−3x−4\)

kwadraatafsplitsen

\((x−1\frac{1}{2})^2−2\frac{1}{4}−4\) \(=\) \(0\)

PLUS \(6\frac{1}{4}\)

\((x−1\frac{1}{2})^2\) \(=\) \(6\frac{1}{4}=\frac{25}{4}\)  
\(x−1\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}\) of \(x−1\frac{1}{2}=‐2\frac{1}{2}\)  
\(x=4\) of \(x=‐1\)  

Vanaf de derde regel had je ook zo verder kunnen gaan:

\((x−4)(x+1)\) \(=\) \(0\)

verder oplossen

\(x=4\)    of \(x=‐1\)  

Opgave 12

28.4 Kruislings vermeningvuldigen

Opgave 13

Als je twee repen chocolade met drie man deelt, krijgt elk \(\frac{2}{3}\) reep, dus \(\frac{2}{3}⋅3=2\).


Als je een breuk met de noemer vermenigvuldigt, krijg je de teller.


Dus:

\(\frac{17}{‐3}⋅‐3=17\)

\(\frac{7}{x+1}⋅(x+1)=7\)

Opgave 14

Opgave 15

Voorbeeld
We lossen de volgende vergelijking op:

\(\frac{x+1}{x}\) \(=\) \(\frac{x}{x+2}\)         

 

MAAL \(x\)

\(x+1\) \(=\) \(\frac{x^2}{x+2}\)

 

MAAL \((x+2)\)

\((x+1)(x+2)\) \(=\) \(x^2\)

 

HAAKJES WEG

\(x^2+3x+2\) \(=\) \(x^2\)

 

MIN \(x^2\)

\(3x+2\) \(=\) \(0\)

 

MIN \(2\)

\(3x\) \(=\) \(‐2\)

 

DELEN DOOR \(3\)

\(x\) \(=\) \(‐\frac{2}{3} \)  

 

Om de noemers kwijt te raken, hebben we eerst met \(x\) vermenigvuldigd en
daarna met \(x+2\). Het gaat sneller, als je in één keer zowel met \(x\) als met
\(x+2\), dus met \(x(x+2)\) vermenigvuldigt:

\(\frac{x+1}{x}\) \(=\) \(\frac{x}{x+2}\)       

 

MAAL \(x(x+2)\)

\((x+1)(x+2) \) \(=\) \(x^2\)

 

Dit noemen we kruislings vermenigvuldigen.

 


\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\) dan:   \(\frac{a}{d}=\frac{b}{c}\)

 

Dit zie je dus in, door beide kanten met \(bd\) te vermenigvuldigen.

Dus:

\(\frac{x+1}{x}\) \(=\) \(\frac{x}{x+2}\)     

 

kruislings vermenigvuldigen

\((x+1)(x+2) \) \(=\) \(x^2\)  

Opgave 16

28.5 Cirkels

Opgave 17

Opgave 18

Opgave 19

Opgave 20

Opgave 21