28 Intro

Opgave 1

Intro

Opgave 2

Intro

De tegels die je hebt gebruikt voor de Penrosebetegeling, worden gemaakt op basis van de regelmatige vijfhoek en zijn diagonalen. Zie figuur hoe dat gaat.
Zowel de vlieger als de pijl zijn opgebouwd uit bijzondere gelijkbenige driehoeken. Voor deze driehoeken geldt namelijk dat de verhouding tussen een been en de basis gelijk is aan $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}$ . Het getal $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}$ is een bijzonder verhoudingsgetal dat veel voorkomt in de (bouw)kunst en de natuur en een grootse rol speelt in de wiskunde. Het is namelijk het verhoudingsgetal dat hoort bij de gulden snede. We noemen $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}$ daarom het gulden getal en noteren het kort als $φ$ (spreek uit 'fie'). Verderop in het hoofdstuk komen we terug op het gulden getal.

De gulden snede wordt gezien als een "mooie" verhouding. Daarom wordt de gulden snede veel gebruikt in de architectuur. Zo is deze verhouding terug te vinden in piramides en in het Parthenon. Ook in schilderijen kom je de gulden snede tegen. Zo wordt de horizon vaak niet in het midden maar op gulden snede hoogte geschilderd.

Wil je experimenteren met Penrose-betegelingen, kijk dan eens naar de applet
Spelen met Penrose van School of Computer Science, University of Waterloo.

28.1 Terugblikken

Opgave 3

Terugblikken

Opgave 4

Terugblikken

Opgave 5

Terugblikken

Opgave 6

Terugblikken

Opgave 7

Terugblikken

28.2 Kwadraatafsplitsen

Opgave 8

In opgave 3g heb je de vergelijking $(x+5)^2=7$ opgelost. De oplossingen zijn $‐5+\sqrt7$ en $‐5-\sqrt7$ . Als je de haakjes in de vergelijking wegwerkt en op $0$ herleidt, vind je: $x^2+10x+18=0$ . Deze vergelijking kun je niet oplossen door ontbinden omdat er geen paar gehele getallen te vinden is waarvan het product $18$ en de som $10$ is. Haakjes wegwerken, werkt hier dus averechts.

Als je de vergelijking $x^2+10x+18=0$ op wilt lossen, moet je proberen de vorm $(x+5)^2=7$ terug te vinden. Hoe je zoiets aanpakt, bekijken we in deze paragraaf.

Kwadraatafsplitsen

De maten (in m) van een L-vormig gazon staan in de figuur.

a. Druk de oppervlakte van de figuur in $x$ uit.

b. Bereken voor welke $x$ de oppervlakte van het gazon $7$ m² is.

c. En ook voor welke $x$ de oppervlakte van het gazon $16$ m² is.

Er is ook een waarde voor $x$ zó, dat de oppervlakte van het gazon $10$ m² is.
Die waarde van $x$ kun je niet vinden door de vergelijking $x^2+6x=10$ op $0$ te herleiden en te ontbinden.

d. Reken na dat $‐3+\sqrt{19}$ aan de vergelijking $x^2+6x=10$ voldoet.

De vraag is: hoe vind je dat getal $‐3+\sqrt{19}$?
Dat bekijken we in het volgende.

We vullen het L-vormige gazon aan tot een vierkant gazon.

e. Wat is de oppervlakte van het stuk dat erbij is gekomen?

f. Druk de zijden en daarna de oppervlakte van het grote vierkant in $x$ uit.

De oppervlakte van de L-vorm is het verschil in oppervlakte van twee vierkanten.

g.
Neem over en vul in.
$x^2+6x=(x+3)^2−...$

De vergelijking $x^2+6x=10$ lossen we nu als volgt op.

$x^2+6x$	$=$	$10$	x²+6x vervangen door (x+3)²−9
$(x+3)^2−9$	$=$	$10$	^{PLUS 9}
$(x+3)^2$	$=$	$19$	^{Verder oplossen}
$x=‐3+\sqrt{19}$	of	$x=‐3−\sqrt{19}$

h. Los op soortgelijke wijze op: $x^2+6x=11$.

Opgave 9

Kwadraatafsplitsen

Bij $x^2+10x$ kunnen we een plaatje maken. De poten van de L zijn even lang.

a. Hoe lang (uitdrukken in $x$)?

b. Wat is de oppervlakte van het kleine vierkant waarmee je de L-vorm aanvult tot het grote vierkant?

De L-vorm is het verschil van twee vierkanten: $x^2+10x=(x+5)^2−25$.
We gebruiken dit bij het oplossen van de vergelijking $x^2+10x+20=0$.

$x^2+10x+20=0$	$x^2+10x$ vervangen door $(x+5)^2−25$
$(x+5)^2−25+20=0$	Vereenvoudigen
$(x+5)^2−5=0$	PLUS 5
$(x+5)^2=5$

c. Geef de oplossingen van de vergelijking $x^2+10x+20=0$.

d. Schrijf de vergelijking $x^2+10x+20=0$ in de vorm $(x+5)^2=.....$.

e. Geef de oplossingen van de vergelijking $x^2+10x−12=0$.

Opgave 10

Kwadraatafsplitsen

We hebben steeds de oppervlakte van een L-vorm geschreven als het verschil in oppervlakte van twee vierkanten, bijvoorbeeld $x^2+10x=(x+5)^2−25$ .
We gebruiken dit bij het oplossen van vergelijkingen.

Voorbeeld
Los op:

$x^2+10x+12$	$=$	$0$	^{$x^2+10x$}^{vervangen door $(x+5)^2−25$}
$(x+5)^2−25+12$	$=$	$0$	^{Vereenvoudigen}
$(x+5)^2−13$	$=$	$0$	^{PLUS 13}
$(x+5)^2$	$=$	$13$
$x=‐5+\sqrt{13}$	of	$x=‐5−\sqrt{13}$

$x^2+10x$ vervangen door

$(x+5)^2−25$ , noemen we kwadraatafsplitsen

Opgave 11

Kwadraatafsplitsen

28.3 Vierkantsvergelijking oplossen

Voorbeelden

Drie voorbeelden

Voorbeeld 1
Los op:

$x^2+3x$	$=$	$7x+10$	^{op $0$ herleiden}
$x^2−4x−10$	$=$	$0$	^{kwadraatafsplitsen}
$(x−2)^2−4−10$	$=$	$0$	^{PLUS $14$}
$(x−2)^2$	$=$	$14$
$x=2+\sqrt{14}$	of	$x=2−\sqrt{14}$

Voorbeeld 2
Los op:

$2x^2+12x$	$=$	$10x−20$	^{op $0$ herleiden}
$2x^2+2x+20$	$=$	$0$	^{delen door $2$}
$x^2+x+10$	$=$	$0$	^{kwadraatafsplitsen}
$(x+\frac{1}{2})^2−14+10$	$=$	$0$	^{MIN $‐9\frac{3}{4}$}
$(x+\frac{1}{2})^2$	$=$	$‐9\frac{3}{4}$

De vergelijking heeft geen oplossingen, want voor elke $x$ geldt: $(x+12)^2≥0$ !

Voorbeeld 3
Los op:

$(x+1)^2$	$=$	$2x^2−(x+3)$	^{haakjes wegwerken}
$x^2+2x+1$	$=$	$2x^2−x−3$	^{op $0$ herleiden}
$0$	$=$	$x^2−3x−4$	^{kwadraatafsplitsen}
$(x−1\frac{1}{2})^2−2\frac{1}{4}−4$	$=$	$0$	^{PLUS $6\frac{1}{4}$}
$(x−1\frac{1}{2})^2$	$=$	$6\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$
$x−1\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}$	of	$x−1\frac{1}{2}=‐2\frac{1}{2}$
$x=4$	of	$x=‐1$

Vanaf de derde regel had je ook zo verder kunnen gaan:

$(x−4)(x+1)$	$=$	$0$	^{verder oplossen}
$x=4$	of	$x=‐1$

Opgave 12

Vierkantsvergelijking oplossen

28.4 Kruislings vermeningvuldigen

Opgave 13

Als je twee repen chocolade met drie man deelt, krijgt elk $\frac{2}{3}$ reep, dus $\frac{2}{3}⋅3=2$ .

Als je een breuk met de noemer vermenigvuldigt, krijg je de teller.

Dus:

$\frac{17}{‐3}⋅‐3=17$

$\frac{7}{x+1}⋅(x+1)=7$

Kruislings vermenigvuldigen

Opgave 14

Kruislings vermenigvuldigen

Opgave 15

Voorbeeld
We lossen de volgende vergelijking op:

$\frac{x+1}{x}$	$=$	$\frac{x}{x+2}$	^{MAAL $x$}
$x+1$	$=$	$\frac{x^2}{x+2}$	^{MAAL $(x+2)$}
$(x+1)(x+2)$	$=$	$x^2$	^{HAAKJES WEG}
$x^2+3x+2$	$=$	$x^2$	^{MIN $x^2$}
$3x+2$	$=$	$0$	^{MIN $2$}
$3x$	$=$	$‐2$	^{DELEN DOOR $3$}
$x$	$=$	$‐\frac{2}{3}$

Om de noemers kwijt te raken, hebben we eerst met $x$ vermenigvuldigd en
daarna met $x+2$ . Het gaat sneller, als je in één keer zowel met $x$ als met
$x+2$ , dus met $x(x+2)$ vermenigvuldigt:

$\frac{x+1}{x}$

$=$

$\frac{x}{x+2}$

^{MAAL $x(x+2)$}

$(x+1)(x+2)$

$=$

$x^2$

Dit noemen we kruislings vermenigvuldigen.

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ dan:

$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$

Dit zie je dus in, door beide kanten met $bd$ te vermenigvuldigen.

Dus:

$\frac{x+1}{x}$

$=$

$\frac{x}{x+2}$

^{kruislings vermenigvuldigen}

$(x+1)(x+2)$

$=$

$x^2$

Kruislings vermenigvuldigen

Los ook de volgende vergelijkingen op.
Laat zonodig een $\sqrt{\space}$-teken in je antwoord staan.

a. $\frac{4}{x+1}=\frac{2}{x−1}$

b. $\frac{x}{2x+1}=\frac{x+1}{x−1}$

c. $\frac{x+1}{x}=\frac{4x}{x+1}$

d. $\frac{3}{2x−2}=\frac{1}{1−x}$

Het is altijd verstandig om de oplossingen die je gevonden hebt te controleren
door in te vullen. Dat is in sommige gevallen niet eenvoudig, zoals bij de
vergelijking in opgave 15b.

Bij de vergelijking in opgave 15d heb je $x=1$ als oplossing gevonden.

e. Waarom is $x=1$ geen oplossing van deze vergelijking?

Noemers mogen niet $0$ zijn.
Door kruislings te vermenigvuldigen werk je noemers weg.
De vergelijking na kruislings vermenigvuldigen kan dus getallen als oplossing hebben waarvoor de oorspronkelijke vergelijking geen betekenis heeft.

Ga bij gebroken vergelijkingen daarom na welke getallen een noemer $0$ maken.
Voor dergelijke getallen heeft de vergelijking geen betekenis. Bij de vergelijking uit opgave 15d is dat $x=1$.

f. Welke getallen zijn dat bij de vergelijking uit opgave 15b? En bij opgave 15c?

g. Welke waarden voor $x$ maken een noemer van de vergelijking $\frac{1}{x^2−x}=\frac{1}{x}$gelijk aan $0$?

h. Los de vergelijking $\frac{1}{x^2−x}=\frac{1}{x}$ op.

Opgave 16

Kruislings vermenigvuldigen

28.5 Cirkels

Opgave 17

Cirkels

Opgave 18

Cirkels

a.
Wat is de afstand op de getallenlijn van $‐5$ en $‐3$?
En van $‐3$ en $1$?
En van $1$ en $4$?

b. Welke twee getallen liggen op afstand $4$ van $‐3$?

De afstand van een getal $x$ tot $‐3$ op de getallenlijn is groter dan $2$ en kleiner dan $5$.

c. Neem de getallenlijn over en kleur het gebied waar $x$ kan liggen.

Om de afstand van $‐3$ en $4$ uit te rekenen, moet je $‐3$ van $4$ aftrekken:
$4−(‐3)=7$. De afstand van $2$ tot $ \sqrt{5}$ op de getallenlijn is $\sqrt{5}−2$ en niet
$2−\sqrt{5}$.

d. Schrijf de afstand van$ \sqrt{5}$ en $7$, van $ \sqrt{5}$ en $‐7$ en van $‐7$ en $ \sqrt{5}$ op.

Om de afstand van $x$ en $4$ op de getallenlijn op te schrijven moeten we twee gevallen onderscheiden.

e.
Neem over en vul uitdrukkingen in $x$ in.
Als $x>4$, dan is de afstand van $x$ tot $4$ .........
Als $x<4$, dan is de afstand van $x$ tot $4$ .........

Voor getallen $a$ en $b$ op de getallenlijn geldt:
de afstand van $a$ tot $b$ is:
$a−b$ als $a>b$,
$b−a$ als $a<b$.

Neem over en vul in.

f.
Als $x>0$, dan is de afstand van $x$ tot $0$ .........
Als $x<0$, dan is de afstand van $x$ tot $0$ .........

Opgave 19

Cirkels

Opgave 20

Cirkels

Opgave 21

Cirkels

Opgave 22

Cirkels

Opgave 23

Cirkels

$C$ is de cirkel met vergelijking $x^2+y^2=25$.

a. Wat is de straal van $C$?

b. Neem het rooster over en teken $C$.

c. Geef zes roosterpunten die op $C$ liggen.

$k$ is de lijn met vergelijking $y=x$.

d. Teken $k$ in het rooster erbij.

e. Bereken de coördinaten van de snijpunten van $k$ met $C$.

$m$ is de lijn met vergelijking $y=x+1$.

f. Teken $m$ in het rooster erbij.

De snijpunten van $m$ en $C$ kun je zo aflezen. Je kunt ze ook berekenen. Hoe dat
gaat, zie je in het onderstaande voorbeeld.

Voorbeeld
De eerste coördinaat van een snijpunt noemen we $a$. Omdat het snijpunt op $m$
ligt, kunnen we zeggen: de tweede coördinaat is $a+1$.
Dus $(a , a+1)$ is het snijpunt. Omdat $(a , a+1)$ op $C$ ligt geldt:
$a^2+(a+1)^2=25$.

g. Los deze vergelijking in $a$ op en schrijf de coördinaten van de snijpunten op.

$n$ is de lijn met vergelijking $y=2x+5$.

h. Teken $n$ in het rooster erbij.

i. Bereken met een vergelijking de snijpunten van $n$ met $C$.

Er is precies één punt dat aan de vergelijking $x^2+y^2=0$ voldoet.

j. Welk?

k. Hoeveel punten voldoen aan de vergelijking $x^2+y^2=‐4$?

De grafiek bij de vergelijking $x^2+y^2=c$ is:

een cirkel met straal $\sqrt{c}$ als $c>0$ ,
het punt $O(0,0)$ als $c=0$ ,
helemaal niets als $c<0$ .

Opgave 24

Cirkels

Opgave 25

Cirkels

Hier zie je vier keer de cirkel met middelpunt $M(2,‐1)$ en straal $\sqrt{13}$ getekend.
Telkens is ook een punt $P(x,y)$ op de cirkel aangegeven en daarbij een
rechthoekige driehoek getekend. De positie van het punt ten opzichte van $M$ is
steeds anders.

In het plaatje linksboven is $y>‐1$, dus de verticale rechthoekszijde is
$y−‐1=y+1$. De horizontale rechthoekszijde is $2−x$, want $x<2$.

a. Schrijf op je werkblad in de andere gevallen de lengtes van de
rechthoekszijden op, uitgedrukt in $x$ of $y$.

In het plaatje linksboven geldt: $(2−x)^2+(y+1)^2=13$.

b. Waarom geldt: $(2−x)^2=(x−2)^2$ voor elke waarde van $x$?

In alle vier de gevallen volgt met behulp van de stelling van Pythagoras:
$(x−2)^2+(y+1)^2=13$.
Dit is de vergelijking van de cirkel met als middelpunt $(2,‐1)$ en straal $\sqrt{13}$.

In het assenstelsel is die cirkel getekend.

c. Neem de figuur over en teken daarin de lijn $x=3$.

d. Bereken de coördinaten van de snijpunten van de lijn en de cirkel.

e. Bereken ook de coördinaten van de snijpunten van de cirkel met de $x$-as. (Laat de wortels in je antwoord staan.)

Opgave 26

Cirkels

Opgave 27

Cirkels

De cirkel met straal

$r$ en middelpunt

$(a,b)$ heeft als vergelijking:

$(x−a)^2+(y−b)^2=r^2$ .

Opgave 28

Cirkels

Opgave 29

Cirkels

Opgave 30

Cirkels

Opgave 31

Cirkels

28.7 Gemengde opgaven

Opgave 32

Gemengde opgaven

Opgave 33

Gemengde opgaven

Opgave 34

Gemengde opgaven

Opgave 35

Gemengde opgaven

Opgave 36

Gemengde opgaven

Opgave 37

Gemengde opgaven

Opgave 38

Gemengde opgaven

28.8 Eindpunt

Kwadraatafsplitsen

Uit onderstaande plaatjes volgt:

$x^2+6x$	$=$	$(x+3)^2$ $−$ $9$
oppervlakte		oppervlakte oppervlakte
L-vorm		grote vierkant oker vierkant

$x^2+6x$ vervangen door $(x+3)^2-9$ noemen we kwadraatafsplitsen.

Voorbeelden
$x^2−10x=(x−5)^2−25$
$x^2+7x=(x+3\frac{1}{2})^2−12\frac{1}{4}$

Vierkantsvergelijkingen oplossen

Vierkantsvergelijkingen kun je oplossen door ontbinden in factoren of kwadraatafsplitsen.

Voorbeeld
Los op:

$x^2+35=12x$	^{op $0$ herleiden}
$x^2−12x+35=0$	^{ontbinden in factoren}
$(x−7)(x−5)=0$
$x=7$ of $x=5$

Voorbeeld
Los op:

$x^2+12x=9$	^{kwadraatafsplitsen}
$(x+6)^2−36=9$	^{PLUS $36$}
$(x+6)^2=45$
$x+6=\sqrt{45}$ of $x+6=‐\sqrt{45}$
$x=‐6+3\sqrt{5}$ of $x=‐6−3\sqrt{5}$

Voorbeeld
Los op:

$x^2−3x−4=0$	^{kwadraatafsplitsen}
$(x−1\frac{1}{2})^2−2\frac{1}{4}−4=0$	^{PLUS $6\frac{1}{4}$}
$(x−1\frac{1}{2})^2=6\frac{1}{4}$
$x−1\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}$ of $x−1\frac{1}{2}=‐2\frac{1}{2}$
$x=4$ of $x=‐1$

Kruislings vermenigvuldigen

We weten dat $\frac{p}{q}⋅q=p$ en $\frac{p}{q}⋅r=\frac{pr}{q}$ .
Hieruit volgt: als $\frac{a}{b}⋅\frac{c}{d}$ dan $\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$ .
Dit noemen we kruislings vermenigvuldigen.

Voorbeeld
De vergelijking $\frac{2}{2−x}=\frac{x−3}{x^2−2x}$ lossen we op met kruislings vermenigvuldigen.

$\frac{2}{2−x}=\frac{x−3}{x^2−2x}$	^{kruislings vermenigvuldigen}
$2(x^2−2x)=(2−x)(x−3)$	^{haakjes uitwerken}
$2x^2−4x=‐x^2+5x−6$	^{op $0$ herleiden}
$3x^2−9x+6=0$	^{delen door $3$}
$x^2−3x+2=0$	^ontbinden
$(x−1)(x−2)=0$
$x=1$ of $x=2$

Maar $x=2$ voldoet niet (delen door $0$ ).

Cirkels

De cirkel met straal $r$ en middelpunt $(a,b)$ heeft als vergelijking: $(x−a)^2+(y−b)^2=r^2$ .
We noemen de vergelijking $(x−a)^2+(y−b)^2=r^2$ de middelpuntsvorm van de cirkel.

Als $a=b=0$ , dan krijg je de cirkel met vergelijking $x^2+y^2=r^2$ .
Het middelpunt van deze cirkel ligt in de oorsprong $O(0,0)$ .

Voorbeeld
Met behulp van kwadraatafsplitsen bepalen we het middelpunt en de straal van
de cirkel met vergelijking $x^2+y^2+6x−4y=12$ .
$(x+3)^2−9+(y−2)^2−4=12$
$(x+3)^2+(y−2)^2=25$
Dus het middelpunt is $(‐3,2)$ en de straal $5$ .

Voorbeeld
Door invullen bepalen we de coördinaten van het snijpunt van de lijn $y=x+2$
met de cirkel $x^2+y^2+2x−4y=0$ .
$x^2+(x+2)^2+2x−4(x+2)=0$
$2x^2+2x−4=0$
$x^2+x−2=0$
$(x+2)(x−1)=0$

$x=‐2$	of	$x=1$
$y=‐2+2=0$		$y=1+2=3$

De snijpunten zijn $(‐2,0)$ en $(1,3)$ .

28.9 Extra opgaven

Extra opgave 1

Extra opgaven

Extra opgave 2

Extra opgaven

Extra opgave 3

Extra opgaven

Extra opgave 4

Extra opgaven

Oker

Opgave 6-S

Terugblikken

Opgave 7-S

Terugblikken

Opgave 12-S

Vierkantsvergelijking oplossen

Opgave 32-S

Gemengde opgaven

a. Teken de punten $A(‐5,0)$ en $B(5,0)$ in een assenstelsel.

We gaan punten $P$ zoeken waarvoor hoek $APB$ recht is.

b. Geef de punten $P$ op de $y$-as aan die deze eigenschap hebben.

c. Teken het punt $W(4,3)$ in het rooster.

Het lijkt erop dat dit ook een punt met deze eigenschap is. Dit kun je natuurlijk
niet door meten bepalen (dan kun je alleen maar nagaan of die hoek ongeveer
recht is).

d.
Bereken $WA$ (de afstand van $W$ tot $A$) en $WB$.
Geef exacte antwoorden (gebruik een wortel).

e. Hoe kun je nu met behulp van $WA$, $WB$ en $AB$ precies berekenen dat
hoek $AWB$ recht is?

f. Teken nu (op grond van symmetrie) nog wat punten $P$ waarvoor hoek $APB$
recht is.

Misschien heb je wel een indruk waar de punten $P$ liggen waarvoor hoek $APB$
recht is.

We nemen nu een willekeurig punt $P(x,y)$. De afstand van $P$ tot $A$ is
$\sqrt{(x+5)^2+y^2}$.

g. Geef een formule voor de afstand van $P$ tot $B$.

h. Leg uit dat de punten $P(x,y)$ waarvoor geldt dat hoek $APB$ recht is,
voldoen aan: $(x+5)^2+y^2+(x−5)^2+y^2=100$.

De vergelijking van opgave h is een vergelijking van een cirkel.

i. Laat dat zien door de haakjes weg te werken en te vereenvoudigen.

Je hebt nu aangetoond: alle punten $P$ waarvoor hoek $APB$ recht is, liggen op een cirkel met $AB$ als middellijn. Dit resultaat staat in de wiskunde bekend als de stelling van Thales. Er is ook een meetkundig bewijs van de stelling te geven.

Thales van Milete leefde van 624 tot 547 v. Chr. Hij is bekend als een van de zeven wijzen. Het verhaal gaat dat hij de Egyptische koning verbaasde door de hoogte van een piramide af te leiden uit de lengte van haar schaduw.

Colofon
Het arrangement 28. Vierkantsvergelijkingen is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

Auteur

VO-content

Laatst gewijzigd

2021-10-04 17:19:40

Licentie

Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat

het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken

voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

Toelichting

Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: kwadraatsafsplitsen, vierkantsvergelijkingen oplossen, kruislings vermenigvuldigen en cirkels.

Leerniveau

VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;

Leerinhoud en doelen

Derde graads vergelijking oplossen; Verbanden en formules; Vergelijkingen en ongelijkheden; Rekenen/wiskunde;

Eindgebruiker

leerling/student

Moeilijkheidsgraad

gemiddeld

Trefwoorden

arrangeerbaar, cirkels, kruislings vermenigvuldigen, kwadraatsafsplitsingen, stercollectie, vergelijkingen, vierkantsvergelijkingen oplossen, vwo 3, wiskunde

Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

Wiskunde Wageningse Methode OUD. (2018).

28. Beslissen

https://maken.wikiwijs.nl/120689/28__Beslissen

28. Vierkantsvergelijkingen

nl

VO-content

2021-10-04 17:19:40

Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: kwadraatsafsplitsen, vierkantsvergelijkingen oplossen, kruislings vermenigvuldigen en cirkels.

educationLevel

OnderwijsBegrippenKader

VWO 2

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/17da6976-2f1b-4214-a471-168f469d7e04

educationLevel

OnderwijsBegrippenKader

HAVO 1

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/78f5cabe-6649-4dc3-84bf-36d82c6c2d31

educationLevel

OnderwijsBegrippenKader

VWO 1

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/ac188375-0a1a-4984-ac80-14d04a086a19

educationLevel

OnderwijsBegrippenKader

HAVO 3

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/af3ecd88-a654-4458-9c5b-1e1f7d09f463

educationLevel

OnderwijsBegrippenKader

VWO 3

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/b924d4ad-65a1-41dc-b704-c7786eb4aec0

educationLevel

OnderwijsBegrippenKader

HAVO 2

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/eaa0c07f-193e-4be5-8dc6-a00bbfc7a446

educationalSubject

OnderwijsBegrippenKader

Derde graads vergelijking oplossen

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/264cb4a8-a4f9-4af4-9159-538a060ee56b

educationalSubject

OnderwijsBegrippenKader

Verbanden en formules

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/32f0ac46-4e74-4f8b-a91a-dc613b3af182

educationalSubject

OnderwijsBegrippenKader

Vergelijkingen en ongelijkheden

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/699acfa0-a194-4dbc-8273-6d68e8bfbb65

educationalSubject

OnderwijsBegrippenKader

Rekenen/wiskunde

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/7afbb7a6-c29b-425c-9c59-6f79c845f5f0

leerling/student

arrangeerbaar, cirkels, kruislings vermenigvuldigen, kwadraatsafsplitsingen, stercollectie, vergelijkingen, vierkantsvergelijkingen oplossen, vwo 3, wiskunde
Download
Downloaden

Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

pdf

json

IMSCP package

Metadata

Metadata overzicht (Excel)

LTI

Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

Arrangement

IMSCC package

Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

IMSCC package

Voor developers

Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.
Sluiten
Opties
Gebruik
Weergave
Wikiwijs is een dienst van

\(x^2+6x\)	\(=\)	\(10\)	x²+6x vervangen door (x+3)²−9
\((x+3)^2−9\)	\(=\)	\(10\)	^{PLUS 9}
\((x+3)^2\)	\(=\)	\(19\)	^{Verder oplossen}
\(x=‐3+\sqrt{19}\)	of	\(x=‐3−\sqrt{19}\)

\(x^2+10x+20=0\)	\(x^2+10x\) vervangen door \((x+5)^2−25\)
\((x+5)^2−25+20=0\)	Vereenvoudigen
\((x+5)^2−5=0\)	PLUS 5
\((x+5)^2=5\)