De tegels die je hebt gebruikt voor de Penrosebetegeling, worden gemaakt op basis van de regelmatige vijfhoek en zijn diagonalen. Zie figuur hoe dat gaat.
Zowel de vlieger als de pijl zijn opgebouwd uit bijzondere gelijkbenige driehoeken. Voor deze driehoeken geldt namelijk dat de verhouding tussen een been en de basis gelijk is aan \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\). Het getal \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\) is een bijzonder verhoudingsgetal dat veel voorkomt in de (bouw)kunst en de natuur en een grootse rol speelt in de wiskunde. Het is namelijk het verhoudingsgetal dat hoort bij de gulden snede. We noemen \(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{5}\) daarom het gulden getal en noteren het kort als \(φ\) (spreek uit 'fie'). Verderop in het hoofdstuk komen we terug op het gulden getal.
Het Parthenon
De gulden snede wordt gezien als een "mooie" verhouding. Daarom wordt de gulden snede veel gebruikt in de architectuur. Zo is deze verhouding terug te vinden in piramides en in het Parthenon. Ook in schilderijen kom je de gulden snede tegen. Zo wordt de horizon vaak niet in het midden maar op gulden snede hoogte geschilderd.
Wil je experimenteren met Penrose-betegelingen, kijk dan eens naar de applet Spelen met Penrose van School of Computer Science, University of Waterloo.
28.1 Terugblikken
Opgave 3
Opgave 4
Opgave 5
Opgave 6
Opgave 7
28.2 Kwadraatafsplitsen
Opgave 8
In opgave 3g heb je de vergelijking \((x+5)^2=7\) opgelost. De oplossingen zijn \(‐5+\sqrt7\) en \(‐5-\sqrt7\). Als je de haakjes in de vergelijking wegwerkt en op \(0\) herleidt, vind je: \(x^2+10x+18=0\). Deze vergelijking kun je niet oplossen door ontbinden omdat er geen paar gehele getallen te vinden is waarvan het product \(18\) en de som \(10\) is. Haakjes wegwerken, werkt hier dus averechts.
Als je de vergelijking \(x^2+10x+18=0\) op wilt lossen, moet je proberen de vorm \((x+5)^2=7\) terug te vinden. Hoe je zoiets aanpakt, bekijken we in deze paragraaf.
Opgave 9
Opgave 10
We hebben steeds de oppervlakte van een L-vorm geschreven als het verschil in oppervlakte van twee vierkanten, bijvoorbeeld \(x^2+10x=(x+5)^2−25\).
We gebruiken dit bij het oplossen van vergelijkingen.
Voorbeeld
Los op:
\(x^2+10x+12\)
\(=\)
\(0\)
\(x^2+10x\) vervangen door \((x+5)^2−25\)
\((x+5)^2−25+12\)
\(=\)
\(0\)
Vereenvoudigen
\((x+5)^2−13\)
\(=\)
\(0\)
PLUS 13
\((x+5)^2\)
\(=\)
\(13\)
\(x=‐5+\sqrt{13}\)
of
\(x=‐5−\sqrt{13}\)
\(x^2+10x\) vervangen door \((x+5)^2−25\), noemen we kwadraatafsplitsen
Opgave 11
28.3 Vierkantsvergelijking oplossen
Voorbeelden
Drie voorbeelden
Voorbeeld 1
Los op:
\(x^2+3x\)
\(=\)
\(7x+10\)
op \(0\) herleiden
\(x^2−4x−10\)
\(=\)
\(0\)
kwadraatafsplitsen
\((x−2)^2−4−10\)
\(=\)
\(0\)
PLUS \(14\)
\((x−2)^2\)
\(=\)
\(14\)
\(x=2+\sqrt{14}\)
of
\(x=2−\sqrt{14} \)
Voorbeeld 2
Los op:
\(2x^2+12x\)
\(=\)
\(10x−20\)
op \(0\) herleiden
\(2x^2+2x+20\)
\(=\)
\(0\)
delen door \(2\)
\(x^2+x+10\)
\(=\)
\(0\)
kwadraatafsplitsen
\((x+\frac{1}{2})^2−14+10 \)
\(=\)
\(0\)
MIN\(‐9\frac{3}{4}\)
\((x+\frac{1}{2})^2\)
\(=\)
\(‐9\frac{3}{4} \)
De vergelijking heeft geen oplossingen, want voor elke \(x\) geldt: \((x+12)^2≥0\)!
Vanaf de derde regel had je ook zo verder kunnen gaan:
\((x−4)(x+1)\)
\(=\)
\(0\)
verder oplossen
\(x=4\)
of
\(x=‐1\)
Opgave 12
28.4 Kruislings vermeningvuldigen
Opgave 13
Als je twee repen chocolade met drie man deelt, krijgt elk \(\frac{2}{3}\) reep, dus \(\frac{2}{3}⋅3=2\).
Als je een breuk met de noemer vermenigvuldigt, krijg je de teller.
Dus:
\(\frac{17}{‐3}⋅‐3=17\)
\(\frac{7}{x+1}⋅(x+1)=7\)
Opgave 14
Opgave 15
Voorbeeld
We lossen de volgende vergelijking op:
\(\frac{x+1}{x}\)
\(=\)
\(\frac{x}{x+2}\)
MAAL \(x\)
\(x+1\)
\(=\)
\(\frac{x^2}{x+2}\)
MAAL \((x+2)\)
\((x+1)(x+2)\)
\(=\)
\(x^2\)
HAAKJES WEG
\(x^2+3x+2\)
\(=\)
\(x^2\)
MIN \(x^2\)
\(3x+2\)
\(=\)
\(0\)
MIN \(2\)
\(3x\)
\(=\)
\(‐2\)
DELEN DOOR \(3\)
\(x\)
\(=\)
\(‐\frac{2}{3} \)
Om de noemers kwijt te raken, hebben we eerst met \(x\) vermenigvuldigd en
daarna met \(x+2\). Het gaat sneller, als je in één keer zowel met \(x\) als met \(x+2\), dus met \(x(x+2)\) vermenigvuldigt:
Vierkantsvergelijkingen kun je oplossen door ontbinden in factoren of kwadraatafsplitsen.
Voorbeeld
Los op:
\(x^2+35=12x\)
op \(0\) herleiden
\(x^2−12x+35=0\)
ontbinden in factoren
\((x−7)(x−5)=0\)
\(x=7\) of \(x=5\)
Voorbeeld
Los op:
\(x^2+12x=9\)
kwadraatafsplitsen
\((x+6)^2−36=9\)
PLUS \(36\)
\((x+6)^2=45\)
\(x+6=\sqrt{45}\) of \(x+6=‐\sqrt{45}\)
\(x=‐6+3\sqrt{5}\) of \(x=‐6−3\sqrt{5}\)
Voorbeeld
Los op:
\(x^2−3x−4=0\)
kwadraatafsplitsen
\((x−1\frac{1}{2})^2−2\frac{1}{4}−4=0\)
PLUS \(6\frac{1}{4}\)
\((x−1\frac{1}{2})^2=6\frac{1}{4}\)
\(x−1\frac{1}{2}=2\frac{1}{2}\) of \(x−1\frac{1}{2}=‐2\frac{1}{2}\)
\(x=4\) of \(x=‐1\)
Kruislings vermenigvuldigen
We weten dat \(\frac{p}{q}⋅q=p\) en \(\frac{p}{q}⋅r=\frac{pr}{q}\).
Hieruit volgt: als \(\frac{a}{b}⋅\frac{c}{d}\) dan \(\frac{a}{d}=\frac{b}{c}\).
Dit noemen we kruislings vermenigvuldigen.
Voorbeeld
De vergelijking \(\frac{2}{2−x}=\frac{x−3}{x^2−2x}\) lossen we op met kruislings vermenigvuldigen.
\(\frac{2}{2−x}=\frac{x−3}{x^2−2x}\)
kruislings vermenigvuldigen
\(2(x^2−2x)=(2−x)(x−3)\)
haakjes uitwerken
\(2x^2−4x=‐x^2+5x−6\)
op \(0\) herleiden
\(3x^2−9x+6=0\)
delen door \(3\)
\(x^2−3x+2=0\)
ontbinden
\((x−1)(x−2)=0\)
\(x=1\) of \(x=2\)
Maar \(x=2\) voldoet niet (delen door \(0\)).
Cirkels
De cirkel met straal \(r\) en middelpunt \((a,b)\) heeft als vergelijking: \((x−a)^2+(y−b)^2=r^2\).
We noemen de vergelijking \((x−a)^2+(y−b)^2=r^2\) de middelpuntsvorm van de cirkel.
Als \(a=b=0\), dan krijg je de cirkel met vergelijking \(x^2+y^2=r^2\).
Het middelpunt van deze cirkel ligt in de oorsprong \(O(0,0)\).
Voorbeeld
Met behulp van kwadraatafsplitsen bepalen we het middelpunt en de straal van
de cirkel met vergelijking \(x^2+y^2+6x−4y=12\). \((x+3)^2−9+(y−2)^2−4=12\) \((x+3)^2+(y−2)^2=25\)
Dus het middelpunt is \((‐3,2)\) en de straal \(5\).
Voorbeeld
Door invullen bepalen we de coördinaten van het snijpunt van de lijn \(y=x+2\)
met de cirkel \(x^2+y^2+2x−4y=0\). \(x^2+(x+2)^2+2x−4(x+2)=0\) \(2x^2+2x−4=0\) \(x^2+x−2=0\) \((x+2)(x−1)=0\)
Het arrangement 28. Vierkantsvergelijkingen is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: kwadraatsafsplitsen, vierkantsvergelijkingen oplossen, kruislings vermenigvuldigen en cirkels.
Leerniveau
VWO 2;
HAVO 1;
VWO 1;
HAVO 3;
VWO 3;
HAVO 2;
Leerinhoud en doelen
Derde graads vergelijking oplossen;
Verbanden en formules;
Vergelijkingen en ongelijkheden;
Rekenen/wiskunde;
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: kwadraatsafsplitsen, vierkantsvergelijkingen oplossen, kruislings vermenigvuldigen en cirkels.
De tegels die je hebt gebruikt voor de Penrosebetegeling, worden gemaakt op basis van de regelmatige vijfhoek en zijn diagonalen. Zie figuur hoe dat gaat.
Om de noemers kwijt te raken, hebben we eerst met 
De cirkel met straal 
