Twee variabelen \(x\) en \(y\) zijn evenredig.
Dat betekent: als \(x\)\(k\) keer zo groot wordt, dan wordt \(y\) ook \(k\) keer zo groot.
Hierbij kun je voor \(k\) elk getal kiezen dat je maar wilt.
De term evenredig betekent letterlijk gelijke verhouding. Hij is ingevoerd door
Simon Stevin (1548-1620). In andere talen gebruikt men een woord dat lijkt op proportioneel.
Opgave 6
Opgave 7
Opgave 8
Opgave 9
26.3 y=ax+b
Opgave 10
Opgave 11
Opgave 12
Opgave 13
Opgave 14
Opgave 15
Opgave 16
Opgave 17
26.4 Vergelijkingen van lijnen opstellen
Opgave 18
Voorbeeld
Een lijn gaat door de punten \(A(‐1,3)\) en \(B(2,‐5)\). De lijn daalt, dus de richtingscoëfficiënt is negatief. Als je van \(A\) naar \(B\) gaat, moet je \(3\) hokjes naar rechts en \(8\) hokjes naar beneden.
Dus de richtingscoëfficiënt is \(‐\frac{8}{3}=‐2\frac{2}{3}\).
Opgave 19
Opgave 20
Vergelijkingen van lijnen opstellen:
Een lijn gaat door de punten \(A(‐1,3)\) en \(B(3,‐3)\).
Maak eerst een schets hoe de punten ten opzichte van elkaar liggen; zie figuur.
Als ik van \(A\) naar \(B\) ga, moet ik \(4\) naar rechts en \(6\) naar beneden; de richtingscoëfficiënt is dus negatief!
De richtingscoëfficiënt is \(‐\frac{6}{4}=‐1\frac{1}{2}\).
Een vergelijking ziet er zo uit: \(y=‐1\frac{1}{2}x+b\).
De lijn gaat door \(A\), dus \((‐1,3)\) voldoet aan de vergelijking:
\(y=‐1\frac{1}{2}x+b\)
\(3=‐1\frac{1}{2}⋅‐1+b\)
Invullen \((‐1,3)\)
\(3=1\frac{1}{2}+b\)
\(1\frac{1}{2}=b \)
Een vergelijking van de lijn is: \(y=‐1\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2}\).
Opgave 21
Opgave 22
Opgave 23
Opgave 24
Opgave 25
26.5 Snijpunten berekenen
Opgave 26
Opgave 27
Opgave 28
Opgave 29
Opgave 30
Opgave 31
Opgave 32
Opgave 33
26.6 Verbanden van de vorm p·x + q·y = r
Opgave 34
Opgave 35
Opgave 36
Opgave 37
Opgave 38
Opgave 39
Opgave 40
Opgave 41
26.7 Loodrecht snijden
Opgave 42
Opgave 43
Opgave 44
26.8 Eindpunt
Verbanden
evenredig verband
Twee variabelen \(x\) en \(y\) zijn evenredig.
Dat betekent: als \(x\)\(k\) keer zo groot wordt, dan wordt \(y\) ook \(k\) keer zo groot.
Hierbij kun je voor \(k\) elk getal kiezen dat je maar wilt. De grafiek is een rechte lijn en gaat door de oorsprong \((0,0)\).
De formule is van de vorm: \(y=c⋅x\), voor een of ander getal \(c\). Het getal \(c\) wordt de evenredigheidsconstante genoemd.
lineair verband
De formule is van de vorm: \(y=ax+b\).
De grafiek is een rechte lijn, maar hoeft niet door de oorsprong te gaan.
vergelijking van een rechte lijn
De vergelijking van een rechte lijn is: \(y=ax+b\)
\(a\) is hierin de richtingscoëfficiënt, dat betekent: als \(x\) één groter wordt, wordt \(y\)\(a\) groter.
\(b\) is de hoogte waarop de lijn de \(y\)-as snijdt. Ook wel beginhoogte genoemd.
Als de richtingscoëfficiënt positief is, heb je te maken met een stijgende lijn.
Als de richtingscoëfficiënt negatief is, heb je te maken met een dalende lijn.
evenwijdige lijnen
Evenwijdige lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt.
speciale gevallen
Een horizontale lijn heeft richtingscoëfficiënt \(0\).
Een vergelijking van een horizontale lijn: \(y=p\).
Een verticale lijn heeft geen richtingscoëfficiënt.
Een vergelijking van een verticale lijn: \(x=q\).
loodrecht snijden
Twee lijnen staan loodrecht op elkaar als het procuct van de richtingscoëfficiënten \(‐1\) is.
opstellen van een vergelijking van een rechte lijn
We willen een vergelijking van de lijn door de punten \(A(7,‐10)\) en \(B(1,2)\) weten.
Maak eerst een schets hoe de punten ongeveer liggen.
Bereken de richtingscoëfficiënt. Let goed op of je te maken hebt met een dalende of een stijgende lijn!
richtingscoëfficiënt \(= ‐\frac{12}{6}=‐2\)
Bereken de beginhoogte.
Je hebt vanwege de richtingscoëfficiënt al een stukje van de vergelijking, namelijk:
\(y=‐2x+b\)
\(2=‐2⋅1+b\)
Invullen \(B\)\((1,2)\) of \(A(7,‐10)\)
\(2=‐2+b\)
Vereenvoudigen
\(4=b\)
Oplossen
Geef de vergelijking. \(y=‐2x+4\)
berekenen van snijpunten
We willen de coördinaten van het snijpunt berekenen van de twee lijnen: \(k:y=2x+3\) en \(l: y=7x+2\).
Voor de eerste coördinaat \(x\) van het snijpunt geldt:
\(2x+3 = 7x+2\)
MIN 2\(x\)
\(3 = 5x+2\)
MIN 2
\(1 = 5x\)
DELEN DOOR 5
\(\frac15 = x\)
Als \(x=\frac15\), dan \(y=2x+3=2⋅\frac15+3=3\frac25\).
Snijpunt van \(k\) en \(l\) is \((\frac15,3\frac25)\).
Soms zijn de vergelijkingen niet van de vorm \(y=ax+b\), maar van de vorm \(p⋅x+q⋅y=r\).
Voorbeeld
Bereken de coördinaten van het snijpunt van de lijnen: \(m: 2x+3y=4\) enn: \(‐x+2y+9=0\).
Je kunt beide vergelijkingen omschrijven naar de vorm \(y=ax+b\). \(2x+3y=2\) wordt \(y=‐\frac23x+1\frac13\), \(‐x+2y+9=0\) wordt \(y=\frac12x−4\frac12\).
Je krijgt dan:
\(‐\frac23x+1\frac13 = \frac12x−4\frac12\)
MAAL 6
\(‐4x+8 = 3x−27\)
PLUS 4\(x\), PLUS 27
\(35 = 7x\)
DELEN DOOR 7
\(5 = x\)
Als \(x=5\), dan \(y=\frac12⋅5−4\frac12=‐2 \).
Snijpunt van \(m\) en \(n\) is \((5,‐2)\).
Snijpunt met \(x\)-as en \(y\)-as
Het snijpunt met de \(x\)-as heeft \(y\)-coördinaat 0.
Het snijpunt met de \(y\)-as heeft \(x\)-coördinaat 0.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: rechte lijnen in de praktijk, y=ax+b, vergelijkingen van lijnen opstellen, snijpunten berekenen, verbanden in de vorm p*x + 1*y=r en loodrecht snijden.
Leerniveau
VWO 2;
HAVO 1;
VWO 1;
HAVO 3;
VWO 3;
HAVO 2;
Leerinhoud en doelen
Verbanden en formules;
Werken met representaties - exponentiele formule opstellen;
Rekenen/wiskunde;
Exponentiële verbanden;
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor vwo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: rechte lijnen in de praktijk, y=ax+b, vergelijkingen van lijnen opstellen, snijpunten berekenen, verbanden in de vorm p*x + 1*y=r en loodrecht snijden.
De vergelijking van een rechte lijn is: 
We willen een vergelijking van de lijn door de punten 
