In de aankomende P&T week krijgen jullie een repetitie over hoofdstuk 3 en hoofdstuk 6. Deze hoofdstukken gaan over kwadratische problemen en kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden. Om extra te kunnen oefenen met de onderwerpen uit beide hoofdstukken, heb ik deze ditigale les in elkaar gezet.
Hoe werkt het.
In het linker menu zien jullie de volgende pagina's:
> Lesstof, Hier staat de bijbehordende theorie nog eens uitgelegd door middel van teksten, afbeeldingen en filmpjes.
> Oefenen, Denk je de stof al door te hebben? Op deze pagina kan je oefenen per onderwerp.
Wat moet je kennen/kunnen van hoofdstuk 3 en hoofdstuk 6.
> Je weet wat een kwadratische functie is en je weet hoe een kwadratische functie eruit ziet.
> Je kan de coördinaten berekenen van de snijpunten met de assen.
> Je kan een kwadratische functie oplossen.
> Je kan de top van de grafiek bepalen door te kijken naar de functie of door de top te berekenen.
> Je kan de een functie omschrijven naar de vorm y = ax2 + bx +c.
> Je kan onderzoeken of een punt op de functie ligt.
> Je kan de ABC-formule toepassen.
> Je kunt aan de hand van de discriminant zien hoeveel oplossingen een kwadratische vergelijking heeft.
> Je kan kwadratische vergelijkingen oplossen.
Heb je nog niet alles onder de knie? Maak gebruik van de laatste lessen voor de toets om je vragen te stellen!
Succes!
Lesstof
Coördinaten berekenen van de snijpunten met de assen
Voor het berekenen van de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van een functie f met de x-as en de y-as heb je geleerd:
> Snijpunten met de x-as, De y-coördinaat is 0 en de x-coördinaat volgt uit f(x) = 0.
> Snijpunt met de y-as, De x-coördinaat is 0 en de y-coördinaat is f(0).
Verschillende parabolen en de top van de grafiek
De parabool \(y=a(x-d)(x-e)\)
Als een formule (of een functie) in de vorm \(y=a(x-d)(x-e)\) staat, zijn de sniijpunten (d , 0) en (e , 0)
De coördinaten van de snijpunten van de grafiek van \(y=-5(x -3)(x-8)\) zijn (3 , 0) en (8 , 0).
De top van de parabool \(y=a(x-p)^2+q\)
De top van de grafiek \(y=x^2\) is de oorsprong O (0,0).
De top van de grafiek \(y=3(x-5)^2+2\) is (5,2).
> De top van de parabool \(y=a(x-p)^2+q\) is het punt (p,q)
De top van de parabool \(y=ax^2+bx+c\)
De top van de grafiek \(y=ax^2+bx+c\) > Xtop = \(-{b\over 2a}\)
> Ytop krijg je door de Xtop in de formule in te vullen.
Voorbeeld. \(y=-1,8x^2 +9x +8\)
a = -1,8 b = 9 c = 8
Xtop = \({9 \over 2\times-1,8 }= 2,5\)
Ytop = \(-1,8 \times 2,5^2 +9\times +8 = 19,25\)
Dus de top van de grafiek is het punt (2,5 ; 19,25)
De vorm y = ax2 + bx +c
De vorm \(y=ax^2 +bx+c\) ken je al van het berekenen van de top van de grafiek.
De a b en c staan voor getallen.
Voorbeelden. \(3x^2-7x-1=0\) a = 3 b = -7 c = -1 \(9x^2-25x+100=0\) a = 3 b = -25 c = 100
Als er in de vraag staat "los op", stel je de vergelijking gelijk aan nul om de snijpunten met de x-as te berekenen.
Om zo'n vergelijking of functie op te lossen, zorg je ervoor dat je het geschreven hebt in de vorm \(y=ax^2 +bx+c\). \(y=(x+a)(x+b) \) valt daar ook onder als het rechterlid nul is.
Voorbeelden.
\(6x^2+36x=96\)
\(6x^2+36x-96=0\)
\((x-5)^2=49\) Merk op dat het rechter-lid niet gelijk is aan nul.
\(x^2-10x+25=49\)
\(x^2-10x-24=0\)
Kwadratische vergelijkingen oplossen
Er zijn 3 methoden die wij kennen om een kwadratische vergelijking op te kunnen lossen.
I x2 = c De letter c is in dit geval een getal. c = positief getal c = 0 c = negatief getal.
De oplossingen van deze vergelijking kan je direct opschrijven.
\(x^2=25\)\(x^2=0\)\(x^2=-16\)
\(x = \sqrt{25} \) v \(x=-\sqrt{25} \)\(x= \sqrt{0}\)\(x = \sqrt{-16}\)
\(x=5\) v \(x=-5\)\(x=0\)\(geen\space oplossing\)
II ontbinden in factoren De vergelijking \(x^2+x-2=0\) los je op met ontbinden in factoren. Je krijgt:
\(x^2+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\)
\(x+2 =0 \) v \(x-1=0\)
\(x=-2\) v \(x=1\)
Bij \((4x+8)(3x-2)=0\) pas je direct toe A x B = 0 dus A = 0 v B = 0
\((4x+8)(3x-2)=0\)
\(4x+8=0\) v \(3x-2=0\)
\(4x = -8\) v \(3x=2\)
\(x=-2\) v \(x = {2\over3}\)
III De abc-formule
De vergelijking \(x^2 + 5x-4=0\) los je op met de abc-formule, want ontbinden in factoren lukt hier niet.
De abc-formule wordt op een aparte pagina behandeld.
Voor de leerlingen die nog een keer willen zien hoe je kan ontbinden in factoren staat hieronder een uitleg
Herhalen ontbinden
De abc - formule
Er zijn kwadratische vergelijkingen die je niet kunt oplossen door te ontbinden in factoren. Gelukkig is er een formule waarmee je van elke kwadratische vergelijking de oplossingen kunt berekenen. Die formue heet de abc-formule.
Werkschema:
1) Schrijf de vergelijking in de vorm \(ax^2+bx+c=0\)
2) vermeld a, b en c.
3) Bereken \(D=b^2-4ac\)
4) De oplossingen zijn \(x = {-b -\sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\) en \(x = {-b +\sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)
Na stap 1 en 2 bereken je \(D=b^2-4ac\).
De D heet de discriminant van de vergelijking \(ax^2+bx+c=0\)
Hieronder staat nog een duidelijk en kort filmpje met een voorbeeld van de abc-formule gemaakt door netles.nl
Uitleg abc-formule
De discriminant
Het aantal oplossingen van een vergelijking kan twee, één of nul zijn. Dat aantal hangt af van de discriminant. Dus het aantal snijpunten van de grafiek van f met de x-as hangt af van de discriminant.
We zijn tenslotte de snijpunten van de grafiek van f met de x-as aan het berekenen als we een vergelijking gelijk stellen aan nul en deze oplossen.
Het aantal oplossingen \(ax^2+bx+c=0\) is:
> nul, als het antwoord van de discriminant kleiner is dan nul. D < 0 (Derde schets)
> één, als het antwoord van de discriminant gelijk is aan nul. D = 0 (Tweede schets)
> twee, als het antwoord van de discriminant groter is dan nul. D > 0 (Eerste schets)
Voor een berg parabool werkt de discriminant hetzelfde, maar ziet de schets er als volgt uit:
Lineaire ongelijkheden
"Voor welke x is \(0,3x+25<0,5x+12\)"
Je hebt hier te maken met een lineaire ongelijkheid. Je lost deze als volgt op.
Werkschema.
1) Breng de termen met x naar het linkerlid \(0,3x+25<0,5x+12\)
en de rest naar het rechterlid. \(0,3x-0,5x<12-25\)
2) Herleid beide leden. \(-0,2x<-13\)
3) Deel beide leden door het getal dat voor \(x>{-13\over-0,2}\)
de x staat. Als dat getal negatief is, klap je \(x>65\)
het teken < of > om.
Voorbeelden.
\(-3x>18\) geeft \(x<-6\) Deel door -3, dus klap > om. \(-x<-7\) geeft \(x>7\) Deel door -1, dus klap < om. \(5x<-100\) geeft \(x<-20\) Deel door 5, dus klap < niet om.
Kwadratische ongelijkheden
De ongelijkheid \(x^2-5>x+1\) is een voorbeeld van een kwadratische vergelijking.
Bij het oplossen gebruik je een schets van de grafieken \(f(x)=x^2-5\) en \(g(x) = x+1\).
Voor de benodigde x-waarden (snijpunten met de x-as) los je eerst de vergelijking \(f(x)=g(x)\) op.
Werkschema.
1) Noem het linkerlid \(f(x)\) en het rechterlid \(g(x)\)\(f(x)=x^2-5\) en \(g(x) = x+1\)
2) Los op \(f(x)=g(x)\)\(x^2-5=x+1\) \(x^2-x-6=0\) \((x-3)(x+2)=0\) \(x-3=0\) v \(x+2=0\) \(x=3\) v \(x=-2\)
3) geef op de x-as aan waar de grafiek van \(f\)
boven die van \(g\) ligt.
4) Geef het antwoord \(f(x)>g(x)\) geeft \(x<-2\) v \(x>3\)
Het arrangement Kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Bo Kwekkeboom
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2018-04-18 18:54:39
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
Oefeningen en toetsen
Snijpunten met de x-as en y-as
Top van de grafiek
Zet de formule in de juiste vorm
Los op
Discriminant
Ongelijkheden
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat
alle
informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen
punten,
etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
