Om kansproblemen op te lossen, kun je een stroomdiagram gebruiken.
Kansen kunnen dan worden berekend:
met behulp van de aantallen in de rechthoeken van het stroomdiagram, of
met behulp van de breuken bij de takken van het stroomdiagram.
Met behulp van een stroomdiagram kan de verwachtingswaarde worden berekend.
De verwachtingswaarde is een theoretisch gemiddelde.
Voorbeeld
Op een fancy fair staan twee grabbeltonnen. In de ene grabbelton zitten \(10\) enveloppen. In drie daarvan zit \(5\) euro. De rest van de enveloppen is leeg. In de andere grabbelton zitten \(6\) enveloppen, waarvan er twee zijn gevuld met \(5\) euro. De rest is leeg. Voor beide grabbeltonnen moet je \(2\) euro betalen.
Ad beproeft bij beide grabbeltonnen eenmaal zijn geluk. We berekenen de winst die Ad mag verwachten.
Allereerst tekenen we een stroomdiagram om de winkansen van Ad te bepalen.
Als je met behulp van een stroomdiagram de kans op een bepaalde uitbetaling wilt berekenen, kun je met een willekeurig aantal spelletjes beginnen. Het is echter verstandig om met een zodanig aantal spelletjes te beginnen dat je in het stroomdiagram alleen gehele getallen krijgt.
De kans op \(10\) euro is \(\frac{3}{30}=\frac{1}{10}\) of \(\frac{3}{10}⋅\frac{1}{3}=\frac{1}{10}\).
De kans op \(5\) euro is \(\frac{6+7}{30}=\frac{13}{30}\) of \(\frac{3}{10}⋅\frac{2}{3}+\frac{7}{10}⋅\frac13=\frac{13}{30}\).
De kans op \(0\) euro is \(\frac{14}{30}\) of \(\frac{7}{10}⋅\frac23=\frac{14}{30}\).
De verwachte uitbetaling na twee keer grabbelen is \(\frac{3⋅10+13⋅5}{30}=3\frac16\) euro.
Dus Ad verliest gemiddeld \(\frac56\) euro.
Toelaatbare gebied
Een lijn verdeelt het vlak in twee gebieden. Deze gebieden kunnen worden beschreven met ongelijkheden.
Voorbeeld
In het oker gekleurde gebied liggen de punten \((x,y)\) waarvoor geldt \(3x+5y≤15\).
De grenslijn van het gebied is de lijn \(3x+5y=15\).
Er zijn situaties die aanleiding geven tot het opstellen van een aantal ongelijkheden. De punten \((x,y)\) die aan al die ongelijkheden voldoen, vormen het toelaatbare gebied.
Voorbeeld
Voor de punten in het gekleurde gebied geldt: \(x≥0, y≥0\) en \(x+y≤3\).
Optimaliseren
Bij veel praktische optimalisatieproblemen kunnen de beperkende voorwaarden met behulp van ongelijkheden worden beschreven.
De oplossing van het probleem moet aan deze ongelijkheden voldoen en ligt dus in het bijbehorende toelaatbare gebied.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: kans en verwachting, toelaatbaar gebied en optimaliseren.
Leerniveau
VWO 2;
HAVO 1;
VWO 1;
HAVO 3;
VWO 3;
HAVO 2;
Leerinhoud en doelen
Uitkomst van een toevalsexperiment;
Verhoudingsvraagstukken;
Rekenen/wiskunde;
Inzicht en handelen;
Rekenen met getallen;
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: kans en verwachting, toelaatbaar gebied en optimaliseren.
In het oker gekleurde gebied liggen de punten 
Voor de punten in het gekleurde gebied geldt: 
