24. Goniometrie

24. Goniometrie

24.0 Intro

Opgave 1

24.1 Tekenen op schaal

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

24.2 Rechthoekige driehoeken

Opgave 12

Opgave 13

Opgave 14

Opgave 15

De tabel gebruiken

De tabel die we bij de vorige opgave gemaakt hebben, kunnen we uitbreiden tot een tabel voor alle hoeken tussen \(0\) en \(90\) graden. Die staat hieronder.

De tabel gebruiken

Voorbeeld 1

Hiernaast staat een tekening op schaal van driehoek \(ABP\) van opgave 2 van de vorige paragraaf. Daar heb je de lengte van \(AB\) gemeten.
Je kunt die lengte ook met behulp van de tabel berekenen. In de tabel zie je bij hoek \(39°\) dat de breuk \(\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}=0,810\), dus \(AB=200⋅0,810≈162\).
Vergelijk dat met jouw antwoord voor de afstand tussen de twee peilers in opgave 2.
Merk op dat je met de tabel sneller en nauwkeuriger werkt: je hoeft geen tekening te maken.


Voorbeeld 2

In opgave 7 heb je een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van \(24\) en \(35\) mm getekend.
De hoeken van die driehoek kun je met de tabel berekenen!
Voor het gemak geven we de hoekpunten van de driehoek namen: zie plaatje.
Voor hoek \(BAC\) geldt: \(\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}=\frac{24}{35}≈0,686\).
In de tabel kun je de bijbehorende hoek terugzoeken: tussen de \(34\) en \(35\) graden.
We houden het op \(34\) graden ( \(0,675\) ligt het dichtst bij \(0,686\)).
Dus \(∠BAC≈34°\) en dan is \(∠ABC≈90°−34°≈56°\).

Opgave 16

Opgave 17

Opgave 18

24.3 Sinus, cosinus en tangens

Definitie van sinus, cosinus en tangens

De verhouding\(\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}\) heet tangens van de hoek,

De verhouding \(\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\) heet sinus van de hoek,

De verhouding \(\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\) heet cosinus van de hoek.

We korten sinus af met sin, cosinus met cos en tangens met tan.

\(\text{sin}(α) =\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}=\frac{a}{c}\)


\(\text{cos}(α) =\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}=\frac{b}{c} \)

 

\(\text{tan}(α) =\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}=\frac{a}{b}\)

 

Voorbeeld
In opgave 18 van de vorige paragraaf heb je α berekend: \(α =37°\). Dus (kijk nog eens naar het plaatje bij die opgave):
\(\text{sin}(37°)=\frac{3}{5}=0,6\)
\(\text{cos}(37°)=\frac{4}{5}=0,8\)
\(\text{tan}(37°)=\frac{3}{4}=0,75 \)

Voor elke andere scherpe hoek kun je de bijbehorende sinus, cosinus en tangens bepalen. Dat zou bijvoorbeeld kunnen door met nauwkeurige tekeningen van grote rechthoekige driehoeken te werken. Wiskundigen doen dat anders. De resultaten zijn in de volgende tabel bij elkaar gebracht.

Sinus en cosinus werden bestudeerd door Hipparchus van Nicaea (\(180–125\) vChr), Claudius Ptolemaeus van Egypte (\(90–165\)), Aryabhata (\(476–550\)), Varahamihira Brahmagupta en Muhammad ibn Mūsā al-kwārizmī. De Arabieren introduceerden het begrip sinus als gib, wat letterlijk koorde betekent. Toen het wetenschappelijk centrum van de wereld verschoof, werden de Arabische werken in de \(12\)e eeuw vertaald naar het Latijn. Hierbij werd gib verward met gaib, dat bocht of boezem betekent. Het Latijnse woord hiervoor is sinus. Ondanks de foute vertaling raakte het begrip toch ingeburgerd en dat is de reden dat we ze vandaag nog steeds kennen als sinus. (Uit: Wikipedia)
In de eerste extra opgaven kun je zien hoe bijvoorbeeld Ptolemaeus en Hipparchos de sinus gebruikten om afstanden en afmetingen van hemellichamen te bepalen.

 

Met sinus, cosinus en tangens werken

Voorbeeld 3

We gaan terug naar opgave 4 met de slagboom.

De breuk \(\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\) van de draaihoek \(CAB\) kun je uitrekenen in driehoek \(ABC\). Dat is de sinus van hoek \(CAB\). We noemen die hoek \(α\).
Je vindt: \(\text{sin}(α)=\frac{BC}{AC}=\frac{3\frac{1}{2}}{6}≈0,583\).

In de tabel zoek je terug dat \(α ≈36°\).

 

Voorbeeld 4
In opgave 5 moest je de hoogte van een ballon bepalen met behulp van een precieze tekening op schaal. Je kunt de hoogte van de ballon nauwkeurig bepalen met de tabel.
Hoek \(CAB\) noemen we \(α\).
Er geldt: \(sinα=\frac{BC}{AC}\), dus \(\text{sin}(72°)=\frac{BC}{30}\).
In de tabel vind je: \(\text{sin}(72°)=0,951\), dus \(0,951=\frac{BC}{30}\),
dus \(BC=30⋅0,951≈28,53\) meter.
Als je het antwoord in decimeter nauwkeurig moet geven, rond je af op één decimaal, want het eerste cijfer na de komma geeft het aantal dm aan.


Voorbeeld 5
Voor de gegevens, zie het plaatje.
De vraag is om \(a\) en \(b\) te berekenen.

Oplossing
Als je niet weet welke van de drie je moet hebben, sinus, cosinus of tangens, schrijf je ze alledrie op.
Dan kijk je waar je mee verder kunt.
In de tabel vind je:
\(\text{sin}(32°)≈0,530,\space \text{cos}(32°)≈0,848\) en \(\text{tan}(32°)≈0,625\).
Dit geeft: \(\frac{b}{a}≈0,530, \frac{10}{a}≈0,848\) en \(\frac{b}{10}≈0,625\).
Met \(\frac{b}{a}≈0,530\) kun je niet verder.
Met \(\frac{10}{a}≈0,848\) kun je \(a\) uitrekenen en met \(\frac{b}{10}≈0,625\), kun je \(b\) uitrekenen.
Dit geeft: \(a≈\frac{10}{0,848}≈11,79...≈11,8\) en
\(b≈10⋅0,625≈6,25≈6,3\).

 

Over nauwkeurigheid

In de voorbeeld 4 wordt een antwoord in dm nauwkeurig gevraagd. Als je in meters werkt, rond je het antwoord af op één decimaal.
In voorbeeld 5 moet je op één decimaal afronden. Daarvoor moet je de tweede decimaal ook weten.
Is die kleiner dan \(5\), dan rond je naar beneden af, anders naar boven, dus \(6,24\) rond je af op \(6,2\) en \(6,25\) op \(6,3\).

 

Met je rekenmachine

De getallen in de tabel staan ook in je rekenmachine.
Hoe je de sinus, cosinus en tangens van een hoek van \(54°\) te voorschijn tovert, hangt af van het merk rekenmachine.
Op veel rekenmachines gaat het zó.

Tik in

In het venster krijg je

\(\text{sin}\space54\)

\(0,8090169\)

\(\text{cos}\space54\)

\(0,5877852\)

\(\text{tan}\space54\)

\(1,3763819\)

Let op: je rekenmachine moet in de stand DEG staan! Moderne rekenmachines werken vaak anders. Vraag je leraar hoe je rekenmachine werkt of raadpleeg de gebruiksaanwijzing.

Als je machine anders werkt, moet je de handleiding bekijken. Misschien kan je leraar je helpen. Omgekeerd kun je ook bij een gegeven verhouding de grootte van de hoek vinden (te vergelijken met terugzoeken in de tabel).
Je weet bijvoorbeeld dat \(tanα=0,85\), dan vind je \(α\) zo:

Tik in

In het venster krijg je

\(\text{shift}\space\text{tan}\space0,85\)

\(40,364536\)

Maar je bent meestal ook wel met minder cijfers achter de komma tevreden. Als je op één decimaal af moet ronden, krijg je \(α =40,4°\) en als je op twee decimalen af moet ronden, krijg je \(α =40,36°\).


Op andere typen rekenmachines komt in plaats van “shift \(\text{shift}\space\text{sin}\)” wel voor: 2nd sin of \(\text{sin}^{‐1}\).

 

Zie plaatje.
In plaats van de definities van sinus, cosinus en tangens worden vaak de volgende formules gebruikt.

  1. \(a=c⋅\text{sin}(α)\)
  2. \(b=c⋅\text{cos}(α)\)
  3. \(a=b⋅\text{tan}(α)\)

 

We geven nog twee voorbeelden.

Voorbeeld 6
Voor de gegevens zie plaatje. We gebruiken formule 1:
\(x=10⋅\text{sin}(54°)≈8,1\).
Let op dat de rekenmachine in de stand DEG staat!

 

 

 

 

Voorbeeld 7
Zie plaatje.
\(\text{tan}(α)=\frac{17}{20}.\)
Met de rekenmachine in de stand DEG:
\(\text{shift} \space \text{tan} \space(17:20)=\) geeft: \(40,364536...\) ,
Dus \(α≈40,4°\).

Opgave 19

Opgave 20

24.4 Gemengde opgaven

Opgave 21

Opgave 22

Opgave 23

Opgave 24

Opgave 25

Opgave 26

Opgave 27

Opgave 28

Opgave 29

Opgave 30

Opgave 31

24.5 Eindpunt

sin, cos, tan

\(\text{sin}(α)=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}= \frac{a}{c}\)

\(\text{cos}(α) =\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}= \frac{b}{c}\)

\(\text{tan}(α)=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}= \frac{a}{b}\)

Dus:

  1. \(a = c ⋅\text{sin}( α)\)
  2. \(b=c ⋅\text{cos}( α)\) \(\)
  3. \(a=b ⋅\text{tan}( α)\)

 

voorbeelden

Formules \(\text{sin}\), \(\text{cos}\) & \(\text{tan}\):

  1. \(a = c ⋅\text{sin}( α)\)
  2. \(b=c ⋅\text{cos}( α)\) \(\)
  3. \(a=b ⋅\text{tan}( α)\)

Voorbeelden:

  • Gegevens zie plaatje.
    Bereken \(a\) en \(c\).
    Oplossing
    Om \(a\) te berekenen gebruik je formule \(3\).
    Dit geeft: \(a=10⋅\text{tan}(23°)≈4,24\).
    Om \(c\) te berekenen gebruik je formule \(2\).
    Dit geeft: \(10=c⋅\text{cos}(23°)\), dus
    \(c=\frac{10}{\text{cos}(23°)}≈10,86\).

 

  • Gegevens zie plaatje.
    Bereken \(r\) en \(q\).
    Oplossing
    Om \(r\) te berekenen gebruik je formule \(2\).
    Dit geeft: \(r=15⋅\text{cos}(56°)≈8,39\).
    Om \(q\) te berekenen gebruik je formule \(1\).
    dit geeft: \(q=15⋅\text{sin}(56°)≈12,44\).

 

  • Gegevens zie plaatje.
    Bereken de scherpe hoeken van driehoek \(XYZ\).
    Oplossing
    We gebruiken tangens van een hoek \(=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}\)
    Dit geeft \(\text{tan}(∠XZY)=\frac{2}{3}\).
    Met de rekenmachine vind je \(∠XZY≈33,7°\) en dus \(∠ZXY≈56,3°\).

 

  • Gegevens zie plaatje.
    Bereken \(δ\) en \(ε\).
    Oplossing
    We gebruiken cosinus van een hoek \(=\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\).
    Dit geeft: \(\text{cos}(δ) =\frac{12}{15}\).
    Met de rekenmachine vind je \(δ ≈36,9°\) en dus \(ε ≈53,1°\).

 

24.6 Extra opgaven

Extra opgave 1

Extra opgave 2

Extra opgave 3

Extra opgave 4

Extra opgave 5

Extra opgave 6

Extra opgave 7

Extra opgave 8

Extra opgave 9

Extra opgave 10

Extra opgave 11

Extra opgave 12

Extra opgave 13

Extra opgave 14

Extra opgave 15

Extra opgave 16

Extra opgave 17

Oker

Opgave 9-S

Opgave 23-S

Opgave 24-S

Opgave 25-S

Opgave 29-S

  • Het arrangement 24. Goniometrie is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-10-06 00:23:46
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: tekenen op schaal, rechthoekige driehoeken en sinus, cosinus en tangens.
    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Vaktaal hoeken en symbolen; Rekenen/wiskunde; Rekenen in de meetkunde; Hoeken; Meten en meetkunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, cosinus, havo 3, rechthoekige driehoek, rechthoekzijde, sinus, stercollectie, tangens, tekenen op schaal, wiskunde

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van