De tabel die we bij de vorige opgave gemaakt hebben, kunnen we uitbreiden tot een tabel voor alle hoeken tussen \(0\) en \(90\) graden. Die staat hieronder.
De tabel gebruiken
Voorbeeld 1
Hiernaast staat een tekening op schaal van driehoek \(ABP\) van opgave 2 van de vorige paragraaf. Daar heb je de lengte van \(AB\) gemeten.
Je kunt die lengte ook met behulp van de tabel berekenen. In de tabel zie je bij hoek \(39°\) dat de breuk \(\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}=0,810\), dus \(AB=200⋅0,810≈162\).
Vergelijk dat met jouw antwoord voor de afstand tussen de twee peilers in opgave 2.
Merk op dat je met de tabel sneller en nauwkeuriger werkt: je hoeft geen tekening te maken.
Voorbeeld 2
In opgave 7 heb je een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van \(24\) en \(35\) mm getekend.
De hoeken van die driehoek kun je met de tabel berekenen!
Voor het gemak geven we de hoekpunten van de driehoek namen: zie plaatje.
Voor hoek \(BAC\) geldt: \(\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}=\frac{24}{35}≈0,686\).
In de tabel kun je de bijbehorende hoek terugzoeken: tussen de \(34\) en \(35\) graden.
We houden het op \(34\) graden ( \(0,675\) ligt het dichtst bij \(0,686\)).
Dus \(∠BAC≈34°\) en dan is \(∠ABC≈90°−34°≈56°\).
Opgave 16
Opgave 17
Opgave 18
24.3 Sinus, cosinus en tangens
Definitie van sinus, cosinus en tangens
De verhouding\(\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}\) heet tangens van de hoek,
De verhouding \(\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\) heet sinus van de hoek,
De verhouding \(\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\) heet cosinus van de hoek.
We korten sinus af met sin, cosinus met cos en tangens met tan.
Voorbeeld
In opgave 18 van de vorige paragraaf heb je α berekend: \(α =37°\). Dus (kijk nog eens naar het plaatje bij die opgave): \(\text{sin}(37°)=\frac{3}{5}=0,6\) \(\text{cos}(37°)=\frac{4}{5}=0,8\) \(\text{tan}(37°)=\frac{3}{4}=0,75 \)
Voor elke andere scherpe hoek kun je de bijbehorende sinus, cosinus en tangens bepalen. Dat zou bijvoorbeeld kunnen door met nauwkeurige tekeningen van grote rechthoekige driehoeken te werken. Wiskundigen doen dat anders. De resultaten zijn in de volgende tabel bij elkaar gebracht.
Sinus en cosinus werden bestudeerd door Hipparchus van Nicaea (\(180–125\) vChr), Claudius Ptolemaeus van Egypte (\(90–165\)), Aryabhata (\(476–550\)), Varahamihira Brahmagupta en Muhammad ibn Mūsā al-kwārizmī. De Arabieren introduceerden het begrip sinus als gib, wat letterlijk koorde betekent. Toen het wetenschappelijk centrum van de wereld verschoof, werden de Arabische werken in de \(12\)e eeuw vertaald naar het Latijn. Hierbij werd gib verward met gaib, dat bocht of boezem betekent. Het Latijnse woord hiervoor is sinus. Ondanks de foute vertaling raakte het begrip toch ingeburgerd en dat is de reden dat we ze vandaag nog steeds kennen als sinus. (Uit: Wikipedia)
In de eerste extra opgaven kun je zien hoe bijvoorbeeld Ptolemaeus en Hipparchos de sinus gebruikten om afstanden en afmetingen van hemellichamen te bepalen.
Met sinus, cosinus en tangens werken
Voorbeeld 3
We gaan terug naar opgave 4 met de slagboom.
De breuk \(\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\) van de draaihoek \(CAB\) kun je uitrekenen in driehoek \(ABC\). Dat is de sinus van hoek \(CAB\). We noemen die hoek \(α\).
Je vindt: \(\text{sin}(α)=\frac{BC}{AC}=\frac{3\frac{1}{2}}{6}≈0,583\).
In de tabel zoek je terug dat \(α ≈36°\).
Voorbeeld 4 In opgave 5 moest je de hoogte van een ballon bepalen met behulp van een precieze tekening op schaal. Je kunt de hoogte van de ballon nauwkeurig bepalen met de tabel.
Hoek \(CAB\) noemen we \(α\).
Er geldt: \(sinα=\frac{BC}{AC}\), dus \(\text{sin}(72°)=\frac{BC}{30}\).
In de tabel vind je: \(\text{sin}(72°)=0,951\), dus \(0,951=\frac{BC}{30}\),
dus \(BC=30⋅0,951≈28,53\) meter.
Als je het antwoord in decimeter nauwkeurig moet geven, rond je af op één decimaal, want het eerste cijfer na de komma geeft het aantal dm aan.
Voorbeeld 5 Voor de gegevens, zie het plaatje.
De vraag is om \(a\) en \(b\) te berekenen.
Oplossing
Als je niet weet welke van de drie je moet hebben, sinus, cosinus of tangens, schrijf je ze alledrie op.
Dan kijk je waar je mee verder kunt.
In de tabel vind je: \(\text{sin}(32°)≈0,530,\space \text{cos}(32°)≈0,848\) en \(\text{tan}(32°)≈0,625\).
Dit geeft: \(\frac{b}{a}≈0,530, \frac{10}{a}≈0,848\) en \(\frac{b}{10}≈0,625\).
Met \(\frac{b}{a}≈0,530\) kun je niet verder.
Met \(\frac{10}{a}≈0,848\) kun je \(a\) uitrekenen en met \(\frac{b}{10}≈0,625\), kun je \(b\) uitrekenen.
Dit geeft: \(a≈\frac{10}{0,848}≈11,79...≈11,8\) en \(b≈10⋅0,625≈6,25≈6,3\).
Over nauwkeurigheid
In de voorbeeld 4 wordt een antwoord in dm nauwkeurig gevraagd. Als je in meters werkt, rond je het antwoord af op één decimaal.
In voorbeeld 5 moet je op één decimaal afronden. Daarvoor moet je de tweede decimaal ook weten.
Is die kleiner dan \(5\), dan rond je naar beneden af, anders naar boven, dus \(6,24\) rond je af op \(6,2\) en \(6,25\) op \(6,3\).
Met je rekenmachine
De getallen in de tabel staan ook in je rekenmachine.
Hoe je de sinus, cosinus en tangens van een hoek van \(54°\) te voorschijn tovert, hangt af van het merk rekenmachine.
Op veel rekenmachines gaat het zó.
Tik in
In het venster krijg je
\(\text{sin}\space54\)
\(0,8090169\)
\(\text{cos}\space54\)
\(0,5877852\)
\(\text{tan}\space54\)
\(1,3763819\)
Let op: je rekenmachine moet in de stand DEG staan! Moderne rekenmachines werken vaak anders. Vraag je leraar hoe je rekenmachine werkt of raadpleeg de gebruiksaanwijzing.
Als je machine anders werkt, moet je de handleiding bekijken. Misschien kan je leraar je helpen. Omgekeerd kun je ook bij een gegeven verhouding de grootte van de hoek vinden (te vergelijken met terugzoeken in de tabel).
Je weet bijvoorbeeld dat \(tanα=0,85\), dan vind je \(α\) zo:
Tik in
In het venster krijg je
\(\text{shift}\space\text{tan}\space0,85\)
\(40,364536\)
Maar je bent meestal ook wel met minder cijfers achter de komma tevreden. Als je op één decimaal af moet ronden, krijg je \(α =40,4°\) en als je op twee decimalen af moet ronden, krijg je \(α =40,36°\).
Op andere typen rekenmachines komt in plaats van “shift \(\text{shift}\space\text{sin}\)” wel voor: 2nd sin of \(\text{sin}^{‐1}\).
Zie plaatje. In plaats van de definities van sinus, cosinus en tangens worden vaak de volgende formules gebruikt.
\(a=c⋅\text{sin}(α)\)
\(b=c⋅\text{cos}(α)\)
\(a=b⋅\text{tan}(α)\)
We geven nog twee voorbeelden.
Voorbeeld 6 Voor de gegevens zie plaatje. We gebruiken formule 1: \(x=10⋅\text{sin}(54°)≈8,1\).
Let op dat de rekenmachine in de stand DEG staat!
Voorbeeld 7
Zie plaatje. \(\text{tan}(α)=\frac{17}{20}.\)
Met de rekenmachine in de stand DEG: \(\text{shift} \space \text{tan} \space(17:20)=\) geeft: \(40,364536...\) ,
Dus \(α≈40,4°\).
Gegevens zie plaatje.
Bereken \(a\) en \(c\). Oplossing
Om \(a\) te berekenen gebruik je formule \(3\).
Dit geeft: \(a=10⋅\text{tan}(23°)≈4,24\).
Om \(c\) te berekenen gebruik je formule \(2\).
Dit geeft: \(10=c⋅\text{cos}(23°)\), dus \(c=\frac{10}{\text{cos}(23°)}≈10,86\).
Gegevens zie plaatje.
Bereken \(r\) en \(q\). Oplossing
Om \(r\) te berekenen gebruik je formule \(2\).
Dit geeft: \(r=15⋅\text{cos}(56°)≈8,39\).
Om \(q\) te berekenen gebruik je formule \(1\).
dit geeft: \(q=15⋅\text{sin}(56°)≈12,44\).
Gegevens zie plaatje.
Bereken de scherpe hoeken van driehoek \(XYZ\). Oplossing
We gebruiken tangens van een hoek \(=\frac{\text{overstaande rechthoekszijde}}{\text{aanliggende rechthoekszijde}}\)
Dit geeft \(\text{tan}(∠XZY)=\frac{2}{3}\).
Met de rekenmachine vind je \(∠XZY≈33,7°\) en dus \(∠ZXY≈56,3°\).
Gegevens zie plaatje.
Bereken \(δ\) en \(ε\). Oplossing
We gebruiken cosinus van een hoek \(=\frac{\text{aanliggende rechthoekszijde}}{\text{schuine zijde}}\).
Dit geeft: \(\text{cos}(δ) =\frac{12}{15}\).
Met de rekenmachine vind je \(δ ≈36,9°\) en dus \(ε ≈53,1°\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: tekenen op schaal, rechthoekige driehoeken en sinus, cosinus en tangens.
Leerniveau
VWO 2;
HAVO 1;
VWO 1;
HAVO 3;
VWO 3;
HAVO 2;
Leerinhoud en doelen
Vaktaal hoeken en symbolen;
Rekenen/wiskunde;
Rekenen in de meetkunde;
Hoeken;
Meten en meetkunde;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
arrangeerbaar, cosinus, havo 3, rechthoekige driehoek, rechthoekzijde, sinus, stercollectie, tangens, tekenen op schaal, wiskunde
24. Goniometrie
nl
VO-content
2021-10-06 00:23:46
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo leerjaar 3. De volgende onderdelen worden behandeld: tekenen op schaal, rechthoekige driehoeken en sinus, cosinus en tangens.
In opgave 5 moest je de hoogte van een ballon bepalen met behulp van een precieze tekening op schaal. Je kunt de hoogte van de ballon nauwkeurig bepalen met de tabel.
Voor de gegevens, zie het plaatje.
Voor de gegevens zie plaatje. We gebruiken formule 1:
Gegevens zie plaatje.
Gegevens zie plaatje.
Gegevens zie plaatje.
Gegevens zie plaatje.
