Breuken

Breuken

Lesblok Breuken

Introductie

Wat ga je leren?

In dit lesblok ga je verschillende soorten berekeningen met breuken leren. Je gaat leren hoe je breuken kunt vereenvoudigen en hoe je gehelen uit een breuk kunt halen. Ook ga je leren hoe je breuken kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en (vwo) delen, ook negatieve breuken. Tot slot ga je leren hoe je breuken kunt schrijven als een decimaal getal en hoe je met breuken kunt rekenen bij sommen in verhaaltjes. Is dat allemaal gelukt en is er nog tijd over dan kun je gaan werken aan het rekenen met breuken met letters.

Toetsen

Misschien heb je op de basisschool veel geleerd over breuken. Daarom beginnen we dit lesblok met een diagnostische toets. Daarmee bekijken we wat je er nog van weet, zodat je niet alles hoeft te doen terwijl je sommige dingen misschien nog weet of kunt.

Tussendoor krijg je ook een aantal keren een tussentoets. daar kun je zelf om vragen bij je docent. Op die manier kun je zien of je wat je hebt geleerd al goed snapt.

Aan het eind van dit lesblok is de afsluitende toets, waarin alle thema's nog een keer aan bod komen. Dat is het moment waarop vastgesteld wordt welke leerdoelen je hebt behaald. Als je alle leerdoelen hebt gehaald is dat natuurlijk prachtig. Heb je nog niet alle leerdoelen op voldoende niveau, dan moet je daar nog wat aan werken. Je maakt met je docent een afspraak over hoe je dat gaat doen en wanneer je opnieuw getoetst wilt worden.

 

Veel plezier!

 

Leerdoelen

Aan het eind van dit lesblok kun je:

- breuken vereenvoudigen

- helen uit een breuk halen en helen in de breuk zetten

- breuken vermenigvuldigen

- breuken optellen

- breuken aftrekken

- negatieve breuken optellen en aftrekken

- breuken schrijven als een decimaal getal, en andersom

- breuken optellen en aftrekken in verhaaltjessommen

- (VWO) breuken delen

- (VWO) negatieve breuken delen en vermenigvuldigen

 

- (Verdieping) optellen en aftrekken met breuken met variabelen.

 

Rubric

Hier vind je de rubric waarmee je aan het eind van dit lesblok wordt gescoord.

Diagnostische toets

Hier vind je de diagnostische toets. Die toets maak je voordat je met het lesblok over breuken begint. Zo weet je welke onderdelen van dit lesblok je al kent, en welke nog nog niet. Zo kun je gaan werken aan wat je nog niet goed beheerst.

thema 1 : breuken vereenvoudigen

Breuken vereenvoudigen

 

Als je een pizza gaat eten verdeel je die meestal in acht stukken.

Als je een stukje neemt en opeet, heb je 1 van de 8 stukjes van de pizza opgegeten. Dat is dan \(1 \over 8\)ste deel van de pizza. Hierbij heet het getal boven de breukstreep (hier is dan 1) de teller. Het getal onder de breukstreep (hier is dat 8) heet de noemer.

Als je nog een stukje pizza opeet heb je \(2 \over 8\)ste deel van de pizza gegeten. Je kunt dan ook zeggen dat je \(1 \over 4\)e deel van de pizza hebt opgegeten. Je deelt bij \(2 \over 8\)de teller en de noemer door 2, en dan kom je uit op \(1 \over 4\).

 

Als je dooreet en nog twee stukjes neemt, heb je \(4 \over 8\)ste deel van de pizza op.

Kun je die breuk verder vereenvoudigen?

En als je nog een vijfde stukje neemt? Dan heb je \(5 \over 8\)ste deel. Kun je dat nog vereenvoudigen?

En als je alle stukjes pizza hebt opgegeten? Op welke breuk kom je dan uit, en kun je die breuk verder vereenvoudigen?

 

Maak nu de opgaves 12, 13 ,14 en 15

 

 

Wil je nog wat meer oefenen met het vereenvoudigen van breuken?

VWO: Kijk dan op pagina 63 van je VWO-boek voor extra uitleg, en maak de opgave 27 op pagina 64.

HAVO-VWO: kijk dan op pagina 59/60 van je HAVO-VWO-boek, en maak de opgave 18, 19 en 20.

 

Of je kijkt het filmpje dat hieronder staat, waarin het nog een keer wordt uitgelegd.

 

thema 2: optellen en aftrekken eenvoudige breuken, en gelijknamig maken

Als je een stukje eet van een pizza die in 12 stukjes is gesneden, en je neemt daarna nog een stukje, dan heb je in totaal:

\(1 \over 12\)+ \(1 \over 12\) = \(2 \over 12\)stukjes pizza gegeten. Als je klasgenoot inmiddels 3 stukjes pizza heeft gegeten, hoeveel stukjes heb je dan samen op?

Je kunt dan de som \(2 \over 12\)+ \(3 \over 12\)= \(5 \over 12\)maken.

Je ziet dat je de getallen in de teller bij elkaar optelt, maar dat het getal in de noemer (hier 12) niet verandert.

 

Aftrekken gaat op een vergelijkbare manier: \(7 \over 11 \)- \(5 \over 11 \)= \(2 \over 11\)

 

Helen in de breuk brengen

Bij de som 1\(2 \over 9 \)+ \( 5 \over 9 \)moet je er eerst voor zorgen dat je de helen in de breuk brengt:   1\(2 \over 9 \)= \(11 \over 9 \).

Dus dan wordt de som: \(11 \over 9 \)+ \( 5 \over 9 \)= \(16 \over9\). Daar kun je dan weer de helen uithalen: \(16 \over9\)= 1 \(7 \over 9\).

 

Gelijknamig maken.

Als je breuken wilt optellen die niet dezelfde noemer hebben, moet je die eerst gelijknamig maken. Bijvoorbeeld:

\(1 \over4\) + \(1 \over5\)= \(5 \over 20\)+ \(4 \over 20\)= \(9 \over 20\).

Aftrekken van breuken niet niet gelijknamig zijn (dus niet dezelfde noemer hebben) gaat op dezelfde manier:

\(1 \over4\) - \(1 \over5\)= \(5 \over 20\)- \(4 \over 20\)= \(1 \over 20\).

 

maak nu opgave 30, a t/m e

 

 

Wil je nog wat meer oefenen met het optellen en aftrekken van breuken?

VWO: Kijk dan op pagina 64 van je VWO-boek voor extra uitleg, en maak de opgaves 29, 30, 31, 32 en 33 op pagina 65.

HAVO-VWO: kijk dan op pagina 61/62 van je HAVO-VWO-boek, en maak de opgaves 22, 23, 24, 25 en 26.

 

Of je kijkt het filmpje dat hieronder staat, waarin het nog een keer wordt uitgelegd.

Hier vind je een uitlegfilmje over het optellen van breuken

thema 3: breuken vermenigvuldigen

Als van een pizza die in 9 stukjes is verdeeld, nog 4 stukjes over zijn, is dat \(4 \over 9\)e deel van die pizza.

Als daar dan de helft van opeet, houdt je nog \(2 \over 9\)e deel over: de helft van \(4 \over 9\)is \(2 \over 9\).

Daar kun je ook een sommetje van maken: \(1 \over 2 \)x \(4 \over 9\)= \(4 \over 18\)en dat kun je vereenvoudigen tot \(2 \over 9\).

Bij het vermenigvuldigen van breuken, vermenigvuldig je de tellers met elkaar én de noemers met elkaar.

 

Als je te maken hebt met bijvoorbeeld 1 \(1 \over4 \) x 2 \(2 \over 3\)breng de eerst de helen in de breuken:

\(5 \over 4 \) x \(8 \over 3 \)= \(40 \over 12\)= \(10 \over 3 \)= 3 \(1 \over 3 \).

 

VWO: Om de theorie nog een keer door te nemen kijk je op pagina 66 van je VWO-boek (Theorie C).

Om te oefenen kijk je in je boek op pagina 66 en 67, en maak je opgaves 35, 36, 37, 38 en 39.

HAVO-VWO: Om de theorie nog een keer door te nemen kijk je op pagina 63 van je HAVO-VWO-boek (Theorie C).

Om te oefenen kijk je in je boek op pagina 64, en maak je opgaves 27 en 28.

 

 

Of je kijkt het filmpje dat hieronder staat, waarin het nog een keer wordt uitgelegd.

Hier vind je een uitlegfilmje over het vermenigvuldigen van breuken

thema 4: optellen en aftrekken lastigere breuken

Al eerder heb je geoefend met het optellen en aftrekken van breuken. Ook heb je geleerd dat je breuken waarvan de noemers niet gelijk zijn, eerst gelijknamig moet maken.

Nu ga je werken aan het optellen en aftrekken van breuken met helen. Daarbij kun je een kort stappenplan volgen:

1. Eerst zorg je dat de gehelen in de breuk komen te staan.

2. Daarna ga je door met het optellen en aftrekken zols je hebt geleerd door de breuken als dat nodig is eerst gelijknamig te maken.

 

Een voorbeeld:

2\( 3 \over5\)+ 1 \( 1 \over3\)= \( 13 \over5\)+ \( 4 \over3\)= \( 39 \over15\)+ \( 20 \over15\)= \( 59 \over15\)=  3\( 14 \over15\).

 

Om te oefenen maak je uit je boek op pagina 65 de opgave 31.

 

 

 

 

ALS JE WILT KUN JE NU BIJ JE DOCENT EEN TUSSENTOETS VRAGEN OVER HET OPTELLEN EN AFTREKKEN VAN BREUKEN.

Daarin krijg je aantal opgaves met breuken, door elkaar.

Om daar wat mee te oefenen kun je maken:

VWO: pagina 67 van je VWO-boek, opgaves 36 en 37.

HAVO-VWO: pagina 64 van je HAVO-VWO-boek, opgaves 30, 31 en 32.

Voor wat meer uitleg kijk je naar onderstaand filmpje.

 

thema 5: delen van breuken

Stel dat elke persoon voor zijn lunch een halve pizza wil eten. Als je 3 pizza's hebt, hoeveel mensen kunnen daarvan dan eten?

Dan zijn 6 personen.

De som die hierbij hoort is: 3 : \(1 \over 2\)= 6.

 

maak nu opdracht 42 en 43 en 47

 

 

Je hebt nu wat geoefend met delen door een breuk.

Er is een regel voor het delen door een breuk: delen door een breuk is hetzelfde als vermenigvuldigen met het omgekeerde.

Dat wil zeggen: als je deelt door \(1 \over 2\), is dat hetzelfde als vermenigvuldigen met \(2 \over 1\) (oftewel: 2).

Ga dat maar na bij de opgave hiervoor over de 3 pizza's.

 

Dus als je \(3 \over 4\)moet delen door \(2 \over 3\), is dat hetzelfde als \(3 \over 4\)vermenigvuldigen met het omgekeerde van \(2 \over 3\), en dat is \(3 \over 2\).

Dus \(3 \over 4\):\(2 \over 3\) = \(3 \over 4\)x \(3 \over 2\)= \(9 \over 8\)= 1 \(1 \over 8\).

 

 

We hebben nu gezien hoe je door breuken kunt delen. We gaan dit nu uitbreiden door te gaan delen door breuken met helen erbij.

Hoe reken de volgende som uit:  2\(6 \over 7 \) : 1 \(1 \over 3\) ?

We moeten dan eerst de helen in de breuk zetten. Dat wordt dan \(20 \over 7 \): \(4 \over 3 \).

Omdat delen door een breuk hetzelfde is als vermenigvuldigen met het omgekeerde, kunnen we zeggen:

\(20 \over 7 \): \(4 \over 3 \) = \(20 \over 7 \)x \(3 \over 4\)= \(60 \over 28\)= \(15 \over 7\)= 2 \(1 \over 7\).

 

Oefen nu zelf hiermee met de tweede serie van 10 opgaves op dit blad:

 

 

hier vind je een filmpje met nog meer uitleg:

 

 

Hier vind je een uitlegfilmpje over het delen van breuken, nu met gehelen erbij.

thema 6: negatieve breuken optellen en aftrekken, delen en vermenigvuldigen

We hebben nu eigenlijk alle basisvaardigheden over het rekenen met breuken gehad: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

We hebben dat steeds geoefend met positieve getallen. In dit deel van het lesblok gaan we hetzelfde doen, maar dan met negatieve getallen. Een paar voorbeelden:

Optellen: \(9 \over 8\)+ - \(3 \over 8\)= \(6 \over 8 \)= \(3 \over 4\)

Aftrekken:  -\(3 \over 8\) - \(3 \over 8\)= -\(6 \over 8 \)=  -\(3 \over 4\).

Vermenigvuldigen:  \(3 \over 8\)x -\(3 \over 8\)= -\(9 \over 64 \)

delen:  \(9 \over 8\): - \(3 \over 7\)= \(9 \over 8\)x - \(7 \over 3 \)= - \(63 \over 24\)= - \(21 \over 8\)= - 2 \(5 \over 8\).

 

Maak nu de  opgaves 54 en 56

 

Voor wie niet meer goed weet hoe het ging met het vermenigvuldigen van negatieve getallen: kijk nog even naar dit filmpje: 

thema 7: breuken en decimalen

Tot nu toe hebben we steeds gewerkt met breuken. Maar breuken zijn ook te schrijven als een decimaal getal (kommagetal).

Je weet misschien al dat \(1 \over 2\)hetzelfde is als 0,5. En dat \(1 \over 4\)hetzelfde is als 0,25.

Wat zal dan \(1 \over 5\)zijn? En hoe kun je 0,125 als breuk schrijven? Of wat is 0,75 als breuk geschreven?

 

En is \(12 \over 35\)groter of kleiner dan 0,29?

Om dit uit te rekenen kun je de twee getallen gelijknamig maken.

0,29 is ook te schrijven als: \(29 \over 100\).

Als we de breuken dan gelijknamig maken:

\(12 \over 35\)= \(1200 \over 3500\)  en 

\(29 \over 100\)= \(29x35 \over 3500\) = \(1015 \over 3500\).   En dus is \(12 \over 35\)groter dan 0,29!

 

 

Maak nu opgaves 17 en 18

 

Als je meer wilt oefen, maak dan dit werkblad:

 

Hier vind je een uitlegfilmje over decimale getallen en breuken:

thema 8: breuken in verhaaltjessommen

We hebben tot nu toe veel gewerkt met breuken zonder dat duidelijk werd waarvoor we die zouden kunnen gebruiken. In deze les gaan we toepassen wat er al aan de orde is geweest in 'verhaaltjessommen'. Dat zijn opgaves waarbij je eerst goed moet lezen om te weten welk wiskundesommetje je moet uitrekenen.

Voorbeeld: Je gaat met de auto op vakantie naar Italie. Dat is 1800 km rijden. Je neemt een korte pauze na 1/9e deel van de rit en nog eentje na 3/18 deel van de rit. Welk deel van de route moet je nog rijden na de tweede stop? En hoeveel kilometer is dan dan nog?

 

Voor meer verhaaltjessommen bij je in je boek op pagina 65 t/m 67. Daar maak je de opgaves 32, 33, 41, 42.

Ook kijk je op pagina 82, opgave 5 en pagina 89, opgave 10.

 

Je kunt ook deze opgaves 4 en 9 maken.

 

 

thema 9: afsluiting

In de les krijg een afsluitende toets. Hiermee bekijken we wat je geleerd hebt over breuken. Alle onderdelen die in het lesblok aan de orde zijn geweest komen in de toets aan de orde. Als de toets is nagekeken kun je zien welke onderdelen van de lesstof je al beheerst, en bij welke onderdelen je nog even wat moet oefenen.

Extra: rekenen met letterbreuken (variabelen)

Hieronder staat een aantal opgaves als je extra uitdaging wilt bij het rekeken met breuken.

De opgaves gaan over het werken met breuken met variabelen. Daarvoor moet je natuurlijk nog weten hoe je moet rekenen met variabelen.

Als je dat niet precies meer weet kijk je even terug in lesblok 5, waarbij we begonnen zijn met het werken met variabelen.

Voor uitleg kijk je eerst naar het filmpje en als je er niet uitkomt kun je natuurlijk altijd je docent vragen om uitleg.

 

Maak nu de opgaves 41 a, b, e, f, g en h

Maak opgave 30S

Maak de opgave 35S en 37S