Kwadratische verbanden

Kwadratische verbanden

Een voorbeeld van een kwadraat is de oppervlakte van een vierkant.

 

Als de zijde een lengte x heeft, is de oppervlakte y te berekenen met de formule:

                   y = x²

 

Een tabel bij deze formule is:

x 0 1 2 3 4 5 6
y 0 1 4 9 16 25 36
 
                         

Kwadratische verbanden

Stel je nu eens voor dat x ook negatief zou kunnen zijn. (Bij een vierkant gaat dat niet.)

Je krijgt dan de volgende tabel:

x -6 -5 -4 -3 -2 -1
y 36 25 16 9 4 1
 

De grafiek van dit verband, als je voor x de waarden
van -4 t/m 4 gebruikt, zie je hier rechts:

 

De grafiek van een kwadratisch verband is een parabool.
                         

 

Kwadratische verbanden

De formule y = x² beschrijft een kwadratisch verband.
De grafiek bij deze formule zie je in de figuur. Het is de rode lijn. Je noemt dit een dalparabool. Elke parabool heeft een top. In dit geval is de top het laagste punt (0,0).
Door de top van een parabool kun je een verticale lijn tekenen.
Dat is de symmetrie-as van de parabool.

De formule y = –x²  beschrijft ook een kwadratisch verband.

Als je de waarden   x = –3   tot en met   x = 3   invult, krijg je:

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y=-x² -9 -4 -1 0 -1 -4 -9


De grafiek bij de formule  y = –x²  is blauw getekend. Het is een bergparabool. In dit geval is de top het hoogste punt (0,0) .
                         

 

Kwadratische verbanden

Deze dal- en bergparabool hebben beide de verticale as als symmetrieas.
Voor deze symmetrieas geldt: x = 0.

De linker- en rechterhelft van de parabolen zijn elkaars spiegelbeeld.

Soms kan je hier handig gebruik van maken als je al een halve parabool hebt: je kunt dan zonder berekeningen de ander helft erbij tekenen.
                         

Kwadratische verbanden

Misschien vraag je je af waarom de punten uit de twee tabellen
niet door (rechte) lijnstukjes met elkaar verbonden zijn.


Wel, neem y = x²

Bij   x = 2,5  vind je dan y = 2,5² = 6,25.
Trek je een lijnstukje tussen (2,4) en (3,9) , dan gaat dat
bij x = 2,5 door het punt (2,5;6,5).


Dat klopt niet met de waarde die je met de formule hebt uitgerekend. Als je meer punten uitrekent, zie je dat je echt de getekende figuur krijgt.
                         

 

Kwadratische vergelijkingen

Naast de  kwadratische verbanden zijn er ook nog kwadratische vergelijkingen.

Sommige van die vergelijkingen moet je kunnen oplossen met de balansmetheode.

Andere los je op met behulp van grafieken of met inklemmen.

Vaak kun je vergelijkingen met alleen een kwadraat bij de variabele wel oplossen, bijvoorbeeld:

3x² + 15 = 258
-15   -15
3x² = 243
: 3   : 3
x² = 81

√

  

√
x = 9
                         

 

Kwadratische vergelijkingen

Als oplossen niet lukt kun je gebruik maken van inklemmen (slim proberen), bijvoorbeeld:

3x² + 2x = 72

Je maakt nu een verticale tabel waarin je waarden voor x probeert en kijkt of je lager (<) of hoger (>) dan 72 uitkomt.

x 72?  
5

85

 >
4 56 <
4,5 69,75 <
4,6 72,68 >
4,58 72,0892 > dichtst bij
4,57 71,7947 <


       

Je ziet dat je niet het preciese antwoord kunt bepalen, maar je komt er stapsgewijs steeds dichter bij. Op twee decimalen nauwkeurig zou hier je conclusie moeten zijn: x ≈ 4,58

 

 

 

 

Inklemmen kun je vaak gebruiken als je niet direct met behulp van de balansmethode een vergelijking kunt oplossen.
                         

  • Het arrangement Kwadratische verbanden is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    Wiskundesectie Juliana VMBO
    Laatst gewijzigd
    2019-01-04 12:36:25
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 3.0 Nederlands licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding 3.0 Nederland licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van