19. Ontbinden

19. Ontbinden

19 Intro

Opgave 1

19.1 De oplossing zoeken - 1

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

Opgave 12

Opgave 13

Opgave 14

Opgave 15

Opgave 16

19.1 De oplossing zoeken - 2

Opgave 17

Opgave 18

Opgave 19

Opgave 20

Opgave 21

Opgave 22

Opgave 23

Opgave 24

19.2 Het product is 0

Opgave 25

Opgave 26

Opgave 27

Opgave 28

Opgave 29

Uitleg

Je hebt de volgende stelling geleerd.

Als een product 0 is,
dan is minstens één van de factoren 0.

 

Een dergelijke stelling hebben we niet voor een product dat 60 is, of voor nog een andere uitkomst. 0 is voor producten dus een heel bijzondere uitkomst. Dit feit gebruiken we in de volgende paragraaf om vergelijkingen systematisch op te lossen. Daarvoor schrijven we een vergelijking als een product van de vorm: \(a⋅b=0\). We oefenen daarom eerst het schrijven van een uitdrukking als product; we noemen dit ontbinden in factoren.

Bij ontbinden in factoren gebruiken we de onderstaande gelijkheden.

Distributiewetten
Voor alle getallen \(a, b\) en \(c\) geldt:

  • \(a(b+c)=ab+ac\)

  • \(a(b−c)=ab−ac\)

Product van tweetermen
Voor alle getallen \(a, b, c\) en \(d\) geldt:

  • \((a+b)(c+d)=ab+ad+bc+bd\)

Merkwaardige producten
Voor alle getallen \(a\) en \(b\) geldt:

  • \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

  • \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)

  • \((a+b)(a−b)=a^2−b^2\)

 

Opgave 30

Opgave 31

19.3 Oplossen en het opstellen van vergelijkingen

Uitleg

We kunnen nu beginnen aan het systematisch oplossen van vergelijkingen. Er zijn twee belangrijke stappen:

  • herleiden op 0,

  • ontbinden in factoren.

In de volgende opgaven wordt het oplossen van vergelijkingen steeds moeilijker. We beginnen met eenvoudige vergelijkingen die je alleen hoeft te ontbinden en we eindigen met vergelijkingen waarbij je eerst haakjes moet uitwerken, voordat je op nul herleidt en dan pas ontbindt in factoren.
Lees eerst het voorbeeld goed door voordat je begint aan de opgave.

 

Oplossen van eenvoudige vergelijkingen

Voorbeeld:

Los op:

\(x^2+4x−21=0\)

ontbinden in factoren
\((x−3)(x+7)=0\)  
\(x=3\) of \(x=‐7\)  

Controle:

\(x^2+4x−21=3^2+4⋅3−21=9+12−21=0\)
 

\(x^2+4x−21=(‐7)^2+4⋅‐7−21=49−28−21=0\)

 

 

 

 

Opgave 32

Opgave 33

Uitleg

  • Bij het oplossen van vergelijkingen beginnen we steeds met herleiden op nul: het rechter- of linkerlid maken we 0.

  • Het is handig de termen te rangschikken: voorop de term met \(x^2\), dan de term met \(x\), dan het getal zonder \(x\).

  • We ontbinden het linker- of rechterlid in factoren: we schrijven het als product.

  • We controleren de oplossing(en).

 

Vergelijkingen waarbij je eerst moet herleiden op 0

Voorbeeld

Los op:

\(x^2+10x=‐16\)

herleiden op 0 (plus 16)
\(x^2+10x+16=0\)

ontbinden in factoren
\((x+2)(x+8)=0\)  
\(x=‐2\)   of    \(x=‐8\)  

Controle:

\(x^2+10x=(‐2)^2+10⋅‐2=4−20=‐16\)

 

\(x^2+10x=(‐8)^2+10⋅‐8=64−80=‐16\)

 

 

Opgave 34

Opgave 35

Opgave 36

Opgave 37

Opgave 38

Opgave 39

Opgave 40

Opgave 41

Opgave 42

Opgave 43

Opgave 44

19.4 Eindpunt

Priemgetal

Een positief getal dat je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen, noemen we een priemgetal. Het getal 1 neemt een uitzonderingspositie in: we spreken af dat 1 geen priemgetal is.

Ontbinden in factoren

Een veelterm schrijven als product van factoren, heet ontbinden in factoren.

Voorbeelden
\(x^2+4x=x(x+4)\)
\(x^2−4x−21=(x+3)(x−7) \)
\(​x^2+6x+9=(x+3)^2\)

Voorrangsregels

Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen en vóór het tegengestelde nemen.

Dus: \(2x^2=2⋅x⋅x\) en \(‐x^2=‐(x⋅x)\)

Product is 0

Als het product van twee getallen nul is, dan is het ene getal nul of is het andere getal nul.

In algebrataal
Als \(a⋅b=0\), dan \(a=0\) of \(b=0\).

Een dergelijke uitspraak geldt ook voor het product van drie of meer factoren dat nul is.

Distributiewetten

Voor alle getallen \(a, b\) en \(c\) geldt:

  • \(a(b+c)=ab+ac\)

  • \(a(b−c)=ab−ac\)

Product van tweetermen
Voor alle getallen \(a, b, c\) en \(d\) geldt:

  • \((a+b)(c+d)=ab+ad+bc+bd\)

Merkwaardige producten
Voor alle getallen \(a\) en \(b\) geldt:

  • \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

  • \((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)

  • \((a+b)(a−b)=a^2−b^2\)

Systematisch oplossen

Soms kun je een vergelijking ontbinden in factoren. In dat geval kun je de vergelijking oplossen met de regel: een product is 0 als minstens één van de factoren 0 is. Voordat je kunt ontbinden in factoren, moet je vaak een aantal bewerkingen uitvoeren, zoals:

  • op nul herleiden,

  • haakjes uitwerken,

  • termen rangschikken,

  • delen door een getal.

Voorbeeld
\((x+3)^2=‐(x−1)^2+58\)
\(x^2+6x+9=‐x^2+2x−1+58\)
\(2x^2+4x−48=0\)
\(x^2+2x−24=0\)
\((x+6)(x−4)=0\)
\(x=‐6\)   of    \(x=4\)

Controle:
\((x+3)^2=(‐3)^2=9 \) en \(‐(x−1)^2+58=‐(‐7)^2+58=‐49+58=9\)
\((x+3)^2=7^2=49\) en \(‐(x−1)^2+58=‐(3)^2+58=‐9+58=49\)

Voorbeeld
We lossen de vergelijking \((x^2−4)(x^2+9)=0 \) op. Er zijn twee mogelijkheden:
Of \(x^2=4\), dus \(x=2\)   of    \(x=‐2,\)
of \(x^2=‐9\), maar dat kan niet.
De vergelijking heeft dus twee oplossingen: 2 en \(‐2\).

Vergelijkingen opstellen

Een rechthoek heeft oppervlakte 21; zijn lengte is 4 groter dan zijn breedte. Wat zijn de afmetingen?

Noem de breedte \(x\).
We krijgen dan de vergelijking: \(x(x+4)=21\).
Deze vergelijking heeft twee oplossingen: \(‐7\) en 3.
De oplossing \(‐7\) kan niet omdat lengte en breedte allebei positief moeten zijn. De breedte van de rechthoek is dus 3 en de lengte 7.

De graad van een vergelijking

De vergelijking \(5x=x^2+4x−12\) is een tweedegraads vergelijking: de hoogste macht van \(x\) in deze vergelijking is 2. Er zijn ook derde-, vierde- of tiendegraads vergelijkingen. De vergelijking \(5(x+3)=2x−5\) is een eerstegraads vergelijking.

19.5 Extra opgaven

Opgave 1

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

Oker

Opgave 10-S

Opgave 16-S

Opgave 23-S

Opgave 25-S

Opgave 31-S

Opgave 39-S

Opgave 40-S

  • Het arrangement 19. Ontbinden is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-11-20 12:48:11
    Licentie
    CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo leerjaar 2. Het volgende onderdeel wordt behandeld: ontbinden.
    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Rekenen/wiskunde; Volgorde bewerkingen; Getallen en variabelen; Rekenen met getallen;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, haakjes, haakjes wegwerken, havo 2, ontbinden, priemgetal, stercollectie, vergelijking oplossen, wiskunde
  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van