Als een product 0 is,
dan is minstens één van de factoren 0.
Een dergelijke stelling hebben we niet voor een product dat 60 is, of voor nog een andere uitkomst. 0 is voor producten dus een heel bijzondere uitkomst. Dit feit gebruiken we in de volgende paragraaf om vergelijkingen systematisch op te lossen. Daarvoor schrijven we een vergelijking als een product van de vorm: \(a⋅b=0\). We oefenen daarom eerst het schrijven van een uitdrukking als product; we noemen dit ontbinden in factoren.
Bij ontbinden in factoren gebruiken we de onderstaande gelijkheden.
Distributiewetten
Voor alle getallen \(a, b\) en \(c\) geldt:
\(a(b+c)=ab+ac\)
\(a(b−c)=ab−ac\)
Product van tweetermen
Voor alle getallen \(a, b, c\) en \(d\) geldt:
\((a+b)(c+d)=ab+ad+bc+bd\)
Merkwaardige producten
Voor alle getallen \(a\) en \(b\) geldt:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)
\((a+b)(a−b)=a^2−b^2\)
Opgave 30
Opgave 31
19.3 Oplossen en het opstellen van vergelijkingen
Uitleg
We kunnen nu beginnen aan het systematisch oplossen van vergelijkingen. Er zijn twee belangrijke stappen:
herleiden op 0,
ontbinden in factoren.
In de volgende opgaven wordt het oplossen van vergelijkingen steeds moeilijker. We beginnen met eenvoudige vergelijkingen die je alleen hoeft te ontbinden en we eindigen met vergelijkingen waarbij je eerst haakjes moet uitwerken, voordat je op nul herleidt en dan pas ontbindt in factoren.
Lees eerst het voorbeeld goed door voordat je begint aan de opgave.
Oplossen van eenvoudige vergelijkingen
Voorbeeld:
Los op:
\(x^2+4x−21=0\)
ontbinden in factoren
\((x−3)(x+7)=0\)
\(x=3\) of \(x=‐7\)
Controle:
\(x^2+4x−21=3^2+4⋅3−21=9+12−21=0\)
\(x^2+4x−21=(‐7)^2+4⋅‐7−21=49−28−21=0\)
Opgave 32
Opgave 33
Uitleg
Bij het oplossen van vergelijkingen beginnen we steeds met herleiden op nul: het rechter- of linkerlid maken we 0.
Het is handig de termen te rangschikken: voorop de term met \(x^2\), dan de term met \(x\), dan het getal zonder \(x\).
We ontbinden het linker- of rechterlid in factoren: we schrijven het als product.
We controleren de oplossing(en).
Vergelijkingen waarbij je eerst moet herleiden op 0
Voorbeeld
Los op:
\(x^2+10x=‐16\)
herleiden op 0 (plus 16)
\(x^2+10x+16=0\)
ontbinden in factoren
\((x+2)(x+8)=0\)
\(x=‐2\) of \(x=‐8\)
Controle:
\(x^2+10x=(‐2)^2+10⋅‐2=4−20=‐16\)
\(x^2+10x=(‐8)^2+10⋅‐8=64−80=‐16\)
Opgave 34
Opgave 35
Opgave 36
Opgave 37
Opgave 38
Opgave 39
Opgave 40
Opgave 41
Opgave 42
Opgave 43
Opgave 44
19.4 Eindpunt
Priemgetal
Een positief getal dat je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen, noemen we een priemgetal. Het getal 1 neemt een uitzonderingspositie in: we spreken af dat 1 geen priemgetal is.
Ontbinden in factoren
Een veelterm schrijven als product van factoren, heet ontbinden in factoren.
Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen en vóór het tegengestelde nemen.
Dus: \(2x^2=2⋅x⋅x\) en \(‐x^2=‐(x⋅x)\)
Product is 0
Als het product van twee getallen nul is, dan is het ene getal nul of is het andere getal nul.
In algebrataal
Als \(a⋅b=0\), dan \(a=0\) of \(b=0\).
Een dergelijke uitspraak geldt ook voor het product van drie of meer factoren dat nul is.
Distributiewetten
Voor alle getallen \(a, b\) en \(c\) geldt:
\(a(b+c)=ab+ac\)
\(a(b−c)=ab−ac\)
Product van tweetermen
Voor alle getallen \(a, b, c\) en \(d\) geldt:
\((a+b)(c+d)=ab+ad+bc+bd\)
Merkwaardige producten
Voor alle getallen \(a\) en \(b\) geldt:
\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)
\((a−b)^2=a^2−2ab+b^2\)
\((a+b)(a−b)=a^2−b^2\)
Systematisch oplossen
Soms kun je een vergelijking ontbinden in factoren. In dat geval kun je de vergelijking oplossen met de regel: een product is 0 als minstens één van de factoren 0 is. Voordat je kunt ontbinden in factoren, moet je vaak een aantal bewerkingen uitvoeren, zoals:
op nul herleiden,
haakjes uitwerken,
termen rangschikken,
delen door een getal.
Voorbeeld \((x+3)^2=‐(x−1)^2+58\) \(x^2+6x+9=‐x^2+2x−1+58\) \(2x^2+4x−48=0\) \(x^2+2x−24=0\) \((x+6)(x−4)=0\) \(x=‐6\) of \(x=4\)
Controle: \((x+3)^2=(‐3)^2=9 \) en \(‐(x−1)^2+58=‐(‐7)^2+58=‐49+58=9\) \((x+3)^2=7^2=49\) en \(‐(x−1)^2+58=‐(3)^2+58=‐9+58=49\)
Voorbeeld
We lossen de vergelijking \((x^2−4)(x^2+9)=0 \) op. Er zijn twee mogelijkheden:
Of \(x^2=4\), dus \(x=2\) of \(x=‐2,\)
of \(x^2=‐9\), maar dat kan niet.
De vergelijking heeft dus twee oplossingen: 2 en \(‐2\).
Vergelijkingen opstellen
Een rechthoek heeft oppervlakte 21; zijn lengte is 4 groter dan zijn breedte. Wat zijn de afmetingen?
Noem de breedte \(x\).
We krijgen dan de vergelijking: \(x(x+4)=21\).
Deze vergelijking heeft twee oplossingen: \(‐7\) en 3.
De oplossing \(‐7\) kan niet omdat lengte en breedte allebei positief moeten zijn. De breedte van de rechthoek is dus 3 en de lengte 7.
De graad van een vergelijking
De vergelijking \(5x=x^2+4x−12\) is een tweedegraads vergelijking: de hoogste macht van \(x\) in deze vergelijking is 2. Er zijn ook derde-, vierde- of tiendegraads vergelijkingen. De vergelijking \(5(x+3)=2x−5\) is een eerstegraads vergelijking.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo leerjaar 2. Het volgende onderdeel wordt behandeld: ontbinden.
Leerniveau
VWO 2;
HAVO 1;
VWO 1;
HAVO 3;
VWO 3;
HAVO 2;
Leerinhoud en doelen
Rekenen/wiskunde;
Volgorde bewerkingen;
Getallen en variabelen;
Rekenen met getallen;
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo leerjaar 2. Het volgende onderdeel wordt behandeld: ontbinden.
Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten
terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI
koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI
koppeling aan te gaan.
Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.
Arrangement
IMSCC package
Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.
Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en
het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op
onze Developers Wiki.
We kunnen nu beginnen aan het systematisch oplossen van vergelijkingen. Er zijn twee belangrijke stappen:
