19. Ontbinden

19. Ontbinden

19 Intro

Opgave 1

Intro

Een legpuzzel bestaat uit 187 stukjes. Op elke rij liggen evenveel stukjes.
Anneke gaat de puzzel leggen. Ze begint natuurlijk met de rand.

Hoeveel randstukjes heeft de puzzel?

 

 

 

 

 

19.1 De oplossing zoeken - 1

Opgave 2

Het product is...

Een rechthoekig terras telt 144 vierkante tegels.

a Wat kunnen de afmetingen van het terras zijn? Schrijf alle mogelijkheden op. Werk volgens een systeem. Neem daarvoor de tabel over.

breedte

1

 

 

 

 

 

 

 

12

lengte

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b Wat zijn de afmetingen van het terras van 144 vierkante tegels met de kleinste omtrek?

c Wat zijn de afmetingen van het terras van 144 vierkante tegels dat in de lengte zeven tegels meer heeft dan in de breedte?

 

Opgave 3

Het product is...

Een bioscoopzaaltje heeft 91 zitplaatsen. Op elke rij zijn er evenveel zitplaatsen.
Hoeveel rijen en hoeveel zitplaatsen per rij zijn er in dat zaaltje, denk je?

 

Opgave 4

Het product is...

De Maya's, een indianenstam in Midden Amerika, hadden al eeuwen geleden een hoog ontwikkelde cultuur. Zij kenden een heel andere tijdrekening dan wij. Een Maya-jaar telt een aantal maanden; elke maand heeft evenveel dagen. In totaal telt een Maya-jaar 260 dagen.
Hoeveel dagen kan een maand geteld hebben?
Geef alle mogelijkheden.

 

 

 

 

Opgave 5

Het product is...

Anneke legt een rechthoek van precies 24 tegels.

a Wat zijn de afmetingen van die rechthoek? Geef alle mogelijkheden.

b Wat zijn de afmetingen van de rechthoek als Anneke 25 tegels gebruikt? En als ze 26 tegels gebruikt? En als ze 23 tegels gebruikt?

 

Opgave 6

Het product is...

Bij 23 tegels is er maar één mogelijkheid, namelijk de flauwe manier: 1 bij 23. Met andere woorden: je kunt 23 maar op één manier schrijven als product van twee positieve gehele getallen.

Noem nog een paar getallen die je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen.

 

Opgave 7

Een vergelijking opstellen

Een positief getal dat je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen, noemen we een priemgetal.
Het getal 1 neemt een uitzonderingspositie in: we spreken af dat 1 geen priemgetal is.

 

Een rechthoekige fabriekshal heeft een vloeroppervlakte van 600 m2. De lengte is 10 meter groter dan de breedte.
Noem de breedte (in meters) \(x\).

a Welke vergelijking geldt voor \(x\)?

b Welk getal is \(x\)?

 

 

Opgave 8

Een vergelijking opstellen

Een rechthoek heeft oppervlakte 24; de lengte is 5 groter dan de breedte.
Noem de breedte \(x\).
Stel een vergelijking in \(x\) op (maak eventueel een plaatje) en bepaal \(x\).

 

Opgave 9

Een vergelijking opstellen

Een rechthoek heeft oppervlakte 72; de lengte is 1 groter dan de breedte.
Noem de breedte \(x\).
Stel een vergelijking in \(x\) op en bepaal \(x\).

 

Opgave 10

Een vergelijking opstellen

Van twee positieve gehele getallen is het product 80; het verschil van de twee getallen is 2.
Noem het kleinste getal \(x\).

a Stel een vergelijking in \(x\) op en bepaal \(x\).

Van twee positieve gehele getallen is het product 80; het verschil van de twee getallen is 11.
Noem het kleinste getal \(x\).

b Stel een vergelijking in \(x\) op en bepaal \(x\).

 

Opgave 11

Een vergelijking opstellen

a Voor welk positief geheel getal \(x\) geldt: \(x(x+2)=8\)?

b Voor welk positief geheel getal \(x\) geldt: \(x(x−3)=40\)?

 

 

De Babyloniërs leefden rond 2000 voor Christus in het gebied dat tegenwoordig Irak heet. Zij deden ook al aan wiskunde. Ze schreven hun opgaven in spijkerschrift op kleitabletten. Daarvan zijn er veel bewaard gebleven. De opgaven gaan onder andere over vergelijkingen, zoals de volgende opgave.

 

 

Opgave 12

Een vergelijking opstellen

Vind twee getallen, waarvan de som 10 is en het product 21 is.

a Welke getallen zijn dat?

b Noem een van de getallen \(x\). Welke vergelijking hoort bij deze vraag?

Nog zo eentje, maar dan met grotere getallen.
We gaan twee getallen zoeken, waarvan de som 30 is en het product 216.

c Noem een van de getallen \(x\). Welke vergelijking hoort bij deze vraag?

d Schrijf 216 op zo veel mogelijk manieren als product van twee positieve gehele getallen.

e Van welke twee getallen is de som 30 en het product 216?

 

Opgave 13

Een vergelijking opstellen

De Babyloniërs kenden geen negatieve getallen; die kwamen ze bij hun problemen nooit tegen. Negatieve getallen zijn pas veel later uitgevonden, namelijk in de achttiende eeuw.
Onze vergelijkingen kunnen best negatieve oplossingen hebben.

 

Als het goed is, heb je in opgave 10a de vergelijking
\(x(x+2)=80\) gevonden met als antwoord \(x=8\). Dat is de enige positieve oplossing. Maar er is ook nog een negatieve oplossing, namelijk \(x=‐10\). Controleer door invullen dat \(‐10\) inderdaad aan de vergelijking voldoet.

 

Opgave 14

Een vergelijking opstellen

Bepaal ook de negatieve oplossing bij opgave 7, 8, 9 en 11.

 

Opgave 15

Een vergelijking opstellen

Er zijn ook vergelijkingen met alleen negatieve getallen als oplossing.
Bepaal de negatieve oplossingen van de vergelijking
\(x(x+8)=‐12.\)

 

Opgave 16

Een vergelijking opstellen

Bepaal van de volgende vergelijkingen beide oplossingen.
\(x(x+1)=30\)
\(x(x+9)=‐20\)
\(x(x−5)=‐4\)

 

19.1 De oplossing zoeken - 2

Opgave 17

Een vergelijking oplossen

Hieronder staan zeven vragen. Bij elke vraag moet je twee dingen doen:

  • vertaal de vraag in wiskundetaal; gebruik daarbij de letter \(x\),

  • beantwoord de vraag.

De eerste vraag is als voorbeeld al gedaan.

a Van welke getallen is het kwadraat 25?

  • \(x^2=25\)

  • \(x=5\) en \(x=‐5\)

b Van twee opeenvolgende getallen is de som 51. Wat is het kleinste van die twee getallen?

c Van twee opeenvolgende gehele getallen is het product 56. Wat is het kleinste van die twee getallen? (Er zijn twee mogelijkheden.)

d Een kubus heeft een inhoud van 8 cm3. Hoe lang zijn de ribben?

e Van welk getal is het kwadraat \(‐64\)?

f Van welk getal is de derde macht \(‐64\)?

g Van welk getal is het drievoud gelijk aan het getal vermeerderd met 5?

 

Opgave 18

Een vergelijking oplossen

Bij vragen zoals in de vorige opgave horen vergelijkingen.

Het antwoord op zo'n vraag bestaat uit alle getallen die aan de vergelijking voldoen.

Los de vergelijking op betekent: zoek alle getallen die aan de vergelijking voldoen. We noemen deze getallen oplossingen.

Een oplossing kun je controleren door deze in te vullen in de vergelijking.

 

Voorbeeld
Het getal \(‐2\) is geen oplossing van de vergelijking \(x(x+2)=4x\), want als je \(‐2\) voor \(x\) invult, geven \(x(x+2)\) en \(4x\) verschillende uitkomsten (namelijk\(‐2⋅(‐2+2)=0\) en \( 4⋅‐2=‐8\)).
Wel voldoen de getallen 0 en 2. Controleer maar!

 

a Ga voor elk van de getallen \(‐1, 0, 1\) en \(2\) na of het aan de vergelijking \(x^2+x=x+1\) voldoet.

b Ga voor elk van de getallen \(‐4, ‐1, 1\) en \(4\) na of het aan de vergelijking \((x−1)(x+4)=0\) voldoet.

c Ga voor elk van de getallen \(‐4, ‐1, 1\) en \(4\) na of het aan de vergelijking \(x^2−3x−4=0\) voldoet.

 

Opgave 19

Een vergelijking oplossen

We bekijken een aantal vergelijkingen. Van sommige vergelijkingen kun je meteen zien welke getallen voldoen, andere vergelijkingen zijn lastiger. Maar door voor \(x\) wat getallen in te vullen kun je die waarschijnlijk ook wel oplossen. Geef het in elk geval niet te gauw op. Niet elke vergelijking heeft precies één oplossing: er kunnen ook meerdere oplossingen zijn, of juist geen enkele. Je bent pas klaar als je alle oplossingen hebt gevonden.

Los op.

\(x+2=2x\)

\(2x=x\)

\(x+2=x\)

\(2(x+2)=2x\)

\(x^2=9\)

\(x^2=‐9\)

\(x^5=32\)

\(x^5=‐32\)

\((x+1)^2=16\)

\((x−1)^3=‐8\)

 

Opgave 20

Een vergelijking oplossen

De bekende tuinarchitect Bob Roelofs heeft een parktuin ontworpen. De parktuin is door paden verdeeld in negen vierkante stukken, elk van \(x\) bij \(x\) meter.

a Druk de oppervlakte van de negen vierkante stukken uit in \(x\). Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Stel dat de vierkante stukken elk 4 bij 4 meter zijn.
Gerd beweert dat de oppervlakte van de negen vierkante stukken dan gelijk is aan \(9⋅4^2=36^2=1296\) m2.
Janneke beweert dat de oppervlakte van de negen vierkante stukken dan gelijk is aan \(9⋅4^2=9⋅16=144\) m2.

b Wie van de twee heeft gelijk? Waarom?

In hoofdstuk 11 - Machten heb je geleerd dat machtsverheffen vóór vermenigvuldigen gaat. Dus: \(9⋅4^2=9⋅16\).

Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen.
Dus: \(9x^2=9⋅x⋅x\)

 

c Stel dat je per se wilt dat in \(9⋅4^2\) eerst \(9⋅4\) wordt uitgerekend, en dan pas het kwadraat, hoe moet je dat dan opschrijven?

d Ga na of 4 voldoet aan de vergelijking \(3x^2−6x=24\).

e Bereken:

\(\frac{1}{2}⋅6^2\)

\(3^2⋅(\frac{1}{2})^4\)

\(4⋅(\frac{1}{2})^2\)

\(2^3⋅3⋅4^2\)

 

Opgave 21

Een vergelijking oplossen

Net zo iets is er aan de hand met \(‐x^2\).
Gerd denkt dat \(‐3^2=‐3⋅‐3=9\).
Janneke denkt dat \(‐3^2=‐(3⋅3)=‐9\).

a Wie heeft gelijk?

Machtsverheffen gaat vóór het tegengestelde nemen.

Dus: \(‐x^2=‐(x⋅x)\)

 

b

Hoe schrijf je kort op: het kwadraat van \(‐4\)? Bereken het kwadraat van \(‐4\).
Hoe schrijf je kort op: het kwadraat van \(‐4x\)? Dat is gelijk aan \(…⋅x^2\) (vul in).

c Bereken:

\(‐x^2+4x\)

als \(x=‐2\)

\(‐2x^2−3x\)

als \(x=‐1\)

\(x^3−x^2−x\)

als \(x=‐1\)


d Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:

\(‐2⋅5x\)

\((‐2)^2⋅‐5x^2\)

\(‐2x⋅‐5x\)

\((‐2x)^2⋅‐5\)

\(‐2x⋅‐5x^2\)

\(‐2x⋅(‐5x)^2\)

 

Opgave 22

Vergelijkingen oplossen

De vergelijking \(x^2=36\) heeft twee oplossingen, namelijk \(6\) en \(‐6\). Vul maar in!
De twee oplossingen van de vergelijking \((2x)^2=36\) ken je nu ook, namelijk \(3\) en \(‐3\) (omdat \(2x=6\) of \(2x=‐6\)). Vul maar in!

Wat hierboven staat kun je ook korter opschrijven. Hoe dat gaat zie je hieronder.
\((2x)^2=36\)
\(2x=6\)   of    \(2x=‐6\)
\(x=3\)   of    \(x=‐3\)

 

Geef van elke vergelijking de twee oplossingen. Kijk goed naar het voorbeeld van hierboven.

\((4x)^2=36\)

\(x^2=100\)

\((\frac{1}{2}x)^2=36\)

\((2x)^2=100\)

\((x+1)^2=36\)

\((x+3)^2=100\)

\((x−5)^2=36\)

\((11−x)^2=100\)

 

 

 

Opgave 23

Vergelijkingen oplossen

Los op, dat wil zeggen geef alle getallen \(x\) die aan de vergelijking voldoen.

\((2x+1)^2=36\)

\(x^2=25\)

\((2x+1)^2=0\)

\(9+x^2=25\)

\((2x+1)^2=‐36\)

\((x+9)^2=25\)

\((2x+1)^2=1\)

\(4⋅x^2=1\)

 

Opgave 24

Vergelijkingen oplossen

Los op.

\(x^3=8\)

\((\frac{1}{2}x)^3=‐64\)

\((x+1)^3=8\)

\((3x)^3=‐64\)

\((x−4)^3=8\)

\((2x+2)^3=‐64\)

 

19.2 Het product is 0

Opgave 25

Het product is 0

a Het product van twee getallen is 0. Ga na dat je met zekerheid een van die twee getallen kent.

b Het product van twee getallen is 60. Ga na dat je nu niet met zekerheid een van die twee getallen kent.

c Bereken uit het hoofd: \(317⋅15⋅0⋅25\) en \(7⋅‐5⋅16⋅0\).

d Ga na dat \(x=3\) voldoet aan de vergelijking:
\((x−3)(x+1)=0\).

e Er is nog een getal dat aan deze vergelijking voldoet. Welk getal is dat?

f Welke drie getallen voldoen aan de vergelijking:
\((x−1)(x+1)(x+2)=0\)?
Ga ook na dat er geen andere getallen zijn die voldoen.

 

Opgave 26

Het product is 0

Los de volgende vergelijkingen op:
\((x+3)(x+5)=0\)
\((x−3)(2x−3)=0\)
\(x(x−4)=0\)

 

Opgave 27

Het product is 0

In woorden
Als het product van twee getallen nul is, dan is het ene getal nul of is het andere getal nul.

In algebrataal
Als \(a⋅b=0,\) dan \(a=0 \)  of    \(b=0\).

Een dergelijke uitspraak geldt ook voor het product van drie of meer factoren dat nul is.

 

Los op:
\(x(x+3)(x−4)(x+5)=0\)
\(3x(x−1)(3x+12)=0\)
\(x(2x+4)(3x−1)(4x+16)=0 \)

 

Opgave 28

Het product is 0

a Geef een vergelijking waarvan 1, 3, 5, 7 en 9 de (enige) oplossingen zijn.

b Geef een vergelijking waarvan \(0, 1, ‐1\) en \(111\) de (enige) oplossingen zijn.

 

Opgave 29

Het product is 0

Voorbeeld:

We gaan de vergelijking \((x^2−4)(x^2+9)=0\) oplossen. Er zijn twee mogelijkheden:

  • de eerste factor is 0 als \(x^2=4\), dus \(x=2\) of \(x=‐2\),

  • de tweede factor is 0 als \(x^2=‐9\), maar dat kan niet.

De vergelijking heeft dus twee oplossingen: 2 en \(‐2\).

 

Voorbeeld:

We gaan de vergelijking \(x(x^2−9)=0\) oplossen. Er zijn twee mogelijkheden:

  • de eerste factor is 0 als \(x=0\),

  • de tweede factor is 0 als \(x^2=9\), dus \( x=3\) of \(x=‐3\).

De vergelijking heeft drie oplossingen: \(0, 3\) en \(‐3\).

 

Los op:

\(x(x^2−1)(x^2−9)=0\)

\(x^2(x−16)=0\)

\(7x(x^3−8)(x−11)^2=0\)

\(x(x^2−16)=0\)

\((x−9)^2(x^2−9)=0\)

\((x^2+1)(x^2−16)=0\)

 

 

Uitleg

Je hebt de volgende stelling geleerd.

Als een product 0 is,
dan is minstens één van de factoren 0.

 

Een dergelijke stelling hebben we niet voor een product dat 60 is, of voor nog een andere uitkomst. 0 is voor producten dus een heel bijzondere uitkomst. Dit feit gebruiken we in de volgende paragraaf om vergelijkingen systematisch op te lossen. Daarvoor schrijven we een vergelijking als een product van de vorm: a⋅b=0. We oefenen daarom eerst het schrijven van een uitdrukking als product; we noemen dit ontbinden in factoren.

Bij ontbinden in factoren gebruiken we de onderstaande gelijkheden.

Distributiewetten
Voor alle getallen a,b en c geldt:

  • a(b+c)=ab+ac

  • a(b−c)=ab−ac

Product van tweetermen
Voor alle getallen a,b,c en d geldt:

  • (a+b)(c+d)=ab+ad+bc+bd

Merkwaardige producten
Voor alle getallen a en b geldt:

  • (a+b)2=a2+2ab+b2

  • (a−b)2=a2−2ab+b2

  • (a+b)(a−b)=a2−b2

 

Opgave 30

Het product is 0

Schrijf zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk:

\(x(x+4)\)

\(x(4−2x)\)

\((x+4)(x+5)\)

\((x+4)(x−5)\)

\((x−4)(x−5)\)

\((2x+4)(x−5)\)

\((x+4)^2\)

\((2x−4)^2\)

 

Opgave 31

Het product is 0

Voorbeeld:

We kunnen\( x^3−6x^2\) schrijven als het product van de factoren \(x^2\) en \(x−6\).
Dus: \(x^3−6x^2=x^2(x−6)\).

 

Voorbeeld:

De uitdrukking \(x^2−10x+21\) kunnen we ontbinden in \((x−3)(x−7)\).
Dus: \(x^2−10x+21=(x−3)(x−7)\).

 

Ontbind zo ook in factoren:

\(x^2+7x\)

\(x^2+5x+6\)

\(x^2−4x−5\)

\(x^2+6x−7\)

\(x^2−7x+10\)

\(x^3−7x^2\)

\(x^2−6x+9\)

\(x^2−100\)

 

Wil je meer oefenen met ontbinden in factoren, ga naar de site van WisWeb en kies Haakjessommen ontbinden.

 

19.3 Oplossen en het opstellen van vergelijkingen

Uitleg

We kunnen nu beginnen aan het systematisch oplossen van vergelijkingen. Er zijn twee belangrijke stappen:

  • herleiden op 0,

  • ontbinden in factoren.

In de volgende opgaven wordt het oplossen van vergelijkingen steeds moeilijker. We beginnen met eenvoudige vergelijkingen die je alleen hoeft te ontbinden en we eindigen met vergelijkingen waarbij je eerst haakjes moet uitwerken, voordat je op nul herleidt en dan pas ontbindt in factoren.
Lees eerst het voorbeeld goed door voordat je begint aan de opgave.

 

Oplossen van eenvoudige vergelijkingen

Voorbeeld:

Los op:

x2+4x−21=0

ontbinden in factoren
(x−3)(x+7)=0  
x=3 of x=‐7  

Controle:

x2+4x−21=32+4⋅3−21=9+12−21=0
 

x2+4x−21=(‐7)2+4⋅‐7−21=49−28−21=0

 

 

 

 

Opgave 32

Vergelijkingen oplossen

Los de volgende vergelijkingen op.

\(x^2−5x−24=0\)

\(x^2+10x=0\)

\(x^2−6x+8=0\)

\(x^2−5x=0\)

 

Opgave 33

Vergelijkingen oplossen

Gerd heeft een getal in gedachten. Als hij daarvan het kwadraat neemt en daar drie keer het getal bij optelt is zijn uitkomst nul.
Noem het getal dat Gerd in gedachten heeft \(x\).

a Stel een vergelijking op in \(x\) en bereken daarmee welk getal Gerd in gedachten had.

Janneke heeft ook een getal in gedachten. Als zij van dat getal het kwadraat neemt en daarbij zeven maal het getal optelt en vervolgens 18 afhaalt komt zij ook uit op nul.
Noem het getal dat Janneke in gedachten heeft \(y\).

b Stel een vergelijking op in \(y\) en bereken daarmee welk getal Janneke in gedachten had.

 

Uitleg

  • Bij het oplossen van vergelijkingen beginnen we steeds met herleiden op nul: het rechter- of linkerlid maken we 0.

  • Het is handig de termen te rangschikken: voorop de term met x2, dan de term met x, dan het getal zonder x.

  • We ontbinden het linker- of rechterlid in factoren: we schrijven het als product.

  • We controleren de oplossing(en).

 

Vergelijkingen waarbij je eerst moet herleiden op 0

Voorbeeld

Los op:

x2+10x=‐16

herleiden op 0 (plus 16)
x2+10x+16=0

ontbinden in factoren
(x+2)(x+8)=0  
x=‐2   of    x=‐8  

Controle:

x2+10x=(‐2)2+10⋅‐2=4−20=‐16

 

x2+10x=(‐8)2+10⋅‐8=64−80=‐16

 

 

Opgave 34

Vergelijkingen opstellen

Los de volgende vergelijkingen op.

\(x^2+6x=16\)

\(x^2−5x=6\)

\(x^2=8x\)

\(x^2+16=8x\)

 

Opgave 35

Vergelijkingen oplossen

De kamer van Maaike is vierkant. Er loopt een balkon langs dat even lang is als haar kamer. Het balkon is 2 meter breed. De oppervlakte van de kamer en het balkon samen is 24 vierkante meter.
Noem de breedte van de kamer \(x\).

a Stel een vergelijking op in \(x\).

b Bepaal \(x\).

 

Opgave 36

Vergelijkingen opstellen

Als het goed is, heb je een positieve en een negatieve waarde voor \(x\) gevonden, namelijk \(4\) en \(‐6\).
Omdat het om een lengte gaat, vervalt het antwoord \(x=‐6\).
De conclusie is dat alleen het antwoord \(x=4\) voldoet aan de vraag.
De afmetingen van de kamer zijn 4 bij 4 meter.

 

De plattegrond van een lokaal heeft een totale oppervlakte van 181 m2. De maten in het plaatje zijn in meters.

Stel een vergelijking op voor \( x\) en bereken hoe groot \(x\) is.

 

 

 

 

Opgave 37

Vergelijkingen opstellen

Voorbeeld

Los op:

\(x^2=5x−4\)

herleiden op 0 (min 5x, plus 4)
\(x^2−5x+4=0\)

ontbinden in factoren
\((x−4)(x−1)=0\)  
\(x=4  \) of    \(x=1\)  

Controle:

\(x^2=42=16 \) en \(5x−4=5⋅4−4=16\)

 

\(x^2=12=1\) en \(5x−4=5⋅1−4=1\)

 

Los de volgende vergelijkingen op.

\(x^2=2x−1\)

\(12−4x=x^2\)

\(x^2=12−11x\)

\(5x+14=x^2\)

 

Opgave 38

Vergelijkingen oplossen

Vergelijkingen met haakjes

Soms moet je eerst de haakjes uitwerken, voordat je op nul herleidt en ontbindt in factoren.

Voorbeeld

Los op:

\((x+1)(x+3)=1−x^2\)

haakjes uitwerken
\(x^2+4x+3=1−x^2\)

herleiden op 0 (plus x2, min 1)
\(2x^2+4x+2=0\)

delen door 2
\(x^2+2x+1=0\)

ontbinden in factoren
\((x+1)(x+1)=0\)  
\(x=‐1\)  

 

Controle:

\((x+1)(x+3)=0⋅2=0\) en \(1−x^2=1−(‐1)^2=1−1=0\)

 

Los de volgende vergelijkingen op.

\(x^2+5=3(x+1)\)

\(2(x^2−2)=4(x^2−3)\)

\(3(x+1)^2=x^2+3\)

\(3(4−3x)+x^2=4x^2\)

 

Wil je meer oefenen met het systematisch oplossen van vergelijkingen, ga naar de site van WisWeb en kies Vergelijkingen, kwadratisch of Vergelijkingen, kwadratisch toets.
Kies niveau 3, 4 of 5.

 

 

Opgave 39

Vergelijkingen oplossen

Van een rechthoekige driehoek zijn de zijden \( x, x+2\) en \(x+4\).

a Stel een vergelijking op voor \(x\) (stelling van Pythagoras).

b Bepaal \(x\).

c Wat zijn de afmetingen van de rechthoekige driehoek?

 

 

 

Opgave 40

Vergelijkingen opstellen

We bekijken drie terrassen, betegeld met vierkante tegels. In de plaatjes is aangegeven hoeveel tegels er langs de randen liggen.
Terras a is betegeld met 260 tegels, terras b met 405 tegels en terras c met 168 tegels.
Stel bij elk van de terrassen een vergelijking op voor \(x\) en los die vergelijking op.

 

 

 

 

 

 

 

Opgave 41

Vergelijkingen opstellen

We bekijken twee dierenpensions waarin een aantal katten en een aantal honden wonen. In beide pensions is het product van het aantal katten en het aantal honden 210.

In het ene pension zijn er 11 katten meer dan honden. Noem het aantal honden \(h\).

a Hoeveel katten (uitgedrukt in \(h\)) zitten er dan in het pension?

b Stel een vergelijking op en bereken het aantal honden en katten.

In het andere pension is het totaal aantal dieren 37.

c Bereken het aantal honden en katten door een vergelijking op te lossen.

In plaats van een vergelijking op te lossen, hadden we ook een tabel kunnen maken.

d Maak een tabel waarbij het product van het aantal katten en het aantal honden 210 is en bepaal de antwoorden van vraag b en c met deze tabel.

 

Opgave 42

Vergelijkingen oplossen

Landbouwer Berends heeft een vierkant stuk land. Het stuk land van Ermers dat er naast ligt, is 30 meter korter en 40 meter smaller dan het land van Berends.
De oppervlakte van het stuk land van Berends is twee keer zo groot als het land van boer Ermers.
Wat zijn de afmetingen van de twee stukken land?
Bereken die afmetingen door het oplossen van een vergelijking.
Maak eventueel een schets van de situatie.

 

Opgave 43

Vergelijkingen opstellen

Een vierkant en vier rechthoeken van 6 bij \(x\) cm worden zo neergelegd dat een groot vierkant ontstaat. De oppervlakte van dit grote vierkant is 441 cm2.

a Bereken de zijden van het kleine vierkant. Stel daarbij een vergelijking op in \(x\) en los die op.

b Bereken de lengte van de diagonaal \(d\) van het kleine vierkant.

 

 

 

Opgave 44

Vergelijkingen opstellen

Los de volgende vergelijkingen op.

\(x^2−10x+9=0\)

\(5x^2=80\)

\((3+x)^2=49\)

\(12−2x=2x^2\)

\(x+2=64\)

\((x+2)^3=64\)

 

19.4 Eindpunt

Priemgetal

Een positief getal dat je maar op één manier kunt schrijven als product van twee positieve gehele getallen, noemen we een priemgetal. Het getal 1 neemt een uitzonderingspositie in: we spreken af dat 1 geen priemgetal is.

Ontbinden in factoren

Een veelterm schrijven als product van factoren, heet ontbinden in factoren.

Voorbeelden
x2+4x=x(x+4)
x2−4x−21=(x+3)(x−7)
​x2+6x+9=(x+3)2

Voorrangsregels

Machtsverheffen gaat vóór vermenigvuldigen en vóór het tegengestelde nemen.

Dus: 2x2=2⋅x⋅x en ‐x2=‐(x⋅x)

Product is 0

Als het product van twee getallen nul is, dan is het ene getal nul of is het andere getal nul.

In algebrataal
Als a⋅b=0, dan a=0 of b=0.

Een dergelijke uitspraak geldt ook voor het product van drie of meer factoren dat nul is.

Distributiewetten

Voor alle getallen a,b en c geldt:

  • a(b+c)=ab+ac

  • a(b−c)=ab−ac

Product van tweetermen
Voor alle getallen a,b,c en d geldt:

  • (a+b)(c+d)=ab+ad+bc+bd

Merkwaardige producten
Voor alle getallen a en b geldt:

  • (a+b)2=a2+2ab+b2

  • (a−b)2=a2−2ab+b2

  • (a+b)(a−b)=a2−b2

Systematisch oplossen

Soms kun je een vergelijking ontbinden in factoren. In dat geval kun je de vergelijking oplossen met de regel: een product is 0 als minstens één van de factoren 0 is. Voordat je kunt ontbinden in factoren, moet je vaak een aantal bewerkingen uitvoeren, zoals:

  • op nul herleiden,

  • haakjes uitwerken,

  • termen rangschikken,

  • delen door een getal.

Voorbeeld
(x+3)2=‐(x−1)2+58
x2+6x+9=‐x2+2x−1+58
2x2+4x−48=0
x2+2x−24=0
(x+6)(x−4)=0
x=‐6   of    x=4

Controle:
(x+3)2=(‐3)2=9 en ‐(x−1)2+58=‐(‐7)2+58=‐49+58=9
(x+3)2=72=49 en ‐(x−1)2+58=‐(3)2+58=‐9+58=49

Voorbeeld
We lossen de vergelijking (x2−4)(x2+9)=0 op. Er zijn twee mogelijkheden:
Of x2=4, dus x=2   of    x=‐2,
of x2=‐9, maar dat kan niet.
De vergelijking heeft dus twee oplossingen: 2 en ‐2.

Vergelijkingen opstellen

Een rechthoek heeft oppervlakte 21; zijn lengte is 4 groter dan zijn breedte. Wat zijn de afmetingen?

Noem de breedte x.
We krijgen dan de vergelijking: x(x+4)=21.
Deze vergelijking heeft twee oplossingen: ‐7 en 3.
De oplossing ‐7 kan niet omdat lengte en breedte allebei positief moeten zijn. De breedte van de rechthoek is dus 3 en de lengte 7.

De graad van een vergelijking

De vergelijking 5x=x2+4x−12 is een tweedegraads vergelijking: de hoogste macht van x in deze vergelijking is 2. Er zijn ook derde-, vierde- of tiendegraads vergelijkingen. De vergelijking 5(x+3)=2x−5 is een eerstegraads vergelijking.

19.5 Extra opgaven

Opgave 1

Extra opgaven

De afmetingen van een rechthoekige tuin zijn \(2p\) meter bij \(2p+4,5\) meter. Hierin wordt een vierkante zitkuil van \(p\) bij \(p\) meter aangelegd. Het resterende deel van de tuin heeft dan nog een oppervlakte van 120 vierkante meter.

Stel een vergelijking op en bereken daarmee de afmetingen van de tuin.

 

Opgave 2

Extra opgaven

Los de volgende vergelijkingen op.

\(x^2−4=4x−4\)

\((x−4)^2=4−x\)

\((x+4)(x−4)=4−x\)

\((x+4)^2=16x\)

\((x+4)^2=x(x+4)\)

\((x+4)^2=16\)

 

Opgave 3

Extra opgaven

Zeepfabriek Power Plus verkoopt twee soorten waspoeder. De duurste soort wordt verpakt in een kleine doos, de goedkopere soort in een grote doos. Beide dozen zijn 10 cm breed. De hoogte van een kleine doos is twee maal zo groot als zijn lengte. Een grote doos is even lang als de kleine doos, maar een grote doos is 25% hoger dan een kleine. De inhoud van een grote doos is 2000 cm3 meer dan de inhoud van een kleine doos.

Bereken de afmetingen van een kleine doos. Gebruik een vergelijking.

 

 

Opgave 4

Extra opgaven

In een rechthoekige tuin van 36 bij 44 meter wordt rondom een border aangelegd. In het midden blijft een gazon over van 660 m2. De border is overal even breed; noem die breedte \(x\) (meter).

Bereken \(x\) door een vergelijking op te lossen.

 

Opgave 5

Extra opgaven

De bekende tuinarchitect Bob Roelofs heeft een parktuin ontworpen. De parktuin is door paden verdeeld in negen vierkante stukken, elk van 16 bij 16 meter. De paden zijn overal even breed en hebben een totale oppervlakte van 400 m2.
Noem de breedte van het pad \(x\) (in meters).

Stel een vergelijking op in \(x\) en bereken daarmee de breedte van de paden.

 

 

 

Opgave 6

Extra opgaven

Erik en Henk hebben beiden een chocoladeletter gekregen, een E en een H.
De letters zijn overal even breed en passen beide precies in een doosje van 1 bij 10 bij 15 cm. Erik en Henk vragen zich af wie van hen de meeste chocolade heeft.
Noem de letterbreedte \(x\) (in cm).

a Bij welke letterbreedte zouden Erik en Henk evenveel chocolade hebben?

Bij weging van de twee letters blijkt dat Erik 7,2 gram meer chocolade heeft dan Henk.

b Bereken de letterbreedte. Neem daarbij aan dat chocolade 1,2 gram per kubieke centimeter weegt.

 

Opgave 7

Extra opgaven

Voor een soepfabriek worden doosjes ontworpen waar 24 bouillonblokjes precies in passen. De blokjes zijn kubusjes met ribben van 1 cm. Twee van die doosjes zie je hier getekend.

a Wat zijn de afmetingen van deze doosjes?

Er zijn twee doosjes met twee vierkante grensvlakken. Een ervan is al getekend.

b Wat zijn de afmetingen van het andere doosje met twee vierkante grensvlakken?

c Wat kunnen de afmetingen van zo'n doosje voor 24 bouillonblokjes zijn? Neem de tabel over en schrijf in de tabel alle mogelijkheden op. Werk volgens een systeem.

lengte

breedte

hoogte

oppervlakte

...

...

...

...

...

...

...

...


d Vul in de tabel ook de kolom oppervlakte in. Daarmee wordt de totale oppervlakte bedoeld, dus van alle zes de grensvlakken samen. Gebruik kladpapier.

e Bij welke afmetingen is het minste karton nodig?

 

Opgave 8

Extra opgaven

In een fabriek worden aan de lopende band mp3-spelers gemaakt. Aan die lopende band werken 20 arbeiders die ieder 10 mp3-spelers per dag maken. In totaal worden er dus dagelijks 200 mp3-spelers gemaakt.

Als er een paar mensen meer aan die lopende band gaan werken, loopt de productie per man wat terug.

a Verbaast je dat? Waarom wel/niet?

Voor elke arbeider die erbij komt, neemt de productie per man per dag met 1 mp3-speler af.

Voorbeeld: als er 23 arbeiders aan de lopende band werken, maakt elk van de mensen nog \(10−3=7\) mp3-spelers per dag. Dat geeft een totale productie van \(23⋅7=161\) mp3-spelers per dag.

b

Hoeveel mp3-spelers worden er in totaal per dag gemaakt als er 24 arbeiders aan de lopende band werken?
En als er 25 arbeiders aan de lopende band werken?
En als er 28 arbeiders aan de lopende band werken?
En als er \(n\) arbeiders aan de lopende band werken? (Geef een formule met de variabele \(n\).)

c Laat zien dat de formule voor \(n\) arbeiders ook geschreven kan worden als \(n(30−n)\).

d Ga met behulp van deze formule na dat bij 25 arbeiders de totale productie per dag 125 is.

e Er is nog een getal \(n\) dat voldoet aan de vergelijking \(n(30−n)=125\). Welk getal is dat?

Voor een zeker aantal arbeiders \(n\) worden er 216 mp3-spelers per dag gemaakt.

f Welke vergelijking geldt dan voor \(n\)?

g Geef de twee oplossingen van die vergelijking.

 

Opgave 9

Extra opgaven

Van een rechthoekige driehoek zijn de zijden \(x, x−7\) en \(x+1\).
Bereken \(x\).

 

 

 

 

Opgave 10

Extra opgaven

In een vierkant van 4 bij 4 cm is een kleiner vierkant getekend. De oppervlakte van het kleinere vierkant is 10 cm2. De afstand van een hoekpunt tot het dichtstbijzijnde hoekpunt van het grote vierkant noemen we \(x\).

Bereken \(x\).

 

 

 

 

 

Opgave 11

Extra opgaven

In de figuur zie je een uitslag van een balk van \(x−5\) bij \(x\) bij \(2x\).

a Druk de totale oppervlakte van de balk uit in \(x\). Schrijf je antwoord zonder haakjes en zo eenvoudig mogelijk.

De totale oppervlakte van de balk is gelijk aan 180.

b Stel een vergelijking op in \(x\) en bereken daarmee de afmetingen van de balk.

 

 

 

 

Oker

Opgave 10-S

Een vergelijking opstellen

Op een bingo zijn een heleboel prijzen:
één 1ste prijs van 20 euro,
twee 2de prijzen van elk 19 euro,
drie 3de prijzen van elk 18 euro,
vier 4de prijzen van elk 17 euro,
enzovoort.

a Hoeveel prijzen zijn er van 11 euro?

b En van \(x\) euro?

De drie prijzen van 18 euro zijn samen 54 euro waard.

c Hoeveel euro zijn de prijzen van 11 euro samen waard?

d En die van \(x\) euro?

e Bepaal \(x\), zo dat de prijzen van \(x\) euro samen 104 euro waard zijn.

 

Opgave 16-S

Een vergelijking opstellen

 

Bepaal van de volgende vergelijkingen beide oplossingen. Schrijf het linkerlid in de vorm \( x(……)\).
\(x^2+5x=24\)
\(5x^2−15x=350\)
\(‐3x^2+12x=9\)

 

Opgave 23-S

Vergelijkingen oplossen

Los op, dat wil zeggen geef alle getallen \(x\) die aan de vergelijking voldoen.

\(x^3=27\)

\((7−x)^4=16\)

\(‐x^4=‐16\)

\((x+1)^3=27\)

\((7−x)^4=‐16\)

\(‐x^4=16\)

\(x^3=‐27\)

\(7−x^4=16\)

\((‐x)^4=16\)

\((x+1)^3=‐27\)

 

 

 

Opgave 25-S

a Het product van twee getallen is 0. Ga na dat je met zekerheid een van die twee getallen kent.

b Het product van twee getallen is 60. Ga na dat je nu niet met zekerheid een van die twee getallen kent.

c Bepaal de oplossingen van de vergelijking \((x−a)(x−b)=0\).

 

Opgave 31-S

Het product is 0

Bekijk de drieterm \(x^2+kx−16\). Voor sommige gehele getallen \(k\) is de drieterm te ontbinden, voor andere niet.
Als \(k=6\), dan krijg je \(x^2+6x−16=(x−2)(x+8)\).
Als \(k=7\), dan krijg je de drieterm \(x^2+7x−16\); deze kan niet ontbonden worden.

a Onderzoek welke gehele getallen je voor \(k\) kunt kiezen zodat de drieterm \(x^2+kx−16\) in twee factoren ontbonden kan worden.

b Onderzoek welke gehele getallen je voor \(k\) kunt kiezen, met \(‐20≤k≤20\), zodat \(x^2−16x+k\) in twee factoren ontbonden kan worden.

 

Wil je meer oefenen met ontbinden in factoren, ga naar de site van WisWeb en kies Haakjessommen ontbinden.

 

Opgave 39-S

Vergelijkingen opstellen

Zoals je weet, geldt \(3^2+4^2=5^2\).
Voor welke vijf opeenvolgende positieve getallen geldt: \(…^2+…^2+…^2=…^2+…^2\)? Dus de som van de kwadraten van de eerste drie getallen is gelijk aan de som van de kwadraten van de laatste twee getallen.
Als \(x\) het kleinste getal is, krijg je de vergelijking \(x^2+(x+1)^2+(x+2)^2=(x+3)^2+(x+4)^2\).

a Los deze vergelijking op en bereken daarmee \(x\).

b Wat is het kleinste positieve getal van zeven opeenvolgende getallen, waarvan de som van de kwadraten van de kleinste vier getallen gelijk is aan de som van de kwadraten van de grootste drie?

Stel weer een vergelijking op en los deze op.

 

Opgave 40-S

Vergelijkingen opstellen

Bij een voorstelling in de schouwburg Junushoff in Wageningen kost een kaartje € 25,-. De schouwburg geeft bij die voorstelling korting aan groepen van meer dan 10 personen. Dat gaat zo:

  • een groep van 11 personen krijgt op elk van de 11 kaartjes € 0,50 korting;

  • een groep van 12 personen krijgt op elk van die 12 kaartjes een korting van € 1,-;

  • een groep van 13 personen krijgt op elk van de 13 kaartjes een korting van € 1,50.
    Zo gaat dat door tot een groep van 30 personen.
    Bij een groep van 30 of meer personen is de korting op elk kaartje € 10,-.

Een groep van 17 personen bezoekt die voorstelling.

a Bereken de totale entreeprijs van de groep.

Een groep van \(x\) personen (met \(11≤x≤30\)) bezoekt die voorstelling.

b Laat zien dat de totale entreeprijs van de groep, uitgedrukt in \(x\), gelijk is aan \(30x−0,5x^2\).

c Bereken \(x\), als gegeven is dat deze totale entreeprijs € 432,- is.

 

  • Het arrangement 19. Ontbinden is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2021-11-20 12:48:11
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo leerjaar 2. Het volgende onderdeel wordt behandeld: ontbinden.
    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Rekenen/wiskunde; Volgorde bewerkingen; Getallen en variabelen; Rekenen met getallen;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, haakjes, haakjes wegwerken, havo 2, ontbinden, priemgetal, stercollectie, vergelijking oplossen, wiskunde

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van