2H03 Machten en wortels

Thema

Inleiding

2H03 Inleiding .....................................................................................................

Sissa Ben Dahir is de uitvinder van het schaakspel. De koning van India vond het een prachtig spel. Hij vroeg Sissa Ben Dahir wat hij voor de uitvinding als beloning wilde hebben.
Sissa Ben Dahir zei: 'Geef me 2 graankorrels op het eerste veld van het schaakbord, 4 graankorrels op het tweede veld, 8 op het derde veld, 16 op het vierde veld en zo verder.'
De koning lachte en antwoordde: 'Is dat echt alles wat je wilt hebben?'. Hij gaf opdracht om een zak graan te halen en Sissa Ben Dahir uit te betalen.

Aan het eind van het thema wordt verteld hoe het verhaal afloopt. Maar om de afloop goed te kunnen begrijpen, moet je kunnen rekenen met machten en dat ga je leren in dit thema.

Leerdoelen

2H03 Leerdoelen ..............................................................................................................

Aan het eind van dit thema:

  • kun je het kwadraat van een getal uitrekenen;
  • weet je dat bij het rekenen kwadrateren voor vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken gaat;
  • kun je de wortel uit een getal uitrekenen;
  • kun je vermenigvuldigen met negatieve getallen;
  • weet je wat machtsverheffen is.
  • ken je van de getallen 1 t/m 15 de kwadraten uit het hoofd

Werkbladen

2H03.T Werkbladen ........................................................................................................

Bij dit hoofdstuk zijn geen werkbladen.

Eindproduct

2H03 Eindproduct ..................................................................................................................

De keuze van het eindproduct bij dit thema is vrij. Je mag samen met een klasgenoot een eindproduct bedenken waarin machten en/of wortels een belangrijke rol spelen.

Tip:
Kijk eens in de gereedschapskist van StudioVO. In de gereedschapskist staan verschillende eindproducten beschreven. Kijk meteen ook even naar hoe het eindproduct beoordeeld wordt.

§1 Kwadraten

Uitleg

2H03.1 Uitleg ..........................................................................................................

Bestudeer uit de Kennisbank wiskunde het onderdeel:

Kwadraten


Maak daarna de volgende opgaven.
Leer ook van de getallen 1 t/m 15, 20 en 25 de kwadraten uit je hoofd!

Opgaven

2H03.1 Opgaven .................................................................................................................

1    Vierkant 1

 

Vul in:
Van het vierkant hiernaast is iedere zijde ....
De oppervlakte van het vierkant is .... ×.... = ....
In plaats van .... × ....  schrijf je ook wel ....2 .
Je spreekt dat uit als: ........

 

 

 

 

2    Kwadraten

 

Maak de volgende sommen.
Schrijf ook de tussenstap op.

32 =  3  ×  3  = .... 10² = .... × .... = ....
52 = .... × .... = .... 15² = .... × .... = ....
82 = .... × .... = .... 20² = .... × .... = ....

 

 

3    Rekenvolgorde

 

Bij rekenen gaat machtsverheffen voor vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken.
Maak de volgende sommen:

3² + 7 = .... (2 × 5)² = ....
5² - 20 = .... 5² + 3²  = ....
40 - 5² = .... 2² + 4 · 3 = ....

 

 

4    Rechthoek

 

De rechthoek hiernaast bestaat uit twee delen:
een vierkant en een rechthoek.

Vul in:
De oppervlakte van het vierkant is a × a = ....
De oppervlakte van de rechthoek is 3 × a = ....
De totale oppervlakte is dus:

.... + ....
 

In de tabel zie je een aantal waarden van a.
Bereken bij iedere waarde de bijbehorende oppervlakte.

a  1 2 3 4 5
oppervlakte  .... .... .... .... 40

 

 

5    Rekenen

 

Maak de volgende sommen.

  5² = .... 21 - 4² = ....
12² = .... 5·2² = ....
8 + 4² = .... (8 - 2²) = ....

 

 

6    Formule

 

Bekijk de formule voor de oppervlakte.

oppervlakte = a² + 2·a

Neem de onderstaande tabel over en vul hem verder in:

a  1 2 3 4 5
oppervlakte  .... .... .... .... 35

 

 

7    Vierkant 2

 

Bekijk het vierkant.
Voor het vierkant geldt de formule:

oppervlakte = ( z + 3 )²
 
Neem de onderstaande tabel over en vul hem in.
z  1 2 3 4 5
oppervlakte  .... .... .... .... 64

 

 

8    Kwadraten van 1 t/m 20

 

Neem de tabel over en noteer de kwadraten van de getallen van 1 tot en met 20.

n n²
1 1
2 4
3  
4  
5  
6  
7  
8  
9  
10  
11  
12  
13  
14  
15  
16  
17  
18  
19  
20  

 

Leer de kwadraten van de getallen 1 tot en met 15 ook uit je hoofd!

 

 

 

 

 

 

 

Uitwerkingen

2H03.1 Uitwerkingen ............................................................................................................

1     

 

Van het vierkant hiernaast is iedere zijde 4.
De oppervlakte van het vierkant is 4 × 4 = 16.
In plaats van 4 × 4  schrijf je ook wel 42.
Je spreekt dat uit als: vier kwadraat.

 

2     

 

32 =  3  ×  3  = 9 10² = 10 × 10 = 100
52 =  5  ×  5  = 25 15² = 15 × 15 = 225
82 =  8  ×  8  = 64 20² = 20 × 20 = 400

 

3     

 

3² + 7 = 16 (2 × 5)² = 100
5² - 20 =  5 5² + 3²  = 34
40 - 5² = 15 2² + 4·3 = 16

 

4     

 

De oppervlakte van het vierkant is a × a = a2
De oppervlakte van de rechthoek is 3 × a = 3a
De totale oppervlakte is dus a² + 3a.

a  1 2 3 4 5
oppervlakte  4 10 18 28 40

 

5     

 

  5² = 25 21 - 4² = 5
12² = 144   5·2² = 20
8 + 4² = 24 ( 8 - 2² ) = 4

 

6     

 

a  1 2 3 4 5
oppervlakte  3 8 15 24 35

 

7     

 

z  1 2 3 4 5
oppervlakte  16 25 36 49 64

 

8     

 

n n²
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25
6 36
7 49
8 64
9 81
10 100
11 121
12 144
13 169
14 196
15 225
16 256
17 289
18 324
19 361
20 400

 

 

LvoorL

2H03.1 LvL ........................................................................................................

Leerlingen voor leerlingen
Op de website www.lvoorl.nl vind je verschillende video's die door leerlingen voor leerlingen zijn gemaakt.

Hieronder staat een video die goed past bij dit thema.
Bekijk de video. Kun je de video goed volgen?
Bespreek de inhoud van de video met een klasgenoot.
Kwadraat

Let op:
Als je de video wilt stoppen, druk dan eerst op de stopknop en klik dan de popup weg.

Test jezelf

2H03.1 Test jezelf .....................................................................................................

Je sluit de paragraaf Kwadraten af met een toets.

Na het maken van de vragen krijg je een score en kun je de gegeven antwoorden vergelijken met de goede antwoorden.


Succes!

Test jezelf:Kwadraten

Extra materiaal

2H03.1 Extra materiaal Kwadraten .............................................................................LogoM4Ainvlak.gif

Via onderstaande link vind je nog meer uitleg over kwadraten en rekenvolgorde.

Ook nog een aantal extra oefeningen. Daarbij wel de antwoorden (uitkomsten), maar niet de tussenstappen.

 

Klik hier voor het extra materiaal

§2 Wortels

Uitleg

2H03.2 Uitleg ................................................................................................................................................

Uitleg en opgaven
Bestudeer uit de Kennisbank wiskunde het onderdeel:

  Wortels

 

Maak daarna de opgaven.

Opgaven

2H03.2 Opgaven ..............................................................................................................

waar nodig: * afronden pas aan het eind!

1    Vierkant

 

Vul in:

De zijde van het vierkant is .... , want
... × .... = 16.

Je zegt de ........ van 16 is 4.

Je schrijft: .... = 4.

 

2    Wortels bepalen

 

Neem over en vul in:

√9 = .... , want .... × .... = 9 √100 = .... , want .... × .... = 100
√25 = .... , want .... × .... = 25 √64 = .... , want .... × .... = 64
√36 = .... , want .... × .... = 36 √1 = .... , want .... × .... = 1

 

3    Vijver

 

De oppervlakte van een vierkante vijver is 20 m².

Bereken de lengte van een zijde.

Rond je antwoord af op twee cijfers achter de komma.
√20 ≈ ....

 

4     Weiland

 

Joachim werkt op een boerderij. De boerderij bezit veel weilanden. Op een van de weilanden wil Joachim paarden zetten. Om te voorkomen dat de paarden weglopen zet Joachim het weiland af met paaltjes en schrikdraad.

Het weiland heeft een oppervlakte
van 6,25 ha (6,25 hm2).

 

Bereken de lengte van een van de zijde van het weiland in meters, rond indien nodig je antwoord af op twee cijfers achter de komma (2 decimalen).
*Tip: reken eerst de hm2 om naar m2.

 

5    Wortels schatten

 

Voorbeeld:
√5 ligt tussen √4 en √9 en dus ligt √5 tussen 2 en 3.


Neem over en vul in:

√12 ligt tussen √ .... en √ .... en dus ligt √12 tussen .... en .... .

√20 ligt tussen √ .... en √ .... en dus ligt √20 tussen .... en .... .

 

6     Wortels uitrekenen 1

 

Maak de volgende sommen.
Rond waar nodig af op twee cijfers achter de komma.*

√36 .... .... √256 .... ....
√49 .... .... √196 .... ....
√144 .... .... √169 .... ....

 

7     Wortels uitrekenen 2

 

Maak de volgende sommen.

Rond waar nodig af op twee cijfers achter de komma.*

√5 .... .... √8 .... ....
√64 .... .... √40 .... ....
√60 .... .... √121 .... ....

 

8     Samengestelde berekeningen

 

Maak de volgende sommen.
Rond waar nodig af op twee cijfers achter de komma.*

\(\small \mathsf { { \sqrt{4^2 + 3^2} }}\) .... .... \(\small \mathsf { { \sqrt{4^2} + \sqrt{3^2} }}\) .... ....
\(\small \mathsf { { \sqrt{(4 + 3)²} }}\)  .... .... \(\small \mathsf { { \sqrt{64 \ - 4^2\ - 1²} }}\) .... ....
\(\small \mathsf { {1 + \sqrt{16} }}\).... .... \(\small \mathsf { { (\sqrt{27})^2 }}\) .... ....

 

9     Volgorde van berekeningen

 

82 - √400 = 6 + 5 x 2 : √4 - 32 =
(√49 - 4)2 = 32 + (6 + 3 x 5) : √36 =
14 - √81 + 22 x 3 = 7 + (11 - 4)2 - √49 =

 

10     Wortels en breuken

 

In een wortel kunnen ook breuken voorkomen.
Bereken de volgende wortels en geef het antwoord als een breuk. LET OP: altijd vereenvoudigen en/of helen uit halen.
\(\small \mathsf { { \sqrt{9 \over 16} }}\) .... .... \(\small \mathsf { { \sqrt{4\over 9} + \sqrt{81\over 36} }}\) .... ....
\(\small \mathsf { { \sqrt{49\over 25} }}\)  .... .... \(\small \mathsf { { \sqrt{16 \over 9} +\sqrt {169 \over 36} }}\) .... ....
\(\small \mathsf { {1 + \sqrt{144\over 121} }}\).... .... \(\small \mathsf { { \sqrt{256\over196}+ {2\over9} }}\) .... ....

 

 

Uitwerkingen

2H03.2 Uitwerkingen ...................................................................................................

1     

 

De zijde van het vierkant is 4 , want  4 × 4 = 16.

Je zegt de wortel van 16  is 4.

Je schrijft: √16 = 4.

 

2     

 

√9 = 3 , want 3 × 3 = 9 √100 = 10 , want 10 × 10 = 100
√25 = 5 , want 5 × 5 = 25 √64 = 8 , want 8 × 8 = 64
√36 = 6 , want 6 × 6 = 36 √1 = 1 , want 1 × 1 = 1

 

3     

 

√20 ≈ 4,47 m

 

4      

 

6,25Hm2= 62500m2

√62500 =250 m

 

5      

 

√12 ligt tussen √9 en √16 en dus ligt √12 tussen 3 en 4.

√20 ligt tussen √16 en √25 en dus ligt √20 tussen 4 en 5.

 

6      

 

√36 = 6 √256 = 16
√49 = 7 √196 = 14
√144 = 12 √169 = 13

 

7      

 

√5 ≈ 2,24 √8 ≈ 2,83
√49 = 7 √40  ≈ 6,32
√60 ≈ 7,75 √121 = 11

 

8      

 

\(\small \mathsf { { \sqrt{4^2 + 3^2}=}}\)  \(\small{ \mathsf{ \sqrt{25}=5 } }\)   \(\small \mathsf { { \sqrt{4^2} + \sqrt{3^2} = 4 + 3 =7 }}\)
     
\(\small \mathsf { { \sqrt{(4 + 3)^2}= }}\) \(\small{ \mathsf{ \sqrt{7} \approx2,65 } }\)   \(\small{ \mathsf{ \sqrt{64 \ - 4^2\ - 1^2}= }}\)  \(\small{ \mathsf{ \sqrt{64 - 16 + 1} = \sqrt{ 49} = 7} }\)
     
\(\small \mathsf { {1 + \sqrt{16} =1+4=5}}\)   \(\small \mathsf { { (\sqrt{27})^2 =27}}\)

 

9      

 

82 - √400 = 64 - 20 = 44

 6 + 5 x 2 : √4 - 32 = 6 + 10 : 2 - 9 =
                            = 6 + 5 - 9 = 2
   
(√49 - 4)2 = (7 - 4)2 = (3)2 = 9

   

32 + (6 + 3 x 5) : √36 = 9 + (6 + 15) : 6 =
                                  = 9 + (21) : 6 =
                                  = 30 : 6 = 5
   

14 - √81 + 22 x 3 = 14 - 9 + 4 x 3 =
                           = 14 - 9 + 12 =
                           =  5 + 12 = 17

7 + (11 - 4)2 - √49 = 7 + (7)2 - 7 =
                             = 7 + 49 - 7 =
                             = 56 - 7 = 49

 

10     

 

\(\small \mathsf { { \sqrt{9 \over 16} }}\) = \(\mathsf{ \small{ {3 \over 4} } }\) \(\small \mathsf { { \sqrt{4\over 9} + \sqrt{81\over 36} }}\)= \(\mathsf{ \small{ {2 \over 3} } }\)+\(\mathsf{ \small{ {9 \over 6} } }\)= \(\mathsf{ \small{ 2{1 \over 6} } }\)
   
\(\small \mathsf { { \sqrt{49\over 25} }}\) = \(\mathsf{ \small{ {7 \over 5} } }\) = \(\mathsf{ \small{ 1{2 \over 5} } }\) \(\small \mathsf { { \sqrt{16 \over 9} +\sqrt {169 \over 36} }}\)= \(\mathsf{ \small{ {4 \over 3} } }\)+\(\mathsf{ \small{ {13 \over 6} } }\)= \(\mathsf{ \small{ 3{1 \over 2} } }\)
   
\(\small \mathsf { {1 + \sqrt{144\over 121} }}\)= 1 + \(\mathsf{ \small{ {12 \over11} } }\) =\(\mathsf{ \small{ 2{1 \over 11} } }\) \(\small \mathsf { { \sqrt{256\over196}+ {2\over9} }}\)= \(\mathsf{ \small{ {16 \over 14} } }\)+\(\mathsf{ \small{ {2 \over 9} } }\)= \(\mathsf{ \small{ {86 \over 63}=1{23\over63} } }\)
   

Test jezelf

2H03.2T Test jezelf ....................................................................................................

Toets Wortels
Je sluit de paragraaf Wortels af met een toets.

Na het maken van de vragen krijg je een score en kun je de gegeven antwoorden vergelijken met de goede antwoorden.


Succes!

Test jezelf:Wortels

Extra materiaal

2H03.2 Extra materiaal Wortels ...........................................................................LogoM4Ainvlak.gif

Via onderstaande link vind je nog meer uitleg over wortels en rekenvolgorde.

Ook nog een aantal extra oefeningen. Daarbij wel de antwoorden (uitkomsten), maar niet de tussenstappen.

 

Klik hier voor het extra materiaal.

§3 Machten

Uitleg

2H03.3 Uitleg ........................................................................................................

Bestudeer uit de Kennisbank wiskunde het onderdeel:

Machten


Maak daarna de opgaven.

Opgaven

2H03.3 Opgaven ...............................................................................................................

1    Kubus

 

Vul in:

Van deze kubus zijn alle ribben 5 lang.
De inhoud is dan

.... × .... × .... = 125
In plaats van 5 × 5 × 5  schrijf je ook:

..........
Dit spreek je uit als ........

 

 

2    Machten

 

Neem over en vul in:

4³ = 4 × 4 × 4 = .... 10³ = .... = ....
34 = .... × .... × .... × .... = .... 8² = .... = ....
25 = .... × .... × .... × .... × .... = .... 14 = .... = ....

 

3    Inhoud kubus

 

Bekijk de uitleg van opgave 1 nog eens.
Weet je de lengte van de zijde van een kubus dan kun je heel gemakkelijk de bijbehorende inhoud berekenen. Je doet dan het volgende:
                  inhoud= lengte van de zijde3
korter geschreven i = z3

Neem de tabel hieronder over en vul hem verder in.

Z (zijde) 

1

2

3

4

5

6

I (inhoud) 

 

 

 

 

 

 

 

4     Vergelijken

 

Vul in: <, = of > (kleiner dan, gelijk aan of groter dan)

* Let op, het tekentje zegt altijd iets over het linker getal dus: 4 < 7 (4 is kleiner dan 7)

10³ ....  310

 210 .... 1000
  24 .... 4² 1³  .... 31
  54 .... 45 43 .... 34

 

5     Berekenen

 

Bereken. Schrijf je berekeningen op!

10³ 64
  7³ 7² + 4³
11³ 3³ - 24

 

6     Samengestelde berekeningen

 

Bereken: Schrijf je berekeningen op!

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{4^3 + 3^4 } } }\) \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 6^2 + \sqrt{2^8}\ \ -3\ } } }\)
\(\small{ \mathsf{ \sqrt{4^3} + \sqrt{3^4 } } }\) \(\small{ \mathsf{ 43 - \sqrt{2^3 + 17\ } +\ \sqrt{4 } } }\)
\(\small{ \mathsf{( \sqrt{4^3 + 3^4 })^2 } }\) \(\small{ \mathsf{ \sqrt{8^3 + 5^4 + 7^2 } } }\)
\(\small{ \mathsf{ (\sqrt{4^3})^3 + (\sqrt{3^4 })^2 } }\) \(\small{ \mathsf{ \sqrt{2^8 - 4^4 } } }\)

 

7     Inhoud zwembad

 

Tegenwoordig kun je door zeecontainers aan elkaar te lassen prachtige gebouwen maken. Een bedrijf heeft op deze manier een zwembad ontwikkeld. De prijs van dit zwembad wordt bepaald door de inhoud. Het grondvlak van het zwembad is altijd een vierkant, De hoogte van het zwembad is 2,10m.

Om de inhoud van het zwembad te bereken gebruikt het bedrijf de volgende formule

Inhoud = L3 - 15000
Hierbij moet de lengte (L) ingevuld worden in decimeter.

a. Neem de tabel over en vul hem in.

L (lengte in dm)

30

35

40

45

50

Inhoud

 

 

 

 

 

 

8     Volgorde van bewerkingen

 

Bereken. Schrijf je berekeningen op!

33 : √81  + 5 =

6 x ( 32 - 52) =

51 – 3 x 24 =

8 – 14 : (√36 + 1) + 33 =

 

Uitwerkingen

2H03.3 Uitwerkingen .........................................................................................................

 

1     

 

Van deze kubus zijn alle ribben 5 lang.

De inhoud is dan 5 × 5 × 5 = 125

In plaats van 5 × 5 × 5  schrijf je ook: 5³

Dit spreek je uit als 'vijf-tot-de-derde'

 

2     

 

4³ = 4 × 4 × 4 = ....

10³ = 10 × 10 × 10 = 1000              
34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 8² = 8 × 8  = 64
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32 14 = 1 ×1 × 1 × 1 = 1

 

3    

 

Z (zijde)

1

2

3

4

5

6

I (inhoud)

1

8

27

64

125

216

 

4      

 

10³ <  310

 210 > 1000
  24 = 4² 1³  < 31
  54 < 45 43 < 34

 

5      

 

10³ = 1000                   64 = 1296
  7³ = 343 7² + 4³ = 49 + 64 = 113
11³ = 1331 3³ - 24 = 27 - 16 = 11

 

6      

 

\(\mathsf{ \small{ \sqrt{4^3 + 3^4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{64 + 81 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{145} } }\)

≈ 12,04

 

 

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 6^2 + \sqrt{2^8}\ \ -3\ } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 36 + \sqrt{256}\ \ -3\ } } }\)

= \(\small{ \mathsf{ \sqrt{ 36 + 16 -3\ } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{49} } }\) = 7

 

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{4^3} + \sqrt{3^4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{64} + \sqrt{81 } } }\) =

8 + 9 = 17

 

\(\small{ \mathsf{ 43 - \sqrt{2^3 + 17\ } +\ \sqrt{4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ 43 - \sqrt{8 + 17\ } +\ \sqrt{4 } } }\)

= \(\small{ \mathsf{ 43 - \sqrt{25} +\ \sqrt{4 } } }\) = 43 -25 + 2 = 20

 

\(\small{ \mathsf{( \sqrt{4^3 + 3^4 })^2 } }\) = \(\small{ \mathsf{ (\sqrt{145})^2 } }\) = 145

 

 

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{8^3 + 5^4 + 7^2 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{512 + 625 + 49 } } }\) =

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{1186} } }\) ≈ 34,44

 

\(\small{ \mathsf{ (\sqrt{4^3})^3 + (\sqrt{3^4 })^2 } }\) =

\(\small{ \mathsf{ (\sqrt{64})^3 + (\sqrt{81})^2 } }\) =

  8³ + 9² = 512 + 81 = 593

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{2^8 - 4^4 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{256 - 256 } } }\) = \(\small{ \mathsf{ \sqrt{0} } }\)= 0

 

 

 

7      

 

L (lengte)

30

35

40

45

50

Inhoud

12000

27875

49000

76125

110000

 

 

8      

 

33 : √81  + 5 = 27 : 9 + 5 = ...
                            3    + 5 = 8

6 x (32 - 52) = 6 x (32 - 25) = ...
                   = 6 x     (7)      = 42

51 – 3 x 24 = 51 - 3 x 16 = ....
                     51 -   48    =  3
 

8 – 14 : (√36 + 1) + 33 = 8 - 14 : (6 + 1) + 27 = ...
                                    = 8 - 14 :    (7)    + 27 = ...
                                    = 8 -      2           + 27 =  33

Test jezelf

2H03.3T Test jezelf ..............................................................................................................................................

Je sluit de paragraaf Machten af met een toets.

Na het maken van de vragen krijg je een score en kun je de gegeven antwoorden vergelijken met de goede antwoorden.


Succes!

Test jezelf:Machten

Extra materiaal

2H03.3 Extra materiaal Machten ..............................................................................LogoM4Ainvlak.gif

Via onderstaande link vind je nog meer uitleg over machten.

Ook nog een aantal extra oefeningen. Daarbij wel de antwoorden (uitkomsten), maar niet de tussenstappen.

 

Klik hier voor het extra materiaal

§4 Bijzondere machten

Uitleg

2H04.4 Uitleg ......................................................................................................................................

Bestudeer eerst uit de kennisbank het onderdeel

bijzondere machten

 

Maak daarna de opgaven.

Opgaven

2H04.4 Opgaven .............................................................................................................................

1    Berekenen

 

Bereken, als dat kan, de volgens machten.
Schrijf, waar nodig, de uitkomst als een breuk!

a. 45

   e. 4-2
b. 91   f. 3-3
c. 130   g. 0-2
d. 04   h. 01

 

2    berekenen en vergelijken 1

 

Bereken:

a. 32 × 32   e. 34
b. 43 × 44   f. 47
c. 22 × 27   g. 29
d. 53 × 55   h. 58

Wat valt je op als je de antwoorden van de opgaven uit de eerste kolom vergelijkt met die uit de tweede kolom?
Kun je hier een regeltje bij bedenken?

 

3   Berekenen en vergelijken 2

 

Bereken:

a. 56 : 54   e. 52
b. 64 : 63   f. 61
c. 47 : 44   g. 43
d. 37 : 33   h. 34

Wat valt je op als je de antwoorden van de opgaven uit de eerste kolom vergelijkt met die uit de tweede kolom?
Kun je hier een regeltje bij bedenken?

 

4    Grondtal 0

 

Waarom bestaat een macht zoals 0-2 niet?

Uitwerkingen

2H04.4 Uitwerkingen .........................................................................................................................

1     

 

a. 45 = 1024

   e. 4-2 = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 4^2 } }\) = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 16 } }\)
b. 91 = 9           f. 3-3 = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 3^3 } }\) = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 27 } }\)
c. 130 = 1   g. 0-2  KAN NIET!
d. 04 = 0   h. 01 = 0

 

 

2     

 

a. 32 × 32 = 81   e. 34 = 81
b. 43 × 44  = 16.384   f. 47 = 16.384
c. 22 × 27 = 512   g. 29 = 512
d. 53 × 55 = 390.625   h. 58 = 390.625

De uitkomsten in beide kolommen zijn gelijk.

**

 

 

3     

 

a. 56 : 54 = 25   e. 52 = 25
b. 64 : 63 = 6   f. 61 = 6
c. 47 : 44 = 64   g. 43 = 64
d. 37 : 33 = 81   h. 34 = 81

De antwoorden in beide kolommen zijn gelijk
**

 

4     

 

0-2 betekent \(\mathsf{ \small{ 1 \over 0^2 } }\) = \(\mathsf{ \small{ 1 \over 0} }\)  Maar dat kan niet, want je mag/kan niet delen door nul!
Daarom bestaat 0-2 niet.

§5 Bewerkingen met negatieve getallen

Uitleg

2H03.5  Uitleg ............................................................................................................... ​​

Bestudeer uit de Kennisbank wiskunde het onderdeel:

Vermenigvuldigen met negatieve getallen

Maak daarna de opgaven.

Voor het optellen en aftrekken van negatieve getallen kun je ook dit filmpje even bekijken.

 

Onthoud: bij het uitwerken van de opgaven in dit hoofdstuk schrijf je altijd eerst de opgave over in je schriift en daarna schrijf je de tussenstap(pen) er steeds onder!

Opgaven

1H03.5-1 Opgaven ...................................................................................................................

1    Alles zonder rekenmachine!

 

  1. Je kunt optellen met negatieve getallen.rekenmachine verboden!
    Neem over en vul in:
    13 + -2 =
    13 …… 2 = ……………
  2. Maak de volgende voorbeelden af:

    5 + -2 =

    5......2 =

    4 + -11 =

    4......11 =

    -2 + -6 =

    -2......6 =
  3. Maak ook de volgende sommen. Schrijf eronder ook steeds de tussenstap op!
    12 + -5 = 4 + -4 = 2 + -7 = -4 + -2 =
  1. Maak  nu ook de volgende sommen. Schrijf eronder ook steeds de tussenstap op!
    7 +   -3 = -2 + -7 = 9 + -12 = -4 + -4 =

     

2    Rekenmachine

 

Op je rekenmachine is er verschil tussen toets voor negatief     en de toets voor aftrekken  .

Gebruik je rekenmachine om de volgende sommen te maken:
47 + -123 = 122 + -38 = 51 + -45 = -423 + -142 =

 

 

3   Plussen en minnen

rekenmachine verboden!

 

Bereken zonder rekenmachine.

Schrijf ook steeds de tussenstappen op!

2 + -3 + -2 = -2 + -3 + -2 + 3 =
4 + -1 + 3 + -2 = -4 + 4 + -2 + 3 =

1H03.5-2 Opgaven ................................................................................................................

4    Zonder rekenmachine

rekenmachine verboden!

 

  1. Je kunt aftrekken met negatieve getallen.
    Neem over en vul in:
    13 - -2 =
    13 … 2 =……
  2. Neem de volgende voorbeelden over in je schrift en maak ze af:
  5 - -2 = 4 - -11 = -2 - -6 =
  5 … 2 = …… 4 … 11 = …… -2 … 6 = ……

 

  1. Maak nu de volgende sommen. Schrijf ook steeds de tussenstap op!
  12 - -5 = 4 - -4 =

 

  1. Maak u ook de volgende sommen. Schrijf ook steeds de tussenstap op!
  7 -   -3 = -2 - -7 =

 

 

5    Met rekenmachine

 

Gebruik je rekenmachine om de volgende sommen te maken.

47 - -123 = -122 -   -38 = 51 -   -45 =

 

 

6    Plus en min

 

Neem over en vul de open plaatsen in (let op + en - door elkaar!)rekenmachine verboden!

Vind je het lastig, teken dan eerst een getallenlijn in je schrift ​​

-7 + …… = -15 -17 + …… = 0
9 - …… = -12 51 - …… = - 40
-6 - …… = -3 -82 - …… = -70
-11 + …… = 15 13 + …… = -30

2H03.5-3 Opgaven ..................................................................................................................

7    Vermenigvuldigen en delen 1

 

  1. Neem over en vul op de juiste plaats de woorden ‘positief’ en ‘negatief’ in.
    positief x positief = ……………………………………………………
    negatief : positief = ……………………………………………………
    positief x negatief = ……………………………………………………
    negatief : negatief = ……………………………………………………
  2. Maak de volgende voorbeelden af:
    3 x 5 = -30 : 5 = 3 x -8 = -15 : -5 =
  3. Maak nu ook de volgende sommen.
    18 : -3 = -24 x -2 = -42 : -7 = -8 x 4 =

     

8    Vermenigvuldigen en delen 2

 

Maak de volgende opgaven:

-7 x -3 = 18 : -3 =
2 x -7 = -60 :   -12 =
-1 x – 4 = 125 : -25 =

 

9    Invullen 1

 

Neem over in je schrift en vul de open plaatsen in.

-7 x …… = -14 -70 : …… = 7
9 x …… = 27 -40 : …… = -8

 

10    Invullen 2

 

Neem over in je schrift en vul de open plaatsen in.

64 -72  = ... -70 : …… = 7
94 - 1   = ... -40 : …… = -8
16 - 32 = ... -27 : …… = 3
113 = ... -24 : …… = -6

                   

                    

                     

                    

Uitwerkingen

1H04.5-1 Uitwerkingen ............................................................................................................

1     

 

  1. 13 + -2 =
    13  -  2 = 11

b.

 

5 + -2 =

5  -  2 = 3

4 + -11 =

4   - 11 = -7

-2 + -6 =

-2 - 6 = -8

 

c.

 

12 + -5 =

12  -  5 = 7

4 + -4 =

4  -  4 = 0

2 + -7 =

2  -  7 = -5

-4 + -2 =

-4  -  2 = -6

 

d.

 

7 + -3 =

7  -  3 = 4

-2 + -7 =

-2  -  7 = -9

9 + -12 =

9  -  12 = -3

-4 + -4 =

-4  -  4 = -8

 

2     

 

 

47 + -123 = -76          122 + -38 = 84            51 + -45 = 6              -423 + -142 = -565

 

 

3     

 

2 + -3 + -2 =                                -2 + -3 + -2 + 3 =

2  -  3  -  2  = -3                           -2  -  3  -  2  +  3 = -4

4 + -1 + 3 + -2 =                          -4 + 4 + -2 + 3 =
4  -  1 + 3  -  2 = 4                        -4 + 4  -  2 + 3 = 1 

1H03.5-2Uitwerkingen .............................................................................................................

4     

 

 

  1. 13 - -2 =
    13  + 2 = 15
b. 5 - -2 =
5 … 2 = ……		 4 - -11 =
4 … 11 = ……		 -2 - -6 =
-2 … 6 = ……

 

c. 12 - -5 =
12 + 5 = 17		 4 - -4 =
4 + 4 = 8

 

d. 7 -   -3 =
7 +  3 = 10		 -2 - -7 =
-2 + 7 = 5

 

5     

 

47 - -123 = 170                                -122 - -38 = -84                                      51 - -45 = 96

 

6     

 

-7 + …… = -15                 -17 + …… = 0

-7 +  - 8 = -15                   -17 + 17 = 0

9 - …… = -12                    51 - …… = - 40
9 -    3 = -12                      51 -  - 11 = - 40

-6 - …… = -3                    -82 - …… = -70
-6 -  - 3  = -3                     -82 -  - 12 = -70

-11 + …… = 15                13 + …… = -30
-11 +  26   = 15                13 +  - 43 = -30

1H03.5-3 Uitwerkingen ........................................................................................................

7     

 

a. positief x positief =  positief
  negatief : positief =  negatief
  positief x negatief =  negatief
  negatief : negatief =  positief

 

b.

3 x 5 = 15

-30 : 5 = -6

3 x -8 = -24

-15 : -5 = 3

 

c. 18 : -3 = -6 -24 x -2 = 48    -42 : -7 =  6 -8 x 4 =  -32

 

8     

 

-7 x -3 = 21               7 x -3 = -21

2 x -7 = -14             -2 x -12 = 24

-1 x – 4 = 4                3 x -125 = -375

 

9     

 

-7 x 2 = -14            -1 x -7 = 7

9 x 3 = 27               -5 x 0 = 0

 

10     

 

64 -72  = 15 -70 : -10 = 7
94 - 1   = 6560 -40 :  5   = -8
16 - 32 = 7 -27 :  -9  = 3
113 = 1331 -24 :   4   = -6

§6 Negatieve getallen en machten

Uitleg

2H03.6 Uitleg ....................................................................................................................................

Bestudeer uit de kennisbank het onderdeel

negatieve getallen en machten

 

Bekijk ook het volgende filmpje:

 

Maak daarna de opgaven.

Opgaven

2H03.6 Opgaven .........................................................................................................

1    Alles zonder rekenmachine!

 

Neem over en vul in:rekenmachine verboden!

(-3)2 = ... × ... = ... -32 = ... × ... = ...
(-3)3 = ... × ... × ... = ... -33 = ... × ... × ... = ...

 

 

2    Alles zonder rekenmachine!

 

Bereken de volgende machten. Schrijf tussenstappen op!rekenmachine verboden!

(-2)3 = ...... = ... -23 = ...... = ...
(-4)2 = ...... = ... -42 = ...... = ...
(-5)4 = ...... = ... -54 = ...... = ...
5-2 = ...... = ... (-3)0 = ...

 

3    Alles zonder rekenmachine!

 

Bereken. Schrijf ook de tussenstappen op!rekenmachine verboden!

(4 + 2)2 + 32 (42 - 19)3 - 42
4 + 23 : 4 -22 × -32 : 6
\(\small{ \mathsf{ -6\ +3^2- \sqrt{5^2 - 3^2} } }\) \(\small{ \mathsf{ -\sqrt{13^2 - 12^2}-3^3 } }\)
\(\small{ \mathsf{ ( \sqrt{5^2 - 3^2})^3:8-7 } }\) \(\small{ \mathsf{ - \sqrt{11+(-3)^2+5} } }\)

 

 

4     

 

Bereken.

(52 -32)3 : 82 - 72 92 + 8 × 9 : 18
(63 + 3) - 42 33 : 3 + 2 × (10 - 12)2
5 × -32 + (22 + 5)2 19 + (-5)3 + 132 - 73
5-2 × 103 : 8 + 92 -42 × 2-3 + 42 × -23

 

 

Uitwerkingen

2H03.6 Uitwerkingen ..........................................................................................................

1     

 

(-3)2 = -3 × -3 = 9 -32 = - 3 × 3 = -9
(-3)3 = -3 × -3 × -3 = -27 -33 = - 3 × 3 × 3 = -27

 

2     

 

(-2)3 = -2 × -2 × -2 = -8 -23 = -2 × 2 × 2 = -8
(-4)2 = -4 × -4 = 16 -42 = -4 × 4 = -16
(-5)4 = -5 × -5 × -5 × -5 = 625 -54 = -5 × 5 × 5 × 5 = -625
5-2 = \(\color{ red} {\mathsf{ \small{ 1 \over 5^2} } } \) = \(\color{ red} {\mathsf{ \small{ 1 \over 25} } }\) (-3)0 = 1

 

3     

 

(4 + 2)2 + 32 =

    62    + 9 =

    36    + 9 = 45

 

 

(42 - 19)3 - 42 =

(16 - 19)3 - 16 =

    (-3)3   - 16 =

     -27    - 16 = -43

 

4 + 23 : 4 =

4 +  8  : 4 =

4 +     2    = 6

 

-22 × -32 : 6 =

-4  ×  -9  : 6 =

    36      : 6 = 6

 

\(\small{ \mathsf{ -6\ +3^2- \sqrt{5^2 - 3^2} } }\)

\(\color{red}{\small{ \mathsf{ -6\ +9- \sqrt{25 - 9} } }}\)

\(\color{red}{\small{ \mathsf{ -6\ +9- \sqrt{16} } }}\)

\(\color{red}{\small{ \mathsf{ -6\ +9-5 } } }\) = \(\color{red}{\small{ \mathsf{ -2 } }}\)

 

\(\small{ \mathsf{ -\sqrt{13^2 - 12^2}-3^3 } }\)

\(\color{red}{ \small{ \mathsf{ -\sqrt{169 - 144}-27 } } }\)

\(\color{red}{ \small{ \mathsf{ -\sqrt{25}-27 } } }\)

\(\color{red}{ \small{ \mathsf{ -5-27 } } }\) = \(\color{red}{ \small{ \mathsf{ -32 } } }\)

 

\(\small{ \mathsf{ ( \sqrt{5^2 - 3^2})^3:8-7 } }\) =

\(\color{red}{ \small{ \mathsf{ ( \sqrt{25 - 9})^3:8-7 } } }\) =

\(\color{red}{ \small{ \mathsf{ ( \sqrt{16})^3:8-7 } } }\) =

\(\color{red}{ \small{ \mathsf{ (4)^3:8-7 } } }\) =

\(\color{red}{ \small{ \mathsf{ 64:8-7 } } }\) =

\(\color{red}{ \small{ \mathsf{ 8-7 } } }\) = \(\color{red}{ \small{ \mathsf{ 1 } } }\)

\(\small{ \mathsf{ - \sqrt{11+(-3)^2+5} } }\) =

\(\color{red}{ \small{ \mathsf{ - \sqrt{11+ 9 +5} } } }\) =

\(\color{red}{ \small{ \mathsf{ - \sqrt{25} } } }\)= \(\color{red}{ \small{ \mathsf{ - 5 } } }\)

 

 

 

 

4     

 

(52 -32)3 : 82 - 72 = 15 92 + 8 × 9 : 18 = 85
(63 + 3) - 42 = 203 33 : 3 + 2 × (10 - 12)2 = 17
5 × -32 + (22 + 5)2 = 36 19 + (-5)3 + 132 - 73 = -280
5-2 × 103 : 8 + 92 = 86 -42 × 2-3 + 42 × -23 = -130

D-toets

D-toets

2H03.D Diagnostische toets ...........................................................................................

Eindtoets Machten en wortels
Je sluit het thema Machten en wortels af met de eindtoets.

Succes!

Diagnostische toets:Machten en wortels

Herhalingsopgaven

Opgaven

2H03.H opgaven ..................................................................................................................

1    Kwadraten

 

Een kwadraat van een getal krijg je door een getal te vermenigvuldigen met zichzelf.

Een kwadraat wordt ook wel een tweede macht genoemd.

Zo is vijf kwadraatdus 5 × 5; je schrijft 52

52 betekent 5 × 5.
52 = 5 × 5 = 25     

Neem over en vul in:

42 = .... × .... = ... 72 = .... × .... = ...
62 = .... × .... = ... 122 = .... × .... = ...
92 = .... × .... = ... 152 = .... × .... = ...

 

2    Wortels

 

Een wortel is het tegenovergestelde van een macht.

Bij een wortel zoek je naar het getal dat, in het kwadraat, precies het getal geeft dat in de wortel staat.

Zo is de wortel uit 25 dus 5, want 52 = 25.

Je schrijft:  \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{25}=5 } } }\)

Neem over en vul in:

\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{4}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{100}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{9}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{81}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{36}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{169}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{49}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{196}=\dots, want \ \dots\times\dots=\dots} } } \)

 

3    Nog meer wortels

 

Niet alle wortels geven als uitkomst een heel getal.

Met behulp van je rekenmachine kun je ook in dat geval een oplossing vinden.
Je vindt dan een uitkomst met (heel veel) decimalen. Je rondt dan af op het aantal decimalen dat bij de opgaven gevraagd wordt.

[ Moeite met afronden?? Laat dat dan over aan je rekenmachine!
  Kijk even hier om te zien hoe dat werkt ]

Neem over en vul in. Rond af op 2 decimalen.

\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{7}\approx\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{50}\approx\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{13}\approx\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{75}\approx\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{27}\approx\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{150}\approx\dots} } } \)
\(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{39}\approx\dots} } } \) \(\color{blue}{\mathsf{ \small{ \sqrt{250}\approx\dots} } } \)

 

4    Machten

 

Bij een macht gaat het om een herhaalde vermenigvuldiging die heel kort is opgeschreven.

In een macht onderscheiden we een grondtal en een exponent.

De exponent geeft aan hoe vaak het grondtal in de vermenigvuldiging voorkomt.

53 betekent 5 × 5 × 5 en heeft als uitkomst 125

Kort opgeschreven: 53 = 5 × 5 × 5 = 125

Neem over en werk de volgende opdrachten uit:

in 64 is het grondtal ...; de exponent is ... 64 = ....... = ...
in 35 is het grondtal ...; de exponent is ... 35 = ....... = ...
in 56 is het grondtal ...; de exponent is ... 56 = ....... = ...
in 74 is het grondtal ...; de exponent is ... 74 = ....... = ...
in 18 is het grondtal ...; de exponent is ... 18 = ....... = ...
in 29 is het grondtal ...; de exponent is ... 29 = ....... = ...
in 06 is het grondtal ...; de exponent is ... 06 = ....... = ...
in 95 is het grondtal ...; de exponent is ... 95 = ....... = ...

 

5    Bijzondere machten

 

De exponent in een macht kan ook 0 zijn of een negatief getal.

Als de exponent 0 is geeft de macht als uitkomst altijd 1 (onthouden!)*.

Als de exponent een negatief getal is krijg je als uitkomst een breuk.
Zo is \(\small{ \mathsf{ 6^{-3} = {1 \over 6^3} = {1 \over 216} } }\)

Werk de volgende machten uit:

3-3 = ...... = .... 30 = ...... = ....
5-2 = ...... = .... 03 = ...... = ....
8-4 = ...... = .... 4-6 = ...... = ....
2-5 = ...... = .... 9-3 = ...... = ....

* maar over 00 is nog wel wat discussie mogelijk ....

 

6    Negatieve getallen en machten

 

Je kunt ook negatieve getallen als grondtal gebruiken in een macht. Het is dan wel belangrijk dat je het negatieve getal tussen haakjes zet! Als je de haakjes vergeet, dan gaat de macht vóór het minteken (rekenvolgorde).

Bijvoorbeeld:

de vierde macht van -3 schrijf je als (-3)4

(-3)4 = -3 × -3 × -3 × -3 = 81

Als je de haakjes vergeet wordt het:

-34 = - 3 × 3 × 3 × 3 = -81   Dit is de vierde macht van 3, met een minteken ervoor.

Werk de volgende machten uit:

(-4)2 = ....... = ... -42 = ....... = ...
(-5)3 = ....... = ... -53 = ....... = ...
(-2)6 = ....... = ... -26 = ....... = ...
(-7)3 = ....... = ... -73 = ....... = ...

 

7    Rekenvolgorde

 

Er zijn duidelijke afspraken over de volgorde waarin je berekeningen maakt.

Bij het rekenen moet je deze rekenvolgorde hanteren:

  • H: eerst doe je wat binnen haakjes staat;

  • MW: vervolgens machten en wortels van links naar rechts;

  • VD: daarna vermenigvuldigen en delen van links naar rechts;

  • OA: tenslotte optellen en aftrekken van links naar rechts.

Je ziet dat machten en wortels gelijkwaardig zijn, dat hetzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delen en optellen en aftrekken. Met haakjes kun je de volgorde beïnvloeden: wat daarbinnen staat doe je eerst.

Ezelsbrug nodig? Bijvoorbeeld: "Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland" als je dit gebruikt als H-MW-VD-OA.

Een voorbeeld:

\(\small{ \mathsf{ 23-\sqrt{5^2 + 12^2} + (-4)^3=}}\)

\(\small{ \mathsf{ 23-\sqrt{25 + 144} + -64=}}\)

\(\small{ \mathsf{ 23-\sqrt{169}\ \ \ \ -\ \ \ 64=}}\)

\(\small{ \mathsf{ 23\ \ -\ \ 13 \ \ -\ \ \ 64 =\ \ -54}}\)

Werk nu de volgende opaven uit. Noteer de tussenstappen onder elkaar!

\(\small{ \mathsf{ \sqrt{25} +(15-6)^2 + (-3)^4=}}\)
\(\small{ \mathsf{ 16 +\sqrt{13^2 + 5^2} - (-3)^3 =}}\)
​\(\small{ \mathsf{7^3 + (-6)^3 + \sqrt{ 17^2 -15^2} =}}\)​
​\(\small{ \mathsf{-7^2 + (\sqrt{25^2-24^2})^2=}}\)​
​\(\small{ \mathsf{\sqrt{64} - 4^2 + (11-14)^5=}}\)​

 

Uitwerkingen

2H03.H Uitwerkingen ..........................................................................................................

 

Extra opgaven I

Opgaven

3H03.E-I Extra opgaven .........................................................................................

1    Kwadraten

 

Bereken.

3² = .... 11² = ....
6² = .... 20² = ....
82 = .... 14² = ....
2² = .... 13² = ....

 

 

2    Samengestelde berekeningen 1

 

Bereken.

3² + 9 = .... 6 × 5 + 3² = ....
5² - 6 = .... 6² : 3 = ....
4² + 9² = .... (3 + 4)² = ....
10² + 7² = .... (8 - 4)² = ....

 

 

 

 

 

 

 

3    Wortels

 

Bereken.

√36 = .... √25 = ....
√49 = .... √64 = ....
√81 = .... √1 = ....
√121 = .... √144 = ....

 

 

4    Samengestelde berekingnen 2

 

Bereken.

5³ + 24 = .... √121 + 7³ = ....
6² + 54 = .... 6³ - √25 = ....
9² - 34 = .... (4 + 10)² + √16 = ....
44 - 7² = .... √81 × √81 = ....

 

 

5    Vierkant

 

Bekijk het vierkant hiernaast.

  1. Met welke formule kun je de oppervlakte van het vierkant berekenen?

  2. Neem onderstaande tabel over en vul hem verder in.

a  1 2 3 4 5 6 7 8
oppervlakte  .... .... .... .... .... .... .... ....

 

 

 

6    Vergelijken

 

Bereken de uitkomsten en vul daarna in < of >.

9² .... √100 (5 + 7)² .... 5 × 7²
56 .... 8³ 12² .... √121
√49 .... 3² 64 .... (6 + 6)²
10.000 .... 210 4² .... √169

Uitwerkingen

2H03.E-I Uitwerkingen .............................................................................................

1     

 

3² =   9 11² = 121
6² = 36 20² = 400
82 = 64 14² = 196
2² =   4 13² = 169

 

2     

 

3² + 9 = 18 6 × 5 + 3² = 39
5² - 6 = 19 6² : 3 = 12
4² + 9² = 97 (3 + 4)² = 49
10² + 7² = 149 (8 - 4)² = 16

 

 

 

 

 

 

3     

 

√36 = 6 √25 = 5
√49 = 7 √64 = 8
√81 = 9 √1 = 1
√121 = 11 √144 = 12

 

4     

 

5³ + 24 = 141 √121 + 7³ = 354
6² + 54 = 661 6³ - √25 = 211
9² - 34 = 0 (4 + 10)² + √16 = 2000
44 - 7² = 207 √81 × √81 = 81

 

5     

 

  1. oppervlakte = (5 + a)²
  2.  
a 1 2 3 4 5 6 7 8
oppervlakte  36 49 64 81 100 121 144 169

 

6     

 

9²  >  √100

81 > 10

 

(5 + 7)²  <  5 × 7²

144  <  245

 

56  > 8³

15625 > 512

 

12²  >  √121

144 > 121

 

√49  <  3²

7 < 9

 

64  >  (6 + 6)²

1296 > 144

 

10.000  >  210

10.000  > 1024

4²  >  √169

16  >  13

 

 

Extra: rekenvolgorde

Uitleg

2H03.R Rekenvolgorde Math4all ..................................................................................LogoM4Ainvlak.gif

Bij het rekenen moet je deze rekenvolgorde hanteren:

  • H: eerst doe je wat binnen haakjes staat;

  • MW: vervolgens machten en wortels van links naar rechts;

  • VD: daarna vermenigvuldigen en delen van links naar rechts;

  • OA: tenslotte optellen en aftrekken van links naar rechts.

Je ziet dat machten en wortels gelijkwaardig zijn, dat hetzelfde geldt voor vermenigvuldigen en delen en optellen en aftrekken. Met haakjes kun je de volgorde beïnvloeden: wat daarbinnen staat doe je eerst.

Ezelsbrug nodig? Bijvoorbeeld: "Heel Mooi Weer VanDaag Op Ameland" als je dit gebruikt als H-MW-VD-OA.

 

Bekijk ook de volgende video's over rekenvolgorde:

              

Via onderstaande link vind je nog meer uitleg over de rekenvolgorde.

Ook nog een aantal extra oefeningen. Daarbij wel de antwoorden, maar (helaas) niet de tussenstappen. Die moet jij er wel bij zetten!

 

Klik hier voor het extra materiaal

Opgaven

2H03.Rekenvolgorde Opgaven .............................................................................................

1    Berekenen

 

5 + 2 × 4 =

(10 − 2) × 3 =

5 × 5 + 3 =

20 − 8 × 2 =

 

2    Sparen

 

Evert brengt folders rond.
Hij verdient hiermee €4,- per week.
Evert krijgt €5,- zakgeld per week.
Evert spaart al het geld dat hij verdient/krijgt.
Hoeveel spaart Evert per jaar? Schrijf de berekening op.

 

3    Volgorde

 

Reken uit. Doe de opgaven eerst zonder rekenmachine en notee de tussenstap(-pen).
Controleer je antwoorden met je rekenmachine.

31 + 2 × 5 = … = …   6 + 4 × 8 + 2 = … = …
3 × 4 − 1 = … = …   (6 + 4) × 8 + 2 = … = …
(12 – 3) × 2 = … = …   6 + 4 × (8 + 2) = … = …
6 × (3 + 2) = … = …   (6 + 4) × ( 8 – 6) = … = …

 

 

4    Vierkant

 

Bekijk de kaart.
Aan een tafel zitten 4 mensen.
Ze bestellen allemaal een tomatensoep,
een pizza en een Coppa di Mascarpone.
Hoeveel moeten ze samen afrekenen.
Schrijf je berekening op.

 

 

 

 

 

5    Flippo's

 

Flippo’s zijn ronde schijfjes met daarop vier getallen.

 

De bedoeling is dat je met de vier getallen op de
flippo de uitkomst 24 maakt.
Je mag optellen, aftrekken, vermenigvuldigen
of delen. Je moet wel alle vier de getallen
gebruiken. Werken met haakjes mag.
Hier zie je drie flippo’s.
Lukt het je om met de getallen 24 als uitkomst te maken?

Flippo 1:   …
Flippo 2:   …
Flippo 3:   …

 

Uitwerkingen

2H03.Rekenvolgorde Uitwerkingen ..................................................................................

1     

 

5 + 2 × 4 = 5 + 8 = 13

(10 − 2) × 3 = 8 × 3 = 24

5 × 5 + 3 = 25 + 3 = 28

20 − 8 × 2 = 20 − 16 = 4

 

2     

 

52 × (4 + 5) = 52 × 9 = € 468,-

 

3     

 

31 + 2 × 5 = 31 + 10 = 41

     6 + 4 × 8 + 2 = 6 + 32 + 2 = 40
3 × 4 − 1 = 12 − 1 = 11   (6 + 4) × 8 + 2 = 10 × 8 + 2 = 82
(12 – 3) × 2 = 9 × 2 = 18   6 + 4 × (8 + 2) = 6 + 4 × 10 = 46
6 × (3 + 2) = 6 × 5 = 30   (6 + 4) × (8 – 6) = 10 × 2 = 20

 

4     

 

4 × (2,00 + 7,50 + 3,20) = 4 × 12,70 = € 50,80

 

5     

 

Flippo 1: 58 oplossingen

1: (2*(2+6))+8       2: (2+(2*8))+6       3: 2+((2*8)+6)       4: (2+6)+(2*8)

5: 2+(6+(2*8))       6: ((2+6)*2)+8       7: (2-6)*(2-8)         8: (2*(6+2))+8

9: 2*((6-2)+8)       10: 2*(6-(2-8))      11: (2+6)+(8*2)       12: 2+(6+(8*2))

13: 2*((6+8)-2)     14: 2*(6+(8-2))     15: (2+(8*2))+6       16: 2+((8*2)+6)

17: (2-8)*(2-6)      18: ((2*8)+2)+6    19: (2*8)+(2+6)       20: 2*((8-2)+6)

21: 2*(8-(2-6))      22: ((2*8)+6)+2    23: (2*8)+(6+2)       24: 2*((8+6)-2)

25: 2*(8+(6-2))     26: (6+2)+(2*8)    27: 6+(2+(2*8))       28: ((6+2)*2)+8

29: (6+2)+(8*2)    30: 6+(2+(8*2))    31: (6+(2*8))+2       32: 6+((2*8)+2)

33: ((6-2)+8)*2     34: (6-(2-8))*2      35: (6-2)*(8-2)         36: ((6+8)-2)*2

37: (6+(8-2))*2     38: (6+(8*2))+2    39: 6+((8*2)+2)       40: 6*(8-(2+2))

41: 6*((8-2)-2)      42: 6*(8-(2*2))      43: 8+(2*(2+6))       44: (8-(2+2))*6

45: ((8-2)-2)*6      46: (8-(2*2))*6      47: ((8*2)+2)+6       48: (8*2)+(2+6)

49: 8+((2+6)*2)    50: 8+(2*(6+2))     51: ((8-2)+6)*2       52: (8-(2-6))*2

53: (8-2)*(6-2)      54: ((8*2)+6)+2     55: (8*2)+(6+2)      56: 8+((6+2)*2)

57: ((8+6)-2)*2     58: (8+(6-2))*2  

 

Flippo 2: 42 oplossingen:

 

  1: ((2+4)*5)-6         2: (2*(4+5))+6       3: (2*(5+4))+6        4: ((4+2)*5)-6

  5: 4-((2-6)*5)         6: ((4+5)*2)+6        7: 4-(5*(2-6))          8: ((4*5)-2)+6     

  9: (4*5)-(2-6)       10: 4+(5*(6-2))        11: ((4*5)+6)-2       12: (4*5)+(6-2)

13: 4+((6-2)*5)       14: (5*(2+4))-6       15: ((5+4)*2)+6      16: (5*(4+2))-6

17: ((5*4)-2)+6       18: (5*4)-(2-6)        19: ((5*4)+6)-2       20: (5*4)+(6-2)

21: (5*(6-2))+4       22: (5*6)-(2+4)       23: ((5*6)-2)-4        24: (5*6)-(4+2)

25: ((5*6)-4)-2        26: 6+(2*(4+5))      27: (6-2)+(4*5)      28: 6-(2-(4*5))

29: 6+(2*(5+4))      30: (6-2)+(5*4)       31: 6-(2-(5*4))       32: ((6-2)*5)+4

33: 6+((4+5)*2)      34: (6+(4*5))-2       35: 6+((4*5)-2)      36: (6*5)-(2+4)

37: ((6*5)-2)-4        38: 6+((5+4)*2)      39: (6+(5*4))-2      40: 6+((5*4)-2)

41: (6*5)-(4+2)       42: ((6*5)-4)-2     

 

Flippo 3: 4 oplossingen

  1: (2*(5+8))-2          2: (2*(8+5))-2          3: ((5+8)*2)-2       4: ((8+5)*2)-2   

 

Rekenmachine

Wortels en kwadraten

Wortels en kwadraten ..................................................................................................................

Machten en machtswortels

Machten en machtswortels ................................................................................................

 

 

Thema-opdracht

Vooraf

2H03.T Vooraf ..............................................................................................................
Lees voor je begint de werkwijzer een keer helemaal door.

Tijd
Voor de afronding van het thema heb je 1 lesuur nodig. Het eindproduct maak je samen met een klasgenoot.

Benodigheden
(Kleur)potloden, stiften, schaar, lijm, karton, plakband, ... voor het maken van het eindproduct.

Stap 1

2H03.T Stap 1 ...............................................................................................................
In de inleiding heb je het verhaal over de uitvinding van het schaakbord gelezen. Lees het verhaal eventueel nog een keertje. In de tabel hieronder zie hoeveel graankorrels op de de eerste zes velden komen.
Reken nu ook uit hoeveel graankorrels er op het zevende veld komen. En op het achtste veld. En op het negende en tiende veld. Reken ook eens uit hoeveel graankorrels er op het 20ste veld komen. Kun je dat getal uitspreken?

Het aantal graankorrels dat op het 64ste veld van het schaakbord komt, is een getal van 20 cijfers. Zoveel graankorrels zitten er niet in één zakje graan.

Het verhaal over de uitvinding van het schaakspel liep niet goed af voor de uitvinder van het spel. Toen de koning hoorde wat de uitvinder wilde hebben, lachte hij nog en zei hij: 'Is dat echt alles wat je wilt hebben?' Maar toen bleek dat de koning niet genoeg graan had om Sissa Ben Dahir te betalen, werd hij heel boos. Hij werd zo boos dat hij Sissa Ben Dahir in de gevangenis liet gooien om hem er nooit meer uit te laten......

 

Stap 2

2H03.T Stap 2 ...................................................................................................................
Je gaat aan de slag met het maken van het eindproduct. Je mag samen met een klasgenoot een eindproduct bedenken. Natuurlijk moeten machten en/of wortels een rol spelen in het eindproduct.

Tip:
Zoek op internet allerlei afbeeldingen waarin machten en wortels voorkomen. Maak met deze afbeeldingen een collage met als titel 'Machten en wortels'.

Tip:
Maak een kruiswoordraadsel. De omschrijvingen zijn sommen waarin machten en wortels voorkomen. De antwoorden moet je invullen.

Zijn jullie klaar met het eindproduct?
Laat het eindproduct dan beoordelen door jullie docent.

Alle uitleg bij elkaar

Kwadraten

2H03 Kwadraten - uitleg ........................................................................................................

De zijden van dit vierkant zijn 6.
De oppervlakte van het vierkant is 6 × 6 = 36.

In plaats van 6 × 6 schrijf je ook wel 6².
Je spreekt dit uit als 'zes-tot-de-tweede' of
'zes kwadraat'.

Op de meeste rekenmachines heb je een speciale toets () voor kwadraten:

4 36

De volgende kwadraten moet je uit je hoofd kunnen uitrekenen:

1² = 1 ­ ­ 3² = 9 5² = 25 7² = 49 ­ ­ 9² = 81 11² = 121 13² = 169 15² = 225 25² = 625
2² = 4 4² = 16 6² = 36 8² = 64 10² = 100 12² = 144 14² = 196 20² = 400

 

Let op: bij het rekenen gaat kwadrateren voor vermenigvuldigen, delen, optellen en aftrekken.

Voorbeelden:

8 + 3² =
8 + 9 = 17		 30 – 5² =
30 – 25 = 5		 3² + 4 × 2 =
9 + 8 = 17

 

Reken wel altijd eerst uit wat tussen haakjes staat:

(4 + 2)² =

    6²     = 36


Controleer de berekeningen hierboven met je rekenmachine.

 

Jelmer heeft een vierkante kamer.
Er passen precies 7 tapijttegels naast elkaar op de vloer.
Hij heeft dus 7 × 7 = 7² = 49 tegels in zijn kamer.
Ga na of dat klopt.




De tegels zijn ook vierkant en hebben zijden van 50 cm = 0,5 m.
De oppervlakte van één tegel is 0,5 × 0,5 = 0,25 m².
(m² spreek je uit als: vierkante meter)

De lengte van de kamer is 7 tegels, dus 7 × 0,5 m = 3,5 m.
De oppervlakte van de kamer is 3,5 × 3,5 = 3,5² = 12,25 m².

 
 
Een rechthoek bestaat uit twee delen:
een vierkant en een rechthoek.

Het vierkant is a bij a.
De rechthoek is 2 bij a.

De totale oppervlakte van de rechthoek is a² + 2 × a

Voor verschillende waarden van a kun je de oppervlakte uitrekenen.

Als a = 3 dan is de oppervlakte 3² + 2 × 3 = 9 + 6 = 15

Als a = 4,5 dan is de oppervlakte 4,5² + 2 × 4,5 = 20,25 + 9 = 29,25

Als a = 20 dan is de oppervlakte 20² + 2 × 20 = 400 + 40 = 440

Wortels

2H03 Wortels - uitleg ...........................................................................................................

Het vierkant heeft een oppervlakte van 16.

De zijde van het vierkant is 4, want 4 x 4 = 16

Je zegt de wortel van 16 is 4.
Je schrijft √16 = 4


De volgende wortels moet je uit je hoofd kunnen uitrekenen:
√1 = 1 ­ ­ √9 = 3 ­ ­ ­ ­ √25 = 5 ­ ­ √49 = 7 ­ ­ √81 = 9 ­ ­
√4 = 2 ­ ­ √16 = 4 ­ ­ √36 = 6 ­ ­ √64 = 8 ­ ­ √100 = 10

 

Dit vierkant heeft een oppervlakte van 5 cm².
De zijde van het vierkant is √5.
√5 is geen geheel getal.
Het antwoord ligt tussen 2 en 3.
Met je rekenmachine benader je √5 zo:

toets eerst in: *   als antwoord krijg je dan: √5

Dat lijkt niet op te schieten! Ligt aan de instellingen van je rekenmachine.

Maar je lost het als volgt op: druk 1 maal op de wisseltoets:
en je krijgt als uitkomst: 2,236067978.
Afgerond op 2 decimalen wordt dat dan: √5 ≈ 2,24

 

* De functie worteltrekken staat boven de kwadraattoets.

 

Hieronder zie je twee vijvers getekend.
De zijden van de linker vijver zijn 2 m.
De oppervlakte is dus:

2 × 2 = 2² = 4 m²

 


De rechter vijver is twee keer zo groot.
De oppervlakte is dus 8 m².
De zijde van de rechter vijver is dus:

√8 ≈ 2,828 m

 

De bewerkingen 'kwadrateren' en 'worteltrekken' werken na elkaar:

  • startgetal → → ... → → uitkomst

 

Met welk getal je ook begint, de uitkomst is steeds hetzelfde als het begingetal.
Ga na of dat klopt.

Begin bijvoorbeeld maar met het getal 9. Wat is de uitkomst?
Begin ook eens met het getal 17. Wat is nu de uitkomst?

De bewerkingen 'kwadrateren' en 'worteltrekken' zijn elkaars tegenovergestelde.

Het kan dus ook andersom:

  • startgetal → → ... → → uitkomst

Machten

2H03 machten - uitleg ...........................................................................................................

De ribben van de kubus zijn 6 lang.
De inhoud van de kubus is 6 × 6 × 6 = 216

In plaats van 6 × 6 × 6 schrijf je ook 6³.
Je spreekt dit uit als 'zes-tot-de-derde'
of de 'derdemacht van 6'.

Bij de inhoud van een figuur spreek je van
kubieke centimeter*.
Je schrijft cm³.

 

* of een andere inhoudsmaat

 

In plaats van 7 × 7 × 7 × 7 × 7 schrijf je 75.
Je spreekt dit uit als 'zeven-tot-de-vijfde' of de 'vijfdemacht van 7'.

Op je rekenmachine heb je een speciale toets voor machten:
7 5 16807

In plaats van 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 schrijf je 210.
Je spreekt dit uit als 'twee-tot-de-tiende' of de 'tiendemacht van 2'.

2 10   1024

Ga met je rekenmachine na of de berekeningen kloppen.

 

Grote getallen schrijf je vaak als machten van 10.

honderd = 100 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 10 × 10 = 10²

duizend = 1000 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 10 × 10 × 10 = 10³

miljoen = 1000000 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 106

miljard = 1000000000 ­ ­ ­= 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 109

 

Bekijk de machten van 2 en 5.
twee

twee kwadraat:  ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 2² = ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 2 × 2 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 4
twee tot de derde macht:  ­ ­ ­ ­ ­ ­ 2³ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 2 × 2 × 2 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 8
twee tot de vierde macht:  ­ ­ ­ ­ ­ 24 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 2 × 2 × 2 × 2 ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 16 enzovoorts

vijf

vijf kwadraat:  ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 5² = ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 5 × 5 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 25
vijf tot de derde macht:  ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 5³ = ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 5 × 5 × 5 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 125
vijf tot de vierde macht:  ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 54 = ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ 5 × 5 × 5 × 5 ­ ­ ­ ­ ­ ­ = 625 enzovoorts

Bijzondere machten

2H03 Alle uitleg bij elkaar - bijzondere machten .......................................................................

Bekijk het volgende rijtje machten:

 

 

 

 

 

 

 

Je ziet: telkens als de exponent 1 kleiner wordt, deel je de uitkomst door 3

(of: telkens als je door 3 deelt wordt de exponent 1 kleiner)

 

Als we, op dezelfde manier, dit rijtje verder naar beneden uitbreiden, dan krijg je:

   

 

 

 

 


  Je kunt dus ook spreken van een "eerste" macht en

  van een "nulde" macht

Dit geldt bij machten van elk grondtal, behalve bij het grondtal 0.

 

We kunnen zo zelfs het rijtje nog verder uitbreiden met negatieve exponenten:

 

 

Op die manier krijg je breuken.

 

     \(\small{ \mathsf{ 3^{-1} ={1\over3^1}={1\over3} } }\)

     \(\small{ \mathsf{ 3^{-2} ={1\over3^2}={1\over9} } }\)

 

Ook dit mag je toepassen bij alle grondtallen, behalve bij grondtal 0.

Een paar voorbeelden:

71 = 7

40 = 1

5-2 = 125

( = 152

)

01 = 0

 

Maar:

0-1 bestaat niet!  (Waarom eigenlijk niet?)

 

Bewerkingen met nagatieve getallen

Je kunt vermenigvuldigen met negatieve getallen.

Voorbeelden: ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ Onthoud:

  • 3 ×× 4 = 12 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ positief × positief = positief

  • 3 × -4 = -12 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ positief × negatief = negatief

  • -3 × 4 = -12 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ negatief × positief = negatief

  • -3 × -4 = 12 ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ negatief × negatief = positief

 

Machten van negatieve getallen

2H03 Alle uitleg bij elkaar - machten van negatieve getallen ........................................................

Ook van negatieve getallen kun je machten uitrekenen.

Belangrijk is daarbij de manier waarop je dat noteert.

 

Stel, je wilt de 4e macht van 3 uitrekenen.

Je schrijft dan:  (-3)4

(-3)4  = -3 × -3 × -3 × -3 = 81

 

Op je rekenmachine voer je in:

De haakjes bij machten van negatieve getallen zijn heel belangrijk!

Als je ze weglaat, en dus noteert:  -34 , dan betekent dit iets heel anders!

Omdat machtsverheffen gaat voor de bewerking - of + betekent

-34 = - ( 3 × 3 × 3 × 3 ) = -81

 

Je mag het ook zó opschrijven:

-34 = -3 × 3 × 3 × 3 = -81

 

Ook op je rekenmachine moet je de berekeningen goed invoeren!

 

Bij even exponenten van negatieve getallen is de uitkomst altijd een positief getal.

bij oneven exponenten van negatieve getallen is de uitkomst altijd een negatief getal.

Voorbeelden:

(-2)2 = 4 (-2)3 = -8 -24 = -16
(-5)4 = 625 (-5)5 = -3125 -54 = -625
(-4)6 = 4096 (-4)7 = -16384 -46 = -4096
(-7)4 = 2401 (-7)3 = 343 -74 = -2401
(-6)6 = 46656 (-6)5 = -7776 -66 = -46656