vergelijkingen met 2 onbekenden
In de Wiskunde lessen van het voortgezet onderwijs zijn vergelijkingen behandeld. In het begin waren dit lineaire vergelijkingen en later werden dit kwadratische vergelijkingen. Deze laatste komen in de volgende paragraaf aan de orde en we gaan ons nu beperken tot de lineaire vergelijkingen.
In het plaatje hierboven is een plaatje van een lineaire vergelijking te zien. En we zien hier een lijn. Maar soms is het hebben van een plaatje niet handig. Zeker niet wanneer je verder moet rekenen. Een plaatje kan bijvoorbeeld wel een uitkomst zijn wanneer je snel een schatting bij een bepaalde waarde wilt hebben. Je kunt dan snel even kijken.
In het plaatje zien we een assenstelsel. Op de horizontale as (liggend) staat normaal de X-waarde en de Y-waarde staat dan op de verticale as (staand). Deze X-waarde is variabel en kan jezelf kiezen en de Y-waarde i de uitkomst van de vergelijking. Dat lijkt moeilijk maar wanneer we naar het plaatje kijken dan zien we dat bij X=0 een Y-waarde hoort van -4. Ook zien we dat bij X=3 een Y-aarde van 0 hoort. En door de punten (0,-4) en (3,0) is een rechte lijn getekend, we hebben hier dus een uitwerking vn een lineaire vergelijking. De bijbehorende vergelijking is 4/3 X - 4 = Y.
Maar met een enkelvoudige lijn is er weinig te vergelijken. Daarvoor heb je immers minimaal 2 vergelijkingen nodig.
In de afbeelding links zien we een twee lijnen die een snijpunt hebben. De vergelijkingen van de lijnen zijn x+2y=5 en 2x+y=4. Dit niet helemaal in de standaardvorm geschreven, maar wanneer we dat wel doen zien we -1/2x+5/2=y en -x+2=y. Beide notaties geven dezelfde gafiek zoals we links zien.
In deze grafiek kunnen we oom eenvoudig zien dat het snijpunt ligt op het punt (1,2). Maar kunnen we dit ook berekenen. Het antwoord is ja en wel met behulp van 2 verschillende methoden.
De eliminatiemethode.
Door een handige combinatie van twee vegelijkingen elimineer je (werk je weg) één van de variabelen, een X of een Y. Bijvoorbeeld onze 2 uit het voorbeeld:
| x+2y=5 |
|*2| |
=> |
2x+4y=10 |
| 2x+y=4 |
|*1| |
=> |
2x+y=4 |
| |
|
|
------------- -- |
| |
|
|
3y=6 => y=2 |
Deze Y-waarde kun je invullen in één van de vergeijkingen. Je krijgt dan x+2*2=5 => x=1. Het snijpunt is dus het punt (1,2).
In het volgende voorbeeld staan de vergelijkingen in de standaardvorm. Maar de oplossingsmethode blijft wel gelijk.
Invullen van x geeft y = 6, dus het snijpunt van de twee lijnen is (1/2, 6)
Als beide vergelijkingen niet in de standaardvorm staan, dan kunnen we ze in de standaardvorm schrijven,
maar we kunnen het ook als volgt doen.
Invullen van x = 3 in één van de twee vergelijkingen geeft y = 2. Snijpunt (3,2).
De substitutiemethode.
Je maakt x vrij uit de ene vergelijking: x+2y=5 <=> x=5-2y. In de andere vergeijking vervang je de x door 5-2y en je berekent y. Dus 2(5-2y)+y=4 <=> 10-4y+y=4 <=> -3y=4-10 <=> -3y=-6 <=> y=2.
Nu vul je deze waarde voor y in in een andere vergelijking en je vindt een waar de x, dus x+2y=5 <=> x+2*2=5 <=> x+4=5 <=> x=5-4 <=> x=1. En daarmee hebben we dus weer hetzelfde snijpunt (1,2) gevonden.
Wanneer we het derde voorbeeld ook via substitutie oplossen krijgen we de volgende oplossing:
3x=2y+5 en 2x+y=8 we gebruiken de tweede vergelijking en halen hier een waarde voor y uit: 2x+y=8 <=> y=8-2x.
Dit vullen we in in de eerste vergelijking en er ontstaat: 3x=2y+5 => 3x=2(8-2x)+5 <=> 3x=16-4x+5 <=> 3x=21-4x <=> 7x=21 <=> x=3. En vullen we deze X-waarde weer in in een vergelijking geeft dat een Y-waarde van 2, waarmee het snijpunt op (3,2) zit.
Let op!
Er zijn ook combinaties van vergelijkingen die geen oplossing hebben of juist heel veel oplossingen.
x+y=2
x+y=1
--------- -
0=1 |
Hier is geen oplossing mogelijk.
De twee lijnen zijn evenwijdig.
Er is geen snijpunt. |
|
2x-y=1
2x-y=1
--------- -
0=0 |
Hier zijn oneindig veel oplossingen
De twee lijnen vallen samen.
Ieder punt van de lijn is een
oplossing |
Maak nu de opgaven.
--} opgaven
kwadratische vergelijking 1
Een kwadratische vergelijking, 'Wat moet ik er mee!'. Een veel gehoorde kreet en wanneer we zoeken op het internet dan vliegen ons de uitwerkingen om de oren. Maar het nut er van?
Stel je wilt weten wat de snelheid is van Max Verstappen bij de eerste bocht na de start in Monaco? Of wanneer de politieagent wil weten wat de snelheid van de auto was na het meten van een remspoor? Voor de eerste kunnen we volstaan met een de formule en enkele meetwaarde:
versnelling = het verschil in snelheden / het verschil in tijd
En met deze moeilijk uitziende formule kunnen we dan een kwadratische vergelijking opzetten. We kunnen er ook mee bewijzen hoe de eenheden ontstaan en waarom er een kwadraat in de tijd bij een versnelling zit.
Factoren en Dubbelproduct
Een kwadraat is een vermenigvuldiging van twee getallen, 1x3, 5x8 of 2x2. En alleen wanneer het linker en het rechter getal gelijk zijn noemen we dit ook wel een kwadraat.
Maar in de vorige paragraaf hebben we geleerd dat een getal ook een uitkomst kan zijn van een lieaire vergelijking. Bijvoorbeeld x+4=y en wanneer we dan x=-2 invullen krijgen we als antwoord een 2. Nu weten we dat we 2x2 ook mogen schrijven als 22 en dat daar 4 uit komt. Wanneer we nu nog een stapje verder gaan en dan de 2 gaan vervangen door x+4 mogen we dan ook schrijven (x+4)2?
Het antwoord is ja, mits we voor de x een -2 invullen! En dit gaan we uit werken.
Van (x+4)2 weten we dat er 4 uitkomt dus (x+4)2=4 kunnen we ook herschrijven naar (x+4)*(x+4)=4.
En hiermee zien we dat het kwadraat bestaat uit twee factoren, een linker en een rechter, die eigenlijk ook nog een kleine lineaire vergelijking zijn. Dat de linker- en de rechterfactor in een kwadratische vergelijking gelijk zijn is niet altijd het geval.
Bij het uitwerken van deze vergelijking ontstaat dan een 'Dubbelproduct'.Om dit te begrijpen zal ik alle stappen laten zien:
- (x*x+x*4)+(4*x+4*4)=4 -> ontstaat door de linker 'x' te vermenigvuldigen met de 'x' en de 4 uit de rechter factor.
- (x2+4x)+(4x+42)=4 -> netjes maken voor de volgende stap
- x2+4x+4x+16=4
- x2+8x+16=4 -> optellen wat je kunt op tellen en nu 4 veranderen in een 0
- x2+8x+16-4=0
- x2+8x+12=0 -> en dit is de eindstap nadat we het mini sommetje 16-4 hebben verwerkt.
Binnen deze uitwerking is hiermee '8x' dus het dubbelproduct van (x+4)2.
Nog even checken wat de uitkomst is wanneer x=-2. De x invullen geeft (-2)2+8*(-2)+12=0 => 4-6+12=0 => 0=0. Dus het klopt nog steeds en we kunnen zeggen dat: Als x=-2 dan is (x+4)2=4.
Tweedegraadsvergelijking factoren zoeken en nul stellen
x2=3-2x is een tweedegraadsvergelijking die afhankelijk is van x. Het kwadraat van de x2 is hierbij verantwoordelijk voor de naam. Om deze op te lossen moeten we eerst alles aan de linkerkant van de '=' zetten zodat er hier alleen maar een '0' overblijft. Dus x2=3-2x <=> x2+2x-3=0 <=> (x+3)*(x-1)=0.
Omdat het product van twee factoren alleen maar 0 kan zijn wanneer één van de factoren nul is kunnen we nu zoeken wanneer x+3=0 en x-1=0. Bij x=-3 krijgen we dan het sommetje (-3+3)*(x-1)=0 => 0*(x-1)=0 => 0=0. En bij x=1 krijgen we een soort gelijke oplossing. Dus x=-3 en x=1 zijn oplossingen. Hieronder volgen nog meer voorbeelden en zie hier de werkwijze te ontdekken:
Let op!
Niet goed is: x2+4x=0 => x+4=0. Je bent nu de oplossing x=0 kwijt! Wat wel goed is staat in voorbeeld 4.
Maak nu de opgaven.
Maar wat gaat er dan mis in de volgende ontbinding in factoren?
Wat gaat en waar gaat het hier in het voorbeeld links nu mis? Want in de zesde regel staat klink-klare-nonsens!
Maar we hebben ons gehouden aan alle regels van het ontbinden in factoren. Gelijken buiten de haakjes gehaald en gebruik gemaakt van het merkwaardig product. Allemaal ged en aardig maar de uitkomst is fout!
Waar gaat het fout en waarom?
--} opgaven
kwadratische vergelijking 2
De abc-formule kan een heel handig hulpmiddel zijn in het oplossen van kwadratische vergelijkingen. Soms is het ontbnden in factoren lastig of zelfs helemaal niet mogelijk. Deze ingewikkeld uitzende formule kan dan je 'grootste vriend' zijn.
Zo is het ontbinden in factoren van 2x2+3x-2=0 <=> (2x-1)*(x+2)=0 misschien niet gemakkelijk. Maar nog moeilijker wordt het het x2-5x+1=0. In dit geval geeft de abc-formule je wel een uitkomst. Maar eerst de standaardvorm van een kwadratische vergelijking even uitleggen.
En wanneer we nu met deze drie waarden voor a, b en c de formule gaan invullen krijgen we de volgende uitwerking:
Dit zijn inderdaad lastige getallen te vinden en wanneer we dit dan weer terug zetten in factoren dan zien ook wel waarom: (x+0,21)*(x+4,79)=0.
Het deel onder het wortelteken: b2-4ac wordt in de wiskunde ook wel de discriminant genoemd. Of kortweg D. En de uitkomst van dit simpele rekenmmetje kan je veel werk besparen. Want aan de waarde van D kunnen we zien hoeveel oplossingen de vergelijking heeft.
Als D>0, dan zijn er 2 oplossingen.
Als D=0, dan is er één oplossingen.
Als D<0, dan zijn er geen oplossingen.
Controleren we bijvoorbeeld ons voorbeeld nog eens dan zien we dat 'onze' discriminant hier 4,58 was en daarmee groter dan 0. En dus moesten er 2 oplossingen zijn en die hebben we ook gevonden.
Voorbeelden
Let op!
Zet de vergelijkingen wel altijd in de goede standaarvorm!
Dus 2x-x2+1=5 <=> x2+2x-4=0
Maak nu de opgaven.
--} opgaven
