In de Wiskunde lessen van het voortgezet onderwijs zijn vergelijkingen behandeld. In het begin waren dit lineaire vergelijkingen en later werden dit kwadratische vergelijkingen. Deze laatste komen in de volgende paragraaf aan de orde en we gaan ons nu beperken tot de lineaire vergelijkingen.
In het plaatje hierboven is een plaatje van een lineaire vergelijking te zien. En we zien hier een lijn. Maar soms is het hebben van een plaatje niet handig. Zeker niet wanneer je verder moet rekenen. Een plaatje kan bijvoorbeeld wel een uitkomst zijn wanneer je snel een schatting bij een bepaalde waarde wilt hebben. Je kunt dan snel even kijken.
In het plaatje zien we een assenstelsel. Op de horizontale as (liggend) staat normaal de X-waarde en de Y-waarde staat dan op de verticale as (staand). Deze X-waarde is variabel en kan jezelf kiezen en de Y-waarde i de uitkomst van de vergelijking. Dat lijkt moeilijk maar wanneer we naar het plaatje kijken dan zien we dat bij X=0 een Y-waarde hoort van -4. Ook zien we dat bij X=3 een Y-aarde van 0 hoort. En door de punten (0,-4) en (3,0) is een rechte lijn getekend, we hebben hier dus een uitwerking vn een lineaire vergelijking. De bijbehorende vergelijking is 4/3 X - 4 = Y.
Maar met een enkelvoudige lijn is er weinig te vergelijken. Daarvoor heb je immers minimaal 2 vergelijkingen nodig.
In de afbeelding links zien we een twee lijnen die een snijpunt hebben. De vergelijkingen van de lijnen zijn x+2y=5 en 2x+y=4. Dit niet helemaal in de standaardvorm geschreven, maar wanneer we dat wel doen zien we -1/2x+5/2=y en -x+2=y. Beide notaties geven dezelfde gafiek zoals we links zien.
In deze grafiek kunnen we oom eenvoudig zien dat het snijpunt ligt op het punt (1,2). Maar kunnen we dit ook berekenen. Het antwoord is ja en wel met behulp van 2 verschillende methoden.
De eliminatiemethode.
Door een handige combinatie van twee vegelijkingen elimineer je (werk je weg) één van de variabelen, een X of een Y. Bijvoorbeeld onze 2 uit het voorbeeld:
| x+2y=5 | |*2| | => | 2x+4y=10 |
| 2x+y=4 | |*1| | => | 2x+y=4 |
| ------------- -- | |||
| 3y=6 => y=2 |
Deze Y-waarde kun je invullen in één van de vergeijkingen. Je krijgt dan x+2*2=5 => x=1. Het snijpunt is dus het punt (1,2).
In het volgende voorbeeld staan de vergelijkingen in de standaardvorm. Maar de oplossingsmethode blijft wel gelijk.
Invullen van x geeft y = 6, dus het snijpunt van de twee lijnen is (1/2, 6)
Als beide vergelijkingen niet in de standaardvorm staan, dan kunnen we ze in de standaardvorm schrijven,
maar we kunnen het ook als volgt doen.
Invullen van x = 3 in één van de twee vergelijkingen geeft y = 2. Snijpunt (3,2).
De substitutiemethode.
Je maakt x vrij uit de ene vergelijking: x+2y=5 <=> x=5-2y. In de andere vergeijking vervang je de x door 5-2y en je berekent y. Dus 2(5-2y)+y=4 <=> 10-4y+y=4 <=> -3y=4-10 <=> -3y=-6 <=> y=2.
Nu vul je deze waarde voor y in in een andere vergelijking en je vindt een waar de x, dus x+2y=5 <=> x+2*2=5 <=> x+4=5 <=> x=5-4 <=> x=1. En daarmee hebben we dus weer hetzelfde snijpunt (1,2) gevonden.
Wanneer we het derde voorbeeld ook via substitutie oplossen krijgen we de volgende oplossing:
3x=2y+5 en 2x+y=8 we gebruiken de tweede vergelijking en halen hier een waarde voor y uit: 2x+y=8 <=> y=8-2x.
Dit vullen we in in de eerste vergelijking en er ontstaat: 3x=2y+5 => 3x=2(8-2x)+5 <=> 3x=16-4x+5 <=> 3x=21-4x <=> 7x=21 <=> x=3. En vullen we deze X-waarde weer in in een vergelijking geeft dat een Y-waarde van 2, waarmee het snijpunt op (3,2) zit.
Let op!
Er zijn ook combinaties van vergelijkingen die geen oplossing hebben of juist heel veel oplossingen.
| x+y=2 x+y=1 --------- - 0=1 |
Hier is geen oplossing mogelijk. De twee lijnen zijn evenwijdig. Er is geen snijpunt. |
2x-y=1 2x-y=1 --------- - 0=0 |
Hier zijn oneindig veel oplossingen De twee lijnen vallen samen. Ieder punt van de lijn is een oplossing |
Maak nu de opgaven.
https://www.youtube.com/watch?v=QP-gY4hYI1Q
https://www.youtube.com/watch?v=uiyLXJEVmkU
https://www.youtube.com/watch?v=9PoqPto_8TM
https://www.youtube.com/watch?v=SSfc3zkb12Q