# kwadratische vergelijking 1

Een kwadratische vergelijking, 'Wat moet ik er mee!'. Een veel gehoorde kreet en wanneer we zoeken op het internet dan vliegen ons de uitwerkingen om de oren. Maar het nut er van?
Stel je wilt weten wat de snelheid is van Max Verstappen bij de eerste bocht na de start in Monaco? Of wanneer de politieagent wil weten wat de snelheid van de auto was na het meten van een remspoor? Voor de eerste kunnen we volstaan met een de formule en enkele meetwaarde:

versnelling = het verschil in snelheden / het verschil in tijd

En met deze moeilijk uitziende formule kunnen we dan een kwadratische vergelijking opzetten. We kunnen er ook mee bewijzen hoe de eenheden ontstaan en waarom er een kwadraat in de tijd bij een versnelling zit.

Factoren en Dubbelproduct

Een kwadraat is een vermenigvuldiging van twee getallen, 1x3, 5x8 of 2x2. En alleen wanneer het linker en het rechter getal gelijk zijn noemen we dit ook wel een kwadraat.
Maar in de vorige paragraaf hebben we geleerd dat een getal ook een uitkomst kan zijn van een lieaire vergelijking. Bijvoorbeeld x+4=y en wanneer we dan x=-2 invullen krijgen we als antwoord een 2. Nu weten we dat we 2x2 ook mogen schrijven als 22 en dat daar 4 uit komt. Wanneer we nu nog een stapje verder gaan en dan de 2 gaan vervangen door x+4 mogen we dan ook schrijven (x+4)2?
Het antwoord is ja, mits we voor de x een -2 invullen! En dit gaan we uit werken.

Van (x+4)2 weten we dat er 4 uitkomt dus (x+4)2=4 kunnen we ook herschrijven naar (x+4)*(x+4)=4.
En hiermee zien we dat het kwadraat bestaat uit twee factoren, een linker en een rechter, die eigenlijk ook nog een kleine lineaire vergelijking zijn. Dat de linker- en de rechterfactor in een kwadratische vergelijking gelijk zijn is niet altijd het geval.

Bij het uitwerken van deze vergelijking ontstaat dan een 'Dubbelproduct'.Om dit te begrijpen zal ik alle stappen laten zien:

- (x*x+x*4)+(4*x+4*4)=4 -> ontstaat door de linker 'x' te vermenigvuldigen met de 'x' en de 4 uit de rechter factor.
- (x2+4x)+(4x+42)=4 -> netjes maken voor de volgende stap
- x2+4x+4x+16=4
- x2+8x+16=4 -> optellen wat je kunt op tellen en nu 4 veranderen in een 0
- x2+8x+16-4=0
- x2+8x+12=0 -> en dit is de eindstap nadat we het mini sommetje 16-4 hebben verwerkt.

Binnen deze uitwerking is hiermee '8x' dus het dubbelproduct van (x+4)2.
Nog even checken wat de uitkomst is wanneer x=-2. De x invullen geeft (-2)2+8*(-2)+12=0 => 4-6+12=0 => 0=0. Dus het klopt nog steeds en we kunnen zeggen dat: Als x=-2 dan is (x+4)2=4.

Tweedegraadsvergelijking factoren zoeken en nul stellen

x2=3-2x is een tweedegraadsvergelijking die afhankelijk is van x. Het kwadraat van de x2 is hierbij verantwoordelijk voor de naam. Om deze op te lossen moeten we eerst alles aan de linkerkant van de '=' zetten zodat er hier alleen maar een '0' overblijft. Dus x2=3-2x <=> x2+2x-3=0 <=> (x+3)*(x-1)=0.
Omdat het product van twee factoren alleen maar 0 kan zijn wanneer één van de factoren nul is kunnen we nu zoeken wanneer x+3=0 en x-1=0. Bij x=-3 krijgen we dan het sommetje (-3+3)*(x-1)=0 => 0*(x-1)=0 => 0=0. En bij x=1 krijgen we een soort gelijke oplossing. Dus x=-3 en x=1 zijn oplossingen. Hieronder volgen nog meer voorbeelden en zie hier de werkwijze te ontdekken:

Let op!

Niet goed is: x2+4x=0 => x+4=0. Je bent nu de oplossing x=0 kwijt! Wat wel goed is staat in voorbeeld 4.

Maak nu de opgaven.

Maar wat gaat er dan mis in de volgende ontbinding in factoren?

Wat gaat en waar gaat het hier in het voorbeeld links nu mis? Want in de zesde regel staat klink-klare-nonsens!
Maar we hebben ons gehouden aan alle regels van het ontbinden in factoren. Gelijken buiten de haakjes gehaald en gebruik gemaakt van het merkwaardig product. Allemaal ged en aardig maar de uitkomst is fout!

Waar gaat het fout en waarom?

https://www.youtube.com/watch?v=ua_tozQSMUA