Bekijk de plattegrond van de straten in de wijk Vakhorst. De afmetingen van een hokje in Vakhorst weten we niet. We spreken het volgende af.
Twee kruispunten die boven elkaar liggen, zijn verbonden door een kort stukje weg. De lengte van een kort stukje weg is \(a\) (in meters).
Twee kruispunten die naast elkaar liggen, zijn verbonden door een wat langer stukje weg. De lengte van een lang stukje weg is \(b\) (in meters).
Dat we in meters werken zullen we voortaan weglaten.
In Vakhorst rijdt een bus van \(A\), via de haltes \(B\), \(C\), \(D \), \(E\), \(F\) en \(G\) naar \(H\) en weer dezelfde weg terug. De route van de bus is in de plattegrond aangegeven.
We kunnen nu de lengte van een route in Vakhorst schrijven met behulp van de variabelen \(a\) en \(b\).
Voorbeeld
De lengte van de route \(AB\) is \(a+a+a+a=4⋅a\).
In plaats van \(4⋅a\) schrijven we van af nu \(4a\). De vermenigvuldigingspunt laat je dus weg. En in plaats van \(1a\) schrijven we kortweg \(a.\)
Opgave 2
Opgave 3
Opgave 4
Opgave 5
Opgave 6
Opgave 7
Opgave 8
Opgave 9
Opgave 10
Opgave 11
Opgave 12
Volgens het woordenboek Van Dale is algebra:
(het deel van de) wiskunde die zich bezighoudt met de betrekkingen van door letters en tekens aangeduide grootheden (= variabelen).
De algebra is van oorsprong Arabisch. Het woord algebra is een afkorting van "al-gabr wa-l-muqabala", de titel van een leerboek van Muhammad ibn Musa, de uitvinder van de algebra. Simon Stevin heeft voor het vreemde woord "algebra" het Nederlandse woord "stelkunde" voorgesteld, maar dat is niet gangbaar geworden.
Tot het eind van de Middeleeuwen bestond de wiskunde in Europa uit meetkunde. De Europeanen hielden zich niet bezig met het algebraïsch gegoochel met variabelen. Het toverwoord "abracadabra" is zelfs een verbastering van het Arabische woord algebra.
6.3 Oppervlaktes in Vakhorst
Opgave 13
Opgave 14
Opgave 15
Opgave 16
Opgave 17
Opgave 18
Opgave 19
Opgave 20
6.4 Roosterkwartier
In hoofdstuk 1 - Kennismaken heb je de volgorde van de rekenkundige bewerkingen (\(+\), \(−\), \(⋅\), \(:\)) geleerd. Kwadraten kwam je daar nog niet tegen. De afspraak is: kwadrateren gaat voor vermenigvuldigen.
Hieronder vind je de volgorde van de bewerkingen.
Eerst wat tussen de haakjes staat uitrekenen.
Kwadrateren gaat voor vermenigvuldigen en delen.
Vermenigvuldigen en delen gaat voor optellen en aftrekken.
Opgave 21
Opgave 22
Opgave 23
Opgave 24
Opgave 25
Opgave 26
Opgave 27
Opgave 28
Opgave 29
Opgave 30
6.5 Op de grens
Op de grens van Roosterkwartier en Vakhorst ligt een groot rechthoekig park (zie de plattegrond). De hokjes in Roosterkwartier zijn \(a\) bij \(a\). De hokjes in Vakhorst zijn \(a\) bij \(b\).
Je kunt de oppervlakte van het park op twee manieren berekenen.
1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
de lengte is \(3a\)
de breedte is \(3a+2b\)
de oppervlakte is dus \(3a⋅(3a+2b)\)
2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(9\) hokjes met oppervlakte \(a^2\)
en uit \(6\) hokjes met oppervlakte \(ab\)
de oppervlakte is dus \(9a^2+6ab\)
Je vindt zo de gelijkheid \(3a⋅(3a+2b)=9a^2+6ab\).
Opgave 31
Opgave 32
Opgave 33
Opgave 34
Opgave 35
Opgave 36
Opgave 37
Opgave 38
Opgave 39
6.6 Weg uit Roosterdam
Opgave 40
Opgave 41
Opgave 42
Opgave 43
Opgave 44
Opgave 45
Opgave 46
6.7 Eindpunt
Vereenvoudigen
In de plattegrond is een route getekend. Bij de route hoort de gelijkheid \(a+2b+3a+5b=4a+7b\).
Gelijkheden
Rechthoek
Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.
1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
de lengte is \(3a\)
de breedte is \(2b\)
de oppervlakte is dus \(3a⋅2b\)
2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(6\) hokjes
elk hokje heeft oppervlakte \(ab\)
de oppervlakte is dus \(6ab\)
Je vindt zo de gelijkheid \(3a⋅2b=6ab\).
Deze gelijkheid volgt ook uit de regel \(a⋅b=b⋅a\).
Immers \(3a⋅2b=3⋅a⋅2⋅b=3⋅2⋅a⋅b=6⋅a⋅b=6ab\).
Vierkant
Je kunt de oppervlakte van het blauw gekleurde vierkant op twee manieren berekenen.
1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
de lengte is \(4a\)
de breedte is \(4a\)
de oppervlakte is dus \(4a⋅4a\), kortweg \((4a)^2\)
2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(16\) hokjes
elk hokje heeft oppervlakte \(a^2\)
de oppervlakte is dus \(16a^2\)
Je vindt zo de gelijkheid \((4a)^2=4a⋅4a=16a^2\).
Let op: \(a^2=a⋅a\) en \(2a=a+a\).
Gelijkheden controleren
Door getallen in te vullen voor de variabelen kun je een gelijkheid controleren. Als een gelijkheid klopt, levert de uitdrukking links van het gelijkteken dezelfde uitkomst op als de uitdrukking rechts van het gelijkteken. Zo niet, dan heb je met een tegenvoorbeeld laten zien dat de gelijkheid niet klopt.
Voorbeeld
De uitdrukkingen \(4a+5b\) en \(9ab\) stellen niet hetzelfde getal voor als \(a=2\) en \(b=3\).
Immers, \(4⋅2+5⋅3=8+15=23\) en \(9⋅2⋅3=54\).
Dus de gelijkheid \(4a+5b=9ab\) klopt niet.
Met en zonder haakjes
Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.
1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
de lengte is \(3a\)
de breedte is \(2a+4b\)
de oppervlakte is dus \(3a⋅(2a+4b)\)
2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(6\) hokjes met oppervlakte \(a^2\)
en uit \(12\) hokjes met oppervlakte \(ab\)
de oppervlakte is dus \(6a^2+12ab\)
Je vindt zo de gelijkheid \(3a⋅(2a+4b)=6a^2+12ab\).
Deze gelijkheid volgt ook uit de distributiewet.
Immers, \(3a⋅(2a+4b)=3a⋅2a+3a⋅4b=6a^2+12ab\)
Gelijksoortige termen optellen
De uitdrukking \(5a+7b+9a+6b\) bestaat uit vier termen. De termen \(5a\) en \(9a\) zijn van dezelfde soort (beide \(a\), de lengte van een hokje in Vakhorst). Dat geldt ook voor de termen \(7b\) en \(6b\) (beide \(b\), de breedte van een hokje in Vakhorst). Gelijksoortige termen kun je optellen: \(5a+7b+9a+6b=14a+13b\).
Omdat de termen \(7a^2\) en \(5a^2\) van dezelfde soort zijn (beide \(a^2\), de oppervlakte van een hokje in Roosterkwartier), is \(7a^2+5a^2=12a^2\).
Maar de gelijkheid \(3a^2+5a=8a^2\) klopt niet. Vul maar eens \(a=2\) in. De termen \(3a^2\) en \(5a\) zijn niet van dezelfde soort. Immers \(a^2\) is de oppervlakte van een hokje in Roosterkwartier en \(a\) de lengte van een hokje in Roosterkwartier.
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo/vwo leerjaar 1. De volgende onderdelen worden behandeld: oppervlakte en roosters.
Leerniveau
VWO 2;
HAVO 1;
VWO 1;
HAVO 3;
VWO 3;
HAVO 2;
Leerinhoud en doelen
Verbanden en formules;
Patronen en regelmaat;
Rekenen/wiskunde;
Meten en meetkunde;
Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo/vwo leerjaar 1. De volgende onderdelen worden behandeld: oppervlakte en roosters.
Er is ook een nieuwe, verbeterde versie 2.0 van dit hoofdstuk/thema:
Bekijk de plattegrond van de straten in de wijk Vakhorst. De afmetingen van een hokje in Vakhorst weten we niet. We spreken het volgende af.
In de plattegrond is een route getekend. Bij de route hoort de gelijkheid 
Rechthoek
Vierkant
Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.
