6. Roosterdam

6. Roosterdam

6.1 Intro

Er is ook een nieuwe, verbeterde versie 2.0 van dit hoofdstuk/thema:
https://maken.wikiwijs.nl/141063/Thema__Roosterdam_hv

 

Opgave 1

Roosterdam

  1. Bekijk de volgende sommen en ga na of ze kloppen.
    \(1⋅2−0⋅3=2\)
    \(2⋅3−1⋅4=2\)
    \(3⋅4−2⋅5=2\)
    \(4⋅5−3⋅6=2\)
    \(5⋅6−4⋅7=2\)
    \(........ \)

  2. Schrijf de twee volgende sommen uit de rij op en controleer of deze ook als uitkomst \(2\) hebben.

  3. Schrijf twee sommen op die veel verder in de rij zouden voorkomen. Is de uitkomst nog steeds \(2\)? Vreemd toch?

Om te verklaren dat de sommen in opgave \(1\) telkens op \(2\) uitkomen, moet je meer weten van algebra: het rekenen met variabelen. Hiervoor nemen we je mee naar het plaatsje Roosterdam. In Roosterdam heb je een rechthoekig netwerk van straten. Bekijk maar eens de plattegrond van Roosterdam.
Roosterdam bestaat uit vier wijken: Roosterkwartier, Vakhorst, Saailand en Blokland. De eerste vier paragrafen van dit hoofdstuk spelen zich allemaal af in een of meerdere wijken van Roosterdam.

 

6.2 Routes in Vakhorst

Optellen van uitdrukkingen

Bekijk de plattegrond van de straten in de wijk Vakhorst. De afmetingen van een hokje in Vakhorst weten we niet. We spreken het volgende af.

  • Twee kruispunten die boven elkaar liggen, zijn verbonden door een kort stukje weg. De lengte van een kort stukje weg is a (in meters).
  • Twee kruispunten die naast elkaar liggen, zijn verbonden door een wat langer stukje weg. De lengte van een lang stukje weg is b (in meters).

Dat we in meters werken zullen we voortaan weglaten.

In Vakhorst rijdt een bus van A, via de haltes B, C, D, E, F en G naar H en weer dezelfde weg terug. De route van de bus is in de plattegrond aangegeven.

We kunnen nu de lengte van een route in Vakhorst schrijven met behulp van de variabelen a en b.

Voorbeeld
De lengte van de route AB is  a+a+a+a=4⋅a.

In plaats van 4⋅a schrijven we van af nu 4a. De vermenigvuldigingspunt laat je dus weg. En in plaats van 1a schrijven we kortweg a.

 

Opgave 2

Routes

De lengte van de route \(BC\) is \(5a+2b.\)

  1. Ga dit na.

  2. Schrijf de lengtes van de routes \(CD\), \(DE\), \(EF\), \(FG\) en \(GH\) op.

De lengte van de route van halte \(A\) naar halte \(C\) kun je vinden met behulp van de lengte van de route \(AB\) en de lengte van de route \(BC\).

lengte \(AB \) \(+\) lengte \(BC\) \(= \) lengte \(AC \)
\(4a\) \(+\) \(5a+2b\) \(=\) \(9a+2b\)
  1. Kijk in het stratenplan of de lengte van route \(AC\) klopt.
  2. Bereken zo ook de lengte van route \(CE\).
    lengte \(CD \) \(+\) lengte \(\cdots \) \(=\) lengte \(CE\)
  3. Bereken ook de lengte van route \(EH\).
    lengte \(EF \) \(+\) lengte \(\cdots \) \(+\) lengte \(\cdots \) \(=\) lengte \(EH\)

  4. Wat is de totale lengte van de route van \(A\) naar \(H\)?

  5. Hoe lang is de busroute als \(a=60\) en \(b=100\)?
    Schrijf je berekening op.

Ines stapt bij halte \(A\) op de bus en reist naar \(B\). Dit kost haar \(40\) cent. Wat later reist ze van \(B\) naar \(C\). Dit kost \(80\) cent. De prijs van een kaartje hangt alleen af van het aantal korte stukjes (dat zijn de stukjes met lengte \(a\)) en het aantal lange stukjes (dat zijn de stukjes met lengte \(b\)) in de rit.

  1. Probeer uit te vinden wat de prijs is van één kort stukje (met lengte \(a\)) en wat één lang stukje (met lengte \(b\)) kost.
    Schrijf op hoe je dit gedaan hebt.

 

Opgave 3

Gelijkheid

In de plattegrond is een route getekend die punt \(A\) met punt \(C\) verbindt. De lengte van de route \(AB\) is \(3a+2b\). De lengte van de route \(BC\) is \(4a+3b\). De lengte van de route \(AC\) is \(7a+5b\).

Bij de getekende route hoort de gelijkheid:
\(3a+2b+4a+3b=7a+5b\).

Wanneer je een getal invult voor \(a\) en \(b\), dan levert de uitdrukking links van het gelijkteken dezelfde uitkomst op als de uitdrukking rechts van het gelijkteken. Controleer maar.

 

  1. Teken in de applet (of in het rooster op je werkblad) een route bij \(a+2b+3a+3b\). Kleur alle korte stukjes rood (dat zijn de stukjes van lengte \(a\)) en alle lange stukjes blauw (dat zijn de stukjes van lengte \(b\)).
  2. Welke gelijkheid hoort bij deze route?

  3. Schrijf de gelijkheid op die hoort bij de route van punt \(A\) naar punt \(C\).

  4. Verander de route van punt \(A\) naar punt \(C\) zó, dat je een route van lengte \(7a+6b\) krijgt. Dit kan op veel manieren. Gebruik de applet (of het rooster op je werkblad).

  5. Kun je een route van lengte \(10a+14b\) van \(A\) naar \(C\) tekenen? Geef uitleg.

 

Opgave 4

Eenvoudig schrijven

Schrijf zo eenvoudig mogelijk. In de applet (of op het werkblad) staat een groot rooster; dat kun je gebruiken als je wilt. 

  1. \(3a+2b+4a+4b\)
  2. \(6a+3b+3a+5b\)
  3. \(4a+2b+a+7b\)

 

Opgave 5

Routes

Er zijn twee routes vanuit \(A \) getekend, één naar \(B\) en één naar \(C\). De lengte van de twee routes samen is \(3a+5b+3a\) en dat kun je schrijven als \(2⋅3a+5b\).

Schrijf \(2⋅3a+5b\) zo eenvoudig mogelijk.

 

Opgave 6

Uitdrukkingen zonder haakjes

figuur 1

In figuur 1 is de route \(AC\) gekleurd.
Ines loopt die route elke morgen heen en terug en 's middags weer. Dagelijks legt zij dus een lengte van \(4⋅(7a+5b)\) of korter \(4(7a+5b)\) af.
Je kunt de lengte van die route ook zonder haakjes schrijven in de vorm: \(...a\ +\ ...b\).

  1. Schrijf \(4(7a+5b)\) zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.
figuur 2

In figuur 2 zijn twee routes vanuit \(A\) getekend, één naar \(B\) en één naar \(C\).
Beide routes hebben lengte \(3a+5b\). De lengte van deze routes samen is \(2(3a+5b)\).

  1. Schrijf \(2(3a+5b)\) zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

 

Opgave 7

Verschillen

In de opgaven 5 en 6 heb je de routes \(2⋅3a+5b\) en \(2(3a+5b)\) bekeken. In het rooster zie je dat deze uitdrukkingen verschillend zijn. Je kunt dit ook controleren door voor \(a\) en \(b\) getallen in te vullen.

Veronderstel dat \(a=100\) en \(b=50\).

  1. Wat is dan \(2⋅3a+5b\)?
  2. En wat is \(2(3a+5b)\)?

We bekijken twee routes, één van lengte \(5(3a+5b)\) en één van lengte \(5⋅3a+5b\). Om het lengteverschil tussen de routes uit te rekenen, hoef je niet eerst de lengte van beide routes apart uit te rekenen. Om het lengteverschil te berekenen, hoef je alleen maar te weten hoe groot \(b\) is!

  1. Bereken het lengteverschil handig als \(b=50\). Schrijf je berekening op.
  2. Wat is \(b\) als het lengteverschil van de routes \(3600\) is? Schrijf op hoe je dit berekend hebt.

De uitdrukkingen \(2⋅3a+5b\) en \(2(3a+5b)\) stellen niet hetzelfde getal voor als \(a=100\) en \(b=50\). Immers:
\(2⋅3⋅100+5⋅50=600+250=850\)
\(2⋅(3⋅100+5⋅50)=2⋅550=1100\)

Je hebt nu met een tegenvoorbeeld laten zien dat de gelijkheid \(2⋅3a+5b=2(3a+5b)\) niet klopt.

 

Opgave 8

Distributiewetten

We keren even terug naar hoofdstuk 3 - Formules.
De lengte van een rechthoek is \(a\) meter, de breedte is \(b+c\) meter.

  1. Schrijf de oppervlakte van deze rechthoek op twee manieren.
    De 1e manier is: lengte \(\cdot \) breedte
    De 2e manier is: oppervlakte donkere deel \(+\) oppervlakte lichte deel
  2. Welke gelijkheid kun je nu opschrijven?

De rechthoek die hoort bij \(a(b+c)=ab+ac\) is al getekend.

  1. Teken een rechthoek die hoort bij de distributiewet \(a(b−c)=ab−ac\).
  2. Schrijf \(2(3a+5b)\) zonder haakjes met behulp van één van de distributiewetten. Krijg je hetzelfde antwoord als toen je de som met een rooster maakte (zie opgave 6b)?
  3. Schrijf \(6(2a−4b)\) zonder haakjes, zo eenvoudig mogelijk.

Volgens de distributiewetten geldt:

\(a(b+c)=ab+ac\)

\(a(b−c)=ab−ac\)

 

Opgave 9

Oefenen met vereenvoudigen

Vul de open plaatsen in beide schema's in. De schema's staan ook op het werkblad.

 

Opgave 10

Ketting

Verbind de uitdrukkingen die gelijk zijn. Als er meer dan twee uitdrukkingen gelijk zijn, maak dan een ketting. De uitdrukkingen staan ook op het werkblad.

 

Opgave 11

Uitdrukkingen

De uitdrukking \(2(3a+7b)+6a\) is gelijk aan de uitdrukking \(12a+14b\). Reken maar na. Bedenk zelf vier verschillende uitdrukkingen die ook als uitkomst \(12a+14b\) hebben. Laat je maatje de uitdrukkingen controleren.

 

Opgave 12

Doolhof

Bekijk eens het doolhof. Het doolhof staat ook op het werkblad.

  1. Teken een route door het doolhof.
  2. Welke uitdrukking hoort bij jouw route? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Stel dat \(a=10\) en \(b=5\) en dat je niet vaker dan één keer door een hokje mag.

  1. Welke route heeft dan de kleinste uitkomst?

 

Volgens het woordenboek Van Dale is algebra:
(het deel van de) wiskunde die zich bezighoudt met de betrekkingen van door letters en tekens aangeduide grootheden (= variabelen).

De algebra is van oorsprong Arabisch. Het woord algebra is een afkorting van "al-gabr wa-l-muqabala", de titel van een leerboek van Muhammad ibn Musa, de uitvinder van de algebra. Simon Stevin heeft voor het vreemde woord "algebra" het Nederlandse woord "stelkunde" voorgesteld, maar dat is niet gangbaar geworden.

Tot het eind van de Middeleeuwen bestond de wiskunde in Europa uit meetkunde. De Europeanen hielden zich niet bezig met het algebraïsch gegoochel met variabelen. Het toverwoord "abracadabra" is zelfs een verbastering van het Arabische woord algebra.

 

6.3 Oppervlaktes in Vakhorst

Opgave 13

Vermenigvuldigen van uitdrukkingen

Bekijk nog eens de plattegrond van Vakhorst. De lengte van een hokje in Vakhorst is \(a\) meter. De breedte is \(b\) meter. Een hokje in Vakhorst heeft dus een oppervlakte van \(a⋅b\).

  1. Teken in de plattegrond met de applet (of op het werkblad) zoveel mogelijk verschillende rechthoeken met een oppervlakte van \(6⋅a⋅b\) (dat betekent dus een oppervlakte van \(6\) hokjes).
  2. Als \(a=60\) en \(b=100\), wat is dan de oppervlakte van elk van deze rechthoeken?

 

Opgave 14

Gelijkheid

In plaats van \(a⋅b\) schrijven we vanaf nu \(ab\). Ook hier wordt de vermenigvuldigingspunt dus weggelaten (net zo als bij \(5a\) en \(3b\)).

In de wijk Vakhorst ligt een groot rechthoekig industrieterrein (zie de plattegrond).

Je kunt de oppervlakte van het industrieterrein op twee manieren berekenen.

1e manier: lengte \(⋅\) breedte
de lengte is \(4a\)
de breedte is \(2b\)
de oppervlakte is dus \(4a⋅2b\)

2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(8\) hokjes
elk hokje heeft oppervlakte \(ab\)
de oppervlakte is dus \(8⋅ab\)


Je hebt hierboven met behulp van een plaatje de gelijkheid \(4a⋅2b=8⋅ab\) gevonden.

  1. Welk getal is \(4a⋅2b\) als \(a=2\) en \(b=3\)? En welk getal is \(8⋅ab\) als \(a=2\) en \(b=3\)?
  2. Welk getal is \(4a⋅2b\) als \(a=10\) en \(b=5\)? En welk getal is \(8⋅ab\) als \(a=10\) en \(b=5\)?

 

Opgave 15

Oppervlakte van de rechthoek

  1. Bereken de oppervlakte van de rechthoek in de plattegrond op twee manieren:
    1e manier: lengte \(⋅\) breedte
    2e manier: hokjes tellen
  2. Welke gelijkheid krijg je nu?

 

Opgave 16

Gelijkheid

Welke gelijkheid hoort bij de rechthoek in de plattegrond?

 

Opgave 17

Gelijkheid

  1. Teken met de applet (of op het werkblad) in het rooster een rechthoekig gebied bij de gelijkheid \(5a⋅2b=10⋅ab\).
  2. Teken met de applet (of op het werkblad) ook een rechthoekig gebied bij de gelijkheid \(3a⋅b=3⋅ab\).

Er is nog een andere rechthoek met oppervlakte \(3⋅ab\).

  1. Teken die rechthoek ook met de applet (of op het werkblad).
  2. Welke gelijkheden horen bij deze rechthoek?

 

Opgave 18

Vier rechthoeken

In plaats van \(3⋅ab\) schrijven we vanaf nu \(3ab\). Weer wordt de vermenigvuldigingspunt weggelaten.


In het rooster zie je alle verschillende rechthoeken waarvan de oppervlakte \(6ab\) is.

  1. Neem over en vul alle mogelijkheden in.
    \(6ab=\ ...a\ ⋅\ ...b\)   \(6ab=\ ...a\ ⋅\ ...b\)
    \(6ab=\ ...a\ ⋅\ ...b\)   \(6ab=\ ...a\ ⋅\ ...b\)

  2. Wat is de omtrek van elk van de vier rechthoeken? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

 

Opgave 19

Zo eenvoudig mogelijk

In hoofdstuk 3 - Formules heb je geleerd dat \(a⋅b=b⋅a\).
Bijvoorbeeld \(3⋅2=2⋅3\).
Uit deze gelijkheid volgt dat \(5a⋅2b=5⋅a⋅2⋅b=5⋅2⋅a⋅b=10ab\).


Schrijf zo eenvoudig mogelijk. In de applet (of op het werkblad) staat een groot rooster; dat kun je gebruiken als je wilt.

  1. \(4a⋅5b\)
  2. \( 6a⋅3b\)
  3. \(8a⋅b\)
  4. \(5a⋅9b\)
  5. \(2a⋅5b+25ab\)
  6. \( a⋅4b+12ab\)

 

Opgave 20

Gelijkheid

Anne beweert dat de gelijkheid \(2a⋅3b=5ab\) klopt.

  1. Welk getal is \(2a⋅3b\) als \(a=1\) en \(b=2\)? En welk getal is \(5ab\) als \(a=1\) en \(b=2\)?

Je ziet dat \(2a⋅3b\) en \(5ab\) niet hetzelfde getal zijn als \(a=1\) en \(b=2\). Je hebt nu met een tegenvoorbeeld laten zien dat de gelijkheid \(2a⋅3b=5ab\) niet klopt.

We bekijken nu de gelijkheid \(a⋅2b=2ab\).

  1. Welk getal is \(a⋅2b\) als \(a=3\) en \(b=5\)? En welk getal is \(2ab\) als \(a=3\) en \(b=5\)?
  2. Klopt de gelijkheid \(a⋅2b=2ab\)?
  3. Ga na of de gelijkheid \(3a⋅3b=3ab\) klopt.
  4. Ga van de volgende gelijkheden na of ze juist zijn. Geef een tegenvoorbeeld als de gelijkheid niet klopt. Je kunt het rooster in de applet (of op het werkblad) gebruiken als je een gelijkheid wilt controleren.
    \(3a+2b+2a=5a+2b\) \(3a+2b=5ab\)
    \(3b+2a+b=2a+3b\) \(3a⋅2b=5ab\)
    \(3a+5b=5b+3a\) \(3a⋅2b=6ab\)

 

6.4 Roosterkwartier

In hoofdstuk 1 - Kennismaken heb je de volgorde van de rekenkundige bewerkingen (+, −, ⋅, :) geleerd. Kwadraten kwam je daar nog niet tegen. De afspraak is: kwadrateren gaat voor vermenigvuldigen.

Hieronder vind je de volgorde van de bewerkingen.

  • Eerst wat tussen de haakjes staat uitrekenen.

  • Kwadrateren gaat voor vermenigvuldigen en delen.

  • Vermenigvuldigen en delen gaat voor optellen en aftrekken.

Opgave 21

Kwadraten

Maak de onderstaande berekeningen. De eerste berekening is als voorbeeld al gemaakt.

  1. \(5⋅4^2=5⋅16=80\)
  2. \((5⋅4)^2\)
  3. \((5−4)^2\)
  4. \(5⋅(5−4)^2\)
  5. \(4⋅5^2−5⋅a^2\)

 

Opgave 22

Roosterkwartier

Bekijk de plattegrond van Roosterkwartier. Elk hokje in Roosterkwartier is \(a\) bij \(a\). De oppervlakte van één hokje in Roosterkwartier is \(a^2\).

Let op:
\(a+a\) is hetzelfde als \(2a\)
\(a \cdot a\) is hetzelfde als \(a^2\)

  1. Hoe groot is de totale oppervlakte van Roosterkwartier? En hoe groot is de totale omtrek?
  2. Teken in het rooster in de applet (of op het werkblad) een rechthoek met zijden \(3a\) en \(5a\).
  3. Schrijf de gelijkheid op die hoort bij de rechthoek met zijden \(3a\) en \(5a\). De gelijkheid vind je door de oppervlakte van de rechthoek op twee manieren te berekenen:
    1e manier: lengte \(\cdot \) breedte
    2e manier: hokjes tellen
  4. Hoe groot is de oppervlakte van de rechthoek als \(a=50\)? En hoe groot is dan de omtrek?
  5. Hoe groot zijn de oppervlakte en de omtrek van de rechthoek als \(a=100\)?

 

Opgave 23

Rechthoeken

In plaats van \(15⋅a^2\) schrijven we voortaan \(15a^2\).

 

  1. Teken met de applet (of op het werkblad) alle echt verschillende rechthoeken met een oppervlakte van \(8a^2\). Kleur ze rood.
  2. Teken ook met de applet (of op het werkblad) alle echt verschillende rechthoeken met een omtrek van \(8a\). Kleur ze blauw.
  3. Welke van de rode rechthoeken heeft de kleinste omtrek? Hoe groot is die omtrek?
  4. Welke van de blauwe rechthoeken heeft de grootste oppervlakte? Hoe groot is die oppervlakte?

 

Opgave 24

Rechthoek

  1. Teken met de applet (of op het werkblad) de rechthoek die hoort bij \(5a⋅5a\) en de rechthoek die hoort bij \(a⋅5a\).
  2. Neem over en vul in:
    \(5a⋅5a=\ ...a^2\)
    \(a⋅5a=\ ...a^2\)
  3. Teken met de applet (of op het werkblad) het vierkant dat hoort bij \((4a)^2\).
  4. Neem over en vul in:
    \( (4a)^2=\ ...a\ ⋅\ ...a=\ ...a^2\)

 

Opgave 25

Gelijkheden

Je kunt \(5a⋅5a\) ook schrijven als \((5a)^2\).


Ga van de volgende gelijkheden na of ze juist zijn. Geef een tegenvoorbeeld als de gelijkheid niet klopt. In de applet (of op het werkblad) staat een rooster dat je kunt gebruiken als je wilt.

\(5a^2=a⋅5a\) \( 5a^2=5a⋅5a\)
\(5a^2=(5a)^2\) \( 5a^2=25^2\)
\((5a)^2=5a⋅5a\) \( (5a)^2=25a^2\)

 

Opgave 26

Plaatje in de plattegrond

In de plattegrond is een plaatje getekend bij \(3a^2\).

  1. Teken met de applet (of op het werkblad) een plaatje bij \(11a^2\).
  2. Neem over en vul in: \(11a^2+3a^2=\ ...a^2\)

 

Opgave 27

Vereenvoudigen

Je weet dat \(3a⋅4a=12a^2\). We vinden \(12a^2\) eenvoudiger dan \(3a⋅4a\).
Schrijf zo eenvoudig mogelijk. In de applet (of op het werkblad) staat een rooster dat je kunt gebruiken als je wilt.

  1. \(6a⋅2a\)
  2. \(a^2+4a^2\)
  3. \(a⋅7a\)
  4. \( (3a)^2+4a^2\)
  5. \(5a^2+8a^2\)
  6. \(a⋅6a+2a⋅3a\)

 

Opgave 28

Gelijkheid

  1. Welk getal is \(3a^2+2ab\) als \(a=5\) en \(b=4\)?
  2. Welk getal is \((5a)^2+5a\) als \(a=2\)?
  3. Ga na of de gelijkheid \(3⋅(5b)^2=(15b)^2\) juist is. Geef een tegenvoorbeeld als de gelijkheid niet klopt.

 

Opgave 29

Schema

Neem het schema over en vul de open plaatsen in.

 

Opgave 30

Gelijkheden

In elk van de gelijkheden hieronder staat een fout. Neem de gelijkheden over en verbeter elke gelijkheid steeds op één plek.

  1. \(3a^2+5a=8a^2\)
  2. \(3a+5a=8a^2\)
  3. \(3a⋅5a=15a\)

 

6.5 Op de grens

Op de grens van Roosterkwartier en Vakhorst ligt een groot rechthoekig park (zie de plattegrond). De hokjes in Roosterkwartier zijn a bij a. De hokjes in Vakhorst zijn a bij b.

Je kunt de oppervlakte van het park op twee manieren berekenen.

1e manier: lengte ⋅ breedte
de lengte is 3a
de breedte is 3a+2b
de oppervlakte is dus 3a⋅(3a+2b)

2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit 9 hokjes met oppervlakte a2
en uit 6 hokjes met oppervlakte ab
de oppervlakte is dus 9a2+6ab

Je vindt zo de gelijkheid 3a⋅(3a+2b)=9a2+6ab.

Opgave 31

Uitdrukkingen met en zonder haakjes

In de plattegrond zie je weer een rechthoek op de grens van Roosterkwartier en Vakhorst.

  1. Bereken de oppervlakte van de rechthoek weer op twee manieren:
    1e manier: lengte \(\cdot \) breedte
    2e manier: hokjes tellen
  2. Welke gelijkheid vind je?
  3. Hoe groot is de oppervlakte als \(a=50\) en \(b=80\)?

 

Opgave 32

Oppervlakte van de rechthoek

Bereken de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren en schrijf de gelijkheid op die je zo vindt.

 

Opgave 33

Rechthoek

  1. Teken op het werkblad een rechthoek met lengte \(5a\) en breedte \(2a+2b\).
  2. Bereken de oppervlakte van de rechthoek op twee manieren en schrijf de gelijkheid op die je zo vindt.

 

Opgave 34

Rechthoek

Teken op het werkblad een rechthoek bij de gelijkheid \(a⋅(3a+b)=3a^2+ab\).

 

Opgave 35

Rechthoek

  1. Teken op het werkblad een rechthoek met een oppervlakte van \(15a^2+10ab\). Dit is even puzzelen.
  2. Schrijf de gelijkheid op die bij deze rechthoek hoort.

 

Opgave 36

Oppervlakte van het plein

Midden in Roosterdam ligt een groot plein (zie de plattegrond). In deze figuur zie je ook nog eens de afmetingen van een hokje in Roosterkwartier, Vakhorst, Saailand en Blokland.

  1. Wat is de oppervlakte van een hokje in Roosterkwartier? En van een hokje in Vakhorst? En van een hokje in Saailand? En van een hokje in Blokland?

Je kunt de oppervlakte van het plein op twee manieren berekenen.
1e manier: lengte \(\cdot\) breedte.

  1. Wat is de lengte van het plein (verticaal noemen we de lengte)? En de breedte? Hoe groot is dus de oppervlakte van het plein?

2e manier: oppervlakte Roosterkwartier \(+\) oppervlakte Vakhorst \(+\) oppervlakte Saailand \(+\) oppervlakte Blokland

  1. Hoe groot is de oppervlakte van het deel van het plein dat in Roosterkwartier ligt? En van de delen in Vakhorst, Saailand en Blokland? Hoe groot is dus de oppervlakte van het plein?
  2. Welke gelijkheid vind je?

 

Opgave 37

Rechthoek

  1. Teken op het werkblad een rechthoek met lengte \(4a+3b\) en breedte \(5a+4b\).
  2. Bereken de oppervlakte van de rechthoek op twee manieren en schrijf de gelijkheid op die je zo vindt.

 

Opgave 38

Met en zonder haakjes

De oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek kun je op twee manieren opschrijven:
met haakjes: \(3a⋅(2a+4b)\)
zonder haakjes: \(6a^2+12ab\)

  1. Schrijf zonder haakjes. Op het werkblad staan roosters, die je kunt gebruiken als je wilt.
    \(a⋅(3a+4b)\)
    \(6a⋅(4a+3b)\)
    \(5a⋅(5a+b)\)
  2. Neem over en vul in. Op het werkblad staan weer roosters.
    \(3a^2+12ab=3a⋅(...+...)\)
    \(a^2+6ab=a⋅(...+...)\)
    \(4a^2+20ab=4a⋅(...+...)\)

 

Opgave 39

Distributiewetten

We gaan de sommen die je net maakte nog eens maken met behulp van de distributiewetten.

  1. Neem over en vul in.
    \(a⋅(3a+4b)=a⋅3a+a⋅4b=\ ...a^2+\ ...ab\)
    \(6a⋅(4a+3b)=6a ⋅\ ...+6a⋅\ ...\ =\ ...\)
    \(5a⋅(5a+b)=\ ...\ =\ ...\)
  2. Krijg je dezelfde antwoorden als toen je de sommen met roosters maakte (zie opgave 38a)?

 

6.6 Weg uit Roosterdam

Opgave 40

Met plaatjes

Bekijk eens het rooster in figuur 1. Elk hokje in het rooster is \(x\) bij \(y\).

figuur 1
figuur 2

Je kunt je in het rooster alleen verplaatsen via roosterlijnen, dus alleen horizontaal of verticaal. In het rooster zijn drie punten aangegeven \(A\), \(B\) en \(C\). Een route van \(A\) naar \(B\) zonder omwegen noemen we een kortste route. In figuur 2 is één van de zes kortste routes van \(A\) naar \(B\) getekend.

  1. Kleur zelf op het werkblad de andere vijf kortste routes.
  2. Schrijf onder elke route de lengte.
  3. Hoeveel verschillende kortste routes zijn er van \(B\) naar \(C\)? Als je wilt kun je ze op je werkblad tekenen.
  4. Hoe lang is zo'n kortste route van \(B\) naar \(C\)?
  5. Hoeveel kortste routes zijn er van \(A\) via \(B\) naar \(C\)?
  6. Hoe lang is elk van die kortste routes van \(A\) via \(B\) naar \(C\)? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

 

Opgave 41

Volkstuintjes

Op een braakliggend stuk grond wordt een volkstuinencomplex aangelegd (zie de plattegrond). Er komen \(15\) volkstuintjes: \(3\) rijen van \(5\) tuintjes. Tussen de rijen liggen twee paden. Elk van de tuintjes is \(a\) bij \(b\) meter. Elk tuintje is rondom afgezet met gaas (tussen twee tuintjes in is er maar één keer gaas).
Hoeveel meter gaas wordt er gespannen? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

 

Opgave 42

De Deense vlag

De Deense vlag bestaat uit een wit kruis op een rood doek. Het kruis is overal \(c\) centimeter breed. Het rode deel van de vlag bestaat uit twee vierkanten en twee rechthoeken. De vierkanten zijn \( a\) bij \( a\) centimeter en de rechthoeken zijn \( a\) bij \(b\) centimeter. De maten zijn ook nog eens aangegeven in het plaatje van de Deense vlag.

Je kunt de oppervlakte van de vlag op twee manieren berekenen.

1e manier: vierkanten en rechthoeken apart tellen

  1. Wat is de oppervlakte van de vier rode delen samen? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Door vier lijntjes te trekken kun je het witte kruis verdelen in vier rechthoeken en een vierkant.

  1. Laat zien dat de totale oppervlakte van het kruis gelijk is aan \(3ac+bc+c^2\).
  2. Hoe groot is dus de oppervlakte van de vlag?

2e manier: lengte \(\cdot \) breedte

  1. Wat is de lengte van de vlag? En de breedte? Schrijf je antwoorden zo eenvoudig mogelijk.
  2. Hoe groot is dus de oppervlakte van de vlag?
  3. Welke gelijkheid vind je?
  4. Bereken hoe groot de oppervlakte van de vlag is als \(a=20\), \(b=40\) en \(c=10\).
  5. Hoe groot is in dat geval de oppervlakte van het witte kruis?

 

Opgave 43

Zonder plaatjes

  1. Voor welke waarden van \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) en \(f\) kloppen alle zes de sommen.
  2. Wat verandert er aan de antwoorden als \(a\) niet \(2\) is maar \(4\)?

 

Opgave 44

Schema

Neem het schema over en vul de open plaatsen in.

 

Opgave 45

Haakjes plaatsen

Plaats haakjes links van het gelijkteken, zodanig dat de gelijkheid klopt.

  1. \(n+2⋅n+3=3n+6\)
  2. \(n+2⋅n+3=n^2+2n+3\)
  3. \(n+2⋅n+3=3n+3\)
  4. \(n+2⋅n+3=n^2+5n+6\)

 

Opgave 46

Vier opeenvolgende getallen

Tot slot keren we terug naar de vreemde rij aan het begin van dit hoofdstuk (opgave 1). In deze rij spelen vier opeenvolgende getallen de hoofdrol. We noemen deze getallen \(n\), \(n+1\), \(n+2\) en \(n+3\). Het vermoeden is dat: \((n+1)⋅(n+2)−n⋅(n+3)=2\), voor alle getallen \(n\).

  1. Teken een plaatje bij de uitdrukking \((n+1)⋅(n+2)\).
  2. Teken een plaatje bij de uitdrukking \(n⋅(n+3)\).
  3. Leg aan de hand van de plaatjes uit dat \((n+1)⋅(n+2)−n⋅(n+3)=2\).

 

6.7 Eindpunt

Vereenvoudigen

In de plattegrond is een route getekend. Bij de route hoort de gelijkheid a+2b+3a+5b=4a+7b.

Gelijkheden

Rechthoek
Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.

1e manier: lengte ⋅ breedte
de lengte is 3a
de breedte is 2b
de oppervlakte is dus 3a⋅2b

2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit 6 hokjes
elk hokje heeft oppervlakte ab
de oppervlakte is dus 6ab

Je vindt zo de gelijkheid 3a⋅2b=6ab.
Deze gelijkheid volgt ook uit de regel a⋅b=b⋅a.
Immers 3a⋅2b=3⋅a⋅2⋅b=3⋅2⋅a⋅b=6⋅a⋅b=6ab.


Vierkant
Je kunt de oppervlakte van het blauw gekleurde vierkant op twee manieren berekenen.

1e manier: lengte ⋅ breedte
de lengte is 4a
de breedte is 4a
de oppervlakte is dus 4a⋅4a, kortweg (4a)2

2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit 16 hokjes
elk hokje heeft oppervlakte a2
de oppervlakte is dus 16a2

Je vindt zo de gelijkheid (4a)2=4a⋅4a=16a2.

Let op: a2=a⋅a en 2a=a+a.

Gelijkheden controleren

Door getallen in te vullen voor de variabelen kun je een gelijkheid controleren. Als een gelijkheid klopt, levert de uitdrukking links van het gelijkteken dezelfde uitkomst op als de uitdrukking rechts van het gelijkteken. Zo niet, dan heb je met een tegenvoorbeeld laten zien dat de gelijkheid niet klopt.

Voorbeeld
De uitdrukkingen 4a+5b en 9ab stellen niet hetzelfde getal voor als a=2 en b=3.
Immers, 4⋅2+5⋅3=8+15=23 en 9⋅2⋅3=54.
Dus de gelijkheid 4a+5b=9ab klopt niet.

Met en zonder haakjes

Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.

1e manier: lengte ⋅ breedte
de lengte is 3a
de breedte is 2a+4b
de oppervlakte is dus 3a⋅(2a+4b)

2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit 6 hokjes met oppervlakte a2
en uit 12 hokjes met oppervlakte ab
de oppervlakte is dus 6a2+12ab

Je vindt zo de gelijkheid 3a⋅(2a+4b)=6a2+12ab.

Deze gelijkheid volgt ook uit de distributiewet.
Immers, 3a⋅(2a+4b)=3a⋅2a+3a⋅4b=6a2+12ab

Gelijksoortige termen optellen

De uitdrukking 5a+7b+9a+6b bestaat uit vier termen. De termen 5a en 9a zijn van dezelfde soort (beide a, de lengte van een hokje in Vakhorst). Dat geldt ook voor de termen 7b en 6b (beide b, de breedte van een hokje in Vakhorst). Gelijksoortige termen kun je optellen: 5a+7b+9a+6b=14a+13b.

Omdat de termen 7a2 en 5a2 van dezelfde soort zijn (beide a2, de oppervlakte van een hokje in Roosterkwartier), is 7a2+5a2=12a2.

Maar de gelijkheid 3a2+5a=8a2 klopt niet. Vul maar eens a=2 in. De termen 3a2 en 5a zijn niet van dezelfde soort. Immers a2 is de oppervlakte van een hokje in Roosterkwartier en a de lengte van een hokje in Roosterkwartier.

6.8 Extra opgaven

Extra opgave 1

Vakhorst

Op de plattegrond is een route getekend in de wijk Vakhorst.

  1. Hoe lang is de route? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

Neem aan dat de hele route \(470\) meter lang is en dat \(a=40\) meter.

  1. Bereken \(b\).

 

Extra opgave 2

Eenvoudig

Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

  1. \(4a+a+10a\)
  2. \(a+3b+4(a+b)\)
  3. \(3a+2b+7a+8b\)
  4. \(2a+4b+5(a+3b)\)
  5. \(4a+3b+2a+5b+a\)
  6. \(a+2b+3(5b+4a)\)

 

Extra opgave 3

Eenvoudig

Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

  1. \(5a⋅7b\)
  2. \(a⋅5b\)
  3. \( 3a⋅4b+6ab\)
  4. \(2a⋅3b+a⋅b\)

 

Extra opgave 4

Tabel

  1. Neem de tabel over en vul hem verder in.
    \(a\) \(b\) \(2a\) \(6b\) \(2a \cdot 6b\) \(3a\) \(4b\) \(3a \cdot 4b\)
    \(5\) \(2\)            
      \(4\) \(6\)          
          \(18\)   \(30\)    
                \(8\) \(192\)
            \(60\)      
  2. Welke kolommen zijn gelijk? Kun je dat verklaren?

 

Extra opgave 5

Gelijkheid

Ga na of de gelijkheid \(3a+2b=5ab\) juist is. Geef een tegenvoorbeeld als de gelijkheid niet klopt.

 

Extra opgave 6

Roosterkwartier

Bekijk nog eens de plattegrond van Roosterkwartier. Elk hokje in Roosterkwartier is \(a\) bij \(a\) meter.

  1. Hoe lang is een kortste route van \(A\) naar \(B\), over de straten van Roosterkwartier? En van \(B\) naar \(C\)? En van \(A\), via \(B\), naar \(C\)? Schrijf je antwoorden zo eenvoudig mogelijk.
  2. Hoeveel kortste routes zijn er van \(A\) naar \(B\)? Hoeveel kortste routes zijn er van \(B\) naar \(C\)? Hoeveel kortste routes zijn er van \(A\), via \(B\), naar \(C\)?

 

Extra opgave 7

Mijnheer van Iersel

Mijnheer van Iersel woont op kruispunt \(A\). Hij maakt elke avond een wandeling, zonder omwegen, over de straten van Roosterkwartier totdat hij \(4a\) meter van zijn huis verwijderd is.

  1. Neem de plattegrond over op ruitjespapier en geef met rode stippen alle mogelijke eindpunten van zo'n wandeling aan.
  2. Geef met blauwe stippen alle punten aan die precies \(4a\) meter lopen (over de straten, zonder omwegen) van kruispunt \(B\) afliggen.
  3. Geef alle punten aan die even ver van \(A\) als van \(B\) afliggen.

 

Extra opgave 8

Gelijkheden

Ga van de volgende gelijkheden na of ze juist zijn. Geef een tegenvoorbeeld als de gelijkheid niet klopt.

  1. \(3a⋅2a=6a\)
  2. \(2a⋅3a=6a^2\)
  3. \(2a⋅2a=2a^2\)
  4. \( 2a⋅2a=4a^2\)
  5. \(3a^2=(3a)^2\)
  6. \(3a⋅3a=(3a)^2\)

 

Extra opgave 9

Vereenvoudigen

Schrijf zo eenvoudig mogelijk.

  1. \(3a^2+4a^2\)
  2. \( (4a)^2+3a^2\)
  3. \(4a⋅3a+3a⋅3a\)
  4. \( a⋅2a+5a⋅a\)
  5. \(4⋅(a⋅4a)\)
  6. \( 3⋅(5a)^2\)

 

Extra opgave 10

Zonder haakjes

Schrijf zonder haakjes.

  1. \(a⋅(4a+b)\)
  2. \(3a⋅(3a+2b)\)
  3. \(2a⋅(4a+b)\)

 

Extra opgave 11

Haakjes

Neem over en vul in.

  1. \(5a^2+20ab=5a⋅(...+...)\)
  2. \(a^2+8ab=a⋅(...+...)\)
  3. \(3a^2+9ab=3a⋅(...+...)\)

 

Extra opgave 12

Roosterdam

In de plattegrond zie je een rechthoek op de grens van de vier wijken van Roosterdam.

  1. Bereken de oppervlakte van de rechthoek op twee manieren.
    1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
    2e manier: hokjes tellen
  2. Welke gelijkheid vind je?
  3. Hoe groot is de oppervlakte als \(a=60\) en \(b=90\)?

 

Extra opgave 13

Perzische tapijten

Er zijn twee Perzische tapijten getekend. De lengte van het kleine tapijt noemen we \(l\) en de breedte noemen we \(b\).

  1. Wat is de oppervlakte van het kleine tapijt? En wat is de omtrek van dit tapijt? Schrijf je antwoorden zo eenvoudig mogelijk.

De afmetingen (lengte en breedte) van het grote tapijt zijn twee keer zo groot als die van het kleine tapijt.

  1. Wat is de oppervlakte van het grote tapijt? En wat is de omtrek? Schrijf je antwoorden zo eenvoudig mogelijk.

 

Extra opgave 14

Vierkant

Hiernaast vind je een ander soort rooster. De horizontale afstanden zijn \(a\) en \(b\), de verticale afstanden zijn \(c\) en \(d\). Het rooster staat ook op het werkblad.

  1. Teken een rechthoek van \(a+b\) bij \(c+d\). Welke gelijkheid krijg je als je \((a+b)⋅(c+d)\) zonder haakjes schrijft?
  2. Dezelfde opdracht voor \((a+2b)⋅(3c+4d)\).

Hieronder staat een vierkant met zijde \(a+b+c\).

  1. Welke gelijkheid krijg je als je de oppervlakte van het vierkant op twee manieren opschrijft?
  2. Stel dat een vierkant zijde \(a+2b+3c\) heeft. Welke gelijkheid krijg je als je de oppervlakte van het vierkant op twee manieren opschrijft?

 

Extra opgave 15

Ribben van een kubus

De ribbe van de afgebeelde kubus is \(a+b\). Zowel in de lengte, in de breedte als in de hoogte worden de ribben verdeeld in stukken van \(a\) en \(b\). De kubus valt dus uiteen in een aantal stukken.

  1. In hoeveel stukken?
  2. Eén van de stukken heeft inhoud \(a^3\), dat is \(a⋅a⋅a\). Wat is de inhoud van de andere stukken?
  3. Door de inhoud van de kubus op twee manieren op te schrijven, vind je een gelijkheid. Welke?
  4. Controleer de gelijkheid voor \(a=3\) en \(b=2\).
  5. Bereken met de gelijkheid \(11^3\), dat is \(11 \cdot 11 \cdot 11\).
  6. Schrijf \((2a+b)^3 \)zonder haakjes.

 

Extra opgave 16

Ribben van een balk

Bekijk eens de balk van \(a\) bij \(a\) bij \(c\). Acht ribben hebben dus een lengte \(a\) en de andere vier ribben hebben lengte \(c\). Hierbij is \(a\) groter dan \(c\). Van de balk kun je verschillende uitslagen maken.

  1. Onderzoek wat de omtrek van zo'n uitslag kan zijn.

Als alle twaalf ribben van een balk lengte \(a\) hebben, heb je te maken met een kubus. De kubus heeft allerlei verschillende uitslagen.

  1. Onderzoek wat de omtrek van zo'n uitslag kan zijn.

 

Oker

Opgave 10-S

Oker: Lengte van de route

Ines staat op het schoolplein te praten met haar vriendin Anne.
Ines: "Ik loop altijd van huis naar school."
Anne: "Hoe ver is dat eigenlijk?"
Ines: "Uhm..., \(540\) meter."
Anne: "Loop je ook naar de tennisclub?"
Ines: "Nee, dat is \(850\) meter. Dat is me net te ver."

In de plattegrond zijn het huis van Ines (punt \(I\)), de school (punt \(S\)), de tennisclub (punt \(T\)) en het huis van Anne (punt \(A\)) aangegeven.

  1. Hoe ver is het van het huis van Ines naar dat van Anne?

Als je de lengte van de route van Ines naar Anne vergelijkt met één van de andere routes, dan kun je erachter komen hoe lang een kort stukje \(a\) en lang stukje \(b\) zijn.

  1. Hoe groot zijn \(a\) en \(b\)? Schrijf je berekening op.

 

Opgave 11-S

Oker: Fietsen naar de voetbalclub

Paul fietst van zijn huis (punt \(P\)) naar zijn vriend Hans (punt \(H \)). Volgens de kilometerteller van Paul is de lengte van deze route \(565\) meter. Samen moeten Paul en Hans nog \(815\) meter fietsen naar de voetbalclub (punt \(V\)). In de plattegrond is de route gekleurd die Paul fietst.

Bereken hoe groot \(a\) en \(b\) zijn. Schrijf je berekening op.

 

Opgave 19-S

Oker: Getallen van de som

In de som \(5+7+12+19+31+50=124\) zijn de eerste twee getallen (\(5\) en \(7\)) willekeurig gekozen en de andere daaruit afgeleid.

  1. Zoek uit hoe de andere getallen uit de \(5\) en de \(7\) zijn ontstaan.
  2. Vorm op dezelfde wijze minstens twee andere sommen van zes getallen en bereken de uitkomsten. De eerste twee getallen kun je willekeurig kiezen.

Bij elke rij die je hebt gemaakt, hangt de uitkomst op dezelfde manier samen met het vijfde getal uit de som. De uitkomst is namelijk telkens \(4\) keer zo groot als het vijfde getal. Ga maar na!
Dit is toch vreemd. We gaan daarom op zoek naar een verklaring. Laten we het eerste willekeurig gekozen getal uit de som \(a\) noemen en het tweede willekeurig gekozen getal \(b\).

  1. Druk de andere getallen van de som en de uitkomst uit in \(a\) en \(b\).
  2. Geef een verklaring voor de samenhang.

 

Opgave 27-S

Oker: Rooster

Bekijk eens het afgebeelde rooster. Elk hokje in het rooster is \(a\) bij \(a\). Je kunt je in het rooster alleen verplaatsen via roosterlijnen, dus alleen horizontaal of verticaal. In het rooster zijn drie punten aangegeven: \(A\), \(B\) en \(C\). Neem het rooster over op ruitjespapier.

  1. Geef alle roosterpunten aan die even ver afliggen van \(A\) als van \(B\).
  2. Welk punt ligt even ver van \(A\), \(B\) en \(C\)?
  3. Welke punten liggen twee keer zo ver van \(C\) als van \(B\)?
  4. Welke punten liggen \(4a\) verder van \(A\) dan van \(B\)?
  5. Van welke punten zijn de afstanden tot \(A\) en \(B\) opgeteld \(16a\)?

 

Opgave 37-S

Oker: Plattegrond van Roosterdam

  1. Op het werkblad staat een lege plattegrond van Roosterdam. Kleur daarin een rechthoekig gebied met een oppervlakte van \(a^2+4ab+3b^2\). Niet te snel opgeven!
  2. Welke gelijkheid vind je door de oppervlakte van jouw gebied op twee manieren te berekenen?

Je hebt net gezien dat je \(a^2+4ab+3b^2\) kunt schrijven als \((a+b)⋅(a+3b)\).

  1. Schrijf de uitdrukking \(6a^2+14ab+8b^2\) in de vorm \((\cdots) \cdot (\cdots)\). Dit is even puzzelen. Je kunt hiervoor een lege plattegrond van Roosterdam gebruiken. Deze staat op je werkblad.
  2. Neem het schema over en vul de open plaatsen in.

 

Opgave 41-S

Oker: Uitslag van een balk

figuur 1

De balk in figuur 1 is \(a\) bij \(b\) bij \(c\) centimeter.

  1. Wat is de inhoud van de balk?

In figuur 2 zie je een uitslag van de balk.

figuur 2
  1. Wat is de oppervlakte van de uitslag? Schrijf je antwoord zonder haakjes zo eenvoudig mogelijk.
  2. Wat is de omtrek van de uitslag (dat is de lengte van de rand van de uitslag)? Schrijf je antwoord weer zo eenvoudig mogelijk.
  3. Ontwerp een uitslag van de balk met een zo klein mogelijke omtrek. Hoe groot is de omtrek van jouw uitslag? Schrijf je antwoord zo eenvoudig mogelijk.

 

  • Het arrangement 6. Roosterdam is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    2019-09-24 00:53:50
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo/vwo leerjaar 1. De volgende onderdelen worden behandeld: oppervlakte en roosters.
    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Verbanden en formules; Patronen en regelmaat; Rekenen/wiskunde; Meten en meetkunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, havo/vwo 1, oppervlakte, rekenregels, rekenschema, roosters, stercollectie, wiskunde

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Gebruik
    Weergave
  • Wikiwijs is een dienst van