6. Roosterdam

6. Roosterdam

6.1 Intro

Er is ook een nieuwe, verbeterde versie 2.0 van dit hoofdstuk/thema:
https://maken.wikiwijs.nl/141063/Thema__Roosterdam_hv

 

Opgave 1

6.2 Routes in Vakhorst

Optellen van uitdrukkingen

Bekijk de plattegrond van de straten in de wijk Vakhorst. De afmetingen van een hokje in Vakhorst weten we niet. We spreken het volgende af.

  • Twee kruispunten die boven elkaar liggen, zijn verbonden door een kort stukje weg. De lengte van een kort stukje weg is \(a\) (in meters).
  • Twee kruispunten die naast elkaar liggen, zijn verbonden door een wat langer stukje weg. De lengte van een lang stukje weg is \(b\) (in meters).

Dat we in meters werken zullen we voortaan weglaten.

In Vakhorst rijdt een bus van \(A\), via de haltes \(B\), \(C\), \(D \), \(E\), \(F\) en \(G\) naar \(H\) en weer dezelfde weg terug. De route van de bus is in de plattegrond aangegeven.

We kunnen nu de lengte van een route in Vakhorst schrijven met behulp van de variabelen \(a\) en \(b\).

Voorbeeld
De lengte van de route \(AB\) is  \(a+a+a+a=4⋅a\).

In plaats van \(4⋅a\) schrijven we van af nu \(4a\). De vermenigvuldigingspunt laat je dus weg. En in plaats van \(1a\) schrijven we kortweg \(a.\)

 

Opgave 2

Opgave 3

Opgave 4

Opgave 5

Opgave 6

Opgave 7

Opgave 8

Opgave 9

Opgave 10

Opgave 11

Opgave 12

Volgens het woordenboek Van Dale is algebra:
(het deel van de) wiskunde die zich bezighoudt met de betrekkingen van door letters en tekens aangeduide grootheden (= variabelen).

De algebra is van oorsprong Arabisch. Het woord algebra is een afkorting van "al-gabr wa-l-muqabala", de titel van een leerboek van Muhammad ibn Musa, de uitvinder van de algebra. Simon Stevin heeft voor het vreemde woord "algebra" het Nederlandse woord "stelkunde" voorgesteld, maar dat is niet gangbaar geworden.

Tot het eind van de Middeleeuwen bestond de wiskunde in Europa uit meetkunde. De Europeanen hielden zich niet bezig met het algebraïsch gegoochel met variabelen. Het toverwoord "abracadabra" is zelfs een verbastering van het Arabische woord algebra.

 

6.3 Oppervlaktes in Vakhorst

Opgave 13

Opgave 14

Opgave 15

Opgave 16

Opgave 17

Opgave 18

Opgave 19

Opgave 20

6.4 Roosterkwartier

In hoofdstuk 1 - Kennismaken heb je de volgorde van de rekenkundige bewerkingen (\(+\), \(−\), \(⋅\), \(:\)) geleerd. Kwadraten kwam je daar nog niet tegen. De afspraak is: kwadrateren gaat voor vermenigvuldigen.

Hieronder vind je de volgorde van de bewerkingen.

  • Eerst wat tussen de haakjes staat uitrekenen.

  • Kwadrateren gaat voor vermenigvuldigen en delen.

  • Vermenigvuldigen en delen gaat voor optellen en aftrekken.

Opgave 21

Opgave 22

Opgave 23

Opgave 24

Opgave 25

Opgave 26

Opgave 27

Opgave 28

Opgave 29

Opgave 30

6.5 Op de grens

Op de grens van Roosterkwartier en Vakhorst ligt een groot rechthoekig park (zie de plattegrond). De hokjes in Roosterkwartier zijn \(a\) bij \(a\). De hokjes in Vakhorst zijn \(a\) bij \(b\).

Je kunt de oppervlakte van het park op twee manieren berekenen.

1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
de lengte is \(3a\)
de breedte is \(3a+2b\)
de oppervlakte is dus \(3a⋅(3a+2b)\)

2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(9\) hokjes met oppervlakte \(a^2\)
en uit \(6\) hokjes met oppervlakte \(ab\)
de oppervlakte is dus \(9a^2+6ab\)

Je vindt zo de gelijkheid \(3a⋅(3a+2b)=9a^2+6ab\).

Opgave 31

Opgave 32

Opgave 33

Opgave 34

Opgave 35

Opgave 36

Opgave 37

Opgave 38

Opgave 39

6.6 Weg uit Roosterdam

Opgave 40

Opgave 41

Opgave 42

Opgave 43

Opgave 44

Opgave 45

Opgave 46

6.7 Eindpunt

Vereenvoudigen

In de plattegrond is een route getekend. Bij de route hoort de gelijkheid \(a+2b+3a+5b=4a+7b\).

Gelijkheden

Rechthoek
Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.

1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
de lengte is \(3a\)
de breedte is \(2b\)
de oppervlakte is dus \(3a⋅2b\)

2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(6\) hokjes
elk hokje heeft oppervlakte \(ab\)
de oppervlakte is dus \(6ab\)

Je vindt zo de gelijkheid \(3a⋅2b=6ab\).
Deze gelijkheid volgt ook uit de regel \(a⋅b=b⋅a\).
Immers \(3a⋅2b=3⋅a⋅2⋅b=3⋅2⋅a⋅b=6⋅a⋅b=6ab\).


Vierkant
Je kunt de oppervlakte van het blauw gekleurde vierkant op twee manieren berekenen.

1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
de lengte is \(4a\)
de breedte is \(4a\)
de oppervlakte is dus \(4a⋅4a\), kortweg \((4a)^2\)

2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(16\) hokjes
elk hokje heeft oppervlakte \(a^2\)
de oppervlakte is dus \(16a^2\)

Je vindt zo de gelijkheid \((4a)^2=4a⋅4a=16a^2\).

Let op: \(a^2=a⋅a\) en \(2a=a+a\).

Gelijkheden controleren

Door getallen in te vullen voor de variabelen kun je een gelijkheid controleren. Als een gelijkheid klopt, levert de uitdrukking links van het gelijkteken dezelfde uitkomst op als de uitdrukking rechts van het gelijkteken. Zo niet, dan heb je met een tegenvoorbeeld laten zien dat de gelijkheid niet klopt.

Voorbeeld
De uitdrukkingen \(4a+5b\) en \(9ab\) stellen niet hetzelfde getal voor als \(a=2\) en \(b=3\).
Immers, \(4⋅2+5⋅3=8+15=23\) en \(9⋅2⋅3=54\).
Dus de gelijkheid \(4a+5b=9ab\) klopt niet.

Met en zonder haakjes

Je kunt de oppervlakte van de blauw gekleurde rechthoek op twee manieren berekenen.

1e manier: lengte \(\cdot\) breedte
de lengte is \(3a\)
de breedte is \(2a+4b\)
de oppervlakte is dus \(3a⋅(2a+4b)\)

2e manier: hokjes tellen
de rechthoek bestaat uit \(6\) hokjes met oppervlakte \(a^2\)
en uit \(12\) hokjes met oppervlakte \(ab\)
de oppervlakte is dus \(6a^2+12ab\)

Je vindt zo de gelijkheid \(3a⋅(2a+4b)=6a^2+12ab\).

Deze gelijkheid volgt ook uit de distributiewet.
Immers, \(3a⋅(2a+4b)=3a⋅2a+3a⋅4b=6a^2+12ab\)

Gelijksoortige termen optellen

De uitdrukking \(5a+7b+9a+6b\) bestaat uit vier termen. De termen \(5a\) en \(9a\) zijn van dezelfde soort (beide \(a\), de lengte van een hokje in Vakhorst). Dat geldt ook voor de termen \(7b\) en \(6b\) (beide \(b\), de breedte van een hokje in Vakhorst). Gelijksoortige termen kun je optellen: \(5a+7b+9a+6b=14a+13b\).

Omdat de termen \(7a^2\) en \(5a^2\) van dezelfde soort zijn (beide \(a^2\), de oppervlakte van een hokje in Roosterkwartier), is \(7a^2+5a^2=12a^2\).

Maar de gelijkheid \(3a^2+5a=8a^2\) klopt niet. Vul maar eens \(a=2\) in. De termen \(3a^2\) en \(5a\) zijn niet van dezelfde soort. Immers \(a^2\) is de oppervlakte van een hokje in Roosterkwartier en \(a\) de lengte van een hokje in Roosterkwartier.

6.8 Extra opgaven

Extra opgave 1

Extra opgave 2

Extra opgave 3

Extra opgave 4

Extra opgave 5

Extra opgave 6

Extra opgave 7

Extra opgave 8

Extra opgave 9

Extra opgave 10

Extra opgave 11

Extra opgave 12

Extra opgave 13

Extra opgave 14

Extra opgave 15

Extra opgave 16

Oker

Opgave 10-S

Opgave 11-S

Opgave 19-S

Opgave 27-S

Opgave 37-S

Opgave 41-S

  • Het arrangement 6. Roosterdam is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

    Auteur
    VO-content
    Laatst gewijzigd
    24-09-2019 00:53:50
    Licentie

    Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

    • het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
    • het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
    • voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

    Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

    Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

    Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

    Toelichting
    Dit thema valt onder de arrangeerbare leerlijn van de Stercollecties voor wiskunde voor havo/vwo leerjaar 1. De volgende onderdelen worden behandeld: oppervlakte en roosters.
    Leerniveau
    VWO 2; HAVO 1; VWO 1; HAVO 3; VWO 3; HAVO 2;
    Leerinhoud en doelen
    Verbanden en formules; Patronen en regelmaat; Rekenen/wiskunde; Meten en meetkunde;
    Eindgebruiker
    leerling/student
    Moeilijkheidsgraad
    gemiddeld
    Trefwoorden
    arrangeerbaar, havo/vwo 1, oppervlakte, rekenregels, rekenschema, roosters, stercollectie, wiskunde

  • Downloaden

    Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

    Metadata

    LTI

    Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

    Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

    Arrangement

    IMSCC package

    Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

    Voor developers

    Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.

  • Wikiwijs is een dienst van