In deze paragraaf leer je de oppervlakte onder een grafiek exact te berekenen. We gaan ook in op de betekenis van zo'n oppervlakte.
1
Jaap loopt \(4\) uur, het eerste uur met een snelheid van \(5\) km/u, de twee uren daarna met een snelheid van \(4\) km/u en het laatste uur met een snelheid van \(2\) km/u.
In de figuur is \(v\) de snelheid in km/u en \(t\) de looptijd in uur.
Hoe lang is het traject?
De wandelaar heeft na \(t\) uur lopen \(w\)\((t)\) km afgelegd.
Teken de grafiek van \(w\) als functie van \(t\).
Geef een formule voor \(w(t)\):
\(w(t)=\ ...\)
als \(0 \leq t \leq 1\),
\(w(t)=\ ...\)
als \(1 \leq t \leq 3\),
\(w(t) = 7+2t\)
als \(3 \leq t \leq 4\).
Geef op elk tijdsinterval uit \(b\) de groeisnelheid van \(w\).
2
Een voorwerp valt van een toren van \(80\) meter hoog. Na \(t\) seconden vallen is het voorwerp \(h(t)=5t^2\) meter gevallen en is zijn snelheid \(v(t)=10t\) m/s. Hiernaast zijn de grafieken getekend van \(h\) en \(v\), beide als functie van \(t\).
Druk de oppervlakte van de gekleurde driehoek in \(t\) uit.
Wat is het verband tussen \(h(t)\) en de oppervlakte?
3
Een auto rijdt in vier uur een bepaald traject.
Figuur 1Figuur 2
In figuur 1 en 2 is \(v\) de snelheid in km/u en \(t\) de tijd in uren. De totale lengte van het traject is \(L\) km. In figuur 1 zijn, passend onder de grafiek, rechthoeken getekend. De som van de oppervlakten van die rechthoeken is \(266\) km. Dat is een te lage schatting van \(L\): een zogenaamde onderschatting van \(L\).
Leg dat uit.
In figuur 2 zijn, passend boven de grafiek, rechthoeken getekend. De som van de oppervlakten van die rechthoeken in het tweede plaatje is \(302\). Dat is een bovenschatting van \(L\).
Hoe groot schat jij \(L\) op grond van de onder- en bovenschatting?
Hoe zou je nog een betere schatting kunnen geven?
Hoe nauwkeurig een schatting is
4
We nemen de functie \(f:x→x^2\) op het interval \([0,1]\). We verdelen het interval in tien gelijke delen. De verdeelpunten zijn \(0\), \(\frac{1}{10}\), \(\frac{2}{10}\), \(\cdots\), \(\frac{9}{10}\), \(1\). We maken een onderschatting en een bovenschatting van de oppervlakte onder de grafiek van \(f\) met rechthoeken bij deze verdeling. In de figuur hieronder zie je links de rechthoek van de onderschatting op het interval met eindpunten \(\frac{6}{10}\) en \(\frac{7}{10}\); rechts de rechthoek van de bovenschatting.
Bereken de oppervlakte van beide staven.
De onderschatting van de oppervlakte onder de grafiek van \(f\) op het interval \([0,1]\) is: \(\frac{1}{10} \cdot 0 + \frac{1}{10} \cdot (\frac{1}{10})^2 + \frac{1}{10} \cdot (\frac{2}{10})^2 + \cdots + \frac{1}{10} \cdot (\frac{9}{10})^2 = 0,285\) en van de bovenschatting: \(\frac{1}{10} \cdot (\frac{1}{10})^2 + \frac{1}{10} \cdot (\frac{2}{10})^2 + \cdots + \frac{1}{10} \cdot (\frac{9}{10})^2+ \frac{1}{10} \cdot 1^2\)\(= 0,385\). Het verschil is \(0,1\). Dat het verschil \(0,1\) is, kun je ook met de figuur hiernaast zien.
Leg dat uit.
Wat is het verschil tussen de onder- en bovenschatting als de rechthoeken breedte \(0,01\) hebben?
Jaap benadert de oppervlakte onder de grafiek van \(f:x \rightarrow x^2\) op \([0,2]\) met een onderschatting met twintig rechthoeken met breedte \(0,1\) en ook met een bovenschatting.
Wat is het verschil tussen de onder- en bovenschatting?
G.F.B. Riemann
1826-1866
Geschiedenis
Om de oppervlakte onder de grafiek van een positieve functie te benaderen, kun je een onder-/overschatting met rechthoeken maken zoals in opgave 3.
Zo'n onder-/overschatting wordt beter naarmate je met smallere rechthoeken werkt, zie opgave 4. Zodoende krijg je een steeds nauwkeuriger schatting van de oppervlakte onder de grafiek van \(f\). Bij de functies die wij behandelen kun je het verschil tussen ondersom en bovensom zo klein maken als je maar wilt. De oppervlakte onder de grafiek van \(f\) is de grenswaarde of limiet van de ondersom (en van de bovensom) bij een steeds fijnere verdeling. Om de oppervlakte onder de grafiek te bepalen is het niet noodzakelijk een regelmatige verdeling te nemen. Het doet er ook niet toe of je de grenswaarde van de boven- of ondersom neemt. We spreken - dit alles in het midden latend - over (de grenswaarde van) een Riemannsom. De methode om de oppervlakte onder de grafiek met een steeds fijnere verdeling van rechthoeken te benaderen is afkomstig van de Duitse wiskundige Bernhard Riemann.
Zo'n som wordt genoteerd met \(\sum f (x) \Delta x\). Het sigma-teken \(\sum\) geeft aan dat de som wordt genomen, de rechthoeken hebben oppervlakte \(f (x) \Delta x\).
Conclusie \(L\) (opgave 3) is de oppervlakte onder de grafiek van \(v\).
In de opgaven 1, 2 en 3 hebben we gezien dat de oppervlakte onder de snelheidsgrafiek van een functie \(v\) op een bepaald tijdsinterval gelijk is aan de afgelegde weg \(s\) op dat tijdsinterval.
In het hoofdstuk Inleiding differentiëren van 4vb heb je gezien dat de hellingfunctie van de afgelegde-weg-grafiek \(s\) de snelheidsgrafiek oplevert.
Differentiëren en integreren hebben omgekeerde werking.
Archimedes
287-212 v. Chr.
De oppervlakte van gebieden met kromme grenzen is in het algemeen niet zo gemakkelijk te bepalen. Het bekendste voorbeeld is de cirkel. Daarvan was de oppervlakte al in de Griekse oudheid bekend. Archimedes wist ook de exacte oppervlakte onder de grafiek van \(y= x^2\) op op het interval\( [0,1]\) exact te berekenen.
Hoe Archimedes de oppervlakte van een cirkel benaderde kun je vinden op de website van Dick Klingens.
In de volgende opgave bekijken we hoe hij de oppervlakte van een paraboolsegment bepaalde.
In de 16de eeuw, met de uitvinding van de differentiaal- en integraalrekening, is het berekenen van de oppervlakte van "kromme" gebieden sterk vereenvoudigd.
5
Gegeven is de functie \(f:x→x^2\) op het interval \([0,1]\). Links is de grafiek getekend in een rooster met hokjes van \(0,05\) bij \(0,05\). Hiermee kun je een schatting maken van de oppervlakte onder de grafiek. In opgave 4 hebben we gezien dat die oppervlakte tussen \(0,285\) en \(0,385\) ligt.
Maak een schatting van de oppervlakte onder grafiek.
In het midden is een parabool \(p\) getekend met daarop de punten \(A\) en \(B\). Het vlakdeel begrensd door p en lijnstuk \(AB\) noemen we een paraboolsegment. Volgens Archimedes de oppervlakte van het segment \(113\) maal de oppervlakte van driehoek \(ABC\), waarbij \(C\) het snijpunt is van \(p\) met de lijn door het midden van lijnstuk \(AB\) evenwijdig aan de as van de parabool, zie de tekening rechts.
Zie B.L. van der Waerden:"Ontwakende wetenschap", blz 238, P.Noordhoff nv, Groningen.
Voer de berekening van Archimdes uit.
6
We bekijken de oppervlakte onder de grafiek van de functie \(f:x→x^2\) op het interval \([0,t]\), met \(t>0\). We noemen die oppervlakte \(O(t)\), zie de figuur hieronder links. We laten zien dat \(O\) een primitieve van \(f\) is.
Laat met de methode van Archimedes (zie opgave 5) zien dat \(O (t) = \frac{1}{3}t^3\).
Geef \(O'(t)\).
\(P(t)\) is de oppervlakte onder de grafiek van de functie \(f\) op het interval \([2,t]\) met \(t>2\), zie de figuur hierboven midden.
Je kunt met de methode van Archimedes een formule voor \(P(t)\) geven. Maar eenvoudiger is het om \(O(t)=\frac{1}{3}t^3\) te gebruiken.
Laat zien hoe en geef ook \(P′(t)\).
De oppervlakte onder de grafiek van de functie \(g:x \rightarrow x \rightarrow \sqrt{x}\) op het interval \([0,t]\) met \(t>0\), noemen we \(G(t)\), zie de figuur hierboven rechts.
Geef een exacte formule voor \(G(t)\) met behulp van de formule voor \(O(t)\) die je gevonden hebt.
Wat is \(G′(t)\)?
Een functie \(F\) heet primitieve functie van de functie \(f\) als \(F′(x)=f(x)\) voor alle \(x\).
In opgave 6 heb je gezien dat de functie \(f:x→x^2\) als primitieve de functie \(O\) met \(O(x)= \frac{1}{3}x^3\) heeft, \(g:x→x \rightarrow \sqrt{x}\) als primitieve de functie \(G\) met \(G(x)= \frac{2}{3}x \sqrt{x}\) heeft. Niet alleen \(O\) (onderdeel 6a is een primitieve van \(f\), maar ook \(P:x→\frac{1}{3}x^3-2 \frac{2}{3}\) onderdeel 6c.)
Stelling 1
Gegeven is een functie \(f\) op het interval \([a,b]\).
Als \(F\) een primitieve van \(f\) is, dan is de functie \(x→F(x)+c\) ook een primitieve van \(f\) voor elke constante \(c\).
Omgekeerd: als \(F1\) en \(F2\) primitieven zijn van \(f\), dan is \(F1−F2\) constant.
Het eerste deel van de stelling is waar. Dat het omgekeerde ook waar is, bewijzen we niet.
Opmerking:
Een voorwerp beweegt. De afgelegde weg \(s(t)\) meter (kilometer,...,...) na \(t\) seconden (uren,...,...) is een primitieve van de snelheid \(v(t)\) in m/s (km/u,...,...).
De afgelegde weg gedurende het tijdsinterval \([a,b]\) is de oppervlakte onder grafiek van \(v\).
7
Een automobilist laat zijn auto uitlopen bij het naderen van de \(30 \) km-zone. Zijn snelheid \(v(t)\) na \(t\) seconden is: \(v(t)=9+ \frac{20}{t+4}\) m/s.
De grafiek van \(v\) op het tijdsinterval \([0,30]\) staat hieronder.
Bereken de snelheid van de auto op \(t=0\) en \(t=30\) in km/u.
De afgelegde weg na \(t\) seconden \(s(t)\) is primitieve functie van \(v(t)\).
Ga na dat de functie \(t→9t+20\)\(\cdot\ ln\)\((t+4)\) een primitieve is van \(v(t)\).
Dus volgens de stelling geldt: \(s(t)=9t+20\)\(\cdot\ ln\)\((t+4)+c\), voor een of ander constante \(c\).
Het getal \(c\) kun je vinden omdat je \(s(0)\) kent.
Wat is \(s(0)\)? Bereken \(c\) hieruit exact.
Bereken exact hoeveel meter de auto heeft afgelegd op het tijdsinterval \([0,30]\). Geef ook een benadering in twee decimalen.
Wat is de gemiddelde snelheid van de auto (in km/u) op het tijdsinterval \([0,30]\). Geef je antwoord in één decimaal.
Opmerking:
Als de snelheid van een auto niet constant is, kun je de gemiddelde snelheid van de auto op een bepaald tijdsinterval uitrekenen door de oppervlakte onder de grafiek op dat interval te delen door de lengte van het interval.
8
De figuur links links gaat over een race tussen twee auto's, \(v\) is de snelheid en \(t\) de tijd. Op \(t=0\) is de start.
Welke auto ligt voor op \(t=10\)? Hoe zie je dat aan de grafieken?
In de figuur rechts zie je grafieken van het temperatuurverloop op twee dagen in Boxmeer, een dinsdag en een woensdag.
Op welke dag was de gemiddelde temperatuur het hoogst? Waarom?
9
Bekijk het werkblad. Gegeven is de functie \(f:x→sin^2(x)\). Hieronder is de grafiek getekend op het domein \([0,2π]\).
Met knippen en plakken kun je een rechthoek van het gebied onder de grafiek van \(f\) maken.
Laat zien hoe dat gaat.
Wat is dus de oppervlakte exact?
Wat is de oppervlakte onder de grafiek van de functie \(g:x→3sin^2(x)\) op \([0,2π]\) exact?
Wat is de oppervlakte onder de grafiek van de functie \(h:x \to \sin^2 (\frac{1}{2}x)\)op \([0,2π]\) exact? Licht je antwoord toe.
Er wordt een spanningsverschil \(V\) over een weerstand (bijvoorbeeld een lamp) gezet. Uit de natuurkunde is bekend dat het afgegeven vermogen \(W\) evenredig is met \(V^2\).
De wisselspanning via een stopcontact is sinusvormig met \(50\) periodes per seconde (\(50\) hz). Het spanningsverschil in Europa is \(230\) volt. Dat wil zeggen dat de afgegeven energie over een bepaald tijdsinterval hetzelfde is als dat van een gelijkspanning (constante spanning) van \(230\) volt. Neem aan dat de wisselspanning amplitude \(V\) heeft.
De afgegeven energie op een bepaald tijdsinterval is de oppervlakte onder het vermogen \(W\) op dat interval.
Als je de afgegeven energie van de wissel- en gelijkspanning over één periode met elkaar vergelijkt vind je: \(\frac{1}{12} \cdot V^2=230^2\), dus \(V=230\ –\sqrt{2}\).
In de voorgaande twee opgaven hebben we gezien dat de oppervlakte onder de grafiek van een functie een belangrijke rol speelt.
We eindigen deze paragraaf met een mooie tekst van Piet Grijs (pseudoniem van Hugo Brandt-Corstius.)
De integraal
De integraal
10
Hiernaast zijn de punten \(A(‐2,0)\), \(B(10,6)\), \(C(10,0)\) getekend. Op de zijden van driehoek \(ABC\) liggen de punten \(X\) en \(Y\), beide met eerste coördinaat \(x\).
De oppervlakte van driehoek \(AXY\) hangt van \(x\) af. We noemen die \(O(x)\).
Geef een formule voor \(O(x)\).
Lijn \(AB\) is de grafiek van de functie \(f\).
Toon aan dar de functie \(O\) een primitieve is van de functie \(f\).
De bewering in onderdeel b van de vorige opgave geldt algemener. Dat zien we in de volgende opgave.
11
Gegeven is een positieve stijgende functie \(f\). We bekijken de oppervlakte \(O(x)\) onder de grafiek van \(f\) op het interval \([a,x]\), zie de figuur hieronder links. We laten zien dat \(O\) een primitieve van \(f\) is.
In de figuur rechts is de oppervlakte onder de grafiek van \(f\) op het interval \([c,c+Δx]\) oker gekleurd.
Deze is \(O(c + \Delta x) - O(c)\).
Er geldt: \(f(c) \cdot \Delta x \leq O(c+ \Delta x) + O (c) \leq f(c+ \Delta x) \cdot \Delta x\)
Leg dat uit.
Uit a volgt: \(f \Big(c \Big) \leq \frac{O(c+ \Delta x)-O(c)}{\Delta x} \leq f \Big(c + \Delta x \Big)\)
Laat nu \(\Delta x\) naar \(0\) naderen, dan volgt hieruit dat \(O'(c)= f(c)\).
Laat dat zien.
Opmerking
In het antwoord van opgave 11b wordt verondersteld dat \(\begin{matrix} lim\\ \Delta x \to 0 \end{matrix} f \bigg(c + \Delta x \bigg) = f \bigg(c\bigg)\). Dat klopt niet altijd, bijvoorbeeld als de grafiek vanf een 'sprong' maakt als \(x=c\).
Een wiskundige vraagt zich ook af welke eigenschappen een functie moet hebben opdat de oppervlakte onder de grafiek bestaat.
Wij maken ons daar geen zorgen om.
Ook is in opgave 11 verondersteld dat de functie \(f\) stijgend is. Voor andere functies gaat het bewijs net zo.
De oppervlakte onder de grafiek van een positieve functie \(f\) op het interval \([a,b]\) noteren we met \(\int\limits_a^b\)\(f(x) dx\).
We noemen \(\int\limits_a^b\)\(f(x) dx\) een integraal, preciezer de integraal van \(a\) tot \(b\) van \(f\). De functie onder het integraalteken \(\int\) noemen de de integrand (latijn: 'integrand'='wat geïntegreerd moet worden').
Merk de grote overeenkomst op tussen de integraal-notatie met de symbolen \(\int\) en \(dx\) en de onder- of bovensom-notatie met \(\sum\) en \(\Delta x\). De integraal is de grenswaarde van steeds fijnere onder- of bovensommen. Als we de limiet nemen vervangen we:
\(\sum\) door \(\int\),
\(\Delta x\) door \(dx\).
Met dx wordt, zoals in de notatie van de afgeleide, een 'oneindig kleine' toename \(Δx\) bedoeld. De integraal-notatie is afkomstig van Leibniz en de gebroeders Bernoulli.
We passen de nieuwe notatie toe.
Opgave 2: de gevallen hoogte in het tijdsinval \([0,t]\) is: \(h \bigg(t \bigg) = \int\limits_t^0 v(t)\ dt\)
Opgave 6: de oppervalte onder de grafiek van de functie \(y=x^2\) op het interval \([2,t]\) is: \(P \bigg( t \bigg) = \int\limits_2^t\ x^2\ dx\)
Opgave 6: de oppervlakte onder de grafiek van de functie \(y= \sqrt x\) op het interval \([0,t]\) is: \(G \bigg( t \bigg) = \int\limits_0^t \sqrt x\ dx\)
Stelling 2
De functie \(x \to \int\limits_a^x\ f (x)\ dx\) is een preimitieve functie van de functie \(f\).
Als \(F\) een primitieve van \(f\) is, dan \(\int\limits_a^b f (x)\ dx = F \bigg(b \bigg) - F \bigg(a \bigg)\).
Het bewijs van het eerste deel van de stelling hebben we in opgave 11 gezien.
Het bewijs van het tweede deel gaat zo.
Omdat twee primitieven een constante verschillen (Stelling 1) geldt:
\(\int\limits_a^x f (x)\ dx = F \bigg(x \bigg) + c\) voor een of een andere constante \(c\). Er geldt:
\(\int\limits_a^a\ f (x)\ dx = 0\), dus \(F(a) + c = 0\), dus \(c=\ ‐F(a) \) en
\(\int\limits_a^x f(x)\ dx = F \bigg( x \bigg) - F \bigg( a \bigg)\). Vul hierin voor \(x = b\) in.
Voorbeeld
Om\(\int\limits_1^2 (x^3 - X^2)\ dx\) te berekenen, zoek je eerst een primitieve \(F\) van \(f\).
Je kunt bijvoorbeeld \(F(x) = \frac14x^4 - \frac13x^3\) nemen, dan \(\int\limits_1^2 (x^3 - x^2)\ dx = F \bigg(2 \bigg) - F \bigg(1 \bigg) = (4- \frac83) - ( \frac14 - \frac13)= 1\frac{5}{12}\).
Voorbeeld
Hieronder is het gebied tussen de grafiek van de functie \(f\) met \(f(x) = \sqrt[3]{x}\) en de lijn \(k\) met vergelijking \(y= \frac14x \) gekleurd.
We berekenen de oppervlakte van dit gebied exact.
Eerst berekenen we de eerste coördinaten van de snijpunten van de grafiek van \(f\) en lijn \(k\):
\(\sqrt[3]{x} = \frac14x \Leftrightarrow 0\) of \(x^\frac23 = 4 \Leftrightarrow x = 0\) of \(x=8\)
De oppervlakte onder de grafiek van \(f\) op \([0,8]\) is
\(\int\limits_0^8 f(x)\ dx = F \bigg(8 \bigg) - F \bigg(0 \bigg)\), waarbij \(F\) een primitieve functie van \(f\).
Omdat bij differentiëren de exponent van een machtsfunctie met \(1\) verlaagd wordt, kun je voor \(F\) de functie \(F(x)=c⋅x \frac43\) voor een of andere constante \(c\) proberen.
Als je deze functie differentieert, zie je dat je voor \(c=34\) moet nemen.
Dus de oppervlakte onder de grafiek van f op \([0,8]\) is: \(F(8)−F(0)= \frac34⋅8\frac43=12\).
De oppervlakte onder de grafiek van k op \([0,8]\) is: \(\frac12⋅8⋅2=8\).
De oppervlakte van het gekleurde gebied is dus \(12−8=4\).
12
Bepaal van de volgende functies een primitieve.
\(y=x^{10}\)
\(y = x \sqrt x\)
\(y = \cos(x)\)
\(y=s \sin(x)\)
\(y = e^x\)
\(y = e^{2x}\)
\(y = \frac1x\)
\(y= \frac{1}{e^x}\)
\(y=x+ \frac{1}{x^2}\)
\(y = \frac{x^3 + 1}{x^2}\)
13
Gegeven zijn de functies \(f\), \(g\) en \(h\) met \(f(x)=x^2\), \(g(x)=2x^2\), \(h(x)=3x^2\).
Hiernaast staan de grafieken op het interval \([0,2]\). Het gebied tussen de \(x\)-as en de grafiek van \(h\) wordt door de andere grafieken in drie gebieden verdeeld.
Beredeneer, zonder de oppervlakte van een gebied te berekenen, dat de gebieden dezelfde oppervlakte hebben.
Bereken \(\int\limits_0^2 3x^2 dx\).
Bij het berekenen van een integraal is de volgende notatie handig: met \([H(x)]^2_0\) bedoelen we: \(H(2)−H(0)\).
Dan ziet het antwoord van opgave 13b er zo uit:
\(\int\limits 3x^2dx = [x^3]^2_0 = 8 -0 = 8\).
14
Bereken de volgende integralen langs algebraïsche weg (met behulp van een primitieve). Het betreft hier positieve functies.
\(\int\limits_1^4 \sqrt x\ dx\)
\(\int\limits_1^4 \frac{8}{\sqrt x}\ dx\)
\(\int\limits_2^3 \frac{12}{x^2}\ dx\)
\(\int\limits_0^\pi \sin(x)\ dx\)
\(\int\limits_0^{ln\ 2} e^x\ dx\)
\(\int\limits_0^2 10\ dx\)
15
We bekijken de functies \(f\) en \(g\), waaarbij \(f(x)=\sin(x)\) en \(g(x)=1−\sin(x)\). Het gebied tussen de twee grafieken vormt een 'oneindig lange parelketting' met twee soorten 'parels'.
Die is hieronder getekend.
Er geldt: \(f(x)+g(x)=1\), voor alle \(x\).
Wat betekent dat voor de grafieken van \(f\) en \(g\)?
De tweede coördinaat van elk snijpunt van de grafieken van \(f\) en \(g\) is \(\frac12\).
Bereken de eerste coördinaat van elk snijpunt exact.
Bereken de oppervlakte van een 'kleine' en een 'grote parel' exact.
Je kunt de oppervlakte onder de grafiek van \(f\) op het interval \([16π,56π]\) met de GR benaderen.
Zoek uit hoe dat gaat.
16
Ga na dat de functie \(F\) een primitieve is van de functie \(f\) in de volgende gevallen.
Hiernaast staat de grafiek van de functie \(f\) met \(f(x)=2+ \frac1x\).
De oppervlakte van het gekleurde gebied is \(\int\limits_{‐2}^{‐\frac12}f(x) dx\).
Om deze integraal exact te berekenen heb je een primitieve nodig van de functie \(y= \frac1x\).
Een primitieve is de functie \(x→ln\ x\), maar die bestaat alleen maar als \(x>0\), dus daar heb je niets aan.
Ga na dat de functie \(G:x→ln|x|\) een primitieve van de functie \(g:x→ \frac1x\) is.
Bereken de oppervlakte van het gekleurde gebied exact.
Een primitieve van de functie \(y= \frac1x\) is de functie \(Y=ln|x|\ ( x≠0)\).
Antwoorden De integraal
De oppervlakte onder een grafiek
1
\(15\) km
\(w(t)=5t\)
als \(0 \leq t \leq 1\),
\(w(t)=1+4t\)
als \(1 \leq t \leq 3\),
\(w(t)=7+2t\)
als \(3 \leq t \leq 4\).
\(5\), \(4\) en \(2\)
2
\(\frac{1}{2} \cdot t \cdot 10t = 5t^2\)
\(h(t)=\) de oppervlakte van het gekleurde gedeelte.
3
Als de grafiek van de snelheid steeds door de bovenkanten van de rechthoeken wordt gegeven, zou de auto altijd langzamer rijden dan wanneer de snelheid door de gladde grafiek wordt gegeven. De afgelegde weg in het eerste geval (dat is de totale oppervlakte van de rechthoeken) is dus kleiner dan de afgelegde weg in het tweede geval (dat is \(L\)).
Ik schat: \((266+302):2=284\).
Door smallere rechthoeken te nemen, benader je de snelheidsgrafiek nauwkeuriger.
4
Rechthoek van de onderschatting \(\frac{1}{10} \times (\frac{6}{10})^2 = \frac{36}{1000}\), van de bovenschatting: \(\frac{1}{10} \cdot (\frac{7}{10})^2 = \frac{49}{1000}\).
Het verschil tussen de onder- en de bovenschatting op de tien intervallen is de som van de oppervlakte van de rechthoeken in de figuur. Die tien rechthoeken vormen samen een rechthoek van \(0,1\) breed en \(1\) hoog.
\(0,01 \cdot (f(1) - f(0)) = 0,01\)
\(0,1⋅(f(2)−f(0))=0,4\)
5
Ik schat \(0,34\).
\(\frac{1}{3}\)
6
Neem \(A(0,0)\), \(B(t,t^2)\), \(D(\frac{1}{2}t,0)\) en \(E(t,0)\),
dan is \(C(\frac{1}{2} t, \frac{1}{4}t^2)\) het midden van lijnstuk \(AB\).
Oppervlakte driehoek \(AEB=\frac{1}{2}t^3\),
oppervlakte driehoek \(ACD=\frac{1}{16}t^3\),
oppervlakte trapezium \(DEBC=\frac{1}{2} ⋅ \frac{1}{2}t (\frac14t^2+t^2)=\frac{5}{16}t^3\),
dus oppervlakte driehoek \(ABC= \frac12t^3 - \frac{5}{16}t^3 - \frac{1}{16}t^3=\frac{1}{8}t^3\),
dus de oppervlakte van het paraboolsegment \(ABC= \frac34\cdot \frac18t^3 = \frac16t^3\)
en \(O(t)= \frac12t^3-\frac16t^3= \frac13t^3\).
De oppervlakte van rechthoek \(ABCD\) is \(t⋅ \sqrt t\). De rechthoek wordt door de grafiek van \(g\) in twee delen verdeeld. Het bovenste deel heeft oppervlakte \(O(\sqrt t)=\frac13t \sqrt t\).
Dus \(G(t)= t \sqrt t - \frac13t \sqrt t = \frac23t \sqrt t\).
\(G'(t) =\sqrt t\)
7
\(v (0) = 14\) m/s en \(v(30)=9,5 ... \) m/s. Deze snelheden komen overeen met \(50\) en \(35\) km/u
De afgeleide is \(v(t)\).
Er geldt: \(s(0)=0\), dus \(c= -20\ \cdot ln (t+4)\)
\(s (30)=270+20 \cdot ln\ (34) -10 \cdot ln\ 4\) meter, dat is ongeveer \(312,80\) meter.
\(312,80 : 30 \cdot 3,6 \approx 37,5\)
8
Auto \(1\).De oppervlakte onder de grafiek van de auto \(1\) is groter dan die onder de grafiek van auto \(2\), dus auto \(1\) heeft een grotere afstand afgelegd.
Ongeveer even hoog, want de oppervlakte "onder wo, boven di" is ongeveer de oppervlakte "onder di, boven wo".
9
\(\frac12 \cdot 2 \pi = \pi\)
\(3 \cdot \pi = 3\pi\)
De grafiek van \(h\) krijg je door die van van \(f \) op \([0,π]\) horizontaal met \(2\) te vermenigvuldigen. De oppervlakte blijft hetzelfde, dus \(π\).
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Jaap loopt 
Een voorwerp valt van een toren van 
De onderschatting van de oppervlakte onder de grafiek van 
Conclusie
Er wordt een spanningsverschil 
Hiernaast zijn de punten 
Gegeven zijn de functies 
De tweede coördinaat van elk snijpunt van de grafieken van 
Hiernaast staat de grafiek van de functie 
Neem 
De oppervlakte van rechthoek 
