Introductie

Welkom bij de Kennisbank Wiskunde bovenbouw vmbo.
Over de belangrijkste onderwerpen vind je op deze website uitleg en oefeningen.
De leerstof is onderverdeeld in vier hoofdstukken:

Grafieken en Formules,
Rekenen,
Meten en tekenen,
Informatieverwerken.

Om van start te gaan kies je hiernaast een van deze vier hoofdstukken.
Kies vervolgens een van de beschikbare items. Het item opent zich in een popup.

Veel succes!

Grafieken en Formules

Tabel, grafiek, formule

Verband in een tabel

Een verband tussen twee variabelen kun je weergeven in een tabel.

Voorbeeld

Een auto rijdt met een snelheid van \(\small{50}\) km/uur.
Er is een verband tussen de \(\small{\text{tijd}}\) die de auto rijdt en de \(\small{\text{afstand}}\) die de auto aflegt.

Dat verband kun je weergeven in een tabel.

\(\small{\text{tijd}}\) (uur)	\(\small{0}\)	\(\small{0\text{,}5}\)	\(\small{1}\)	\(\small{1\text{,}5}\)	\(\small{2}\)
\(\small{\text{afstand}}\) (km)	\(\small{0}\)	\(\small{25}\)	\(\small{50}\)	\(\small{75}\)	\(\small{100}\)

Uit de tabel kun aflezen dat de auto na \(\small{1\text{,}5}\) uur \(\small{75}\) km heeft afgelegd.

Verband in een grafiek

Een verband tussen twee variabelen kun je weergeven in een grafiek.

Voorbeeld
Een kaars wordt aangestoken.

In de grafiek is het verband tussen de \(\small{\text{brandtijd}}\) en de \(\small{\text{lengte}}\) van de kaars weergegeven.

Uit de grafiek kun je aflezen dat de kaars toen hij aangestoken werd \(\small{16}\) cm lang was.
Na \(\small{3}\) uur branden was de kaars nog \(\small{6}\) cm lang.
Na \(\small{8}\) uur branden is de kaars opgebrand.

Verband in een formule

Een verband tussen twee variabelen kun je soms weergeven in een formule.

Voorbeeld
Een taxibedrijf rekent voor een taxirit een vast bedrag van \(\small{\text{€ }3\text{,-}}\)plus \(\small{\text{€ }2\text{,-}}\)per gereden kilometer.

Het verband tussen de \(\small{\text{ritafstand}}\) (in km) en de \(\small{\text{ritprijs}}\) (in euro) kun je berekenen met de formule:
\(\small{\text{ritprijs} = 3 + 2 \times \text{ritafstand}}\)

Met de formule kun je uitrekenen dat je voor een rit van \(\small{2}\) km \(\small{\text{€ }7\text{,-}}\)betaalt.
En voor een rit van \(\small{7\text{,}5}\) km betaal je \(\small{\text{€ }18\text{,-}}\).

Lettervariabelen

Bekijk de formule:
\(\small{\text{ritprijs} = 3 + 2 \times \text{afstand}}\)

In plaats van de woordvariabelen \(\small{\text{ritprijs}}\) (in euro) en \(\small{\text{afstand}}\) (in km) kun je ook lettervariabelen gebruiken.

Neem bijvoorbeeld \(\small{\text{R}}\) voor \(\small{\text{ritprijs}}\) en \(\small{\text{A}}\) voor \(\small{\text{afstand}}\).

De formule wordt dan: \(\small{\text{R}= 3 + 2 \times \text{A}}\)

In plaats van het \(\small{\times}\)-teken wordt vaak een \(\small{\cdot}\) gebruikt.
Soms wordt het \(\small{\times}\)-teken of de \(\small{\cdot }\) zelfs helemaal weggelaten.
De formule wordt dan: \(\small{\text{R} = 3 + 2 \cdot \text{A}}\) of \(\small{\text{R}= 3 + 2\text{A}}\)

Voor lettervariabelen kun je een getal invullen.
Als je voor \(\small{\text{A}}\) het getal \(\small{10}\) invult, krijg je: \(\small{\text{R} = 3 + 2 \times 10=23}\).
Een rit van \(\small{10}\) km kost dus \(\small{23}\) euro.

Rekenen met lettervariabelen

Gelijke (letter)variabelen kun je bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken.

Voorbeelden

\(\small{\text{a} + \text{a} = 2 \times \text{a} = 2\text{a}}\)
\(\small{2 \times \text{b} + 3 \times \text{b} = 5 \times \text{b} = 5\text{b}}\)
\(\small{5 \times \text{a} - 2 \times \text{a} = 3 \times \text{a} =3\text{a}}\)
\(\small{4 \times \text{b} - \text{b} = 3 \times \text{b} = 3\text{b}}\)
\(\small{4\text{b} + 2\text{a} +2\text{b} = 6\text{b} +2\text{a}}\)
\(\small{6\text{p} +3\text{q} -2\text{p} -4\text{q} = 4\text{p} +\text{q}}\)

Voorbeeld

Het figuur hiernaast is gemaakt met kortere (\(\small{\text{a}}\)) en langere lucifers (\(\small{\text{b}}\)).
De \(\small{\text{omtrek}}\) van de figuur is:
\(\small{\text{b}+\text{b}+\text{a}+\text{b}+\text{a}+\text{a}+\text{a}+\text{b}=4\text{a}+4\text{b}}\)

Als \(\small{\text{a}=4}\) en \(\small{\text{b}=6}\), dan \(\small{\text{omtrek}=4 \times 4 +4 \times 6 =40}\)

Lineair verband

Lineair verband in een grafiek

Is de grafiek die je bij een verband kunt tekenen een rechte lijn, dan noem je het verband een lineair verband.

Voorbeeld
Een auto rijdt met een constante snelheid van \(\small{50}\) km/uur.

In de grafiek zie je het verband tussen de \(\small{\text{tijd}}\) die de auto rijdt en de \(\small{\text{afstand}}\) die de auto aflegt weergegeven.

De grafiek is een rechte lijn, dus het verband tussen de \(\small{\text{tijd}}\) en de \(\small{\text{afstand}}\) is een lineair verband

Lineair verband in een tabel

In een tabel van een lineair verband kun je een regelmaat ontdekken.
Bij een gelijke toename van de ene variabele hoort steeds dezelfde toename van de andere variabele.

Voorbeeld
Een kaars wordt aangestoken. In de tabel is het verband tussen de \(\small{\text{brandtijd}}\) van de kaars en de \(\small{\text{lengte}}\) van de kaars weergegeven.

\(\small{\text{brandtijd}}\) (uur)	\(\small{0}\)	\(\small{2}\)	\(\small{4}\)	\(\small{6}\)	\(\small{8}\)
\(\small{\text{lengte}}\) (cm)	\(\small{15}\)	\(\small{12}\)	\(\small{9}\)	\(\small{6}\)	\(\small{3}\)

In de tabel zie je een regelmaat. Steeds als de \(\small{\text{brandtijd}}\) met \(\small{2}\) uur toeneemt, neemt de \(\small{\text{lengte}}\) van de kaars met \(\small{3}\) cm af.
Het verband tussen de \(\small{\text{brandtijd}}\) en de \(\small{\text{lengte}}\) is een lineair verband.

Lineair verband in een formule

Bij een lineair verband kun je een formule maken.
Het verband heeft een formule van de vorm:
\(\small{\text{uitkomst}=\ ..\ +\ ..\ \times \text{getal}}\)

of
\(\small{\text{uitkomst} = \ ..\ \times \text{getal} + \ ..\ }\)

Voorbeeld
Een taxibedrijf rekent voor een taxirit een vast bedrag van \(\small{\text{€ }3\text{,-}}\) plus een \(\small{\text{€ }2\text{,-}}\) per kilometer.
Het verband tussen de \(\small{\text{ritafstand}}\) (in km) en de \(\small{\text{ritprijs}}\) (in euro) kun je berekenen met de formule:
\(\small{\text{ritprijs} = 3 + 2 \times \text{ritafstand}}\)

of
\(\small{\text{ritprijs} = 2 \times \text{ritafstand} + 3}\)

Aan de vorm van de formule zie je dat het verband tussen de \(\small{\text{ritprijs}}\) en de \(\small{\text{ritafstand}}\) een lineair verband is.

Hellingstabel en snijpunt met de verticale as

In de grafiek is het verband tussen een \(\small{\text{getal}}\) en de \(\small{\text{uitkomst}}\) weergegeven. De grafiek is een rechte lijn. Het verband is dus een lineair verband.
De formule bij dit verband is:

\(\small{\text{uitkomst =}}\)	\(\small 2\)	\(\small+\)	\(\small 3\)	\(\small \times \text{ getal}\)

Het getal \(\small{2}\) geeft aan waar de grafiek de verticale as snijdt. De grafiek gaat door \(\small{(0,2)}\).

Iedere keer als je \(\small{1}\) naar rechts gaat, ga je \(\small{3}\) omhoog. Het getal \(\small{3}\) noem je het hellingsgetal.

Het hellingsgetal geeft aan hoe steil de grafiek loopt.

Een formule maken bij een lineair verband

In de grafiek is het verband tussen een \(\small{\text{getal}}\) en de \(\small{\text{uitkomst}}\) weergegeven.
De grafiek is een rechte lijn.
Het verband is dus een lineair verband.
De formule heeft de vorm:
\(\small{\text{uitkomst} = \ ..\ \times \text{getal} + \ ..\ }\)

of
\(\small{\text{uitkomst} = \ ..\ = \ ..\ \times \text{getal}}\)

De grafiek snijdt de verticale as in \(\small{(0,16)}\).
Het hellingsgetal van de grafiek is \(\small{\text{-}12 : 4 =}\)

De formule bij het verband is:
\(\small{\text{uitkomst} = \text{-}3 \times \text{getal} + 16}\)

of
\(\small{\text{uitkomst} = 16 - 3 \times \text{getal}}\)

Oplossen met grafieken

Vergelijking en oplossing

Bekijk de formule:

\(\small{\text{uitkomst} = 2+3 \times \text{getal}}\)

Je wilt weten bij welk \(\small{\text{getal}}\) de \(\small{\text{uitkomst}}\) \(\small{11}\) is.
Je vult de \(\small{\text{uitkomst}}\) in.
Je krijgt dan de vergelijking:

\(\small{11=2+3 \times \text{getal}}\) of \(\small{2+3 \times \text{getal} = 11}\)

De oplossing van de vergelijking is: \(\small{\text{getal}=3}\)

Je kunt de oplossing controleren door hem in te vullen in de vergelijking.

\(\small{2+3 \times 3 =11}\) Klopt!

Bekijk de twee formules:

\(\small{\text{I} \ \ \text{uitkomst}=2+3\ \times \text{getal}}\)
\(\small{\text{II} \ \ \text{uitkomst}=12 -2 \times \text{getal}}\)

Voor welk \(\small{\text{getal}}\) is de \(\small{\text{uitkomst}}\) van formule I gelijk aan de \(\small{\text{uitkomst}}\) van formule II?
Je moet op zoek naar de oplossing van de vergelijking:

\(\small{2 + 3 \times \text{getal}= 12 - 2 \times \text{getal}}\)

De oplossing van de vergelijking is: \(\small{\text{getal}=2}\)

Controleer de oplossing:

\(\small{2 + 3 \times 2 = 8}\) en \(\small{12 - 2 \times 2 = 8}\) Klopt!

Oplossing zoeken met een grafiek

Bij de volgende formule is een grafiek getekend:
\(\small{\text{uitkomst} = 2 + 3 \cdot \text{getal}}\)

Je wilt weten bij welk \(\small{\text{getal}}\) de \(\small{\text{uitkomst}}\) \(\small{11}\) is.
Je vult de uitkomst in.
Je krijgt dan de vergelijking:
\(\small{2+3 \cdot \text{getal} = 11}\)

Met behulp van de grafiek zie je dat de oplossing van de vergelijking is: \(\small{\text{getal}=3}\)

Je kunt de oplossing controleren door hem in te vullen in de vergelijking.
\(\small{2+3 \times 3 = 11}\) Klopt!

Oplossingen zoeken met grafieken

Bij de grafieken hiernaast horen de formules:\(\small{\text{I} \ \ \text{uitkomst} = 2 + 3 \cdot \text{getal}}\)
\(\small{\text{II} \ \ \text{uitkomst} = 12 - 2 \cdot \text{getal}}\)

Voor welk \(\small{\text{getal}}\) is de \(\small{\text{uitkomst}}\) van formule I gelijk aan de \(\small{\text{uitkomst}}\) van formule II?
Je moet op zoek naar de oplossing van de vergelijking:
\(\small{2 + 3 \cdot \text{getal} = 12 - 2 \cdot \text{getal}}\)

De oplossing vind je met behulp van de grafieken.
Oplossing is: \(\small{\text{getal}=2}\)

Controleer de oplossing:
\(\small{2+3 \times 2 = 8}\) en \(\small{12 - 2 \times 2 = 8}\) Klopt!

Vergelijkingen oplossen

Rekenschema en terugrekenschema

Bij veel formules kun je een rekenschema en een terugrekenschema maken.
In zo'n schema staat in welke bewerkingen je in welke volgorde uit moet voeren.

Voorbeeld
Bekijk de formule: \(\small{\text{uitkomst}= 2 + 3 \times \text{getal}}\)
Bij de formule hoort het volgende rekenschema:
\(\small{\text{getal} \rightarrow \times\ 3 \rightarrow +\ 2 \rightarrow \text{uitkomst}}\)

Terugrekenen kun je met het terugrekenschema:
\(\small{\text{getal} \leftarrow : 3 \leftarrow \text{-}2 \leftarrow \text{uitkomst}}\)

Let op: het terugrekenschema lees je van rechts naar links.
Bij een rekenschema kun je een formule maken.

Voorbeelden

\(\small{\text{I}}\)
Bekijk het rekenschema: \(\small{\text{getal} \rightarrow + 3 \rightarrow \times 2 \rightarrow \text{uitkomst}}\)
De formule bij dit rekenschema is:
\(\small{\text{uitkomst} = (\text{getal} + 3 ) \times 2}\) Let op de haakjes!

\(\small{\text{II}}\)
Bekijk het rekenschema: \(\small{\text{getal} \rightarrow\ ..^2 \rightarrow +2 \rightarrow \text{uitkomst}}\)
De formule bij dit rekenschema is:
\(\small{\text{uitkomst} = \text{getal}^2 + 2}\)

Vergelijkingen oplossen met rekenschema´s

Rekenschema's en terugrekenschema's kunnen je helpen bij het oplossen van vergelijkingen.

Voorbeeld
Bekijk de vergelijking: \(\small{3 \times \text{getal} + 2 = 14}\)
Maak eerst het rekenschema:
\(\small{\text{getal} \rightarrow \times 3 \rightarrow +2 \rightarrow 14}\)

Maak nu het terugrekenschema:
\(\small{\text{getal} \leftarrow :3 \leftarrow \text{-}2 \leftarrow 14}\)

Los de vergelijking op met het terugrekenschema.
Je vindt: \(\small{\text{getal} = (14 - 2) :3 = 12:3 = 4}\)

Controle: \(\small{3 \times 4 + 2 = 14 }\) Klopt!

Oplossen met een balans

Soms kun een vergelijking oplossen door aan een balans te denken.
Bekijk de vergelijking: \(\small{4 \times \text{G} + 3 = 2 \times \text{G} +9}\)

Bij de vergelijking kun je aan de balans hiernaast denken. Op de balans liggen links \(\small{4}\) rode blokjes van \(\small{\text{G}}\) gram en \(\small{3}\) blokjes van \(\small{1}\) gram en rechts \(\small{2}\) rode blokjes van \(\small{\text{G}}\) gram en \(\small{9}\) blokjes van \(\small{1}\) gram.

- Haal eerst links en rechts twee rode blokjes van \(\small{\text{G}}\) gram weg. Je krijgt de vergelijking: \(\small{2 : \text{G}+ 3=9}\)
- Haal nu links en rechts drie blokjes van \(\small{1}\) gram weg.
Je krijgt de vergelijking: \(\small{2 \times \text{G}=6}\). Twee blokjes wegen samen \(\small{6}\) gram, dus één blokje weegt \(\small{3}\) gram.
Je krijgt als oplossing: \(\small{\text{G}=3}\)

Controle: \(\small{4 \times 3 + 3=15}\) en \(\small{2 \times 3+9=15}\) Klopt!

Vergelijkingen oplossen met de balansmethode

In een vergelijking kunnen ook negatieve getallen voorkomen.
Dan is het lastig om aan een balans te denken.
Je kunt de vergelijking dan wel oplossen met de balansmethode.

Bekijk de vergelijking:

\(\small{ 4 \cdot \text{g} - 3= 2 \cdot \text{g} +9}\)

beide zijden: \(\small{\text{-} 2 \cdot \text{g}}\)

beide zijden: \(\small{ + 3}\)

beide zijden: \(\small{ : 2}\)

\(\small{ 2 \cdot \text{g} - 3 = 9}\)

\(\small{ 2 \cdot \text{g} = 12}\)

\(\small{\text{g} = 6}\)

Controle:
\(\small{4 \times 6 -3 =21}\) en \(\small{2 \times 6 +9 =21}\) Klopt!

Kwadratisch verband

In een formule kan een variabele in het kwadraat voorkomen.
Je spreekt dan van een kwadratisch verband.

Voorbeeld
Een vierkant heeft zijden van \(\small{\text{a}}\) cm.
De oppervlakte van het vierkant is \(\small{\text{a} \cdot \text{a} =\text{a}^2}\)
Met de formule \(\small{\text{opp} = \text{a}^2}\) kun je de volgende tabel invullen:

*\(\small{\text{a}}\)* (cm)	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)	\(\small{4}\)
\(\small{\text{opp}}\) (cm\(\small{^2}\))	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{4}\)	\(\small{9}\)	\(\small{16}\)

Omdat er in de formule een variabele in het kwadraat voorkomt, spreek je van een kwadratisch verband.

Een kwadratisch verband is geen lineair verband.
De grafiek van een kwadratisch verband is geen rechte lijn.

Voorbeeld
Bij de formule \(\small{\text{opp} = \text{a}^2}\) is een tabel en een grafiek gemaakt.

*\(\small{\text{a}}\)* (cm)	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)	\(\small{4}\)
\(\small{\text{opp}}\) (cm\(\small{^2}\))	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{4}\)	\(\small{9}\)	\(\small{16}\)

De grafiek van een kwadratisch verband is een
vloeiende gebogen lijn.

Kwadratisch verband en rekenschema

Bij een kwadratisch verband kun je vaak een rekenschema maken.
Let goed op de rekenvolgorde.

Voorbeeld
Bekijk de formule: \(\small{\text{uitkomst}= 2 \cdot \text{g}^2 +3}\)
Bij de formule hoort het volgende rekenschema:
\(\small{\text{g} \rightarrow\ ..^2 \rightarrow +3 \rightarrow \text{uitkomst}}\)

Met het rekenschema kun je de tabel invullen:

*\(\small{\text{g}}\)*	\(\small{\text{-}1}\)	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)	\(\small{4}\)
\(\small{\text{uitkomst}}\)	\(\small{5}\)	\(\small{0}\)	\(\small{5}\)	\(\small{11}\)	\(\small{21}\)	\(\small{35}\)

Kwadratisch verband met variabale

Soms komt een variabele in een formule meerdere keren voor.
Let dan bij het invullen op dat je de variabele meerdere keren invult.
En let ook nu goed op de rekenvolgorde.
Bekijk de formule:
\(\small{\text{u}= 2 \cdot \text{g}^2+ 3 \cdot \text{g}}\)
Als \(\small{\text{g}=1}\), krijg je als uitkomst:
\(\small{\text{u}= 2\cdot 1^2 +3 \cdot 1}\)
\(\small{\text{u}= 2 \cdot 1 +3}\)
\(\small{\text{u}= 2+3}\)
\(\small{\text{u}=5}\)

Als \(\small{\text{g}=\text{-}2}\), krijg je als uitkomst;
\(\small{\text{u} = 2 \cdot (\text{-}2)^2 +3 \cdot (\text{-}2)}\)
\(\small{\text{u}=2\cdot 4 + \text{-}6}\)
\(\small{\text{u}=8-6}\)
\(\small{\text{u}=2}\)

Parabool

De grafiek van een kwadratisch verband is geen rechte lijn.
De grafiek is een vloeiende gebogen lijn.
De grafiek wordt een parabool genoemd.

Voorbeeld
Bekijk de formule: \(\small{\text{u} = \text{g}^2 - 4 \cdot \text{g} + 5}\)
Bij de formule kun je de volgende tabel maken.

\(\small{\text{g}}\)	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)	\(\small{4}\)	\(\small{5}\)
\(\small{\text{u}}\)	\(\small{5}\)	\(\small{2}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{5}\)	\(\small{10}\)

Bij de tabel is een grafiek getekend.
De grafiek is een een dalparabool.

Bergparabool

Voorbeeld
Bekijk de formule: \(\small{\text{u} = \text{-}(\text{g}-2)^2 +8}\)

Bij de formule kun je de volgende tabel maken.

\(\small{\text{g}}\)	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)	\(\small{4}\)	\(\small{5}\)
\(\small{\text{u}}\)	\(\small{4}\)	\(\small{7}\)	\(\small{8}\)	\(\small{7}\)	\(\small{4}\)	\(\small{\text{-}1}\)

Bij de tabel is een grafiek getekend.
De grafiek is een een bergpabool.

Eigenschappen parabool

Voorbeeld
Bij de formule \(\small{\text{u}= \text{-}(\text{g}-2)^2 +8}\) is een grafiek getekend.

De grafiek is een bergparabool.

Links van de lijn \(\small{\text{g}=2}\) is de grafiek stijgend.
Rechts van de lijn \(\small{\text{g}=2}\) is de grafiek dalend.

Het punt \(\small{(2,8)}\) is het hoogste punt.
Je noemt dat punt de top van de parabool.
In de top heeft u de grootste waarde \(\small{\text{u}=8}\).
Je zegt het maximum van de grafiek is \(\small{8}\).

Een parabool is symmetrisch.
De symmetrie-as is een verticale as door de top van de parabool.

Eigenschappen dalparabool

Voorbeeld
Bij de formule \(\small{\text{u}=\text{g}^2 -4 \cdot \text{g}+5}\) is een grafiek getekend.
De grafiek is een dalparabool.

Links van de lijn \(\small{\text{g}=2}\) is de grafiek dalend.
Rechts van \(\small{\text{g}=2}\) is de grafiek stijgend.

Het punt \(\small{(2,1)}\) is het laagste punt.
Je noemt dat punt de 'top' van de parabool.
In de top heeft \(\small{\text{u}}\) de kleinste waarde \(\small{\text{u}=1}\).
Je zegt het minimum van de grafiek is \(\small{1}\).

Een parabool is symmetrisch.
De symmetrie-as is een verticale as
door de top van de parabool.

Eigenschappen gebruiken

Bij de baan van een golfbal hoort de volgende formule: \(\small{\text{H}= \text{-}0\text{,}012\text{A}^2 + 1\text{,}152\text{A}}\)

In de formule is \(\small{\text{H}}\) de hoogte van de bal boven de grond in meters en \(\small{\text{A}}\) de horizontale afstand in meters.

Bij de formule is ook de grafiek getekend.
De grafiek is (een deel van) een parabool.

Je ziet dat de bal na \(\small{96}\) m \(\small{(\text{A}=96)}\) weer op de grond komt.
Dat kun je controleren met de formule:
\(\small{\text{H}=\text{-}0\text{,}012 \times 96^2 +1\text{,}152 \times =\text{-}110\text{,}592 + 110\text{,}592=0}\) Klopt!

De baan van de bal is een deel van een parabool. De baan is symmetrisch.
De symmetrie-as gaat door het hoogste punt.
De bal bereikt het hoogste punt na \(\small{48}\) m \(\small{(\text{A}=48)}\).
De maximale hoogte is: \(\small{0\text{,}012 \times 48^2 + 1\text{,}152 \times = 27\text{,}648 \approx 27\text{,}6}\)

Oplossing zoeken: kwadratisch verband

Oplossing zoeken kwadratisch verband

Een vierkant heeft zijden van \(\small{\text{a}}\) cm.
Voor de oppervlakte van het vierkant geldt: \(\small{\text{opp} = \text{a}^2}\)

Je wilt weten bij welke lengte van de zijde de oppervlakte \(\small{64}\) cm² is.
Je vult de oppervlakte in.
Je krijgt de kwadratische vergelijking \(\small{\text{a}^2 =64}\)
Een oplossing van de vergelijking is \(\small{\text{a} =8}\), want \(\small{8^2 = 64}\)

Je wilt weten bij welke lengte van de zijde de oppervlakte \(\small{20}\) cm² is.
Je vult de oppervlakte in.
Je krijgt de vergelijking \(\small{\text{a}^2 =20}\)
Voor de lengte van de zijde geldt \(\small{\text{a}^2 = \sqrt20 \approx 4\text{,}47}\)

Kwadratisch verband: twee oplossingen

Twee oplossingen -1

Voorbeeld
Bij de formule \(\small{\text{u} = \text{-}(\text{g} -2)^2}\) is een grafiek getekend.

Als \(\small{\text{u} =7}\) krijig je de vergelijking:
\(\small{\text{-}(\text{g}-2)^2+8=7}\)

Deze vergelijking heeft twee oplossingen:
\(\small{\text{g} =1}\) en \(\small{\text{g} =3}\)

\(\small{\text{g}=1}\) invullen geeft:
\(\small{\text{u}=\text{-}(1-2)^2 + 8 = \text{-}(\text{-}1)^2 +8=\text{-}1+8=7}\) Klopt!

\(\small{\text{g}=3}\) invullen geeft:
\(\small{\text{u} =\text{-}(3-2)^2 +8 = \text{-}(1)^2+8= \text{-}1+8=7}\) Klopt!

Twee oplossingen -2

Bij de baan van een golfbal hoort de volgende formule:
\(\small{\text{h} = \text{-}0\text{,}01 \text{a}^2 +\text{a}}\)

In de formule is \(\small{\text{h}}\)de hoogte van de bal boven de grond in meters en \(\small{\text{a}}\) de horizontale afstand in meters.
Bij de formule is ook de grafiek getekend. De grafiek is (een deel van) een parabool.
Je ziet dat de bal na \(\small{100}\) meter weer op de grond komt.

Als je wilt weten waar de bal \(\small{16}\) meter van de grond is \(\small{(\text{h} =16)}\),
moet je de vergelijking \(\small{\text{-}0\text{,}01\text{a}^2 +\text{a} =16}\)oplossen.

De bal is na \(\small{20}\) m \(\small{(\text{a} =20)}\) op een hoogte van \(\small{16}\) m.
Je kunt dit controleren met de formule:
\(\small{\text{-}0\text{,}01 \cdot 20^2+20=\text{-}4+20=16}\) Klopt!

De baan van de bal is een deel van een parabool. De baan is symmetrisch.
Na \(\small{80}\) meter is de bal voor de tweede keer op een hoogte van \(\small{16}\) m.
\(\small{\text{-}0\text{,}01 \cdot 80^2 +80= \text{-}64+80=16}\) Klopt!

Exponentieel verband

Exponentieel verband in een tabel

Als een hoeveelheid iedere tijdseenheid met hetzelfde getal wordt vermenigvuldigd, spreek je van een exponentieel verband.
Een exponentieel verband kun je weergeven in een tabel.

In de tabel is een exponentiele groei van een \(\small{\text{hoeveelheid}}\) in de \(\small{\text{tijd}}\) weergegeven.

\(\small{\text{tijd}}\) (uur)	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)
\(\small{\text{hoeveelheid}}\)	\(\small{100}\)	\(\small{110}\)	\(\small{121}\)	\(\small{133\text{,}1}\)

De hoeveelheid wordt ieder uur met hetzelfde getal vermenigvuldigd.
Het getal waarmee vermenigvuldigd wordt noem je de groeifactor.

Soms heb je te maken met een exponentiële afname
De 'groeifactor' is dan kleiner dan \(\small{1}\).

In de tabel is een exponentiele groei van een \(\small{\text{hoeveelheid}}\) in de \(\small{\text{tijd}}\) weergegeven.

\(\small{\text{tijd}}\) (uur)	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)
\(\small{\text{hoeveelheid}}\)	\(\small{100}\)	\(\small{90}\)	\(\small{81}\)	\(\small{72\text{,}9}\)

De groeifactor is kleiner dan \(\small{1}\). De hoeveelheid wordt ieder uur kleiner.
Er is sprake van een exponentiële afname.

Exponentieel verband in een grafiek

Een exponentieel verband kun je weergeven in een grafiek.

Voorbeeld
De tabel hoort bij een exponentiële toename.

\(\small{\text{tijd}}\) (uur)	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)
\(\small{\text{hoeveelheid}}\)	\(\small{100}\)	\(\small{110}\)	\(\small{121}\)	\(\small{133\text{,}1}\)

Je ziet in de grafiek dat de toename steeds groter wordt.
De grafiek wordt steeds steiler.

Procenten en groeifactor

Als een hoeveelheid jaarlijks met een vast percentage toeneemt of afneemt, is er sprake van exponentiële groei.

Voorbeelden

Een bedrag neemt jaarlijks met \(\small{10} \)% toe.
\(\small{100}\)% \(\small{+\ 10}\)% \(\small{=110}\)% . De groeifactor is \(\small{1\text{,}1}\).

Een bedrag neemt jaarlijks met \(\small{20}\)% af.
\(\small{100}\)% \(\small{-\ 20}\)% \(\small{=80}\)%. De groeifactor is \(\small{0\text{,}8}\).

Een bedrag groeit jaarlijks met een groeifactor van \(\small{1\text{,}04}\).
\(\small{1\text{,}04=104}\)% \(\small{=100}\)% \(\small{+\ 4}\)%. Het bedrag groeit jaarlijks met \(\small{4}\)%.

Een bedrag slinkt jaarlijks met een groeifactor van \(\small{0\text{,}92}\).
\(\small{0\text{,}92=92}\)% \(\small{=100}\)%\(\small{-\ 8}\)%. Het bedrag slinkt jaarlijks met \(\small{8}\)%.

Formule exponentieel verband

Een exponetieelverband kun je ook weergeven in een formule.
De algemene vorm van een formule voor een exponentieel verband tussen de hoeveelheid \(\small{\text{h}}\) en de tijd \(\small{\text{t}}\) is:
\(\small{\text{h} = \text{b} \cdot \text{g}^\text{t}}\)
In de formule is \(\small{\text{b}}\) de beginhoeveelheid (als \(\small{\text{t}=0}\)) en is \(\small{\text{g}}\) de groeifactor.

Voorbeeld

In een visvijver zaten op \(\small{1}\) januari \(\small{2010}\) ongeveer \(\small{10000}\) vissen.
Het aantal vissen groeit jaarlijks met \(\small{5}\)%.
Formule: \(\small{\text{a} = 10000 \cdot 1\text{,}05^\text{t}}\)
\(\small{\text{a}}\) is het aantal vissen en \(\small{\text{t}}\) is het aantal jaren ná \(\small{1}\) januari \(\small{2010}\).

Hoeveel vissen zitten er op \(\small{1}\) januari \(\small{2015}\) in de vijver?
\(\small{\text{t}=5}\) geeft \(\small{\text{a} = 10000 \times 1\text{,}05^5 \approx 12763}\) vissen

Oplossing zoeken exponentieel verband

Voorbeeld
In de visvijver zaten op \(\small{1}\) januari \(\small{2010}\) ongeveer \(\small{10000}\) vissen.
Het aantal aantal vissen groeit jaarlijks met \(\small{5}\)%.
Formule: \(\small{\text{a}= 10000 \cdot 1\text{,}05^\text{t}}\)
\(\small{\text{a}}\) is het aantal vissen en \(\small{\text{t}}\) is het aantal jaren na \(\small{1}\) januari \(\small{2010}\).
Je wilt weten na hoeveel jaar er meer dan \(\small{15000}\) vissen in de vijver zitten.
Je moet op zoek naar de oplossing van de vergelijking: \(\small{10000 \cdot 1\text{,}05^\text{t} = 15000}\)

\(\small{\text{t} =7}\) geeft \(\small{\text{a} = 10000 \times 1\text{,}05^7 \approx 14071}\) vissen
\(\small{\text{t} = 8}\) geeft \(\small{\text{a} = 10000 \times 1\text{,}05^8 \approx 14775}\) vissen
\(\small{\text{t} = 9}\) geeft \(\small{\text{a} = 10000 \times 1\text{,}05^9 \approx 15513}\) vissen

Dus \(\small{9}\) jaar na \(\small{1}\) januari \(\small{2010}\) zitten er ruim meer dan \(\small{15000}\) vissen in de vijver.

Oplossing zoeken

Voorbeeld
Een fietsband raakt lek en loopt langzaam leeg.
De hoeveelheid lucht in de band kun je berekenen met de formule: \(\small{\text{L} = 2000 \cdot 0\text{,}9^\text{t}}\)

In de formule is \(\small{\text{L}}\) de hoeveelheid lucht in de band in mL en \(\small{\text{t}}\) de tijd in minuten.
(\(\small{\text{t} = 0}\) is het moment waarop de band lek raakt).
Als er minder dan \(\small{1000}\) mL lucht in de band zit kun je niet meer op de fiets fietsen.
Zoek uit hoeveel minuten nadat de band lek raakt, er minder dan \(\small{1000}\) mL lucht in de band zit.

\(\small{\text{t} = 6}\) geeft \(\small{\text{L} = 2000 \times 0\text{,}9^6 \approx 1063}\) mL
\(\small{\text{t} = 7}\) geeft \(\small{\text{L} = 2000 \times 0\text{,}9^7 \approx 957}\) mL

Dus na \(\small{7}\) minuten is de hoeveelheid lucht minder dan \(\small{1000}\) mL.

Nog meer verbanden - 1

Wortelverband

Wortelverband

Je spreekt van een wortelverband als in de formule een wortelteken voorkomt.

Voorbeeld
Om de gemiddelde lengte jongens van \(\small{0}\) tot en met \(\small{20}\) jaar uit te rekenen, kun je een vuistregel gebruiken. Bij die vuistregel kun je een formule maken: \(\small{\text{gemiddelde lengte}= 50 + \sqrt{900 \times \text{leeftijd}}}\)

Bij de formule kun je een tabel maken en een grafiek tekenen.

\(\small{\text{leeftijd}}\) (jaar)	\(\small{0}\)	\(\small{5}\)	\(\small{10}\)	\(\small{15}\)	\(\small{20}\)
\(\small{\text{gem lengte}}\) (cm)	\(\small{50}\)	\(\small{117}\)	\(\small{145}\)	\(\small{166}\)	\(\small{184}\)

In de tabel en de grafiek zie je een afnemende stijging.

Hyperbolisch verband

Hyperbolisch verband

Als het product van twee variabelen steeds gelijk is,
is het verband tussen de variabelen een hyperbolisch verband.

Voorbeeld

Een rechthoek heeft een oppervlakte van \(\small{24}\).
Voor de rechtoek geldt de formule:
\(\small{\text{lengte} \times \text{breedte} = 24}\)

Bij de formule kun je een tabel maken en een grafiek tekenen.

\(\small{\text{lengte}}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{4}\)	\(\small{6}\)	\(\small{12}\)
\(\small{\text{breedte}}\)	\(\small{24}\)	\(\small{12}\)	\(\small{6}\)	\(\small{4}\)	\(\small{2}\)

De grafiek noem je een hyperbool.
De grafiek komt steeds dichter bij de assen, maar zal de assen nooit snijden.

Hogere machten

Hogere machten

Een kwadratisch verband is een voorbeeld van een machtsverband.
In een kwadratisch verband komt een variabele in kwadraat (tweede macht) voor.
Naast tweedegraads verbanden heb je ook verbanden met hogere machten.

Voorbeeld
De inhoud \(\small{(\text{I})}\) van een bol hangt af van de grootte van de straal \(\small{(\text{r})}\).
De inhoud kun je benaderen met de formule:
\(\small{\text{I} = 4\text{,}2 \times \text{r}^3}\)

Bij dit verband kun je een tabel en grafiek maken.

\(\small{\text{r}}\)	\(\small{0}\)	\(\small{1}\)	\(\small{2}\)	\(\small{3}\)	\(\small{4}\)
\(\small{\text{I}}\)	\(\small{0}\)	\(\small{4\text{,}2}\)	\(\small{33\text{,}6}\)	\(\small{113\text{,}4}\)	\(\small{268\text{,}8}\)

Nog meer verbanden - 2

Periodiek verband

Soms herhaalt een beweging zich na een bepaalde tijd.
Je hebt dan te maken met een periodiek verband.

Je ziet hier een grafiek van een periodiek verband tussen de hoogte (\(\small{\text{h}}\) in m) en de tijd (\(\small{\text{t}}\) in min).

In de grafiek is de periode aangegeven. De periode geeft aan om de hoeveel tijd de beweging zich herhaalt.
De periode is \(\small{4}\) min.
De evenwichtsstand ligt bij een hoogte \(\small{\text{h} =3}\) m.
De uitwijking (of amplitude) is het maximale verschil tussen de hoogte en de evenwichtsstand.
Je ziet dat de uitwijking \(\small{2}\) m is.

Voorbeeld
Je ziet een schematisch reuzenrad. Het rad draait heel langzaam rond. Tijdens het instappen draait het rad gewoon door.
Tom draait rond in het reuzenrad.
In de tabel zie je steeds op welke hoogte (\(\small{\text{h}}\) in m) hij zich bevindt.

\(\small{\text{t}}\) (sec)

\(\small{0}\)

\(\small{20}\)

\(\small{40}\)

\(\small{60}\)

\(\small{80}\)

\(\small{100}\)

\(\small{120}\)

\(\small{140}\)

\(\small{160}\)

\(\small{180}\)

\(\small{200}\)

\(\small{220}\)

\(\small{\text{h}}\) (m)

\(\small{5}\)

\(\small{8}\)

\(\small{13}\)

\(\small{18}\)

\(\small{21}\)

\(\small{18}\)

\(\small{13}\)

\(\small{8}\)

\(\small{5}\)

\(\small{8}\)

\(\small{13}\)

\(\small{18}\)

Uit de tabel kun je afleiden dat:

het instapplatform zich \(\small{5}\) m boven de grond bevindt.
het rad een diameter heeft van \(\small{16}\) m
de periode \(\small{160}\) sec is.

Verbanden met drie variabelen

Soms komen er in een formule meer dan twee variabelen voor.

Voorbeeld

Een thermometer geeft de buitentemperatuur aan in graden Celsius (°C). Als het waait, voelt het veel kouder aan dan de thermometer buiten aangeeft.
Dit wordt de gevoelstemperatuur genoemd.
De gevoelstemperatuur hangt af van de buitentemperatuur
(\(\small{\text{t}}\) in °C) en de windsnelheid (\(\small{\text{w}}\) in m/s). Een formule waarmee je de gevoelstemperatuur \(\small{\text{G}}\) (in °C) kunt uitrekenen is:
\(\small{\text{G} = 1\text{,}41 - 1\text{,}162 \times \text{w} +0\text{,}98 \times \text{t} + 0\text{,}0124 \times \text{w}^2 + 0\text{,}0185 \times \text{w} \times \text{t}}\)

Als het buiten \(\small{\text{-}5}\)°C is en de wind waait met een snelheid van \(\small{10}\) m/s, dan kun je de gevoelstemperatuur uitrekenen:
\(\small{\text{G} = 1\text{,}41 - 1\text{,}162 \times 10 + 0\text{,}98 \times \text{-}5 + 0\text{,}0124 \times 10^2 + 0\text{,}0185 \times 10 \times \text{-}5}\)
\(\small{\text{G} \approx \text{-}14\text{,}8}\)

De gevoelstemperatuur is bijna \(\small{10}\) °C lager dan de werkelijke temperatuur.

Rekenen

Afronden, schatten, rekenregels

Afronden

Soms wil je een kommagetal op een geheel getal afronden.
Je kijkt dan naar het eerste cijfer achter de komma. Je rondt:

naar beneden af als het eerste cijfer achter de komma een \(\small{0}\), \(\small{1}\), \(\small2\), \(\small3\) of \(\small4\) is,
naar boven af als het eerste cijfer achter de komma een \(\small5\), \(\small6\), \(\small7\), \(\small8\) of \(\small9\) is.

\(\small{2\text{,}3}\) wordt \(\small2\)
\(\small{6\text{,}5}\) wordt \(\small{7}\)
\(\small{4\text{,}7}\) wordt \(\small{5}\)
\(\small{8\text{,}4}\) wordt \(\small8\)

Bij afronden op twee cijfers achter de komma geldt dat je:

naar beneden afrondt als de derde decimaal een \(\small0\), \(\small1\), \(\small2\), \(\small3\) of \(\small4\) is,
naar boven afrondt als de derde decimaal een \(\small5\), \(\small6\), \(\small7\), \(\small8\) of \(\small9\) is.

\(\small{2\text{,}353}\) wordt \(\small{2\text{,}35}\)
\(\small{6\text{,}5429}\) wordt \(\small{6\text{,}54}\)
\(\small{4\text{,}728}\) wordt \(\small{4\text{,}73}\)
\(\small{8\text{,}499}\) wordt \(\small{8\text{,}5}\)

Schatten

Als je de uitkomst van een berekening wilt schatten, rond je de getallen af op getallen waarmee je gemakkelijker kunt rekenen.

Voorbeelden

\(\small{51\text{,}34 + 23\text{,}9 \approx 50 + 25 = 75}\)
\(\small{103 \times 48 \approx 10 \times 50 = 5000}\)
\(\small{1004: 253 \approx 1000: 250 =4}\)

Soms moet je de maat van iets schatten.
Je vergelijkt dan met een maat die bekend is. Bijvoorbeeld:

een volwassen man is iets minder dan \(\small2\) m
de afstand van Amsterdam naar Utrecht is iets meer dan \(\small50\) km
een voetbalveld is ongeveer \(\small50\) m bij \(\small100\) m \(\small{= 5000}\) m²
een volwassen man weegt ongeveer \(\small80\) kg
een auto op de snelweg rijdt ongeveer \(\small100\) km/uur
een pak melk heeft een inhoud van \(\small1\) L

Rekenregels

Bij rekenen gelden de voorrangregels:

eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat,
dan kwadrateren of worteltrekken,
dan vermenigvuldigen of delen
dan optellen of aftrekken.

Voorbeelden

\(\small{8 +3 \times 6 = 8 + 18 =26}\)
\(\small{12 - 36 : 9 =12 - 4 = 8}\)
\(\small{(8+3) \times 6 = 11 \times 6 = 66}\)
\(\small{5 \times 3^2 = 5 \times 9 = 45}\)

Staan er in een breuk in de teller en noemer bewerkingen, reken die dan eerst uit

\(\small{\frac{26-2}{3 \times 4} \times 4 = \frac{24}{12} \times 4 = 2 \times 4 = 8}\)

Verhoudingen

Verhouding

Een verhouding geeft een evenredig verband tussen twee variabelen weer.
In het dagelijks spraakgebruik kom je regelmatig verhoudingen tegen.

Voorbeelden

Vier van de vijf jongens zijn gek op voetbal.
Er zijn drie keer zoveel meisjes als jongens.
De verhouding van limonadesiroop en water is \(\small{1 : 6}\) (\(\small{1}\) staat tot \(\small{6}\)).
Eén centimeter op de kaart is in werkelijkheid \(\small{10}\) km.
Je hebt een kans van één op tien dat je gekozen wordt.

Verhoudingstabel

Een verhouding kun je weergeven in een verhoudingstabel.

Voorbeeld
Angelique heeft een kralenketting die bestaat uit witte en rode kralen. De verhouding tussen de witte en rode kralen is \(\small{2 : 3}\).

\(\small{\text{witte kralen}}\)	\(\small{2}\)	\(\small{4}\)	\(\small{20}\)	\(\small{10}\)	\(\small{50}\)
\(\small{\text{rode kralen}}\)	\(\small{3}\)	\(\small{6}\)	\(\small{30}\)	\(\small{15}\)	\(\small{75}\)

In de verhoudingtabel is het onderste getal steeds \(\small{1\text{,}5}\) keer zo groot als het bovenste getal.
In een verhoudingstabel kun je getallen in de onderste en de bovenste rij met hetzelfde getal vermenigvuldigen of door hetzelfde getal delen.
De verhouding blijft \(\small{2:3}\).

Verhoudingen vergelijken

Met verhoudingstabellen kun je verhoudingen met elkaar vergelijken.

Voorbeeld

In supermarkt \(\small{\text{I}}\) betaal je voor \(\small{250}\) gram gehakt \(\small{\text{€ }3\text{,}20}\)
In supermarkt \(\small{\text{II}}\) betaal je voor \(\small{300}\) gram gehakt \(\small{\text{€ }3\text{,}85}\).
In welke supermarkt is het gehakt het goedkoopst?

Zet de prijzen en hoeveelheden in twee verhoudingstabellen.
Reken terug tot gelijke hoeveelheden of tot gelijk prijzen.

supermarkt \(\small{\text{I}}\)

\(\small{\text{gewicht}}\)	\(\small{250}\)	\(\small{1}\)
\(\small{\text{prijs}}\)	\(\small{320}\)	\(\small{1\text{,}28}\)

supermarkt \(\small{\text{II}}\)

\(\small{\text{gewicht}}\)	\(\small{300}\)	\(\small{1}\)
\(\small{\text{prijs}}\)	\(\small{385}\)	\(\small{1\text{,}283}\)

Je ziet dat het gehakt in supermarkt \(\small{\text{I}}\) iets voordeliger is.

Op schaal

Kaarten zijn vaak 'op schaal' getekend.

Op schaal betekent dat er een verhouding is tussen de afstanden op de kaart en de afstanden in werkelijkheid.

Voorbeeld

Bekijk het kaartje.

Bij het schaallijntje staat \(\small{20}\) km.
Iets wat op de kaart net zo lang is als de schaallijn is dus in werkelijkheid \(\small{20}\) km.
Het schaallijntje is \(\small{4}\) cm lang.
\(\small{1}\) cm op de kaart is dus in werkelijkheid
\(\small{5}\) km\(\small{= 500.000}\) cm.
De schaal van de kaart is \(\small{1:500.000}\)
(\(\small{1}\) staat tot \(\small{500.000}\)).

Procenten

Procenten: een percentage uitrekenen

Vaak moet je een percentage uitrekenen. Dat kan op verschillende manieren.

Voorbeeld

Je wilt uitrekenen hoeveel \(\small{24 \%}\) van \(\small{750}\) is.

Manier 1

Schrijf het percentage als een kommagetal: \(\small{24 \% = 0\text{,}24}\)
Voer de vermenigvuldiging uit: \(\small{0\text{,}24 \times 750 = 180}\)
Dus \(\small{24 \%}\) van \(\small750\) is \(\small180\)

Manier 2

Reken eerst \(\small{1 \%}\) uit: \(\small{1 \%}\) van \(\small750\) is \(\small{750: 100 = 7\text{,}5}\)
Reken dan \(\small{24 \%}\) uit: \(\small{24 \%}\) van \(\small750\) is \(\small{24 \times 7\text{,}5 = 180}\)

Procenten: hoeveel procent is het?

Soms wil je weten hoeveel procent iets is.

Voorbeeld

Het inkomen van een gezin is \(\small{\text{€ }2200\text{,-}}\) per maand.
Het gezin geeft per maand \(\small{\text{€ }750\text{,-}}\) uit aan huisvesting.
Hoeveel procent is dat?

\(\small{750}\) van de \(\small{2200}\) is \(\small{\frac{750}{2200}}\) deel
\(\small{\frac{750}{2200}\approx 0,34 = 34 \%}\)
Dus het gezin geeft ongeveer \(\small{34 \%}\) van haar inkomen uit aan huisvesting.

Procenten: erbij en eraf

Soms verandert de prijs van een artikel met een bepaald percentage.
Je wilt dan de nieuwe prijs kunnen uitrekenen.

Voorbeeld 1
Een televisietoestel van \(\small{\text{€ }320\text{,-}}\) wordt \(\small{15 \%}\) duurder.

\(\small{15 \%}\) van \(\small{320 = 0\text{,}15 \times 320 = 48}\)
de nieuwe prijs is \(\small{\text{€ }320\text{,-} + \text{€ }48\text{,-} = \text{€ }368\text{,-}}\)

Voorbeeld 2

In \(\small2010\) maakte een schildersbedrijf \(\small{\text{€ }110.000\text{,-}}\) winst.
In \(\small{2011}\) was de winst \(\small{8\%}\) lager.

\(\small{8\%}\) van \(\small{110000= 0\text{,}08 \times 110000 = 8800}\)
de winst in \(\small{2011}\) was \(\small{\text{€ }110.000\text{,-} - \text{€ }8.800\text{,-} = \text{€ }101.200\text{,-}}\)

Procenten: hoeveel procent erbij/ eraf?

Soms is iets duurder of goedkoper geworden.
Je wilt weten met hoeveel procent de prijs is veranderd.

Voorbeeld 1

Een broek van \(\small{\text{€ }75\text{,-}}\) kost in de uitverkoop \(\small{\text{€ }52\text{,}50}\).

\(\small{75 - 52\text{,}5 = 22\text{,}5}\)
\(\small{\frac{22{,}5}{75} = 0{,}3 = 30\%}\), de broek is dus \(\small{30\%}\) goedkoper geworden.

Voorbeeld 2

In \(\small{2010}\) maakte een schildersbedrijf \(\small{\text{€ }110.000\text{,-}}\) winst.
In \(\small{2011}\) maakte het bedrijf \(\small{\text{€ }118.250\text{,-}}\) winst.

\(\small{118250-110000 = €8250\text{,-}}\)
\(\small{\frac{8250}{110000} = 0\text{,}075 = 7\text{,}5\%}\), de winst is dus met \(\small{7\text{,}5\%}\) toegenomen.

Procenten: groeifactor

Om een procentuele toename of afname uit te rekenen, kun je werken met de groeifactor. Het getal waarmee je de beginhoeveelheid moet vermenigvuldigen om de nieuwe hoeveelheid te krijgen, noem je de groeifactor.

Voorbeeld

Je hebt een spaarrekening met daarop een bedrag van \(\small{\text{€ }400\text{,-}}\).
Je krijgt \(\small{5\%}\) rente per jaar.
Hoe bereken je hoeveel geld er na één jaar op de rekening staat?

startbedrag: \(\small{100\%}\), rente: \(\small{5\%}\), bedrag na \(\small1\) jaar: \(\small{100\% + 5\% = 105\%}\)
\(\small{105\% = 1\text{,}05}\) (groeifactor)
bedrag na \(\small1\) jaar: \(\small{1\text{,}05 \times \text{€ }400\text{,-} = \text{€ }420\text{,-}}\)

Hoe bereken je hoeveel geld er na twee jaar op de rekening staat?

bedrag na \(\small2\) jaar: \(\small{1\text{,}05 \times 1\text{,}05 \times \text{€ }400\text{,-} = \text{€ }441\text{,-}}\)

Voorbeelden

Een bedrag neemt jaarlijks met \(\small{25\%}\) toe.
\(\small{100\% + 25\% = 125\%}\). De groeifactor is \(\small{\frac{125}{100} = 1\text{,}25}\)
Een bedrag neemt jaarlijks met \(\small{5\%}\) af.
\(\small{100\% - 5\% = 95\%}\). De groeifactor is \(\small{\frac{95}{100} = 0\text{,}95}\)
Een bedrag groeit met een groeifactor van \(\small{1\text{,}04}\).
\(\small{1\text{,}04 = 104\% = 100\% + 4\%}\).
Het bedrag groeit met \(\small{4\%}\)
Een bedrag slinkt met een groeifactor van \(\small{0\text{,}7}\).
\(\small{0\text{,}7 = 70\% = 100\% - 30\%}\).
Het bedrag slinkt met \(\small{30\%}\) (of groeit met \(\small{\text{-}30\%}\))

Omtrek, oppervlakte, inhoud

Omtrek en lengtematen

De omtrek van een figuur is de lengte van de buitenrand.
Je bepaalt de omtrek door de figuur 'om te trekken'.
Je telt welke afstanden je aflegt tot je weer bij het beginpunt uitkomt.

De omtrek van de figuur hiernaast is:\(\small{\text{AB} + \text{BC} + \text{CD} + \text{DA} \approx 4 + 5+ 6{,}1 +6 =21{,}1}\)

Om de omtrek van een figuur weer te geven, gebruik je vaak een lengtemaat.

Voorbeelden van lengtematen zijn:
kilometer (km), hectometer (hm), decameter (dam), meter (m),
decimeter (dm), centimeter (cm) en millimeter (mm).

\(\small\text{km}\)

\(\small\text{hm}\)

\(\small\text{dam}\)

\(\small\text{m}\)

\(\small\text{dm}\)

\(\small\text{cm}\)

\(\small\text{mm}\)

Lengtematen omrekenen

Soms is het handig om lengtematen om te rekenen.
Bij het omrekenen kun je de figuur hieronder gebruiken.

\(\small\text{km}\)

\(\small\text{hm}\)

\(\small\text{dam}\)

\(\small\text{m}\)

\(\small\text{dm}\)

\(\small\text{cm}\)

\(\small\text{mm}\)

Voorbeelden

\(\small{3\text{,}5}\) km \(\small{= 3500}\) m
\(\small{600}\) m \(\small{= 0\text{,}6}\) km
\(\small{12}\) hm \(\small{= 1200}\) m
\(\small{320 }\) dam \(\small{= 32}\) hm
\(\small{7}\) m \(\small{= 7000}\) mm
\(\small{775}\) cm \(\small{= 75\text{,}5}\) m
\(\small{2\text{,}4}\) dm \(\small{= 24}\) cm
\(\small{12}\) mm \(\small{= 0\text{,}12}\) dm

Oppervlakte en oppervlaktematen

Door het aantal hokjes te tellen, reken je de oppervlakte van een figuur uit.
De oppervlakte van \(\small{\text{PQRSTUVW}}\) is
\(\small{5+4 \times\ \frac{1}{2} = 5 + 2 = 7}\) hokjes

De oppervlakte van driehoek \(\small{\text{ABC}}\) is
\(\small{8 : 2 = 4}\) hokjes

Om de oppervlakte van een figuur weer te geven, gebruik je vaak een oppervlaktemaat.

\(\small\text{km}^2\)

\(\small\text{hm}^2\)

\(\small\text{dam}^2\)

\(\small\text{m}^2\)

\(\small\text{dm}^2\)

\(\small\text{cm}^2\)

\(\small\text{mm}^2\)

Oppervlaktematen omrekenen

Soms is het handig om oppervlaktematen om te rekenen.
Bij het omrekenen kun je de figuur hieronder gebruiken.

\(\small\text{km}^2\)

\(\small\text{hm}^2\)

\(\small\text{dam}^2\)

\(\small\text{m}^2\)

\(\small\text{dm}^2\)

\(\small\text{cm}^2\)

\(\small\text{mm}^2\)

Voorbeelden

\(\small{3\text{,}5}\) km² \(\small{= 3500000}\) m²
\(\small{6000}\) m² \(\small{= 0\text{,}006}\) km²
\(\small{12}\) hm² \(\small{= 120000}\) m²
\(\small{32000}\) dam² \(\small{= 320}\) hm²
\(\small{7}\) m² \(\small{= 7000000}\) mm²
\(\small{8750}\) cm² \(\small{= 0\text{,}875}\) m²
\(\small{2\text{,}4}\) dm² \(\small{= 240}\) cm²
\(\small{12000}\) mm² \(\small{= 1\text{,}2}\) dm²

Inhoud en inhoudsmaten

De inhoud van een kubus van \(\small{1}\) cm bij \(\small{1}\) cm bij \(\small{1}\) cm is \(\small{1}\) cm³.
De inhoud van ruimtelijk figuur bepaal je door uit te rekenen hoeveel blokjes van \(\small{1}\) cm³ er in passen.

Voor de inhoud van deze balk geldt:
\(\small{\text{inhoud}= 5 \times 4 \times 3 = 60}\) cm³

Om de inhoud van een ruimtelijk figuur aan te geven, gebruik je een inhoudsmaat.

\(\small\text{km}^3\)

\(\small\text{hm}^3\)

\(\small\text{dam}^3\)

\(\small\text{m}^3\)

\(\small\text{dm}^3\)

\(\small\text{cm}^3\)

\(\small\text{mm}^3\)

Inhoudsmaten omrekenen

Soms is het handig om inhoudsmaten om te rekenen.

\(\small\text{km}^3\)

\(\small\text{hm}^3\)

\(\small\text{dam}^3\)

\(\small\text{m}^3\)

\(\small\text{dm}^3\)

\(\small\text{cm}^3\)

\(\small\text{mm}^3\)

Voorbeelden

\(\small{3{,}5}\) km³ \(\small{= 3500000000}\) m³
\(\small{600000}\) m³ \(\small{= 0{,}0006}\) km³
\(\small{7}\) m³ \(\small{= 7000000000}\) mm³
\(\small{875000}\) cm³ \(\small{= 0{,}875}\) m³
\(\small{2{,}4}\) dm³ \(\small{= 2400}\) cm³
\(\small{1200000}\) mm³ \(\small{= 1{,}2}\) dm³

Onthoud

\(\small{1}\) liter \(\small{= 1}\) L \(\small{= 1}\) dm³
\(\small{1}\) centiliter \(\small{= 1}\) cL \(\small{= 0{,}01}\) L \(\small{= 0{,}01}\) dm³
\(\small{1}\) milliliter \(\small{= 1}\) mL \(\small{= 0{,}001}\) L \(\small{= 0{,}001}\) dm³\(\small{= 1}\) cm^{\(^3\)}

Andere maten

Tijd

Als eenheid van tijd gebruik je seconde (s), minuut (min) of uur.
Er geldt:

\(\small1\) uur \(\small{= 60}\) min
\(\small1\) min \(\small{= 60}\) sec
\(\small{1}\) uur \(\small{= 3600}\) sec

Hoeveel tijd verstreken is kun je bijvoorbeeld bijhouden op een klok.

Voorbeeld

Op de school van Anke begint het derde lesuur om \(\small{10\text{:}25}\) uur.
Het lesuur is afgelopen om \(\small{11\text{:}10}\).
Hoelang duurt het lesuur?

Van \(\small{10\text{:}25}\) tot \(\small{11\text{:}00}\) uur is \(\small35\) minuten
Van \(\small{11\text{:}00}\) tot \(\small{11\text{:}10}\) uur is \(\small{10}\) minuten
Het lesuur duurt in totaal dus \(\small{45}\) minuten.

Snelheid

Voor de snelheid gebruik je als eenheid meestal meter per seconde (m/s) of kilometer per uur (km/u).

Voor het omrekenen van de snelheid van km/u naar m/s of omgekeerd kun je het volgende rekenschema en terugrekenschema gebruiken:

\(\small{\text{snelheid}}\) in m/s

\(\small{\times 3\text{,}6}\)

\(\small{\text{snelheid}}\) in km/u

\(\small{\text{snelheid}}\) in m/s

\(\small{\div 3\text{,}6}\)

\(\small{\text{snelheid}}\) in km/u

Voorbeeld

Een in een winkelcentrum geldt een maximumsnelheid van \(\small30\) km/uur.
\(\small30\) km/uur is ongeveer \(\small{8\text{,}3}\) m/s. Ga na of dat klopt!

Massa

De massa van een voorwerp meet je met een weegschaal.
De massa druk je meestal uit in milligram (mg), gram (g) of kilogram (kg)
Er geldt:

\(\small1\) kg \(\small{= 1000}\) g
\(\small1\) g \(\small{= 1000}\) mg

Let op

In de dagelijkse praktijk wordt ook het gewicht van een voorwerp vaak uitgedrukt in gram of kilogram.
Maar dat is natuurkundig gezien niet juist.
Het gewicht druk je uit in Newton.
Er geldt:

\(\small1\) kg \(\small{\approx 9\text{,8}}\) N

Dichtheid

De dichtheid of soortelijke massa van een stof is massa van een bepaalde stof per volume eenheid.
De dichtheid wordt bijvoorbeeld uitgedrukt in kg/m³ of g/L.

Voorbeeld 1

Een blokje goud heeft een massa van \(\small{96\text{,}5}\) gram.
Het volume van het blokje is \(\small5\) cm³.
De dichtheid van goud is \(\small{96\text{,}5:5=19\text{,}3}\) g/cm³.

Voorbeeld 2

In de laadruimte van een vrachtboot is \(\small25\) m³ \(\small{= 25000}\) dm³.
Zand heeft een dichtheid van \(\small{1\text{,}6}\) kg/dm³.
De vrachtboot dan dus \(\small{25000 \times 1\text{,}6 = 40.000}\) kg zand vervoeren.

Machten

De ribben van de kubus zijn \(\small{6}\) lang.
De inhoud van de kubus is \(\small{6 \times 6 \times 6 = 216}\).

In plaats van \(\small{6 \times 6 \times 6 = 216}\) schrijf je ook \(\small{6^3}\).
Je spreekt dit uit als 'zes-tot-de-derde' of de 'derdemacht van \(\small{6} \)'.

Bij de inhoud van een figuur spreek je van kubieke centimeter.
Je schrijft m\(\small{^3}\).

Machten

In plaats van \(\small{7 \times 7 \times 7 \times 7 \times7}\) schrijf je \(\small{7^5}\).
Je spreekt dit uit als 'zeven-tot-de-vijfde' of de 'vijfdemacht van \(\small{7}\)'.

Op je rekenmachine heb je een speciale toets voor machten:
\(\small{7}\) \(^\) \(\small{5 = 16807} \)

In plaats van \(\small{2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2}\) schrijf je \(\small{2^{10}}\).
Je spreekt dit uit als 'twee-tot-de-tiende' of de 'tiendemacht van \(\small{2}\)'.

\(\small{2}\) \(^\) \(\small{10 = 1024}\)

Ga met je rekenmachine na of de berekeningen kloppen.

Machten en de voorrangsregels

Bij rekenen gelden de voorrangsregels.

- Eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat.
- Dan machtsverheffen of worteltrekken.
- Dan vermenigvuldigen en delen en dan optellen en aftrekken.

Voorbeelden:

\(\small{3 \times 2^2 = 3 \times 4 =12}\)
\(\small{3^3 + 9 = 27 + 9 =36}\)
\(\small{(2+3)^2 = {5}^2 =25}\)
\(\small{40 - 2^4 = 40 -16 = 24}\)
\(\small{3^2 - 2^3 = 9-8=1}\)
\(\small{\frac{3^2} {2 \times 3} = \frac{9}{6} =1{,}5}\)

Wortels

Het vierkant heeft een oppervlakte van \(\small{16}\).
De zijde van het vierkant is \(\small{4}\), want \(\small{4 \times 4 = 16}\)

Je zegt de wortel van \(\small{16}\) is \(\small{4}\).
Je schrijft \(\small{\sqrt{16} = 4}\)

De volgende wortels moet je uit je hoofd kennen:
\(\small{\sqrt1 = 1}\) \(\small{\sqrt9=3}\) \(\small{\sqrt{25} = 5}\) \(\small{\sqrt{49}=7}\) \(\small{\sqrt{81}= 9}\)
\(\small{\sqrt4 = 2}\) \(\small{\sqrt{16}= 4}\) \(\small{\sqrt{36}=6}\) \(\small{\sqrt{64}=8}\) \(\small{\sqrt{100}=10}\)

Dit vierkant heeft een oppervlakte van \(\small{5}\) cm².
De zijde van het vierkant is \(\small{\sqrt5}\).
\(\small{\sqrt5}\) is geen geheel getal.
Het antwoord ligt tussen \(\small{2\ (2^2 =4)}\) en \(\small{3\ (3^2=9)}\).
Met je rekenmachine benader je \(\small{\sqrt5}\). Je vindt: \(\small{\sqrt5 \approx 2\text{,}24}\)

Worteltrekken en de voorrangsregels

Bij rekenen gelden de voorrangsregels.

- Eerst uitrekenen wat tussen haakjes staat.
- Dan machtsverheffen of worteltrekken.
- Dan vermenigvuldigen en delen en dan optellen en aftrekken.

Voorbeelden:

\(\small{3 \times \sqrt{16} = 3 \times 4 =12}\)
\(\small{\sqrt{16} + 9 = 4 + 9 =13}\)
\(\small{\sqrt{16+9} = \sqrt{25} =5}\)
\(\small{40 - \sqrt{36} = 40 -6 = 34}\)
\(\small{\sqrt{36} - \sqrt{9} = 6-3=3}\)
\(\small{\frac{\sqrt{81}} {2 \times 3} =\frac{9}{6} =1{,}5}\)

Grote en kleine getallen

Machten van 10

Grote getallen kun je als machten van \(\small{10}\) schrijven.

Voorbeelden

honderd: \(\small{100= 10 \times 10 = 10^2}\)
duizend: \(\small{1.000 = 10 \times 10 \times 10 = 10^3}\)
\(\small{10}\) duizend: \(\small{10.000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4}\)
\(\small{100}\) duizend: \(\small{100.000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^5}\)
miljoen: \(\small{1.000.000}\) \(\small{= 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^6}\)
\(\small{10}\) miljoen: \(\small{10.000.000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^7}\)
\(\small{100}\) miljoen: \(\small{100.000.000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^8}\)
miljard: \(\small{1.000.000.000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^9}\)
\(\small{10}\) miljard: \(\small{10.000.000.000 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^{10} }\)

Wetenschappelijke notatie

Grote getallen zijn door het grote aantal cijfers vaak moelijk te lezen.
Met machten kun je ze overzichtelijker opschrijven.

Voorbeelden

\(\small{700.000 = 7 \times 100.000 = 7 \times 10^5}\)
\(\small{750.000 = 7{,}5 \times 100.000 = 7{,}5 \times 10^5}\)
\(\small{800.000.000 = 8 \times 100.000.000 = 8 \times 10^8}\)
\(\small{835.000.000 = 8{,}35 \times 100.000.000 = 8{,}35 \times 10^8}\)

Deze manier van getallen opschrijven noem je de wetenschappelijke notatie.
Het getal voor de macht ligt altijd tussen de \(\small{1}\) en \(\small{10}\).

Soms past het antwoord van een berekening niet op je rekenmachine.
Dan gaat je rekenmachine ook over op de wetenschappelijke notatie.
Probeer maar eens.

Grote getallen

Voorbeeld 1

In Nederland wonen ongeveer \(\small{17.100.000}\) mensen.
Het gemiddeld inkomen per Nederlander is ongeveer \(\small{€45.000}\),-.
Bereken het totale inkomen van alle Nederlanders samen.
\(\small{1{,}71 \times 10^7 \times 4{,}5 \times 10^4 = 7{,}695 \times 10^{11}}\) , dat is ruim \(\small{760}\) miljard

Voorbeeld 2
De afstand van de zon tot de aarde is ongeveer \(\small{1{,}5 \times 10^{11}}\) m.
De snelheid van het licht is ongeveer \(\small{3 \times 10^8}\) m/s.
Hoeveel seconde doet het licht erover om van de zon naar de aarde te reizen?
\(\small{(1{,}5 \times 10^{11}) : (3 \times 10^8) = 5 \times 10^2 = 500}\)sec

Kleine getallen

Kleine getallen kun je als machten van \(\small{10}\) schrijven.

Voorbeelden

tien: \(\small{10 = 10 ^1}\)
een: \(\small{1 = 10^0}\)
een tiende: \(\small{0\text{,}1 = 10^{\text{-1}}}\)
een honderste: \(\small{0{,}01 = 10^{\text{-}2}}\)
een duizendste: \(\small{0{,}001 = 10^{\text{-}3}}\)

Ook kleine getallen kun je met de wetenschappelijke notatie opschrijven.

Voorbeelden

\(\small{0{,}007 = 7 \times 0{,}001 = 7 \times 10^{\text{-}3}}\)
\(\small{0{,}24 = 2{,}4 \times 0,1 = 2{,}4 \times 10^{\text{-}1}}\)
\(\small{0{,}075 = 7{,}5 \times 0{,}01 = 7{,}5 \times 10^{\text{-}2}}\)
\(\small{0\text{,}0000845 = 8\text{,}45 \times 0\text{,}00001 = 8\text{,}45 \times 10^{-5}}\)

Voorbeelden
Een bepaald soort bacterie weegt \(\small{2 \times 10^{\text{-}8}}\) kg.
In een gebied bevinden zich \(\small{0{,}6}\) miljard van deze bacteriėn.
Hoeveel gram wegen de bacteriėn samen?

\(\small{2 \times 10^{\text{-}8}}\) kg \(= 2 \times 10^{\text{-}5}\) gram
\(\small{0{,}6}\) miljard \(\small{= 600.000.000 = 6 \times 10^8}\)
\(\small{2 \times 10^{\text{-}5} \times 6 \times 10^8 = 1{,}2 \times 10^4 = 12000}\) gram

Meten en Tekenen

Driehoeken

Een driehoek is een vlak figuur met drie hoeken en drie zijden.
Je ziet driehoek \(\small{\text{ABC}}\).
In plaats van driehoek \(\small{\text{ABC}}\) schrijf je ook wel \(\small{\bigtriangleup \text{ABC}}\).
De zijden van de driehoek zijn \(\small{\text{AB}}\), \(\small{\text{BC}}\) en \(\small{\text{AC}}\).
De hoeken van de driehoek zijn \(\small{\angle \text{A}}\), \(\small{\angle \text{B}}\) en \(\small{\angle \text{C}}\).
In iedere driehoek geldt dat de drie hoeken samen \(\small{180^\circ}\) zijn.

Voorbeeld

Van de driehoek \(\small{\text{ABC}}\) is \(\small{\angle \text{A} = 132^\circ}\) en \(\small{\angle \text{B} = 20^\circ}\).
Hoe groot is \(\small{\angle \text{C}}\)?
\(\small{\angle \text{C} = 180^\circ -132^\circ - 20^\circ = 28^\circ}\)

Gelijkbenige driehoek

Een gelijkbenige driehoek is een driehoek met:

twee gelijke zijden
twee gelijke hoeken
één symmetrieas

De symmetrieas gaat door de tophoek.

Voorbeeld

Driehoek \(\small{\text{PQR}}\) is een gelijkbenige driehoek.
De tophoek \(\small{\angle \text{R} = 52^\circ}\).
Bereken \(\small{\angle \text{P}}\) en \(\small{\angle \text{Q}}\).
\(\small{\angle \text{P}}\) en \(\small{\angle \text{Q}}\) zijn samen \(\small{180^\circ - 52^\circ = 128^\circ}\)
Driehoek \(\small{\text{PQR}}\) is een gelijkbenige driehoek, dus \(\small{\angle \text{P} = \angle \text{Q}}\).
\(\small{\angle \text{P} = \angle \text{Q} = 128^\circ : 2 = 64^\circ}\)

Gelijkzijdige driehoek en rechthoekige driehoek

Een gelijkzijdige driehoek is een bijzondere gelijkbenige driehoek. Een gelijkzijdige driehoek heeft:

drie gelijke zijden
drie gelijke hoeken
drie symmetrieassen

De drie hoeken van een gelijkzijdige driehoek zijn \(\small{180^\circ : 3 = 60^\circ}\)

Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één van de hoeken \(\small{90^\circ}\) is.

Voorbeeld

Driehoek \(\small{\text{ABC}}\) is een rechthoekige driehoek met \(\small{\angle \text{A} = 90^\circ}\) en \(\small{\angle \text{B} = 42^\circ}\).
Hoe groot is \(\small{\angle \text{C}}\)?
\(\small{\angle \text{C} = 180^\circ - 90 ^\circ - 42^\circ = 48^\circ}\)

Stelling van Pythagoras

In iedere rechthoekige driehoek geldt de stelling van Pythagoras.

Voorbeeld

\(\small{\bigtriangleup \text{ABC}}\) is een rechthoekige driehoek met \(\small{\angle \text{A} = 90 ^\circ}\)
en \(\small{\text{AB} = 5}\) en \(\small{\text{AC} = 3}\).
Bereken de lengte van zijde \(\small{\text{BC}}\).

- Maak een schema met de rechthoekszijden (rhz) en de schuine zijde (sz).
- Vul de lengte van de rechthoekszijden in.
- Vul de kwadraten in.
- Tel de kwadraten bij elkaar op.
- Bereken de lengte van \(\small{\text{BC}}\).
\(\small{\text{BC} = \sqrt{34} \approx 5\text{,}8}\)

Rechthoekzijde berekenen

Soms moet je één van de rechthoekzijden uitrekenen.

Voorbeeld

\(\small{\bigtriangleup \text{ABC}}\) is een rechthoekige driehoek met \(\small{\angle \text{C} = 90^\circ}\) en \(\small{\text{AB} = 6}\) en \(\small{\text{BC} = 4}\).
Bereken de lengte van zijde \(\small{\text{AC}}\).

- Maak een schema met de rechthoekszijden (rhz) en de schuine zijde (sz).
- Vul de lengte van de rechthoekszijden in.
- Vul de kwadraten in.
- Trek de kwadraten van elkaar af.
- Bereken de lengte van \(\small{\text{AC}}\).
\(\small{\text{AC} = \sqrt{20} \approx 4\text{,}5}\)

Oppervlakte driehoek

Voor de oppervlakte van een driehoek geldt:
\(\small{\text{oppervlakte driehoek} = \frac{1}{2} \times \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)
Let op: de \(\small{\text{hoogte}}\) staat altijd loodrecht op de \(\small{\text{zijde}}\).

Hiernaast zie je driehoek \(\small{\text{KLM}}\) met \(\small{\text{LM} = 10}\).
In de driehoek is een hoogtelijn \(\small{\text{KN}}\) op \(\small{\text{LM}}\) getekend; \(\small{\text{KN} = 4\text{,}6}\).
Bereken de oppervlakte van de driehoek \(\small{\text{KLM}}\).

\(\small{\text{oppervlakte} \bigtriangleup\text{KLM} =\frac{1}{2}\times \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)
\(\small{\text{oppervlakte} \bigtriangleup\text{KLM} =\frac{1}{2} \times 10 \times 4\text{,}6}\)
\(\small{\text{oppervlakte} \bigtriangleup\text{KLM} =23}\)

Vierhoeken

Een vierhoek is een vlak figuur met vier hoeken en vier zijden.
Je ziet vierhoek \(\small{\text{ABCD}}\).
De zijden van de vierhoek zijn \(\small{\text{AB}}\), \(\small{\text{BC}}\), \(\small{\text{CD}}\) en \(\small{\text{AD}}\).
In iedere vierhoek geldt dat de vier hoeken samen \(\small{360^\circ}\) zijn.

Voorbeeld

Van vierhoek \(\small{\text{ABCD}}\) is gegeven dat
\(\small{\angle \text{A} = 132^\circ}\), \(\small{\angle \text{B} = 65^\circ}\) en \(\small{\angle \text{D} = 36^\circ}\).
Bereken \(\small{\angle \text{C}}\).
\(\small{\angle \text{}C = 360^\circ - 132^\circ -65^\circ - 36^\circ = 127^\circ}\)

Vierkant en rechthoek

Een rechthoek is een vierhoek:

met vier rechte hoeken,
waarvan de zijden die tegenover elkaar liggen even lang zijn,
waarvan de twee diagonalen even lang zijn,
met twee symmetrieassen,
die draaisymmetrisch is; draaihoek is \(\small{180^\circ}\).

Een vierkant is een bijzondere rechthoek.
Een vierkant is een vierhoek:

met vier rechte hoeken,
met vier gelijke zijden,
waarvan de twee diagonalen even lang zijn,
met vier symmetrieassen,
die draaisymmetrisch is; draaihoek is \(\small{90^\circ}\).

Ruit en parallellogram

Een ruit is een vierhoek:

met vier gelijke zijden,
waarvan de hoeken die tegenover elkaar liggen even groot zijn,
waarvan de twee diagonalen loodrecht op elkaar staan,
met twee symmetrieassen.
die draaisymmetrisch is; draaihoek is \(\small{180^\circ}\).

Een parallellogram is een vierhoek:

waarvan de zijden die tegenover elkaar liggen even lang zijn,
waarvan de zijden die tegenover elkaar liggen evenwijdig zijn,
waarvan de hoeken die tegenover elkaar liggen even groot zijn,
die draaisymmetrisch is; draaihoek is \(\small{180^\circ}\).

Vlieger

Vierhoek \(\small{\text{ABCD}}\) is een vlieger.
Vlieger \(\small{\text{ABCD}}\) is een vierhoek:

met \(\small{\text{AB} = \text{AD}}\) en \(\small{\text{BC} = \text{CD}}\)
met \(\small{\angle \text{B} = \angle \text{D}}\)
waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan,
met één symmetrieas.

Naamgeving hoeken

ls er bij een punt meerdere hoeken zijn, gebruik je meestal cijfertjes om de hoeken van elkaar te onderscheiden.

In parallellogram \(\small{\text{ABCD}}\) is diagonaal \(\small{\text{AC}}\) getekend.
De diagonaal deelt \(\small{\angle \text{A}}\) in twee stukken.
Met behulp van cijfers wordt aangegeven welke hoek je bedoelt.
Er geldt: \(\small{\angle \text{A} = \angle \text{A}_1 + \angle \text{A}_2 = \angle \text{A}_{12} }\)

Je kunt een hoek ook met drie letter aangeven.
In plaats van \(\small{\angle \text{A}_1}\) schrijf je dan \(\small{\angle \text{BAC}}\).
De middelste letter staat bij het hoekpunt.
Dus in plaats van \(\small{\angle \text{A}_2}\) schrijf je dan \(\small{\angle \text{DAC}}\) of \(\small{\angle \text{CAD}}\).

Oppervlakte parallellogram

Voor de oppervlakte van een parallellogram geldt:
\(\small{\text{oppervlakte parallellogram} = \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)

Let op: de \(\small{\text{hoogte}}\) staat altijd loodrecht op de \(\small{\text{zijde}}\).

Voorbeeld

Hiernaast zie je parallellogram \(\small{\text{KLMN}}\) met \(\small{\text{LM} = 5}\).
In \(\small{\text{KLMN}}\) is een hoogtelijn \(\small{\text{PQ}}\) op \(\small{\text{LM}}\) getekend.
\(\small{\text{PQ} = 4\text{,}6}\)

Bereken de oppervlakte van parallellogram \(\small{\text{KLMN}}\).
\(\small{\text{oppervlakte KLMN} = \text{zijde} \times \text{hoogte}}\)
\(\small{\text{oppervlakte KLMN} = \text{LM} \times \text{PQ}}\)
\(\small{\text{oppervlakte KLMN} = 5 \times 4\text{,}6}\)
\(\small{\text{oppervlakte KLMN} = 23}\)

Cirkel

Omtrek cirkel

Voor de \(\small{\text{omtrek}}\) van een cirkel geldt:
\(\small{\text{omtrek cirkel}= \pi\ \times \text{diameter}}\) of
\(\small{\text{omtrek cirkel} = 2 \times \pi\ \times \text{straal}}\)
\(\small{\pi}\) is een Griekse letter. Spreek uit: pie
\(\small{\pi}\) is ongeveer \(\small{3\text{,}14}\)

Voorbeeld

Van een cirkel met middelpunt \(\small{\text{M}}\) is de straal \( \small{3}\) cm.
Bereken de omtrek van cirkel.

\(\small{\text{omtrek cirkel} = 2 \times \pi \times \text{straal}}\)
\(\small{\text{omtrek cirkel} = 2 \times \pi \times 3}\)cm
\(\small{\text{omtrek cirkel} \approx 2 \times 3 \text{,}14 \times 3}\)cm
\(\small{\text{omtrek cirkel} \approx 18\text{,}84}\)cm

Oppervlakte cirkel

Voor de \(\small{\text{oppervlakte}}\) van een cirkel geldt:
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} = \pi \times \text{straal}^2}\) of
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} = \frac{1}{4} \times \pi \times \text{diameter}^2}\)

Voorbeeld

Van een cirkel met middelpunt \(\small{\text{M}}\) is de straal \(\small{3}\) cm.
Bereken de oppervlakte van de cirkel.
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} = \pi \times \text{straal}^2}\)
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} = \pi \times 3^2}\)
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} \approx 3\text{,}14 \times 9}\)
\(\small{\text{oppervlakte cirkel} \approx 28\text{,}26}\) cm²

Afstanden en cirkels

Voorbeeld

Je ziet een kaart met daarop de punten \(\small{\text{M}}\), \(\small{\text{A}}\), \(\small{\text{B}}\) en \(\small{\text{C}}\).

Op de kaart is een cirkel getekend met middelpunt \(\small{\text{M}}\) en met een straal van \(2\) km.

Punt \(\small{\text{A}}\) ligt op de cirkel.
De afstand tussen de punten \(\small{\text{M}}\) en \(\small{\text{A}}\) is \(\small{2}\) km.
Punt \(\small{\text{B}}\) ligt binnen de cirkel.
De afstand tussen de punten \(\small{\text{M}}\) en \(\small{\text{A}}\) is kleiner dan \(\small{2}\) km.
Punt \(\small{\text{C}}\) ligt buiten de cirkel.
De afstand tussen de punten \(\small{\text{M}}\) en \(\small{\text{C}}\) is groter dan \(\small{2}\) km.

Gebieden en cirkels

Voorbeeld

Om snel medische hulp te kunnen bieden staan in een aantal plaatsen in Nederland speciale helikopters klaar.
Op het kaartje is voor drie van die plaatsen met cirkels aangegeven in welk gebied de helikopters ingezet kunnen worden.

Er geldt dat:

de gele gebieden door één van de helikopters bereikt kunnen worden.
het blauwe gebied door twee helikopters bereikt kan worden.
de delen die buiten de cirkels vallen kunnen niet door één van deze drie helikopters bereikt kunnen worden.

Rekenen met hoeken

Naamgeving hoeken

Als er bij een punt meerdere hoeken zijn, gebruik je meestal cijfertjes om de hoeken van elkaar te onderscheiden.

Je kunt een hoek ook met drie letter aangeven.
In plaats van \(\small{\angle \text{A}_1}\) schrijf je dan \(\small{\angle \text{BAC}}\)
De middelste letter staat bij het hoekpunt.
Dus in plaats van \(\small{\angle \text{A}_2}\) schrijf je dan \(\small{\angle \text{DAC}}\) of \(\small{\angle \text{CAD}}\)

F-hoeken en Z-hoeken

F-hoeken

De lijnen \(\small{\text{m}}\) en \(\small{\text{n}}\) lopen evenwijdig.
Lijn \(\small{\text{q}}\) snijdt lijn \(\small{\text{m}}\) en lijn \(\small{\text{n}}\) in de punten \(\small{\text{A}}\) en \(\small{\text{B}}\).
Nu geldt dat \(\small{\angle \text{A}_1 = \angle \text{B}_1}\)
Hoek \(\small{\text{A}_1}\) en hoek \(\small{\text{B}_1}\) noem je F-hoeken.

Z-hoeken

De lijnen \(\small{\text{m}}\) en \(\small{\text{n}}\) lopen evenwijdig.
Lijn \(\small{\text{q}}\) snijdt lijn \(\small{\text{m}}\) en lijn \(\small{\text{n}}\) in de punten \(\small{\text{K}}\) en \(\small{\text{L}}\).
Nu geldt dat \(\small{\angle \text{K}_1 = \angle \text{L}_1}\)
Hoek \(\small{\text{K}_1}\) en hoek \(\small{\text{L}_1}\) noem je Z-hoeken.

Vergroten en verkleinen

Bij een vergroting of een verkleining van een figuur worden alle lengtes van de figuur met hetzelfde getal vermenigvuldigd.
Dat getal noem je de vermenigvuldigingsfactor.
Bij een vergroting of een verkleining van een figuur veranderen de grootte van de hoeken van de figuur niet.

Voorbeeld

Je ziet \(\small{\bigtriangleup \text{ABC}}\) en \(\small{\bigtriangleup \text{DEF}}\).
Alle zijden van \(\small{\bigtriangleup \text{DEF}}\) zijn \(\small{3 \times}\) zo groot dan de zijden van \(\small{\bigtriangleup \text{ABC}}\).
De vermenigvuldigingsfactor is dus \(\small{3}\).
De hoeken van \(\small{\bigtriangleup \text{ABC}}\) zijn gelijk aan de hoeken van \(\small{\bigtriangleup \text{DEF}}\).

Rekenen met de vergrotingsfactor

Voorbeeld

\(\small{\bigtriangleup \text{PQR}}\) is een verkleining van \(\small{\bigtriangleup \text{KLM}}\).
Bij de figuren staan de lengten van enkele zijden.
Bereken de \(\small{\text{vergrotingsfactor}}\) en bereken de lengte van \(\small{\text{PR}}\) en \(\small{\text{QR}}\).

\(\small{\text{vergrotingsfactor} = 8: 20 =0\text{,}4}\)
\(\small{\text{PR} = 0\text{,}4 \times 25 = 10}\)
\(\small{\text{QR} = 0\text{,}4 \times 15 = 6}\)

Oppervlakte met de vergrotingsfactor

Bij een vergroting van een figuur met een factor wordt de oppervlakte van de figuur factor\(^2\) keer zo groot.

Voorbeeld

De rechthoekige \(\small{\bigtriangleup \text{ABC}}\) heeft een oppervlakte van \(\small{6}\).
De driehoek wordt vermenigvuldigd met een factor \(\small{3}\).
Bereken de oppervlakte van \(\small{\bigtriangleup \text{PQR}}\).

\(\small{\text{vergrotingsfactor} = 3}\)
\(\small{\text{oppervlakte}\bigtriangleup\text{PQR} = 3^2 \times \text{oppervlakte}\bigtriangleup\text{ABC}}\)
\(\small{\text{oppervlakte}\bigtriangleup\text{PQR} = 9 \times 6 = 54}\)

Ruimtemeetkunde

Kubus en balk

Kubus \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) is een ruimtelijk figuur met:
- \(\small{6}\) gelijke vierkanten als grensvlakken
- \(\small{12}\) even lange ribben en
- \(\small{8}\) hoekpunten

\(\small{\text{ACGE}}\) is voorbeeld van een diagonaalvlak van de kubus.
Een diagonaalvlak heeft de vorm van een rechthoek.
Lijnstuk \(\small{\text{AG}}\) is een lichaamsdiagonaal.

In balk \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) geldt:
- de ribben \(\small{\text{AB}}\), \(\small{\text{CD}}\), \(\small{\text{EF}}\) en \(\small{\text{GH}}\) zijn even lang,
- de ribben \(\small{\text{BC}}\), \(\small{\text{FG}}\), \(\small{\text{AD}}\) en \(\small{\text{EH}}\) zijn even lang,
- de ribben \(\small{\text{AE}}\), \(\small{\text{BF}}\), \(\small{\text{CG}}\) en \(\small{\text{DH}}\) zijn even lang.

\(\small{\text{ABGH}}\) is voorbeeld van een diagonaalvlak van de balk.
Een diagonaalvlak heeft de vorm van een rechthoek.
Lijnstuk \(\small{\text{BH}}\) is een lichaamsdiagonaal.

Piramide en prisma

Piramide

Je hebt verschillende piramiden. Het aantal ribben en hoekpunten hangt af van de vorm van het grondvlak.
Een piramide met een vierkant als grondvlak heeft:
- \(\small{8}\) ribben en
- \(\small{5}\) hoekpunten.

Bij de piramide \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{T}}\) hiernaast ligt de top precies boven het snijpunt van de diagonalen van het grondvlak.

Prisma

Je hebt ook veel verschillende prisma's. Ook nu hangt het aantal ribben en hoekpunten af van de vorm van het grondvlak.

Een prisma met een vijfhoek als grondvlak (en bovenvlak) heeft:
- \(\small{15}\) ribben en
- \(\small{10}\) hoekpunten.

Cilinder, kegel en bol

Een cilinder heeft:
- twee platte grensvlakken
- één gebogen grensvlak
- geen hoekpunten en
- geen ribben.

Een kegel heeft:
- één plat grensvlak
- één gebogen grensvlak
- geen hoekpunten en
- geen ribben.

Een bol heeft:
- één gebogen grensvlak
- geen hoekpunten en
- geen ribben.

Uitslagen

In een uitslag van een ruimtelijk figuur staan alle grensvlakken van dat ruimtelijk figuur.
Als je de uitslag uitknipt, kun je het ruimtelijk figuur in elkaar zetten. Je ziet hieronder een aantal uitslagen van ruimtelijke figuren.



\(\small\text{Balk}\)	\(\small\text{Cilinder}\)	\(\small\text{Piramide}\)	\(\small\text{Kegel}\)

Aanzichten

\(\small\text{boven}\)


\(\small\text{voor}\)	\(\small\text{zij}\)

Om een goed beeld van een ruimtelijk figuur te krijgen, kijk je van verschillende kanten naar het figuur.
Een tekening van wat je ziet, noem je een aanzicht.

Vaak teken je drie aanzichten:

vooraanzicht
zijaanzicht
bovenaanzicht

Van het kubushuisje is een drieaanzicht getekend.

Ruimtecoördinaten

Een ruimtelijk figuur kun je in een assenstelsel met drie assen tekenen.
De oorsprong is dan het punt \(\small{\text{O}(0,0,0)}\).
Ook de andere punten geef je aan met drie ruimtecoördinaten.

Voorbeeld

In het assenstelsel zie je balk \(\small{\text{ABCO} \cdot \text{EFGH}}\) getekend. De assen zijn de lijnen door \(\small{\text{OA}}\), \(\small{\text{OC}}\) en \(\small{\text{OH}}\). Voor de hoekpunten van de balk geldt:
\(\small{\text{A}(2,0,0)}\) \(\small{\text{E}(2,0,3)}\)
\(\small{\text{B}(2,5,0)}\) \(\small{\text{F}(2,5,3)}\)
\(\small{\text{C}(0,5,0)}\) \(\small{\text{G}(0,5,3)}\)
\(\small{\text{O}(0,0,0)}\) \(\small{\text{H}(0,0,3)}\)

De eerste coördinaat geeft aan hoeveel je naar voren gaat,
de tweede coördinaat geeft aan hoeveel je naar rechts gaat en
de derde coördinaat geeft aan hoeveel je omhoog gaat.

Doorsnede en inhoud

Doorsnede

Van een ruimtelijk figuur kun je soms meer te weten komen als je het figuur doorsnijdt.
Het vlak waarlangs je snijdt, noem je de doorsnede.

Doorsneden van dezelfde ruimtelijke figuur kunnen heel verschillend zijn.
De vorm van de doorsnede zie je als je recht op het snijvlak kijkt.
Van bijvoorbeeld een cilinder kun je verschillende doorsneden maken.

	\(\small\text{A}\)	\(\small\text{B}\)	\(\small\text{C}\)

Inhoud

Bekijk de volgende ruimtelijke figuren.

\(\small\text{balk}\)	\(\small\text{cilinder}\)	\(\small\text{prisma}\)

Voor deze ruimtelijke figuren geldt dat alle doorsneden evenwijdig aan het grondvlak dezelfde vorm en grootte hebben.
Voor deze ruimtelijke figuren geldt:

\(\small{\text{inhoud} = \text{oppervlakte grondvlak} \times \text{hoogte}}\)

Inhoud cilinder

Voorbeeld

Je ziet een cilinder.
Het grondvlak van de cilinder is een cirkel met een straal van \(\small{3}\) cm.
De hoogte van de cilinder is \(\small{10}\) cm.

Bereken de inhoud van de cilinder.
- \(\small{\text{oppervlakte grondvlak} = \pi \times \text{straal}^2}\)
- \(\small{\text{oppervlakte grondvlak} = \pi \times 3^2}\)
- \(\small{\text{oppervlakte grondvlak} \approx 3\text{,}14 \times 9 = 28\text{,}26}\)cm²
- \(\small{\text{inhoud cilinder} = \text{oppervlakte grondvlak} \times \text{hoogte}}\)
- \(\small{\text{inhoud cilinder} \approx 28\text{,}26 \times 10 = 282\text{,}6}\)cm³

Inhoud piramide

De inhoud van een bol kun je berekenen met de formule:\(\small{\text{inhoud piramide} = \text{oppervlakte grondvlak} \times \text{hoogte} : 3}\)
\(\small{\text{inhoud kegel} = \text{oppervlakte grondvlak} \times \text{hoogte} : 3}\)

Voorbeeld

De piramide heeft een rechthoekig grondvlak van \(\small{4}\) bij \(\small{3}\) cm.
De hoogte is \(\small{5}\) cm.
Bereken de inhoud van de piramide.

\(\small{\text{oppervlakte grondvlak} = 3 \times 4 = 12 }\)cm²
\(\small{\text{inhoud piramide}= 12 \times 5 : 3 = 20}\) cm³

Inhoud bol

De inhoud van een bol kun je berekenen met de formule:

\(\small{\text{inhoud bol}= \frac{4\ \times\ \pi\ \times\ \text{straal}^3} {3} }\)

Voorbeeld

Bereken de inhoud van een bol met een straal van \(\small{3}\) cm.

\(\small{\text{inhoud bol} \approx \frac{4\ \times\ 3,14\ \times\ 3^3} {3}}\) cm³
\(\small{\text{inhoud bol} \approx \frac{4\ \times\ 3,14\ \times\ 27}{3} }\) cm³
\(\small{\text{inhoud bol} \approx 113}\) cm³

Vergroten en verkleinen

Bij een vergroting van een ruimtelijk figuur met een factor,
wordt de inhoud van de figuur factor\(^3\)keer zo groot.

Voorbeeld

De kubus \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) heeft een inhoud van \(\small{1}\) cm³ .
De kubus wordt vermenigvuldigd met een factor \(\small{3}\).
Bereken de inhoud van kubus \(\small{\text{KLMN} \cdot \text{PQRS}}\).

\(\small{\text{vergrotingsfactor} = 3}\)
\(\small{\text{inhoud}[\text{KLMN} \cdot \text{PQRS}] = 3 ^3 \cdot \text{inhoud}[\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}]}\)
\(\small{\text{inhoud}[\text{KLMN} \cdot \text{PQRS}] = 27 \times 1 = 27}\)cm³

Tangens

Hellingshoek en hellingsgetal

Bij iedere helling hoort een hellingshoek.
Hoe groter de hellingshoek, hoe steiler de helling.
Hoe steil een helling is, kun je aangeven met het hellingsgetal.

Het \(\small{\text{hellingsgetal}}\) bereken je door het
hoogteverschil te delen door de afstand die horizontaal
wordt afgelegd:

\(\small{\text{hellingsgetal}= \frac{\text{hoogteverschil}}{\text{horizontale afstand}}}\)

Voorbeeld

Bereken het hellingsgetal van de hiernaast
getekende helling

\(\small{\text{hellingsgetal }\angle \text{K} = \frac {4}{6} \approx 0\text{,}67}\)

Tangens

Het hellingsgetal van een hoek wordt ook wel de tangens van een hoek genoemd.

Bekijk de rechthoekige driehoek \(\small{\text{ABC}}\).
\(\small{\text{AB}}\) en \(\small{\text{BC}}\) zijn rechthoekszijden (rhz) en \(\small{\text{AC}}\) is de schuine zijde.
Als je kijkt vanuit \(\small{\angle \text{A}}\) dan is zijde \(\small{\text{AB}}\) de aanliggende rhz en \(\small{\text{BC}}\) de overstaande rhz.

Er geldt:

\(\small{\tan \angle \text{A} = \frac{\text{overstaande rhz}}{\text{aanliggende rhz}} = \frac{\text{BC}}{\text{AB}}}\)

Voorbeeld

Driehoek \(\small{\text{PQR}}\) is een driehoek met \(\small{\angle \text{Q} = 90^\circ}\).
Bereken \(\small{\tan \angle \text{P}}\)

\(\small{\tan \angle \text{P} = \frac{\text{QR}}{\text{PQ}} = \frac{4}{8} = 0\text{,}5}\)

Tangens en graden

Weet je van een hoek het aantal graden, dan kun je met je rekenmachine de tangens van de hoek bepalen.
Gebruik de \(\small{[\tan]}\)-knop.

Voorbeelden

\(\small{\tan 26^\circ \approx 0\text{,}488}\)
\(\small{\tan 45^\circ = 1}\)
\(\small{\tan 67^\circ \approx 2\text{,}356}\)

Weet je van een hoek de tangens, dan kun je met je rekenmachine het aantal graden van de hoek bepalen.
Gebruik de \(\small{[\tan^{-1}]}\)-knop.

Voorbeelden

\(\small{\tan \angle \text{A} = 0\text{,}4}\) geeft \(\small{\angle \text{A} \approx 22^\circ}\)
\(\small{\tan \angle \text{P} = 1\text{,}7}\) geeft \(\small{\angle \text{P} \approx 60^\circ}\)

Rekenen met tangens

Voorbeeld

Bekijk de driehoek \(\small{\text{PQR}}\) met \(\small{\angle \text{Q} = 90^\circ}\), \(\small{\text{QR} = 7}\) en \(\small{\text{PQ} = 4}\).
Bereken de grootte van \(\small{\angle \text{P}}\).
\(\small{\tan \angle \text{P} = \frac{\text{QR}}{\text{PQ}} = \frac{7}{4} = 1\text{,}75}\) geeft \(\small{\angle \text{P} \approx 60^\circ}\)

Voorbeeld

Bekijk de rechthoekige driehoek \(\small{\text{ABC}}\) met \(\small{\angle \text{B} = 90^\circ}\), \(\small{\angle \text{A}=30^\circ}\)° en \(\small{\text{AB} = 4}\).
Bereken zijde \(\small{\text{BC}}\).

\(\small{\tan \angle \text{A} = \frac{\text{BC}}{\text{AB}} }\) invullen geeft: \(\small{\tan 30^\circ = \frac{\text{BC}}{4}}\)

\(\small{\text{BC} = \text{a} \times \tan\ 30^\circ \approx 4 \times 0\text{,}577 \approx 2\text{,}3}\)

Sinus en cosinus

Sinus van een hoek

De sinus van een hoek is de verhouding tussen overstaande rechthoekszijde en de schuine zijde.

\(\small{\sin \angle \text{A} = \frac{\text{overstaande}\ \text{rhz}}{\text{schuine}\ \text{rhz}} = \frac{\text{BC}}{\text{AC}}}\)

Voorbeeld

Driehoek \(\small{\text{PQR}}\) is een rechthoekige driehoek, met \(\small{\angle \text{Q} = 90^\circ}\), \(\small{\text{PQ} = 4}\), \(\small{\text{QR} = 3}\) en \(\small{\text{PR} = 5}\).

Bereken \(\small{\sin \angle \text{P}}\) ..
\(\small{\sin \angle \text{P} = \frac{\text{QR}}{\text{PR}} = \frac{3}{5} = 0\text{,}6}\)

Cosinus van een hoek

De cosinus van een hoek is de verhouding tussen aanliggende rechthoekszijde en de schuine zijde.

\(\small{\cos \angle = \frac{\text{aanliggende rhz}}{\text{schuine zijde}} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}}\)

Voorbeeld

Driehoek \(\small{\text{PQR}}\) is een rechthoekige driehoek, met \(\small{\angle \text{Q} = 90^\circ}\), \(\small{\text{PQ} = 4}\) \(\small{\text{QR} = 3}\) en \(\small{\text{PR} = 5}\).
Bereken \(\small{\cos \angle \text{P}}\).

\(\small{\cos \angle \text{P} = \frac{\text{PQ}}{\text{PR}} = \frac{4}{5} = 0\text{,}8}\)

Sinus, cosinus en graden

Weet je van een hoek het aantal graden, dan kun je met je rekenmachine de sinus of cosinus van de hoek bepalen.
Gebruik de \(\small{[\sin]}\)- of \(\small{[\cos]}\)-knop.

Voorbeelden

\(\small{\sin 26^\circ \approx 0\text{,}438}\) \(\small{\cos 26^\circ = 0\text{,}899}\)
\(\small{\sin 45^\circ =0\text{,}707}\) \(\small{\cos 60^\circ = 0\text{,}5}\)

Weet je van een hoek de sinus of cosinus, dan kun je met je rekenmachine het aantal graden van de hoek bepalen.
Gebruik de \(\small{[\sin^{-1}]}\)- of \(\small{[\cos^{-1}]}\)-knop.

Voorbeelden

\(\small{\sin \angle \text{A} = 0\text{,}4}\) geeft \(\small{\angle \text{A} \approx 24^\circ}\)
\(\small{\cos \angle \text{P} = 0\text{,}7}\) geeft \(\angle P \approx 45^\circ\)

Rekenen met de sinus

Voorbeeld

Bekijk de rechthoekige driehoek \(\small{\text{PQR}}\) met \(\small{\angle \text{Q} = 90^\circ}\), \(\small{\text{RQ} = 6}\) en \(\small{\text{PR} = 7}\).
Bereken de grootte van \(\small{\angle \text{P}}\) .

\(\small{\sin \angle \text{P} = \frac{\text{QR}}{\text{PR}} = \frac{6}{7}}\) geeft \(\small{\angle \text{P} \approx 59^\circ}\)

Voorbeeld

Bekijk de rechthoekige driehoek \(\small{\text{ABC}}\) met \(\small{\angle \text{B} = 90^\circ}\), \(\small{\angle \text{A} = 30^\circ}\) en \(\small{\text{BC} = 4}\).
Bereken zijde \(\small{\text{AB}}\).

\(\small{\sin \angle \text{A} = \frac{\text{BC}}{\text{AC}} }\) invullen geeft: \(\small{\sin 30^\circ = \frac{4}{\text{AC}}}\)

\(\small{\text{AC} = \frac{4}{\sin 30^\circ} = \frac{4}{0\text{,}5} = 8}\)

Rekenen met cosinus

Voorbeeld

Bekijk de rechthoekige driehoek \(\small{\text{PQR}}\) met \(\small{\angle \text{Q} = 90^\circ}\), \(\small{\text{PQ} = 3}\) en \(\small{\text{PR} = 7}\).
Bereken de grootte van \(\small{\angle \text{P}}\) .
\(\small{\cos \angle \text{P} = \frac{\text{PQ}}{\text{PR}} = \frac{3}{7}}\) geeft \(\small{\angle \text{P} \approx 65^\circ}\)

Voorbeeld

Bekijk de rechthoekige driehoek \(\small{\text{ABC}}\) met \(\small{\angle \text{B} = 90^\circ}\), \(\small{\angle \text{A} = 30^\circ}\) en \(\small{\text{AC} = 8}\).
Bereken zijde \(\small{\text{AB}}\).

\(\small{\cos \angle \text{A} = \frac{\text{AB}}{\text{AC}}}\) invullen geeft: \(\small{\cos 30^\circ = \frac{\text{AB}}{8}}\)

\(\small{\text{AB} = 8 \times \cos\ 30^\circ \approx 6\text{,}9}\)

Berekeningen in de ruimte

Pythagoras in de ruimte - 1

Als je in een ruimtelijk figuur de lengte van een lijnstuk wilt uitrekenen, kijk je goed in welk vlak het lijnstuk ligt.

Bekijk balk \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) met \(\small{\text{AB} = 6}\), \(\small{\text{AD} = 3}\) en \(\small{\text{AE} = 4}\).

Bereken de lengte van lijnstuk \(\small{\text{BG}}\).

Lijnstuk \(\small{\text{BG}}\) ligt in het zijvlak \(\small{\text{BCGF}}\).
Zijvlak \(\small{\text{BCGF}}\) is een rechthoek van \(\small{3}\) bij \(\small{4}\).
Bereken \(\small{\text{BG}}\) met de stelling van Pythagoras.
Je vindt:
\(\small{\text{BG} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5}\)

Pythagoras in de ruimte - 2

Als je in een ruimtelijk figuur de lengte van een lijnstuk wilt uitrekenen, kijk je goed in welk vlak het lijnstuk ligt.

Bekijk balk \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) met \(\small{\text{AB} = 6}\), \(\small{\text{AD} = 3}\) en \(\small{\text{AE} = 4}\).

Bereken de lengte van lijnstuk \(\small{\text{BD}}\).

Lijnstuk \(\small{\text{BD}}\) ligt in het vlak \(\small{\text{ABCD}}\).
Vlak \(\small{\text{ABCD}}\) is een rechthoek van \(\small{6}\) bij \(\small{3}\).
Bereken \(\small{\text{BD}}\) met de stelling van Pythagoras.
Je vindt:
\(\small{\text{BD} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{45} \approx 6\text{,}7}\)

Pythagoras in de ruimte - 3

Bekijk balk \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) met \(\small{\text{AB} = 6}\), \(\small{\text{BC} = 3}\) en \(\small{\text{CG} = 4}\).
Bereken de lengte van lijnstuk \(\small{\text{BH}}\).

Lijnstuk \(\small{\text{BH}}\) ligt in het vlak \(\small{\text{ABGH}}\).
Vlak \(\small{\text{ABGH}}\) is een diagonaalvlak.
Bereken nu eerst \(\small{\text{BG}}\).
Je vindt:
\(\small{\text{BG} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5}\)

Vlak \(\small{\text{BGHA}}\) is een rechthoek van \(\small{6}\) bij \(\small{5}\).
Bereken \(\small{\text{BH}}\) met de stelling van Pythagoras.
Je vindt:
\(\small{\text{BG}= \sqrt{6^2 + 5^2} = \sqrt{61} \approx 7\text{,}8}\)

Tangens, sinus en cosinus in de ruimte - 1

Als je in een ruimtelijk figuur een hoek moet uitrekenen, kijk dan goed in welk vlak de hoek ligt.

Voorbeeld

Bekijk balk \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{EFGH}}\) met \(\small{\text{AB} = 6}\), \(\small{\text{AD} = 3}\) en \(\small{\text{AE} = 4}\).
Bij hoekpunt \(\small{\text{B}}\) is de hoek \(\small{\angle \text{CBG}}\) aangegeven.
Bereken de grootte van \(\small{\angle \text{CBG}}\) in graden nauwkeurig.
- \(\small{\angle \text{CBG}}\) ligt in zijvlak \(\small{\text{BCGF}}\).
Zijvlak \(\small{\text{BCGF}}\) is een rechthoek van \(\small{3}\) bij \(\small{4}\).
- Vanuit \(\small{\angle \text{CBG}}\) weet je de lengte van de overstaande rhz en aanliggende rhz.
Gebruik de tangens.
\(\small{\tan = \angle \text{CBG} = \frac{\text{CG}}{\text{BC}} = \frac{4}{3}}\) geeft \(\small{\angle \text{CBG} \approx 53^\circ}\)

Tangens, sinus en cosinus in de ruimte - 2

Voorbeeld
Je ziet de piramide \(\small{\text{ABCD} \cdot \text{T}}\) met een vierkant grondvlak. \(\small{\text{S}}\) is het snijpunt van de diagonalen van het grondvlak. De top \(\small{\text{T}}\) ligt recht boven punt \(\small{\text{S}}\). Alle ribben zijn \(\small{\text{6}}\).
Bereken \(\small{\angle \text{SAT}}\) in graden nauwkeurig.

- \(\small{\angle \text{SAT}}\) ligt in de rechthoekige driehoek \(\small{\text{AST}}\).
- Bereken \(\small{\text{AS}}\) met de stelling van Pythagoras.
Je vindt:
\(\small{\text{AS} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} \approx 4\text{,}24}\)

- Vanuit \(\small{\angle \text{SAT}}\) weet je nu de aanliggende rhz en de schuine zijde.
- Gebruik de cosinus:

\(\small{\cos \angle \text{SAT} = \frac{\text{AS}}{\text{AT}} \approx \frac{4\text{,}24}{6} \approx 0\text{,}71}\) geeft \(\small{\angle \text{SAT} \approx 45^\circ}\)

Informatieverwerken

Diagrammen

Gegevens in beeld

Gegevens kun je op verschillende manieren in beeld brengen.
Voorbeelden zijn een tabel, een beelddiagram en een staafdiagram.

Voorbeeld

Een klas van \(\small{30}\) leerlingen heeft een toets wiskunde gemaakt.
Met de resultaten is een tabel, een beelddiagram en een staafdiagram gemaakt.

\(\small{\text{Tabel}}\)

\(\small{\text{Beelddiagram}}\)

\(\small{\text{Staafdiagram}}\)

\(\small{\textbf{cijfer}}\)	\(\small{\textbf{aantal keer}}\)
\(\small4\)	\(\small4\)
\(\small5\)	\(\small3\)
\(\small6\)	\(\small5\)
\(\small7\)	\(\small7\)
\(\small8\)	\(\small8\)
\(\small9\)	\(\small3\)

Cirkeldiagrammen

Ook een cirkeldiagram wordt regelmatig gebruikt om gegevens weer te geven. Een cirkeldiagram bestaat uit verschillende sectoren.

Voorbeeld
Aan \(\small{250}\) mensen is gevraagd wat hun favoriete sport is.
Met de antwoorden is een cirkeldiagram gemaakt.

- Je ziet dat \(\small{60\%}\) van de ondervraagden voetbal hebben genoemd.
\(\small{60\%}\) van \(\small{250}\) is \(\small{150}\) mensen.

- Een hele cirkel is \(\small{360}\)°.
\(\small{10\%}\) van de ondervraagden noemden volleybal.
De hoek van de punt van de sector volleybal is dus \(\small{36}\)°.

Steel - bladdiagram

Zijn je gegevens getallen, dan kun je de gegevens soms ook weergeven in een
steel-bladdiagram. In een steel-bladdiagram is ieder getal gesplitst:
- in de steel staat het eerste deel van het getal,
- in het blad staat het laatste deel van het getal.

Voorbeeld

Hieronder zie je de cijfers voor een proefwerk wiskunde.
De cijfers zijn afgerond op één cijfer achter de komma.

\(\small{2{,}6}\)	\(\small{3{,}7}\)	\(\small{4{,}8}\)	\(\small{4{,}9}\)	\(\small{5{,}6}\)	\(\small{5{,}7}\)	\(\small{5{,}9}\)	\(\small{5{,}9}\)
\(\small{6{,}0}\)	\(\small{6{,}0}\)	\(\small{6{,}0}\)	\(\small{6{,}6}\)	\(\small{6{,}6}\)	\(\small{6{,}6}\)	\(\small{6{,}7}\)	\(\small{6{,}7}\)
\(\small{6{,}8}\)	\(\small{7{,}0}\)	\(\small{7{,}4}\)	\(\small{7{,}7}\)	\(\small{7{,}7}\)	\(\small{7{,}7}\)	\(\small{7{,}9}\)	\(\small{8{,}2}\)
\(\small{8{,}4}\)	\(\small{8{,}6}\)	\(\small{8{,}8}\)	\(\small{9{,}0}\)	\(\small{9{,}2}\)	\(\small{9{,}3}\)

Met de cijfers is een steel-bladdiagram gemaakt.
In de steel staan de gehele getallen, in de bladeren staan
de getallen achter de komma van klein naar groot.

Grafen

Grafen en gerichte graaf

Een graaf is een schematische weergave van de werkelijkheid. Een graaf bestaat uit knooppunten en wegen.
De wegen in een graaf kunnen echte wegen zijn, maar dat hoeft niet.

Voorbeeld

In de graaf hiernaast geeft een weg tussen twee personen aan dat ze aan dezelfde sport doen.

- Eva zit op voetbal en tennis.
- Jef zit op voetbal en volleybal.
- Jorge zit op volleybal.
- Kate zit op tennis en volleybal.

Een graaf met 'éénrichtingsverkeer' noem je een gerichte graaf.
In een gerichte graaf zie je een of meer pijltjes in de wegen.

Voorbeeld
Bekijk de gerichte graaf.

Je ziet dat je wel rechtstreeks van \(\small{\text{A}}\) naar \(\small{\text{C}}\) kunt, maar niet rechtstreeks van \(\small{\text{C}}\) naar \(\small{\text{A}}\), je moet dan via \(\small{\text{B}}\).

'Afstand'tabellen

In een afstandtabel staan de 'afstanden' tussen de knooppunten.
Dat kunnen kilometers zijn, maar bijvoorbeeld ook reistijden.

Voorbeeld

In de graaf zie de reistijden per trein in minuten tussen een aantal steden.

Omdat er werkzaamheden aan het spoor zijn, kun je niet rechtstreeks van Zutphen naar Arnhem. De graaf is een gerichte graaf.

van: naar:	\(\small\text{Amsterdam}\)	\(\small\text{Amersfoort}\)	\(\small\text{Arnhem}\)	\(\small\text{Utrecht}\)	\(\small\text{Zutpen}\)
\(\small\text{Amsterdam}\)	-	\(\small34\)	\(\small69\)	\(\small32\)	\(\small82\)
\(\small\text{Amersfoort}\)	\(\small34\)	-	\(\small51\)	\(\small14\)	\(\small48\)
\(\small\text{Arnhem}\)	\(\small69\)	\(\small51\)	-	\(\small37\)	\(\small21\)
\(\small\text{Utrecht}\)	\(\small32\)	\(\small14\)	\(\small37\)	-	\(\small58\)
\(\small\text{Zutphen}\)	\(\small82\)	\(\small48\)	\(\small99\)	\(\small62\)	-

De reistijden tussen de steden zijn ook weergegeven in een 'afstand'tabel.
Ook in de tabel kun je zien dat je te maken hebt met een gerichte graaf.
De tabel is niet symmetrisch: de reistijd van Zutphen naar Arnhem is niet gelijk aan de reistijd van Arnhem naar Zutphen.

Informatieve figuren

Voorbeeld

In deze 'graaf' zie je gegevens over de groei van de bevolking van Utrecht in 2017.

Uit de figuur kun je afleiden dat het aantal inwoners van Utrecht in 2017 is toegenomen.
Ga na of dat klopt.

Centrum maten en klassen

Gemiddelde

Het gemiddelde van een aantal getallen vind je door die getallen bij elkaar op te tellen en de uitkomst te delen door het aantal getallen. Daarna rond je af op het gewenste aantal decimalen.

\(\small{\text{gemiddelde}= \frac{\text{som van de getallen}}{\text{aantal getallen}}}\)

Voorbeeld

Je hebt voor Frans gehaald: \(\small{6\text{,}2 \ \ 7\text{,}4 \ \ 4\text{,}8 \ \ 7\text{,}4 \ \ 8\text{,}1 \ \ 7\text{,}2}\) en \(\small{8\text{,}0}\)

Bereken in één decimaal nauwkeurig hoeveel je gemiddeld staat voor Frans.

\(\small{\text{gemiddelde}= \frac{6,2\ +\ 7,4\ +\ 4,8\ +\ 7,4\ +\ 8,1\ +\ 7,2\ +\ 8,0}{7} = \frac{49,1}{7} \approx 7,0}\)

Gewogen gemiddelde

Bij het berekenen van het gewogen gemiddelde telt een getal even vaak mee als zijn 'gewicht' aangeeft.

Voorbeeld
Voor geschiedenis heb je twee overhoringen (\(\small{7}\) en \(\small{8}\))
en één repetitie (\(\small{5\text{,}5}\)) gemaakt.
De repetitie geldt \(\small{3}\) keer zo zwaar als de overhoringen.

Bereken het gewogen gemiddelde in één decimaal nauwkeurig.

\(\small{\text{gemiddelde}= \frac{1\ \times\ 7\ +\ 1\ \times\ 8\ +\ 3\ \times\ 5\text{,}5}{5} = \frac{31\text{,}5}{5} = 6\text{,}3}\)

Frequentie en frequentieverdeling

Je bekijkt een reeks getallen. Het aantal keer dat een bepaald getal voorkomt noem je de frequentie van het getal.
Als de frequentie deelt door het totale aantal krijg je de relatieve frequentie.
Een frequentietabel is een tabel waarin de verschillende getallen uit de reeks met hun frequentie staan.
Je spreekt dan ook wel van een frequentieverdeling.

Voorbeeld
In een klas zijn de volgende cijfers gehaald voor een proefwerk wiskunde.

\(\small{5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 5, 5, 8,}\)
\(\small{8, 8, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8,}\)
\(\small{8, 8, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 6, 6}\)

Met de cijfers is een frequentieverdeling gemaakt.

\(\small\text{cijfer}\)

\(\small\text{frequentie}\)

\(\small\text{rel. frequentie}\)

\(\small5\)	\(\small7\)	\(\small23\%\)
\(\small6\)	\(\small8\)	\(\small27\%\)
\(\small7\)	\(\small9\)	\(\small30\%\)
\(\small8\)	\(\small6\)	\(\small20\%\)

\(\small\text{totaal}\)

\(\small30\)

\(\small100\%\)

Modus

Je bekijkt een reeks getallen. Het getal dat in de reeks getallen het vaakst voorkomt, noem je de modus. De modus is dus het getal met de hoogste frequentie.
Zijn er meerdere getallen die met de hoogste frequentie dan is er geen modus.

Voorbeeld
In een klas zijn de volgende cijfers gehaald voor een proefwerk wiskunde.

\(\small{5,5,6,6,7,7,7,5,5,8,}\)
\(\small{8,8,5,5,6,6,7,7,7,8,}\)
\(\small{8,8,5,6,6,7,7,7,6,6}\)

Met de cijfers is een frequentieverdeling gemaakt.
Bepaal de modus van de reeks cijfers.
De modus is \(\small{7}\). Dat getal komt het meest voor.

\(\small\text{cijfer}\)

\(\small\text{frequentie}\)

\(\small\text{rel. frequentie}\)

\(\small5\)	\(\small7\)	\(\small23\%\)
\(\small6\)	\(\small8\)	\(\small27\%\)
\(\small7\)	\(\small9\)	\(\small30\%\)
\(\small8\)	\(\small6\)	\(\small20\%\)

\(\small\text{totaal}\)

\(\small30\)

\(\small100\%\)

Mediaan

Je bekijkt een reeks getallen.
De mediaan van een reeks getallen is het middelste getal van de reeks nadat de getallen op volgorde zijn gezet.
Bij een even aantal getallen zijn er twee middelste getallen.
De mediaan is het gemiddelde van deze twee middelste getallen.

Voorbeeld

In een klas zijn de volgende cijfers gehaald voor een proefwerk wiskunde.

\(\small{5,5,6,6,7,7,7,5,5,8,8,8,5,5,6,6,7,7,7,8,8,8,5,6,6,7,7,7,6,6.}\)

Bepaal de mediaan van de reeks cijfers.

- Zet de getallen eerst op volgorde:

\(\small{5,5,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6,6,6,6,7,7,7,7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,8.}\)

- Het aantal getallen is even.
De mediaan is \(\small{6\text{,}5}\), het gemiddelde van de middelste twee getallen.

Klassen

\(\small\text{klasse}\)

\(\small\text{turven}\)

\(\small\text{frequentie}\)

\(\small2{,}5 \text{ tot } 3{,}5\)	\(\small\text{I}\)	\(\small1\)
\(\small3{,}5 \text{ tot } 4{,}5\)	\(\small\text{I}\)	\(\small1\)
\(\small4{,}5 \text{ tot } 5{,}5\)	\(\small\text{II}\)	\(\small2\)
\(\small5{,}5 \text{ tot }6{,}5\)	\(\small\text{IIIII II}\)	\(\small7\)
\(\small6{,}5 \text{ tot } 7{,}5\)	\(\small\text{IIIII III}\)	\(\small8\)
\(\small7{,}5 \text{ tot } 8{,}5\)	\(\small\text{IIIII I}\)	\(\small6\)
\(\small8{,}5 \text{ tot } 9{,}5\)	\(\small\text{IIIII}\)	\(\small5\)

\(\small\text{totaal}\)

\(\small30\)

Bij het werken met een reeks getallen is het soms handig om een klassenindeling te maken.

Voorbeeld

De leerlingen uit een klas hebben uitgerekend welk cijfer ze voor wiskunde staan.

De gemiddelden zijn afgerond op één cijfer achter de komma.

\(\small{2{,}6}\)	\(\small{3{,}7}\)	\(\small{4{,}8}\)	\(\small{4{,}9}\)	\(\small{5{,}6}\)	\(\small{5{,}7}\)	\(\small{5{,}9}\)	\(\small{5{,}9}\)	\(\small{6{,}0}\)	\(\small{6{,}0}\)
\(\small{6{,}0}\)	\(\small{6{,}5}\)	\(\small{6{,}6}\)	\(\small{6{,}6}\)	\(\small{6{,}7}\)	\(\small{6{,}7}\)	\(\small{6{,}8}\)	\(\small{7{,}0}\)	\(\small{7{,}4}\)	\(\small{7{,}7}\)
\(\small{7{,}7}\)	\(\small{7{,}7}\)	\(\small{7{,}9}\)	\(\small{8{,}2}\)	\(\small{8{,}4}\)	\(\small{8{,}5}\)	\(\small{8{,}8}\)	\(\small{9{,}0}\)	\(\small{9{,}2}\)	\(\small{9{,}3}\)

Met de cijfers is een klassenindeling gemaakt.
De onderste klasse loopt van \(\small{2{,}5}\) tot \(\small{3{,}5}\). Het klassenmidden is \(\small{3}\).
De bovenste klasse loopt van \(\small{8{,}5}\) tot \(\small{9{,}5}\). Het klassenmidden is \(\small{9}\).
Iedere klasse heeft een klassenbreedte van \(\small{1}\).
Let op: het getal \(\small{6{,}5}\) behoort tot de klasse \(\small{6{,}5}\) tot \(\small{7{,}5}\).

Tellen

Tellen: boomdiagram

Een boomdiagram kan helpen bij het overzichtelijk weergeven van alle mogelijkheden van een telprobleem.

Voorbeeld

Een gezin heeft drie kinderen.
Je kijkt naar het geslacht van de kinderen.
Welke combinaties zijn er mogelijk?

Maak een boomdiagram.
In het boomdiagram zie je alle mogelijkheden.
Er zijn \(\small{8}\) verschillende combinaties mogelijk.

Tellen: tabel

Soms is een tabel een handig hulpmiddel bij het overzichtelijk weergeven van de mogelijkheden van een telprobleem.

Voorbeeld

Je gooit met twee dobbelstenen, een rode en een blauwe.
Welke combinaties zijn er mogelijk?

Maak een tabel.

In de tabel zie je alle mogelijkheden.
Er zijn \(\small{36}\) verschillende combinaties mogelijk.

Tellen: wegendiagram

Soms is een wegendiagram een handig hulpmiddel bij het tellen van de mogelijkheden.
In een wegendiagram vind je het aantal combinaties door de aantallen wegen met elkaar te vermenigvuldigen.

Voorbeeld

Je gaat uit eten. Je neemt een voorgerecht, een hoofdgerecht en een nagerecht.
Je hebt de keuze uit:
- \(\small{3}\) voorgerechten,
- \(\small{4}\) hoofdgerechten en
- \(\small{3}\) nagerechten.
Hoeveel combinaties zijn er mogelijk?

\(\small\text{voorgerecht}\) \(\small\text{hoofdgerecht}\) \(\small\text{nagerecht}\)

Maak een wegendiagram.
Vermenigvuldig de aantallen wegen:
Er zijn \(\small{3 \times 4 \times 3 = 36}\) mogelijke combinaties.

Kans en verwachting

Kans

Iets kan wel of niet gebeuren. De kans dat het wel gebeurt,
kun je soms aangeven met een percentage.
Als het zeker is dat iets gebeurt, dan is de kans \(\small{100\%}\).

Voorbeelden

Je luistert naar het weerbericht.
De kans dat het morgen regent is \(\small{70\%}\).
De kans dat het morgen niet regent is dan \(\small{30\%}\).
Je gooit met een munt.
De kans op 'kop' is \(\small{50\%}\). De kans op 'munt' is ook \(\small{50\%}\).
Je gooit met een dobbelsteen.
De kans op een 'vijf' is \(\small{^{1}/_{6} \approx 16{,}7\%}\)

Tellen en kans

Het maken van een boomdiagram of een wegendiagram kan je helpen bij het berekenen van de kans op een bepaalde gebeurtenis.

Voorbeeld

Een gezin heeft drie kinderen.
In het boomdiagram zie je de mogelijke combinaties.
Hoe groot is de kans dat één van de kinderen een meisje is en dat de andere twee kinderen dus jongens zijn?

In het boomdiagram zie je dat er \(\small{8}\) mogelijke combinaties zijn.
Er zijn drie combinaties met één meisje.
De kans op \(\small{1}\) meisje en \(\small{2}\) jongens is dus
\(\small{\frac{3}{8} = 37\text{,}5}\)%

Verwachting

Als je één keer met een munt gooit, is de kans op 'kop' \(\small{50\%}\). Als je \(\small{1000}\) keer met een munt gooit, verwacht je \(\small{500}\) keer 'kop' te gooien.
De verwachting geeft aan hoe vaak een bepaalde gebeurtenis gemiddeld zal voorkomen.

Voorbeeld
Een toets bestaat uit \(\small{40}\) vierkeuzevragen.
Je gokt alle antwoorden.
Hoeveel goede antwoorden verwacht je?

De kans dat je een vraag goed gokt, is \(\small{\frac{1}{4} = 25\%}\)
Als je \(\small{40}\) vierkeuzevragen gokt, zul je naar
verwachting \(\small{\frac{1}{4} \times 40 = 10}\) vragen goed hebben.

Colofon
Het arrangement Wiskunde Kennisbank vmbo-kgt34 is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

Auteur

VO-content

Laatst gewijzigd

2025-10-07 19:41:55

Licentie

Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat

het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken

voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 4.0 Internationale licentie.

Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

Toelichting

De Kennisbanken bevatten de theorie bij de opdrachten.

Leerinhoud en doelen

Rekenen/wiskunde;

Eindgebruiker

leerling/student

Moeilijkheidsgraad

gemiddeld

Trefwoorden

kennisbank, leerlijn, rearrangeerbare

Gebruikte Wikiwijs Arrangementen

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Afronden, schatten, rekenregels - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93776/Afronden__schatten__rekenregels___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Andere maten - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93781/Andere_maten___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Berekeningen in de ruimte - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93818/Berekeningen_in_de_ruimte___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Centrummaten en klassen - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93857/Centrummaten_en_klassen___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2019).

Cirkel - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93790/Cirkel___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Diagrammen - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93851/Diagrammen___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Doorsnede en inhoud - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93800/Doorsnede_en_inhoud___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Driehoeken - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93786/Driehoeken___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Exponentieel verband - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93758/Exponentieel_verband___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Grafen - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93854/Grafen___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Grote en kleine getallen - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93782/Grote_en_kleine_getallen___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Kans en verwachting - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93863/Kans_en_verwachting___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Kwadratisch verband - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93740/Kwadratisch_verband___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Lineair verband - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93698/Lineair_verband___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2019).

Machten - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/146138/Machten___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Nog meer verbanden - 1 - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93763/Nog_meer_verbanden___1___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Nog meer verbanden - 2 - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93764/Nog_meer_verbanden___2___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Omtrek, oppervlakte, inhoud - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93780/Omtrek__oppervlakte__inhoud___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Oplossing zoeken exp verband

https://maken.wikiwijs.nl/93760/Oplossing_zoeken_exp_verband

VO-content - Kennisbanken. (2019).

Oplossing zoeken kwadratisch verband

https://maken.wikiwijs.nl/146000/Oplossing_zoeken_kwadratisch_verband

VO-content - Kennisbanken. (2019).

Oplossing zoeken: twee oplossingen

https://maken.wikiwijs.nl/93754/Oplossing_zoeken__twee_oplossingen

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Parabool

https://maken.wikiwijs.nl/93748/Parabool

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Procenten - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93778/Procenten___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Rekenen met hoeken

https://maken.wikiwijs.nl/93792/Rekenen_met_hoeken

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Ruimtemeetkunde - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93798/Ruimtemeetkunde___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Sinus en cosinus - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93807/Sinus_en_cosinus___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Tabel, grafiek, formule - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93697/Tabel__grafiek__formule___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2019).

Tangens - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/146018/Tangens___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Tellen - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93861/Tellen___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Vergelijking en oplossen met grafieken - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93700/Vergelijking_en_oplossen_met_grafieken___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Vergelijkingen oplossen - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93701/Vergelijkingen_oplossen___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Vergroten en verkleinen

https://maken.wikiwijs.nl/93796/Vergroten_en_verkleinen

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Verhoudingen - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93777/Verhoudingen___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2016).

Vierhoeken - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93789/Vierhoeken___geheel

VO-content - Kennisbanken. (2019).

Wortels - geheel

https://maken.wikiwijs.nl/93783/Wortels___geheel

Wiskunde Kennisbank vmbo-kgt34

nl

VO-content

2025-10-07 19:41:55

De Kennisbanken bevatten de theorie bij de opdrachten.

educationalSubject

OnderwijsBegrippenKader

Rekenen/wiskunde

http://purl.edustandaard.nl/begrippenkader/7afbb7a6-c29b-425c-9c59-6f79c845f5f0

leerling/student

kennisbank, leerlijn, rearrangeerbare
Download
Downloaden

Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

pdf

json

IMSCP package

Metadata

Metadata overzicht (Excel)

LTI

Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

Arrangement

IMSCC package

Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

IMSCC package

Voor developers

Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.
Sluiten
Opties
Gebruik
Weergave
Wikiwijs is een dienst van