Exponentieel verband in een tabel
Als een hoeveelheid iedere tijdseenheid met hetzelfde getal wordt vermenigvuldigd, spreek je van een exponentieel verband.
Een exponentieel verband kun je weergeven in een tabel.
In de tabel is een exponentiele groei van een \(\small{\text{hoeveelheid}}\) in de \(\small{\text{tijd}}\) weergegeven.
| \(\small{\text{tijd}}\) (uur) |
\(\small{0}\) |
\(\small{1}\) |
\(\small{2}\) |
\(\small{3}\) |
| \(\small{\text{hoeveelheid}}\) |
\(\small{100}\) |
\(\small{110}\) |
\(\small{121}\) |
\(\small{133\text{,}1}\) |
|
| |
 |
|
|
De hoeveelheid wordt ieder uur met hetzelfde getal vermenigvuldigd.
Het getal waarmee vermenigvuldigd wordt noem je de groeifactor.
Soms heb je te maken met een exponentiële afname
De 'groeifactor' is dan kleiner dan \(\small{1}\).
In de tabel is een exponentiele groei van een \(\small{\text{hoeveelheid}}\) in de \(\small{\text{tijd}}\) weergegeven.
| \(\small{\text{tijd}}\) (uur) |
\(\small{0}\) |
\(\small{1}\) |
\(\small{2}\) |
\(\small{3}\) |
| \(\small{\text{hoeveelheid}}\) |
\(\small{100}\) |
\(\small{90}\) |
\(\small{81}\) |
\(\small{72\text{,}9}\) |
|
| |
 |
|
|
De groeifactor is kleiner dan \(\small{1}\). De hoeveelheid wordt ieder uur kleiner.
Er is sprake van een exponentiële afname.
Exponentieel verband in een grafiek
Een exponentieel verband kun je weergeven in een grafiek.
Voorbeeld
De tabel hoort bij een exponentiële toename.
| \(\small{\text{tijd}}\) (uur) |
\(\small{0}\) |
\(\small{1}\) |
\(\small{2}\) |
\(\small{3}\) |
| \(\small{\text{hoeveelheid}}\) |
\(\small{100}\) |
\(\small{110}\) |
\(\small{121}\) |
\(\small{133\text{,}1}\) |
Je ziet in de grafiek dat de toename steeds groter wordt.
De grafiek wordt steeds steiler.
Procenten en groeifactor
Als een hoeveelheid jaarlijks met een vast percentage toeneemt of afneemt, is er sprake van exponentiële groei.
Voorbeelden
Een bedrag neemt jaarlijks met \(\small{10} \)% toe.
\(\small{100}\)% \(\small{+\ 10}\)% \(\small{=110}\)% . De groeifactor is \(\small{1\text{,}1}\).
Een bedrag neemt jaarlijks met \(\small{20}\)% af.
\(\small{100}\)% \(\small{-\ 20}\)% \(\small{=80}\)%. De groeifactor is \(\small{0\text{,}8}\).
Een bedrag groeit jaarlijks met een groeifactor van \(\small{1\text{,}04}\).
\(\small{1\text{,}04=104}\)% \(\small{=100}\)% \(\small{+\ 4}\)%. Het bedrag groeit jaarlijks met \(\small{4}\)%.
Een bedrag slinkt jaarlijks met een groeifactor van \(\small{0\text{,}92}\).
\(\small{0\text{,}92=92}\)% \(\small{=100}\)%\(\small{-\ 8}\)%. Het bedrag slinkt jaarlijks met \(\small{8}\)%.
Formule exponentieel verband
Een exponetieelverband kun je ook weergeven in een formule.
De algemene vorm van een formule voor een exponentieel verband tussen de hoeveelheid \(\small{\text{h}}\) en de tijd \(\small{\text{t}}\) is:
\(\small{\text{h} = \text{b} \cdot \text{g}^\text{t}}\)
In de formule is \(\small{\text{b}}\) de beginhoeveelheid (als \(\small{\text{t}=0}\)) en is \(\small{\text{g}}\) de groeifactor.
Voorbeeld
In een visvijver zaten op \(\small{1}\) januari \(\small{2010}\) ongeveer \(\small{10000}\) vissen.
Het aantal vissen groeit jaarlijks met \(\small{5}\)%.
Formule: \(\small{\text{a} = 10000 \cdot 1\text{,}05^\text{t}}\)
\(\small{\text{a}}\) is het aantal vissen en \(\small{\text{t}}\) is het aantal jaren ná \(\small{1}\) januari \(\small{2010}\).
Hoeveel vissen zitten er op \(\small{1}\) januari \(\small{2015}\) in de vijver?
\(\small{\text{t}=5}\) geeft \(\small{\text{a} = 10000 \times 1\text{,}05^5 \approx 12763}\) vissen
