Voorwoord
Rekenen is als fietsen. Je moet het leren, het gaat met vallen en opstaan én als je het
eenmaal doorhebt is het hartstikke leuk .
Een andere overeenkomst is dat je jezelf niet moet overschatten. Als je te snel zonder
zijwieltjes wilt fietsen is te kans groot dat je valt. Ga je te makkelijk over rekenvragen
denken dan ga je fouten maken.
Maar houd ook altijd in je achterhoofd dat er een keer een dag komt dát je zonder zijwieltjes kunt fietsen. Er komt een dag dat je kunt rekenen! Maar hiervoor moet je blijven oefenen en blijven herhalen.
Wat je misschien niet zou verwachten is dat een heel belangrijk onderdeel bij rekenen
“lezen” is. Goed lezen welteverstaan. Om een rekenvraag op te lossen zul je de vraag goed moeten lezen. Wat staat er? Wat wordt er nou eigenlijk gevraagd? Pas als je dat weet kun je gaan beginnen met rekenen.
In dit onderdeel zullen we je de basisvaardigheden en de basis regels van het rekenen
bijbrengen. Deze basisvaardigheden zul je de rest van je (school) carrière nodig hebben. Er zijn gedurende de momenten dat je met rekenen bezig bent 4 belangrijke regels die je niet moet vergeten:
- Het is leuk!
- Ik moet blijven oefenen!
- Ik moet blijven herhalen!
- Ik kan rekenen!
Veel plezier!
Inleiding
Je hebt nu al één ding geleerd; rekenen is leuk. Als het in dit tempo doorgaat kun je binnen twee weken foutloos rekenen. Helaas gaat dat waarschijnlijk niet gebeuren. En daarom moet je blijven oefenen en blijven herhalen. Ook al ben je een paar keer met je fiets gevallen.
Dit onderdeel over de basisvaardigheden rekenen heeft een aantal onderwerpen.
- Schatten
- Grote getallen
- Afronden
- Rekenen met weken, maanden, kwartalen en jaren
- Verhoudingen
- Rekenen met procenten
6.1 een getal berekenen met een percentage
6.2 een percentage berekenen
6.3 een procentuele verandering uitrekenen
6.4 rekenen met wanneer 100% niet bekend is
6.5 vergelijken in procenten
Al deze onderwerpen zul je moeten beheersen. Je hebt ze, zoals gezegd, de rest van je (school) carrière nodig. Succes en zet hem op!!
Hoofdstuk 1 - Schatten
Uitleg
Voordat je je rekenmachine pakt om een antwoord te berekenen moet je de vraag goed lezen. Daarna stel je jezelf een aantal vragen:
- Wat wordt er gevraagd?
- Wat zal het antwoord ongeveer zijn?
- Welke formule heb ik nodig om de vraag op te lossen?
- Welke gegevens heb ik nodig om in de formule te plaatsen?
In dit hoofdstuk gaan we ons richten op de eerste twee vragen. Het is namelijk erg belangrijk om te weten wat er nu precies gevraagd wordt. Pas dan kun je er antwoord op geven. Als het niet een hele ingewikkelde rekenvraag is dan maak je ook eerst een schatting voordat je de vraag met je rekenmachine uitrekent. Door je schatting weet je namelijk wat het antwoord ongeveer moet zijn. Komt er iets anders uit op je rekenmachine, dan heb je dus waarschijnlijk iets verkeerd gedaan met je rekenmachine. (of je schatting klopte niet natuurlijk)
Voorbeeld
Voorbeeld:
Juf Karin vraagt aan klas 8b hoeveel zakgeld iedereen krijgt. Als ze alle bedragen bij elkaar op heeft geteld komt ze op €255 per maand. Er zijn 19 leerlingen die antwoord hebben gegeven.
Wat is het gemiddelde zakgeld per leerling in de klas?
De vraag is dus niet wat 19 leerlingen bij elkaar krijgen, maar wat 1 leerling krijgt.
Het antwoord dat hier bij hoort is natuurlijk €255: 19= €13,42
Maar we gaan even kijken of we met een schatting ook zover waren gekomen.
Voor het gemak maak je van €255 eerst €250, dat rekent namelijk makkelijker. Vervolgens ga je er eerst vanuit dat er maar 10 kinderen in de klas zaten. Ook dit rekent makkelijk. €250:10 kan je namelijk uit je hoofd. Het antwoord is namelijk 25. Dus als er 10 kinderen in de klas zaten kreeg iedereen 25 euro. Maar er zitten er 19 in de klas. Voor het gemaak maak je daar 20 leerlingen van. En dus 2x zoveel. Die €25 over moet dus 2x zoveel leerlingen verdeeld worden dus deel je die €25 door twee. Je schatting komt dan uit om €12,50. Dat ligt redelijk in de buurt van het juiste antwoord (€13,42).
Als jij op een andere manier een schatting maakt dan is dat prima! Het gaat er in dit geval niet om hoe je de schatting maakt, maar dat je er één maakt. Dit om je eindantwoord een beetje een richting te geven. Mocht je antwoord met de rekenmachine ineens €43,43 worden dan weet je, doordat je een schatting hebt gemaakt, dat het niet klopt, en dat je een foutje hebt gemaakt.
Oefenen
Oefenen met schattingen
Via deze link kom je bij een Google Form. Hiermee kun je oefenen met sommen over schattingen. Succes.
Hoofdstuk 2 - Grote getallen
Uitleg
In de economie werken we vaak met grote getallen. Internationale bedrijven hebben veel winst (Shell: $3.400.000.000 in 2014), het nationaal inkomen van landen is vaak groot (Nederland: €880.000.000.000 in 2014) en een land telt veel inwoners (Nederland: 16.925.617, augustus 2015)
Krantenartikelen staan vaak vol met grote getallen. Het juist uitspreken van grote getallen is niet alleen erg belangrijk, het staat ook een beetje knullig als je bijvoorbeeld 18.456.345 niet kunt uitspreken.
Ook het opschrijven van grote getallen is belangrijk. Hoe schrijf je bijvoorbeeld 18,3 miljard uit?
Uitspraak grote getallen
| Getal |
Uitspraak |
| 1.000 |
(één) duizend |
| 100.000 |
honderdduizend |
| 1.000.000 |
(één) miljoen |
| 100.000.000 |
honderd miljoen |
| 1.000.000.000 |
(één) miljard |
Voorbeeld
“Het afgelopen jaar zijn er 13,4 miljoen statiegeld bonnetjes ingeleverd voor de voedselbank. De bedenker van het initiatief is hier erg blij mee. In totaal hebben is hier 1,34 miljard euro mee opgehaald”.
Hoe voer je 13.4 miljoen en 1.34 miljard nu in je rekenmachine in om er goed mee te rekenen? Hiervoor moet je onthouden hoeveel nullen een miljoen en een miljard hebben. Een miljoen heeft zes nullen: 1.000.000
13,4 miljoen schrijf je dan als volgt:
1.000.000 De 13 vervangt de 1 en de 4 vervangt één van de 6 nullen, en je
13.400.000 plakt er dan nog 5 achter.
Een miljard heeft negen nullen: 1.000.000.000
1,34 miljard schrijf je dan als volgt:
1.000.000.000 De 1 blijft staan en de ,34 vervangt de eerste 2 nullen. Je plakt er
1.340.000.000 dan nog 7 achter.
Let op! Een punt (1.34 miljard) voer je nooit in je rekenmachine in. Die denkt dat het een komma is. 1.34 miljard vul je dus gewoon zo in: 1340000000
Oefenen
Oefenen met grote getallen
Via deze link kom je bij een Google Form over grote getallen. Hier kun je oefenen. Succes!
Hoofdstuk 3 - Afronden
Uitleg
Soms komt er een erg lang antwoord uit een vraag. Bijvoorbeeld uit de som:
1200 / 33 = 36,36363636363636. Het aantal getallen achter de komen noem je decimalen. In dit geval staan er 14 decimalen (14 cijfers) achter de komma. Voor het gemak ronden we dit af. Soms staat er in de vraag al op hoeveel decimalen je moet afronden maar anders gelden de volgende afrondingsregels:
Geldbedragen ronden we af op 2 decimalen, procenten ronden we af op 1 decimaal en mensen, dieren of dingen rond je af op een geheel getal. Zie onderstaande tabel.
Afronden is heel makkelijk. Als je moet afronden op 2 cijfers achter de komma dan kijk je naar het derde. Als je moet afronden op 1 cijfer achter de komma dan kijk je naar de tweede, en als je moet afronden op een heel getal (dus op 0 cijfers achter de komma) dan kijk je naar het eerste cijfer achter de komma.
De regel is dan als volgt: De cijfers 0 t/m 4 rond je af naar beneden en de cijfers 5 t/m 9 rond je af naar boven.
Afrondingsregels
| Soort |
Aantal decimaal |
Onafgerond |
Afgerond |
| Geld |
2 |
€ 4,567 |
€ 4,57 |
| Procenten |
1 |
3,12% |
3,1% |
|
Mensen
Dieren
Dingen
|
0 |
3,4 computers |
3 computers |
Voorbeeld
€4,56743567 is een geldbedrag dus ronden we af op 2 getallen achter de komma. Dan kijk je dus naar het derde getal achter de komma. Dit is een 7. Een 7 rond je af naar boven dus het getal voor de 7 gaat omhoog. Het wordt dus €4,57.
Let op! Je kijkt alleen naar het derde getal achter de komma. Bij €4,5548 kijk je alleen naar de 4. Die rond je af naar beneden en het wordt dus €4,55. Je gaat niet eerst de 8 naar boven afronden en dan van die 4 een 5 maken, waardoor het €4,555 dus €4,56 wordt. Je rondt alleen het derde cijfer af.
3,4 computers rond je af op een heel getal. Het ligt een beetje aan de vraag, maar hoe je dit afrond maakt niet zoveel uit. Als je het maar op een heel getal afrond. 3 of 4 computers in dit geval.
Oefenen
Oefenen met afronden
Via deze link kom je bij een Google Form met afrondingssommen. Hier kun je oefenen. Succes.
Hoofdstuk 4 - Weken, maanden, kwartalen en jaren
Uitleg
De meeste leerlingen in de klas van Bart krijgen zakgeld per maand. Het gemiddelde ligt op €40. Als Bart zegt dat hij met €10 per week meer krijgt lachen de meeste kinderen hem uit. Maar Bart heeft gelijk. Een maand is niet gelijk aan 4 weken. 4 weken zijn 28 dagen, een maand heeft er 30 of 31. Een maand is dus 4 weken + een paar dagen.
Hoe reken je nu van weken naar maanden, naar kwartalen of zelfs naar jaren? Het is dan goed om onderstaand schema te onthouden.
Een jaar bestaat uit:
52 weken
12 maanden
4 kwartalen (kwart van een jaar, dus 3 maanden)
365 dagen
Vervolgens reken je alles eerst door naar een jaar. Vanuit dat punt reken je terug naar wat er wordt gevraagd (dag, week, maand of kwartaal)
Voorbeeld
40 euro per maand. Hoeveel is dat per week?
€40 x 12 (maanden) = €480 per jaar
€480 : 52 (weken) = €9,23 per week.
10 euro per week. Hoeveel is dat per maand?
€10 x 52 (weken) = €520 per jaar
€520 : 12 (maanden) = €43,33
Een kwartaal is een kwart (1/4) van een jaar. Dus 12 (maanden) : 4 = 3 maanden
Maar ook: 52 (weken) : 4 = 13 weken.
Een kwartaal is dus exact 3 maanden of 13 weken.
10 euro per week. Hoeveel is dat per maand?
€10 x 13 (aantal weken in kwartaal) = €130 per kwartaal
€130: 3(maanden in kwartaal) = €43,33
Oefenen
Oefenen met weken, maanden, kwartalen en jaren
Via deze link kom je bij een Google Form. Hier kun je oefenen met sommen over weken, maanden, kwartalen jaren. Succes.
Hoofdstuk 5 - Verhoudingen
Uitleg
Is een 'voordeelpak' wel echt altijd voordelig? Is een pak met 24 rollen wc papier een betere koop dan een pak met 8 rollen? Om hier antwoord op te geven gaan we rekenen met verhoudingen. Als je gaat rekenen in verhoudingen dan reken je alles om naar een zelfde hoeveelheid. Wat kost dan bijvoorbeeld 1 wc rol?
Het handigst bij dit soort vragen is om een verhoudingstabel te maken.
Voorbeeld
Voorbeeld:
Page WC-papier 16 rollen voor €4,99
Edet WC-papier 24 rollen voor €6,49
Welk pak is in verhouding nou het goedkoopste?
In de twee filmpjes hieronder zie je het antwoord.
Welke wc-rol is het goedkoopst?
Oefenen
Oefenen met verhoudingen
Via deze link kom je bij een Google Form. Hier kun je oefenen met verhoudingssommen. Succes.
Hoofdstuk 6 - Procenten
Inleiding
Tot nu toe was het nog allemaal goed te doen. Het volgende onderdeel is “rekenen met procenten”. Ook dit is te doen, alleen zul je merken dat het wel wat moeilijker is. Juist nu is het belangrijk dat je bedenkt dat rekenen als fietsen is; het gaat niet in één keer en je moet blijven oefenen
In 2015 is het inwoneraantal in Oezbekistan met 520.000 personen gestegen. Dat is een groot getal, maar is het ook een grote stijging? Als er in 2014 1 miljoen mensen woonden dan wel. Maar als er in 2014 1 miljard mensen woonden dan is een stijging van 520.000 niet zo veel. Om hier een beter beeld te krijgen gebruiken we procenten.
Als er in 2014 1 miljoen mensen dan is in 2015 de bevolking met 52% gestegen. Maar waren er in 2014 1 miljard inwoners dan is het een stijging van 0,05%. Met deze twee gegevens kunnen we ons al een veel betere voorstelling maken van de bevolkingsgroei.
In dit hoofdstuk gaan we rekenen met procenten. Er komen een aantal onderdelen aan bod:
- een getal berekenen met een percentage
- een percentage berekenen
- een procentuele verandering uitrekenen
- als 100% niet bekend is
- vergelijken in procenten vergelijken in procenten
6.1 - Een getal berekenen met een percentage
Procent komt uit het Latijn en betekent per honderd. 25 procent betekent dus 25 van de honderd. Als er uitverkoop in winkels is schreeuwen de kortingsposters om aandacht. Vaak staat er op die posters hoeveel procent korting je krijgt.
Voorbeeld:
Bij de Kruidvat krijg je op luchtverfrissers van het huismerk 30% korting. Een bus “Ocean breeze” kost normaal €1,99. Wat kost deze nu in de aanbieding?
€1,99 is 100%, en we willen 30% uitrekenen. Je moet dan eerst 1% uitrekenen en daarna 30%. Dit gaat als volgt:
1,99 / 100 = 0,0199 x 30 = 0,60 korting.
De nieuwe prijs wordt dus: €1,99 - €0,60 = 1,39
Je kunt ook zeggen dat wanneer je 30% korting krijgt, je 70% (100-30) moet betalen. Je kunt dus ook de volgende berekening gebruiken:
1,99 / 100 = 0,0199 x 70 = 1,39
Het getal waar het om gaat (100%) deel je dus eerst door 100, om 1% te krijgen, en daarna vermenigvuldig je dat met het percentage dat je wilt weten.
Voorbeeld:
In 2014 woonden er 16.567.923 mensen in Nederland. In 2015 stijgt dit aantal met 4,3%. Hoeveel inwoners telt Nederland in 2015?
In het filmpje hieronder vind je de uitleg.
Een procentuele stijging berekenen
6.2 - Een percentage berekenen
Van de 1500 leerlingen die op het Ashram College zitten wordt 400 met de auto naar school gebracht. Hoeveel procent van de leerlingen wordt met de auto gebracht?
In de ballenbak bij de McDonalds zitten 45.678 ballen. 12.459 zijn rood. Hoeveel procent van de ballen zijn rood?
In de eredivisie zijn vorig seizoen 1.453 doelpunten gemaakt. 23 hiervan waren uit buitenspelpositie. Hoeveel procent van de doelpunten zijn uit buitenspelpositie gemaakt?
Drie verschillende voorbeelden. Het percentage is nu niet gegeven. Deze moet je zelf bereken. Je gebruikt hier altijd de volgende formule voor:
Wat wil je in procenten uitdrukken? x100%
Waarmee moet je het vergelijken?
of makkelijker:
DEEL x100%
GEHEEL
6.3 - Een procentuele verandering uitrekenen
Vandaag en morgen. Voor de middag en na de middag. Nu en straks. In 1995 en in 2005. Voor de oorlog en na de oorlog. Voor de slechte oogst en na de slechte oogst. Allemaal voorbeelden van veranderingen.
Wat verandert er meer? Als het bezoekersaantal van 113.000 naar 114.767 gaat of als je zakgeld van €50 naar €52 per maand gaat? Op basis van deze gegevens is dat moeilijk te zeggen. Om een goed beeld te krijgen of een verandering nou een grote of een kleine verandering is maken we er procenten van. Je krijgt dan een procentuele verandering.
Om een procentuele verandering te berekenen gebruik je ALTIJD de
formule:
(nieuw - oud) / oud x100%
Let op dat je eerst n-o uitrekent en dat antwoord deelt door oud
(zie filmpje onderaan).
Kijk nog eens naar de eerste alinea. Allemaal voorbeelden van een oude en een nieuwe situatie. Je herkent dus vanzelf wanneer je deze formule moet gebruiken.
Als het antwoord positief is dan is het een positieve verandering. Het is meer geworden, het is gestegen. Krijg je een min getal als antwoord dan is het een negatieve verandering. Het is minder geworden, het is gedaald. Een procentuele daling.
Nieuw - oud / oud goed in je rekenmachine invoeren
6.4 - Als 100% niet bekend is
Soms is het geheel (100%) niet bekend en moet je dat juist uitrekenen.
Je kunt hiervoor weer een verhoudingstabel gebruiken.
6.5 - Vergelijken in procenten
Oefenen
Oefenen met procenten
Via deze link kom je bij een Google Form. Hier kun je oefenen met het rekenen met procenten. Succes.
Oefentoets
Je kunt nu rekenen! Nu nog even laten zien. Je gaat nu een oefentoets maken. Lees goed. Denk aan de juiste manier van afronden. Je moet minstens 70% goed hebben. Je krijgt een mail met je uitslag. Succes.
Oefentoets rekenen
Eindtoets
Je hebt de 70% gehaald. Tijd voor een eindtoets. Kun je het nog een keer? Wederom goed lezen en denk aan de juiste afronding. Succes.
Eindtoets rekenen
