Een ander voorbeeld van een afgeleide grootheid is dichtheid. Het officiële symbool voor dichtheid is ρ (spreek uit: ro), maar je vindt ook vaak de kleine letter d. De dichtheid van een stof is de massa van een bepaalde hoeveelheid stof gedeeld door het volume van die hoeveelheid stof (massa per volume): ρ = m/V. Je kunt voor massa en volume verschillende eenheden kiezen, maar de SI-eenheden zijn de kilogram en de m3. De officiële eenheid voor dichtheid is dus kg/m3 of kgm-3.
Water en whiskey (alcohol) hebben verschillende dichtheden. Welke vloeistof heeft de grootste dichtheid?
Significante cijfers
We spreken van het aantal significante cijfers (letterlijk: cijfers die wat betekenen) van een meetwaarde. De toevallige meetfouten geven een spreiding in de gevonden meetwaarden. Deze spreiding bepaalt het aantal significante cijfers van de meetwaarde.
Het bepalen van het aantal significante cijfers van een waarde is een belangrijk aspect bij wetenschappelijke metingen en het uitvoeren van berekeningen. Nullen aan het begin of het eind van een getal kunnen voor moeilijkheden zorgen. Voor het bepalen van het aantal significante cijfers kunnen we de volgende regels volgen:
Elke nul aan de linkerkant van cijfers, die niet nul zijn, is niet significant.
Dat is ook het geval als de nullen achter de komma staan.
Nullen aan het einde van een waarde, rechts van de komma zijn significant.
Nullen aan het eind van een waarde zonder een komma zijn niet altijd allemaal significant (zie toelichting).
Om het qua significantie gemakkelijker te maken kunnen we getallen weergeven in de wetenschappelijke notatie: een getal, geschreven als een macht van tien, met één cijfer (niet gelijk aan nul) voor de komma. Alle cijfers zijn in deze notatie significant. In deze notatie hoef je alleen nog maar met regel 2 rekening te houden.
Toelichting bij regel 3
Meetwaarden in ronde getallen (getallen zonder decimale komma) kunnen misverstanden oproepen. Vooral als het getal eindigt op een aantal nullen. Bijvoorbeeld als we zeggen dat de massa van een zak suiker een kilo is, bedoelen we dan in cijfers: 1 kg (1 cijfer significant, meetonzekerheid 0,5 kg) of 1000 g (4 cijfers significant)?
Waarschijnlijk geen van beide! Redelijk lijkt om te veronderstellen dat de massa ligt tussen 995 g en 1005 g (meetonzekerheid 5 g). De meetwaarde is dan 3 cijfers significant. De notatie is dan: m = 1,00 . 103 g of 1,00 kg. In de praktijk zullen we in dit geval toch vaak zien dat men schrijft dat de massa gelijk is aan 1000 g. De laatste nul is nu echter niet significant!
Is de meetonzekerheid slechts 0.5 g, dan moet je schrijven: m = 1,000 . 103 g of 1,000 kg of 1000 g.
De waarde 5200 heeft minimaal 2 cijfers significant en maximaal 4 cijfers significant. In het eerste geval is de wetenschappelijke notatie: 5,2 . 103. In het tweede geval: 5,200 . 103. De waarde 5200,0 heeft 5 cijfers significant. Wetenschappelijke notatie: 5,2000 . 103.
Hoeveel cijfers bij een vermenigvuldiging of deling verantwoord zijn, geven we aan met een simpele regel: zorg dat het antwoord uit niet meer cijfers bestaat dan de cijfers in de meetwaarden. Algemeen geldt:
De uitkomst van een vermenigvuldiging of deling van meetwaarden mogen we niet in meer significante cijfers schrijven dan waarin de meetwaarden gegeven zijn.
Bepalend daarbij is de meetwaarde met het kleinste aantal significante cijfers. Dus 1,40 x 1,70 = 2,38, maar 1,4 x 1,70 = 2,4.
Opmerkingen
Let op: nullen aan het eind van een cijferreeks tellen wel mee als significante cijfers, voor nullen aan het begin van een cijferreeks geldt dit niet!
Bedenk verder dat telwaarden geen meetwaarden zijn. Als een bepaalde tafel een oppervlakte heeft van 2,35 m2 (een meetwaarde dus), dan is de oppervlakte van 3 van deze tafels 3 x 2,35 = 7,05 m2 .
Optellen en aftrekken
Voor optellen en aftrekken van meetwaarden is het aantal decimalen, het aantal cijfers achter de komma, bepalend:
De uitkomst van het optellen of aftrekken van meetwaarden mag niet meer decimalen hebben dan de meetwaarde met het kleinste aantal decimalen.
Dus 100,2 + 5,3 = 105,5; maar 100 + 5,3 = 105.
Afronden
We kunnen afrondfouten vermijden door:
voor constanten altijd een extra significant cijfer meer te gebruiken dan nodig is voor de gemeten gegevens;
alleen de eindberekening af te ronden en niet de tussenberekeningen.
Oefenen met significante cijfers
Omdat veel leerlingen problemen hebben met het begrip 'significante cijfers', is het computerprogramma 'Significante Cijfers' ontwikkeld dat te bestellen is bij Visaria software. Het programma is onder andere geschikt voor 4 vwo, 4 havo en het eerste jaar mbo. Het kan gemakkelijk in een lesuur (of een gedeelte daarvan) worden doorlopen. Na afloop zal de leerling in staat zijn te bepalen uit hoeveel significante cijfers een getal bestaat en met welke nauwkeurigheid een getal na een bewerking moet worden geschreven.
Op het web zijn verder nog de volgende oefeningen te vinden:
In deze toets kun je je kennis testen van significantie in eenvoudige berekeningen.
Als je de toets hebt afgerond, kun je op de knop 'Bewijs van deelname/Overzicht' drukken. Je krijgt eerst een overzicht van het aantal goede en foute vragen te zien. Als je verder scrolt, kom je bij een samenvatting. Hier staan de vragen, het antwoord dat jij hebt gegeven en het juiste antwoord op de vraag. Daarnaast krijg je nog een stukje achtergrond informatie bij de foute antwoorden en vaak ook bij de goede antwoorden.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Een hoeveelheid stof drukken we in het dagelijkse leven vaak uit in gram. Het is voor berekeningen in de scheikunde echter gemakkelijker om een hoeveelheid stof uit te drukken in een eenheid, die een maat is voor het aantal deeltjes. Voor de grootheid 'hoeveelheid stof' is daarom een SI-eenheid ingevoerd. Deze eenheid heet de mol en omvat bij benadering 6,02 x 1023 deeltjes. De grootheid hoeveelheid stof noemen we ook wel de chemische hoeveelheid.
Sieger Kooij, scheikundeleraar bovenbouw havo/vwo, legt aanschouwelijk uit hoe we een hoeveelheid stof kunnen uitdrukken in aantallen deeltjes:
De mol, deel 1
Definiëring mol
De mol is in 1900 ingevoerd door Ostwald en is in de eerste helft van de vorige eeuw gebruikt in de vorm van het begrip grammolecuul (aantal grammen van een stof gelijk aan de molecuulmassa). Een mol werd dus gelijk gesteld aan een massa stof. De koppeling naar 'een aantal deeltjes' kwam pas later.
In 1961 proclameerde de International Union of Pure and Applied Physics de hoeveelheid stof als een basisgrootheid (BINAS tabel 3A). De definitie van de bijbehorende eenheid mol vastgesteld op de 14de Conférence Génerale des Poids et Mesures in 1971, luidt (vertaling volgens BINAS tabel 3A):
De mol is de hoeveelheid stof van een systeem dat evenveel elementaire entiteiten bevat als er atomen zijn in 0,012 kilogram koolstof-12. (Entiteit = iets wat letterlijk bestaat, zoals we in de scheikunde met een elementaire entiteit het volgende bedoelen: een atoom, ion of molecuul met een eigen structuur en met eigenschappen die haar uniek maken.)
Bij gebruikmaking van de mol moeten we de elementaire entiteiten specificeren; deze kunnen atomen, moleculen, ionen, elektronen, andere deeltjes of bepaalde groeperingen van dergelijke deeltjes zijn.
De grootheid hoeveelheid stof is ingevoerd om stoffen te kunnen vergelijken, niet op grond van hun massa of volume, maar op grond van aantallen deeltjes. Een hoeveelheid stof, uitgedrukt in het aantal mol, geeft onmiddellijk een maat voor het aantal deeltjes in die hoeveelheid stof. Het preciese aantal deeltjes is om verschillende redenen niet exact vast te stellen.
Net als voor andere eenheden kunnen we voor de mol voorvoegsels plaatsen, zoals kilomol kmol) en millimol (mmol).
Constante van Avogadro
Mol en constante van Avogadro
Van aantal deeltjes naar mol
De constante van Avogadro, NA , staat in het BINAS-tabellenboek vermeld als 6,02214 . 1023 mol-1. De eenheid duidt erop dat de constante van Avogadro niet alleen maar een getal is. De constante is een evenredigheidsconstante die de hoeveelheid stof n koppelt aan het aantal deeltjes N in die hoeveelheid stof:
N = n . NA of n = N/NA
n = hoeveelheid stof uitgedrukt in mol N = aantal deeltjes in die hoeveelheid stof NA = constante van Avogadro uitgedrukt in mol-1
De constante van Avogadro legt dus een verband tussen de macroscopische grootheid hoeveelheid stof en het aantal deeltjes (microscopisch):
Een mol van een stof is die hoeveelheid van een stof die NA deeltjes bevat. Dat zijn er evenveel als het aantal atomen in 0,012 kg koolstof-12.
Getalwaarde
De benaderde waarde van de constante van Avogadro, meestal afgekort als 6,02.1023, is niets anders dan een omrekeningsfactor van de microscopische (niet meetbare) atomaire massa-eenheid u naar de macroscopische (meetbare) massa-eenheid gram:
1,00 g = 6,02 . 1023 u
In dit verband heeft men het ook wel over het getal van Avogadro. De waarde is dus zodanig dat van een hoeveelheid stof, uitgedrukt in aantal mol, ook de massa (in gram) bekend is.
Bijvoorbeeld: de massa van 1 mol water bedraagt 18,02 g, in getalwaarde evenveel als de massa van 1 molecuul water (18,02 u).
Atomaire massa-eenheid
Bij benadering bedraagt de waarde van de atomaire massa-eenheid 1,66 . 10-27 kg. De atomaire massa-eenheid u is gedefinieerd als 1/12 van de massa van de isotoop koolstof-12. Het is de standaard voor de relatieve atoommassa's van de andere atomen.
Verdieping
Hiermee komen op een principiële moeilijkheid in het verhaal van de constante van Avogadro. De constante is experimenteel bepaald met een beperkte nauwkeurigheid, omdat ze is afgeleid van de experimenteel bepaalde atomaire massa-eenheid (u). En alhoewel de atomaire massa-eenheid is gedefinieerd, is deze niet exact te bepalen.
De constante van Avogadro bevat dus, afgezien van de significantie, een principiële onzekerheid. Dit heeft alles te maken met het feit dat er op atomaire schaal geen massabehoud is. Volgens de relativiteitstheorie van Einstein hangt de massa immers af van de energietoetand van de atomen. Voor uitleg zie hoofdartikel 'Goochelen met de constante van Avogadro', NVOX, oktober 2006.
Molaire massa
De molaire massa of molmassa, symbool M (eenheid g mol-1) vinden we door de massa van één molecuul (mmolecuul; in g) te vermenigvuldigen met de constante van Avogadro (eenheid mol-1).
M = NA .mmolecuul
De massa van 1 mol stof dus is in getalwaarde gelijk aan de molaire massa M.
De getalwaarde van M is gelijk aan de getalwaarde van de massa van een molecuul uitgedrukt in atomaire massaeenheid u.
Van gram naar mol
De hoeveelheid stof n, uitgedrukt in aantal mol, is evenredig met de massa m (in gram) van die stof. De evenredigheidsconstante is gelijk aan de reciproke waarde van de molmassa van die stof:
M zelf (eenheid g mol-1) is dus geen massa, maar een omrekeningsfactor om de eenheid mol te koppelen aan de eenheid gram, oftewel: om de grootheid hoeveelheid stof te koppelen aan de grootheid massa.
Een mol van een stof is die hoeveelheid stof die een massa heeft van M gram.
In de volgende video legt Sieger Kooij uit hoe je het aantal gram van een stof kunt omrekenen naar mol en omgekeerd:
De mol, deel 2
Rekenen met de mol
We gebruiken de mol vaak als rekeneenheid bij scheikundige reacties. Daar de coëfficiënten in scheikundige
reactievergelijkingen rechtstreeks het aantal deeltjes weergeven van stoffen die reageren en ontstaan, is het gemakkelijker om reactanten en producten uit te drukken in aantallen deeltjes (met als eenheid de mol) dan in massa of volume. Een voorbeeld is de reactie van zuurstof met waterstof:
Met behulp van de getalwaarde van de constante Avogadro (6 x 1023) hebben we hier de 'microscopische' reactie tussen deeltjes (in dit geval enkele moleculen) vertaald naar een 'macroscopische' reactie tussen hoeveelheden stoffen.
Macroscopisch is het dus handig om met de grootheid hoeveelheid stof (of chemische hoeveelheid) te werken en daarbij de eenheid mol te gebruiken. Een hoeveelheid stof afmeten doe je macroscopisch m.b.v. de grootheden massa of volume.
Video (Oefenen met de mol, deel 1)
Sieger Kooij legt uit waarom het werken met de mol van belang is en laat aan de hand van een voorbeeld zien hoe je bovenstaande kennis kunt toepassen bij het rekenen aan reacties:
Oefenen met de mol, deel 1
Video (Oefenen met de mol, deel 2)
Sieger Kooij legt uit hoe je een opgave (tekst) moet vertalen naar een werkschema om die opgave op te lossen:
Oefenen met de mol, deel 2
Concentratie en molariteit
Voor een mengsel ligt de kwantitatieve samenstelling in principe niet vast. Wanneer we bijvoorbeeld suiker in de thee doen, kunnen we het suikergehalte van de oplossing naar believen kiezen. Dat gehalte aan suiker - ook wel concentratie genoemd -kunnen we op verschillende manieren aangeven. Een veel gebruikte aanduiding hiervoor in de scheikunde is de molariteit.
Concentratie en molariteit
Concentratie
In plaats van het gehalte spreken we in de scheikunde meestal van de concentratie van een stof in een mengsel. De concentratie, dus hoeveel er van een stof in een mengsel aanwezig is, kunnen we op verschillende manieren uitgedrukken:
in gram per liter. Wanneer we bijvoorbeeld 20 gram suiker in water oplossen tot in totaal 1 liter oplossing, dan is de suikerconcentratie van deze oplossing 20 g L-1
in gram per 100 gram mengsel: het massapercentage (massa-%)
in ml per 100 ml oplossing: het volumepercentage (vol-%)
in mol per liter oplossing: de molariteit (mol L-1)
in ppm of ppb, voor zeer kleine concentraties
Onder het percentage (%) van een stof in een mengsel verstaan we het aantal delen van die stof per honderd delen mengsel. Bij kleinere gehalten wordt het promillage (‰) gebruikt, het aantal delen stof per duizend delen mengsel.
Molariteit
De concentratie van een oplossing geven we in de scheikunde vaak aan in mol stof per liter oplossing. Dit noemen we de molariteit van de oplossing.
molariteit = aantal mol per liter
Voorbeeld
Wat is de molariteit van een suikeroplossing, die 3,43 gram sacharose per liter bevat?
De molariteit is het aantal mol stof per liter oplossing, dus moeten we berekenen hoeveel mol 3,43 gram sacharose is. De molecuulmassa M van C12H22O11 is 342,3 u.
Dat is aanwezig in 1,0 liter van de oplossing.
De molariteit is 0,0100 mol L-1, of 1,00.10-2 mol L-1.
We geven de molariteit vaak aan door vierkante haken om de formule van de stof te plaatsen:
[C12H22O11] = 1,00.10-2 mol L-1.
We zeggen ook wel: de suikeroplossing is 0,0100 molair.
We schrijven: 0,0100 M.
ppm en ppb
Tegenwoordig zijn ook uiterst kleine concentraties van een stof in een mengsel meetbaar. We gebruiken daarvoor de aanduidingen:
ppm: delen stof per miljoen delen mengsel, parts per million
ppb: delen stof per miljard delen mengsel, parts per billion
Deze eenheden stammen uit de Amerikaanse literatuur; in oudere Engelse en in Nederlandse literatuur heeft billion (biljoen) een andere betekenis, nl. miljoen keer miljoen, dus 1012.
Net als bij het percentage (en promillage) kan je de hoeveelheid stof in een massa-eenheid of in een volume-eenheid uitdrukken. Zo spreken we van massa-ppm resp. volume-ppm. Bij het gebruik van volume-eenheden worden ook wel de aanduidingen ppmv (parts per million by volume) respectievelijk ppbv (parts per billion by volume) gebruikt.
Voorbeeld
Bij massa-eenheden geldt: 1 ppm = 1 op de 106 = 1 mg kg-1 = 1 mg g-1.
Bij volume-eenheden geldt: 1 ppmv = 1 mL m-3 = 1 m l-1.
Voor zeer verdunde oplossingen gebruiken we soms ook de eenheid ppm in plaats van molariteit. Bijvoorbeeld: een zeer verdunde CuSO4 - oplossing zou een kopergehalte van 2 ppm kunnen hebben. Daarmee bedoelen we 2 mg Cu per kg oplossing. Aangezien de dichtheid van zo’n oplossing bij benadering 1 kg L-1 bedraagt, komt het gehalte aan koper overeen met 2 mg L-1.
In de onderstaande video wordt percentage, promillage, massa-% en ppm uitgelegd.
Massapercentages berekenen
Enkele rekenvoorbeelden
Voorbeeld 1(bron: wikipedia):
Als 1 liter water (ca. 1 kg, 1000 g) met 1 massa-ppm lood verontreinigd is, bevat dat water 1 milligram (0,001 g) van het zware metaal.
Voorbeeld 2 (bron: wikipedia):
Koper(II)sulfaat wordt opgelost in 632 ml water. Er bevinden zich 19,48 mg Cu2+-ionen in de oplossing, dus de concentratie in ppm kan als volgt berekend worden: 632 ml water heeft een massa van 632 gram of 0,632 kilogram, aangezien de dichtheid 1 kg/dm³ bedraagt.
Aangezien de concentratie in ppm een factor 106 tussen de verhouding van het opgeloste stof en oplosmiddel moet dragen, is de berekening zeer eenvoudig. De massa Cu2+-ionen (opgeloste stof) staat in milligram en de massa water (oplosmiddel) in kilogram. Dit is dus een verhouding met factor 106. De concentratie Cu2+-ionen in de oplossing bedraagt dus:
Voorbeeld 3:
1 L luchtmonster bevat 0,018 mL neon.
Bereken het neongehalte in dit luchtmonster in vol-% en in ppm.
Voorbeeld 4:
1 L luchtmonster bevat 8.10-5 mL xeon.
Bereken het xeongehalte in dit luchtmonster in ppb.
Rekenen aan reacties
Een reactievergelijking laat zien in welke aantallenverhouding de betrokken deeltjes reageren en ontstaan. We zagen dat verhoudingen in aantallen deeltjes gelijk zijn aan verhoudingen in aantallen molen. De coëfficiënten in een reactievergelijking geven dus ook de verhouding aan in de aantallen molen.
Chemici hanteren daarom bij rekenen aan reacties meestal molen.
Rekenen aan reacties
Voorbeeld 1: verbranding ethanol
Bereken hoeveel g koolstofdioxide ontstaat bij de volledige verbranding van 300 g ethanol.
De reactievergelijking is: C2H6O + 3 O2 → 2 CO2 + 3 H2O
Verhoudingen in aantallen moleculen zijn gelijk aan verhoudingen in aantallen molen. Dus kan de reactievergelijking gelezen worden als:
Hoeveel ml 0,01 M natriumcarbonaatoplossing is nodig om volledig te reageren met 100 mL 0,02 M calciumhydroxide-oplossing?
De reactie is een neerslagreactie: Ca2+(aq) + CO32-(aq) → CaCO3 (s)
Dus 1 mol Ca2+ reageert met 1 mol CO32-.
Aanwezig is 100 mL 0,02 M Ca(OH)2; deze oplossing bevat 100 x 0,02 = 2,0 mmol Ca2+.
Dit zal reageren met evenveel mmol CO32-, dus met 2,0 mmol CO32-.
Hoeveel mL 0,01 M Na2CO3 oplossing bevat 2,0 mmol CO32-?
a ml 0,01 M Na2CO3 bevat 2,0 mmol CO32-
a x 0,01 = 2,0
\(a = {2,0 \over 0,01} = 200 ml\)
Er is dus 200 mL van de 0,01 M soda-oplossing nodig om volledig te reageren met de 100 mL 0,02 M kalkwater.
Oefenen met concentratieberekeningen
Oefening: concentratieberekeningen
0%
Bij deze oefeningen vul je het antwoord in. Druk daarna op de knop "CONTROLEER'.
Als het antwoord goed is, verschijnt de boodschap 'GOED'.
Als het antwoord fout is, verschijnt er een opmerking.
Je kunt het antwoord nu verbeteren. Druk vervolgesn weer op de knop 'CONTROLEER'.
Als het antwoord goed is, kun je naar de volgende vraag.
Bij de beantwoording van de vragen heb je een BINAS-tabellenboek nodig.
Bij deze meerkeuzetoets is het gebruik van Binas-informatieboek noodzakelijk.
Bij berekeningen kunnen hulpgegevens hieruit nodig zijn.
Als je de toets hebt afgerond, kun je op de knop 'Bewijs van deelname/Overzicht' drukken. Je krijgt eerst een overzicht van het aantal goede en foute vragen te zien. Als je verder scrolt, kom je bij een samenvatting. Hier staan de vragen, het antwoord dat jij hebt gegeven en het juiste antwoord op de vraag. Daarnaast krijg je nog een stukje achtergrond informatie bij de foute antwoorden en vaak ook bij de goede antwoorden.
De onderstaande antwoorden moet je zelf nakijken; vergelijk jouw antwoorden met de goede
antwoorden, en geef aan in welke mate jouw antwoorden correct zijn.
Het arrangement Chemisch Rekenen - herhaling is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Dianne Maasdijk
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2016-08-30 17:04:27
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding 3.0 Nederlands licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Vakinhoudelijk deel van een thema over eenheden en meten, omgezet in een Wikiwijs arrangement vanuit een prototype van een kennisbank scheikunde van het voormalige Ruud de Moor Centrum van de OU. Oorspronkelijke auteurs en samenstellers van de kennisbank: Jan de Dobbelaere, Ingrid Holtkamp en Jan Lutgerink. Aanpassingen door Dick Naafs en Jan Lutgerink.
We werken de kennisbank sinds 2010 niet meer bij, maar we doen dit wel voor thema's die we hebben omgezet in Wikiwijs arrangementen. U kunt mailen naar Jan Lutgerink als u voorstellen heeft voor aanpassing, maar u kunt ook een kopie van het arrangement maken om het zelf aan te passen of uit te breiden voor gebruik in de les of voor zelfstudie door leerlingen. In een digitale handleiding kunt u zien hoe u dat moet doen.
De kennisbank is ooit opgezet voor ondersteuning van beginnende docenten scheikunde. Ze bestond ook uit meerdere kennislagen: vakinhoud, vakdidactiek, toetsen, etc. De vakinhoud beschreven we als minimale parate kennis die een beginnend docent moet hebben om het vak te kunnen geven. Daaraan koppelden we didactische aanwijzingen en - waar relevant - kennis over preconcepten en misconcepten bij leerlingen.
Sommige teksten zijn wellicht ook voor leerlingen geschikt, maar dat was niet de opzet van de kennisbank. We laten het aan de docent(e) over of dit materiaal geschikt is voor bijvoorbeeld zelfstudie van zijn/haar leerlingen.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Oefenen met omrekenen
