Stelling van Pythagoras

Inleiding

In Amsterdam staan veel smalle, hoge grachtenpanden. Mensen moesten vroeger belasting betalen over het grondoppervlak van het huis. Het was dus slim om de huizen niet breed en diep te bouwen, maar wel hoog.

Met verhuizen was dit erg lastig want men moest soms wel acht smalle trappen op en af. Om die reden had elk huis bovenaan de gevel een balk met een katrol. Je kon dan makkelijker bedden, piano’s en stoelen optakelen. Maar de piano of het bed moest dan natuurlijk wel door het raam passen.

Wat denk jij?
Past een plank van \(\small{1{,}80}\) meter bij \(\small{3}\) meter door een raam van \(\small{1{,}60}\) meter bij \(\small{1{,}20}\) meter?

Om dit te kunnen uitrekenen heb je stelling van Pythagoras nodig.

De Griekse filosoof, astronoom en wiskundige Pythagoras leefde in de 6e eeuw v.Chr. Hij is vooral bekend om zijn ontdekking van de stelling van Pythagoras. Het is de vraag of hij zelf de ontdekker van de stelling is of dat het één van zijn leerlingen was.
Pythagoras stichtte zijn eigen filosofische school. Hij en zijn volgelingen geloofden in de onsterflijkheid van de ziel. Ze aten vegetarisch.
Pythagoras geloofde dat alles in het universum verklaard kon worden met getallen.
Dit speelde ook op het gebied van de muziek. Snaren klinken harmonisch samen als de snaarlengtes verhoudingen van gehele getallen zijn. Daarmee kwam Pythagoras ook tot belangrijke inzichten in de muziektheorie.
De ontdekking van de regelmatige veelvlakken wordt ook toegeschreven aan Pythagoras. Waarschijnlijk kende hij alleen het viervlak, de kubus en het twaalfvlak.

Benieuwd naar nog wat roddels over Pythagoras? Bekijk dan de volgende video:
https://www.youtube.com/watch?v=DjpISpAk-a4

Hoe de stelling werkt, ga je leren in dit thema.

Als je na het maken van de paragrafen nog moeite hebt met één of meer paragrafen kun je extra oefenen onder het kopje Extra opgaven.

Wat kan ik al?

Voordat je aan de slag gaat met dit thema, moet je goed kunnen kwadrateren en worteltrekken. Dat oefen je hier nog een keer.

Wat kan ik straks?

Aan het eind van dit thema kun je:

de rechthoekszijden en schuine zijde van een rechthoekige driehoek aanwijzen;
met de stelling van Pythagoras in een rechthoekige driehoek een zijde uitrekenen als twee zijden gegeven zijn;
met de stelling van Pythagoras uitrekenen of een willekeurige driehoek wel of niet rechthoekig is, als drie zijden gegeven zijn.

Wat ga ik doen?

Het thema Stelling van Pythagoras bestaat uit de volgende onderdelen:

Onderdeel	Tijd in lesuren
Inleiding	0,5
paragraaf: De stelling van Pythagoras	2
paragraaf: Is het een rechthoekige driehoek?	1,5
Afsluiting	3
Totaal	7

De tijd is een indicatie en afhankelijk van de keuze van de eindopdracht.

Paragrafen

In dit thema leer je de bekende stelling van Pythagoras gebruiken om een onbekende zijde van een rechthoekige driehoek te berekenen of om te bepalen of een driehoek wel of niet rechthoekig is.

Paragraaf 1	De stelling van Pythagoras
Paragraaf 2	Is het een rechthoekige driehoek?

Afsluiting

Kennisbanken

De uitleg en voorbeelden bij het thema Stelling van Pythagoras vind je in de volgende Kennisbankitems.

Kwadraten

Wortels

Pythagoras

Is het een rechthoekige driehoek

Stappenplan

In leerjaar 1 heb je misschien de opdracht ‘Stappenplan’ gemaakt. Bij deze opdracht ging je aan de hand van verschillende stappen controleren of een vierhoek ook een vierkant was.
Mocht je deze opdracht vorig jaar niet hebben gemaakt, dan leggen we nog even kort uit wat een algoritme is.

Bij een algoritme volg je een stappenplan om een probleem op te lossen. Je kan het vergelijken met een recept voor een heerlijk gerecht. Je volgt stap voor stap wat er op de doos, blaadje of website staat om uiteindelijk het recept te kunnen serveren.
Dit ga je nu ook doen voor het thema ‘Stelling van Pythagoras’, daar ben je de afgelopen weken mee bezig geweest. Bij dit algoritme ga je kijken of je te maken hebt met een rechthoekige driehoek en maak je gebruik van de Stelling van Pythagoras.

De volgende stappen moet je volgen om te controleren of je te maken hebt met een rechthoekige driehoek.

Stap 1: Meet de lengtes van de drie zijden van de driehoek.

Noem de lengtes van de drie zijden: a, b en c.
Zorg ervoor dat c de langste zijde is.

Stap 2: Pas de stelling van Pythagoras toe, zoals die jou is aangeleerd.

De Stelling van Pythagoras zegt dat in een rechthoekige driehoek het volgende geldt:
a² + b² = c², maar jullie hebben het geleerd als rhz1² + rhz2² = sz²
a en b zijn de lengtes van de rechthoekszijden (rhz, de twee kortste zijden).
c is de schuine zijde (sz, oftewel de langste zijde)

	zijde	zijde²
a = ...
b = ...		+
c = ...

Stap 3: Berekenen en controleren

Vul de lengtes in, in je tabel.
Bereken de kwadraten van de zijden.
Tel de kwadraten van a en b bij elkaar op.
Is de optelsom van de kwadraten a en b hetzelfde als het kwadraat van c?

Stap 4: Conclusie

Ja, is deze optelsom inderdaad hetzelfde als het kwadraat van c, dan heb je te maken met een rechthoekige driehoek.
Nee, is deze optelsom niet hetzelfde als het kwadraat van c, dan heb je niet te maken met een rechthoekige driehoek.

Opdracht
Hiernaast zie je een driehoek.
Controleer door middel van het stappenplan hierboven of deze driehoek een rechthoekige driehoek is of niet.
Laat je stappenplan controleren door je docent.

Uitdagende opdracht
De zijden van ΔABC hebben de volgende afmetingen:
AB = 5 cm
BC = 12 cm
AC = 13 cm
Controleer met behulp van het bovenstaande stappenplan of je te maken hebt met een rechthoekige driehoek.

Eindopdracht

Je weet nu wanneer en hoe je de Stelling van Pythagoras kunt gebruiken. Tijd voor de afsluiting.

Je gaat aan de slag met het probleem dat we aan het begin van dit thema besproken hebben: 'Past de plank door het raam?'

Eindopdracht