4 Versnelling
4.1: Rekenen en meten aan versnelling
4.2: De relaties tussen de positie x, de snelheid v en versnelling a verkennen met behulp van een computersimulatie.
4.3: Terugblik met een samenvatting en een oefentoets.
4.1 Rekenen en meten aan versnellen
In deze paragraaf leer je dingen over versnelling. Je kijkt naar allerlei voertuigen die optrekken en remmen en je gaat rekenen en meten aan versnelling. Hoe geven we versnelling in getallen weer? Wanneer zijn versnellingen goed te doorstaan en wanneer kunnen mensen er niet meer tegen?
Je gaat 9 opgaven maken. Deze opgaven zitten zo in elkaar dat je er behoorlijk wat van leert en dat ze in 2 lessen te maken zijn. Iedereen moet alles doen, wat niet af is wordt huiswerk.
Je maakt de opgaven in je werkboek. Aan de hand van dat werkboek wordt gecontroleerd of je alles hebt gedaan. Bij de 3 opdrachten over videometen moet je je resultaten in een Word-document opslaan. Dat document moet je aan je werkboek toevoegen.
4.1.1 Gemiddelde versnelling
Snelheid voel je niet, versnelling wel
Klik hier voor een filmpje over versnelling.
Je ziet Dolores in het Centrum voor Mens en Luchtvaart bezig met halsbrekende toeren. Dolores ondergaat gigantische versnellingen.
Versnellingen ken je uit het dagelijks leven door middel van allerlei voertuigen: startende sprinters van de NS en fietsers die wegfietsen bij het stoplicht maken een versnelde beweging. Ook auto’s, optrekkende vliegtuigen en opstijgende raketten doen dit. Versnelling voel je, dat weet iedereen. De sterkte waarmee we dat voelen drukken we uit in g.
Hierboven in de tabel staan afgeronde getallen die bij de beweging van versnellende voorwerpen horen. Het gaat telkens om versnelde bewegingen zonder beginsnelheid. De getallen in de tabel zijn afgerond, maar kloppen redelijk voor echte bewegingen.
In de tabel is één versnelling al ingevuld, g= 9,81--> 10 (m/s2), de valversnelling. Op aarde vallen voorwerpen die geen wrijving ondervinden altijd met deze versnelling. We vergelijken versnellingen altijd met de valversnelling. Op de kermis onderga je bijvoorbeeld maximaal een versnelling van 3g, terwijl piloten in testsituaties soms wel 8g ondervinden.
Maak nu de onderstaande sommen. De antwoorden vul je in in je werkboek, hierin staat ook een kopie van bovenstaande tabel.
Voorbeeld 1: Startend vliegtuig
Het vliegtuig komt na 20 (s) met 360 (km/u) los van de startbaan. Wat is de versnelling a van het vliegtuig in m/s over deze 20 seconden?
Klik hier voor feedback.
Voorbeeld 2: Fietser
De fietser versnelt uit stilstand naar zijn topsnelheid, hij legt al versnellend 20 meter af in 4 seconde.
Wat is zijn gemiddelde snelheid <v>, wat is zijn topsnelheid vmax en wat is dus zijn versnelling a?
Kijk hieronder voor feedback.
Opgaven
Maak opgave 1 en 2 in je werkboek. Opgave 3 is een videomeetopdracht. Maak deze opgave in Word.
Kopieer je grafieken naar je Word-document en beantwoord daar de vragen.
Voeg het afgedrukte document toe aan je werkboek.
Opdracht 1: Versnelling uitrekenen
A) Vul in de tabel in het werkboek voor de 6 versnellende dingen de volgorde in van de versnellingen die je verwacht.
B) Bereken voor de auto en de raket de versnelling (in m/s2 en ook uitgedrukt in g) en de lengte van de startbaan op dezelfde manier als in het voorbeeld van het vliegtuig hier boven. Hint: gebruik dat 1 mijl = 1500 meter.
C) Bereken bij de sprinter eerst de gemiddelde snelheid tijdens de spurt, daarna de topsnelheid (de snelheid bij de finish is het dubbele) en de versnelling (in m/s2 en ook uitgedrukt in g).
D) Bereken voor de vrij vallende kogel de snelheid en de verplaatsing na 10 sec.
E) Vul in de tabel de versnellingen in, druk deze ook uit in g.
F) Controleer of de door jou verwachte volgorde klopt.
Opdracht 2: Remmende voertuigen
Hierboven en in je werkboek staat een tabel voor 4 vertragende voertuigen.
A) Noteer in de tabel in het werkboek de volgorde van de vertragingen die je verwacht.
Voor alle 4 de voertuigen zijn de beginsnelheid en de remtijd gegeven.
B) Reken de snelheden om in m/s.
C) Bereken voor alle 4 de voertuigen achtereenvolgens de gemiddelde snelheid, de remtijd en tot slot de vertraging.
D) Kloppen je verwachtingen van vraag A?
Opdracht 3: Het hondje van Irene
Laad via de mapVersnelling onder documenten in de balk links het bestand het hondje van Irene in Coach. Dit bestand is een videofilm over een hondje: het gaat in het park vanuit stilstand versneld op baasje Irene af. Je gaat met videometen van deze spurt 3 grafieken maken: je moet afstand, snelheid en versnelling van de hond tegen de tijd afzetten. Beantwoord hierover de volgende vragen.
A) Bekijk het filmpje. Alles staat al klaar, de as staat goed, er is geijkt en de (y,t)-grafiek staat al klaar. Druk op de groene knop boven de film om het meten te starten. Je ziet de (x,t)-grafiek ontstaan. Fit deze met een kwadratische functie, het gaat om de gemiddelde versnelling, en kopieer je grafiek naar Word. Hoe lang duurt de beweging?
B) Bepaal met analyse/verwerking via afgeleide de (v,t)-functie. Kopieer de grafiek grafiek naar je Worddocument en beantwoord daarin de volgende vragen: wat was de topsnelheid van het hondje en hoe lang duurde het voor deze bereikt was? Hoe groot was dus de versnelling?
C) Maak met behulp van afgeleide met de (v,t)-grafiek de (a,t)-grafiek. Kopieer je resultaat naar je Worddocument. Wat is de versnelling van de hond? Klopt dit met je verwachting van B? Versnelt het hondje als een fiets, als een vliegtuig of als een raket als je naar de uitkomst kijkt?
4.1.2 Momentane versnelling
Versnelling is de verandering in snelheid per seconde. Net als bij het begrip snelheid is de definitie daarom simpelweg:
Bij de gemiddelde versnelling gaat het om de snelheidstoename Δv in een bepaalde tijdsduur Δt, bij de momentane versnelling gaat het om de helling van de raaklijn in de (v,t)-grafiek.
Bij het filmpje over Irene's hondje heb je heel snel een benadering van de formule bepaald, en op die manier de functie kwadratisch gemaakt. Bij een kwadratische (x,t)-grafiek krijg je een lineair toenemende snelheidsfunctie en dus een constante versnelling. Als je geen benadering maakt dan kan je onderstaande grafiek krijgen, die niet zo netjes is. Wat is volgens deze grafiek de versnelling op t=1?
Kijk hieronder voor feedback
Opgaven
Maak opgave 4 en 6 in je werkboek. Opgave 5 is een videomeetopdracht. Maak deze in Word.
Kopieer je grafieken naar je Worddocument, beantwoordt daar de vragen.
Voeg het afgedrukte document toe aan je werkboek.
Opdracht 4: Space Shot
Space Shot is een fraaie attractie in het pretpark Six Flags. In deze attractie kan een groep mensen zich laten ‘lanceren’ met behulp van een ring om een hoge toren. Op de ring zijn stoelen bevestigd waarin de bezoekers met stevige gordels vastzitten. De ring wordt vanaf de grond omhooggeschoten tot onder de top van de toren.
In de reclamefolder wordt de attractie als volgt aangeprezen:
85 kilometer per uur, 60 meter omhoog! Een rit
lijkt op de lancering van de Space Shuttle, waar-
bij je de spanning kan voelen, die de astronauten
ervaren als zij vertrekken van Cape Canaveral.
Je ondergaat een versnelling van 4g!
Esther wil een aantal gegevens uit deze reclamefolder controleren. Met behulp van een versnellingsmeter meet ze tijdens een lancering de versnelling als functie van de tijd. De metingen worden ingelezen in een computer, welke ze bewerkt tot een (v,t)-grafiek.
A) Leg met behulp hiervan uit of de in de folder genoemde snelheid bereikt wordt.
Aantoonbaar is dat de ring op t = 1,8 s een afstand heeft afgelegd van 27,7 m.
B) Leg uit hoe Esther dit gegeven uit de grafiek heeft gehaald.
C) Toon aan dat de ring minder ver omhoog gaat dan in de folder vermeld wordt.
D) Bepaal de maximale versnelling tijdens de lancering en ga daarmee na of de waarde uit de folder klopt.
E) Bepaal de grootte van de vertraging van de ring op t=3 sec.
F) Schets met bovenstaande gegevens de (a,t)-grafiek van t=0 sec tot t=3,6 sec.
Opdracht 5: Pingpongbal
Deze opgave gaat over een pingpongbal, die Arnold op de grond laat vallen. De vraag is of tijdens de val de versnelling constant is, of dat bij dit lichte pingpongballetje wellicht wrijving een rol speelt. Laad eerst weer het bijbehorende bestand via documenten links in beeld om met de film te kunnen werken. Bij eerdere proeven ben je snel gaan benaderen om de grafiek er wat netter uit te laten zien, de versnelling werd daardoor constant en je kreeg als uitkomst een gemiddelde versnelling. Dat gaan we hier niet doen, als je een benadering met ax2+bx+c uitvoert krijg je altijd een vaste versnelling. Om de grafiek er beter uit te laten zien moet je met analyse via benaderen en de optie spline de grafiek gladder maken.
A) Bekijk het filmpje. Alles staat al klaar, de as staat goed, er is geijkt en de y,t-grafiek staat al klaar. Druk op de groene knop boven de film om het meten te starten. Je ziet de y,t-grafiek ontstaan.
B) Selecteer (rechtermuisknop) dat deel van de grafiek waar de pingpongbal op het oog versneld beweegt.
C) Maak met analyse via benaderen en de optie spline een gladdere functie. Maak dan pas met afgeleide de (v,t)-grafiek. Als het goed is, dan is de grafiek NIET lineair. Bepaal met de optie helling de versnelling aan het begin en aan het eind van de val van de pingpong bal. Kopieer je plaatjes naar Word en laat twee berekeningen van de versnelling a zien. Speelt wrijving een rol?
opdracht 6: Tkkerband
Een tijdtikker is een apparaat dat op papierstroken 50 stippen per seconde zet. Als zo’n strook vast zit aan een kar die versneld vanaf een helling rijdt kun je die versnelling meten. Bovenstaande strook is op ware grootte afgebeeld. De stippen zijn om de 0,10 sec gezet. Van elke 5 stippen die de tikker zette is er telkens 1 aangestipt, zodat je met en tijdsduur van 0,10 sec kunt rekenen (dat rekent gemakkelijker).
De helling had een lengte van 120 cm en stond op een klos van 35 cm hoogte.
A) Bereken de hellingshoek ß.
B) Bereken de theoretische versnelling die je verwacht (Hint: voor een hellend vlak geldt de formule a = g sin ß, waarin ß de hellingshoek).
C) Bereken uit de afstand der stippen de gemeten versnelling (Hint: bereken eerst de gemiddelde snelheid, dan snelheidstoename in 0,10 sec en tot slot de versnelling).
D) Bereken hoeveel procent de gemeten versnelling te laag is.
E) Leg uit of er een noemenswaardige wrijving tussen papier en tijdtikker was.
4.1.3 Grafieken lezen
Heen en weer
Een paar dingen over bewegingen weet je nu als het goed is:
- positieve snelheid is naar voren en negatieve snelheid is achteruit gaan,
- versneld of vertraagd wil zeggen dat de absolute waarde van de snelheid toe dan wel afneemt.
Kun je nu de volgende som maken?
Teken in je werkboek bij bovenstaande grafiek de (a,t)-grafiek en de (x,t)-grafiek zo precies mogelijk.
Er zijn 6 verschillende periodes: (0,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6) en (6,8).
A) Interpreteer de beweging in elk van deze periodes: is de beweging eenparig, vertraagd of versneld en naar links of naar rechts.
B) Bereken in elke periode de versnelling.
C) Bereken in elke periode de verplaatsing.
D) Teken de (x,t)-grafiek.
Klik hier voor gesproken uitleg en het goede antwoord.
Opgaven
Maak opgave 7 en 9 in je werkboek. Opgave 8 is een videomeetopdracht. Maak deze opgave in Word.
Kopieer je grafieken naar je Worddocument, beantwoord daar de vragen.
Voeg het afgedrukte document toe aan je werkboek.
Opdracht 7: Het balletje
Een balletje wordt recht omhoog gegooid, met een sensor verbonden aan de computer wordt de positie en de snelheid van de bal tijdens de beweging gemeten. Bij beweging omhoog telt de snelheid positief. Hierboven zie je in de figuur hoe de snelheid van de bal verandert tijdens de beweging. De rechte lijn is de raaklijn aan de kromme t = 1,0 s.
A) Met welke snelheid werd de bal omhoog gegooid?
B) Wanneer beweegt de bal versneld en wanneer vertraagd?
C) Wanneer is de bal in het hoogste punt?
D) Bereken de versnelling die de bal dan ondervindt.
E) Leg uit hoe je aan de figuur kunt zien dat de bal luchtwrijving ondervindt.
F) Bepaal met behulp van de figuur de maximale hoogte van de bal.
Opdracht 8: Onder en boven water
Rutger en Manouk hebben voor hun experimenteel onderzoek bij natuurkunde een bal vanaf 1 m hoogte omlaag laten vallen. Op een hoogte van 40 cm komt de bal in een bak water. Daarin wordt de bal eerst afgeremd en – na het bereiken van het diepste punt - stijgt de bal weer op. Het is de bedoeling dat je zowel y,t-, v,t- als (a,t)-grafieken van de beweging maakt. Bekijk eerst via documenten -> versnelling het filmpje in Coach. Zoals je ziet gaat het vallen vrij snel en duurt de beweging onder water een behoorlijke tijd. Omdat we willen dat beide bewegingen in 1 grafiek komen gaan we niet het aantal beeldjes aanpassen. Het nadeel hiervan is dat je bij het meten heel veel puntjes moet zetten.
A) Alles is weer klaar gezet: op de tijdbalk zijn grenzen aangegeven, er is geijkt en er staat al een y,t-grafiek te wachten. Start het meten met de bekende groene driehoek: klik stevig door en je ziet langzaam de grafiek ontstaan.
B) Maak een nette grafiek met benaderen en spline en maak met afgeleide de (v,t)-grafiek. Kopieer deze snelheidsgrafiek naar Word en geef aan wanneer de bal versnelt en vertraagt, geef ook aan wanneer de snelheid negatief en positief is.
D) Maak nu met afgeleide de (a,t)-grafiek. Kopieer ook deze grafiek naar Word.
E) Plaats de grafieken in Word onder elkaar en geef de relaties tussen de grafieken aan. Print het geheel uit en voeg het toe aan je werkboek.
Opdracht 9: Vallende stenen
Een steentje valt uit een hoge flat zonder wrijving omlaag, na 3,0 seconden botst het ding op de grond (neem g = 10 m/s2).
A) Met welke snelheid kwam de steen op de grond?
B) Bereken de hoogte van de flat (Hint: bereken eerst de gemiddelde snelheid).
Een natuurkundeleerling uit 4VWO laat even later het steentje opnieuw vallen nu voorzien van een parachute, zodat er luchtwrijving is. De leerling meet met een positiesensor die via een meetpaneel aan zijn computer verbonden is de snelheid van het steentje tijdens de val (zie grafiek). In de grafiek zijn raaklijnen op t=0 en t=3 s getekend.
C) Bepaal uit de grafiek de versnelling van het steentje op 3 tijdstippen: 0, 3 en 6 sec.
D) Op welk moment is de steen nu beneden als deze van dezelfde hoogte viel?
4.2 Versnelling in Diagrammer
Positie, snelheid en versnelling
Diagrammer is een computerprogramma waarbij je met (x,t)-, (v,t)- en (a,t)-grafieken van rechtlijnige bewegingen aan de slag gaat. Je kunt met de muis de rode (v,t)-grafieken aanpassen en dan zie je onmiddellijk wat dat voor effect heeft op de (x,t)- en de (a,t)-grafieken van de bewegingen. Je ziet de blauwe en groene grafieken veranderen als je aan de rode snelheidsgrafieken sjort. Als je de bestanden uit hoofdstuk 3 niet meer hebt download ze dan opnieuw uit de map snelheid onder documenten in de balk links in beeld.
Achter het programma Diagrammer zit de wiskunde van differentiëren, de overbekende formules:
Snelheid is de helling van de (x,t)-grafiek: hoe steiler de (x,t)-grafiek, hoe groter de snelheid.
Versnelling is de helling van de (v,t)-grafiek: hoe steiler de (v,t)-grafiek, hoe groter de versnelling.
Bij het switchen van de ene naar de andere grafiek moet je redeneren zoals in onderstaande tabel aangegeven.
Positie, snelheid en versnelling in Diagrammer
In de laatste serie presets, XV41 t/m XV46, zijn een paar wat ingewikkelder (x,t)-grafieken gegeven. Je moet hier de goede (v,t)-grafieken bij vinden. Probeer het eerst door met de muis de grafiek aan te passen, soms is het nodig de punten V1, V2 enz. vast te zetten door getallen in te voeren.
De antwoorden verkrijg je door met de muis in Diagrammer wat dingen uit te proberen. De antwoorden staan niet apart op het net, maar ze staan in de bij deze lessenserie geleverde powerpointpresentatie versnellen, je leraar kan ze in de les nog eens bespreken.
Maak onderstaande opgaven in je werkboek, teken hierin de met Diagrammer gemaakte grafieken.
VX41
Kies een zodanige (v,t)-grafiek dat de (x,t)-grafiek klopt:
teken de (x,t)-grafiek en de (a,t)-grafiek in de figuren in het assenstelsel in je werkboek.
VX42
Kies een zodanige (v,t)-grafiek dat de (x,t)-grafiek klopt:
teken de (x,t)-grafiek en de (a,t)-grafiek in de figuren in het assenstelsel in je werkboek.
VX43
Kies een zodanige (v,t)-grafiek dat de (x,t)-grafiek klopt:
teken de (x,t)-grafiek en de (a,t)-grafiek in de figuren in het assenstelsel in je werkboek.
VX44
Kies een zodanige (v,t)-grafiek dat de (x,t)-grafiek klopt:
teken de (x,t)-grafiek en de (a,t)-grafiek in de figuren in het assenstelsel in je werkboek.
VX45
Kies een zodanige (v,t)-grafiek dat de (x,t)-grafiek klopt:
teken de (x,t)-grafiek en de (a,t)-grafiek in de figuren in het assenstelsel in je werkboek.
VX46
Kies een zodanige (v,t)-grafiek dat de (x,t)-grafiek klopt:
teken de (x,t)-grafiek en de (a,t)-grafiek in de figuren in het assenstelsel in je werkboek.
4.3 Terugblik
Samenvatting
Maak een samenvatting van dit hoofdstuk over versnelling.
Kijk hieronder voor een voorbeeld.
Oefentoets
Maak de volgende 3 vragen in je werkboek.
Vraag 1: Hollen en vliegen
De volgende proef hoef je niet zelf uit te voeren, dat is al voor je gedaan. We zetten op het schoolplein 8 leerlingen neer, de zgn. meterpaaltjes. Deze meterpaaltjes moeten meten wanneer de sprinter en de fietser voorbij komen. De sprinter en de fietser hebben opdracht om te blijven versnellen. In de tabel hier boven staan hun tijden in sec. ’n bij het passeren van de meterpaaltjes. Zoals je ziet komt de fietser wat later op gang, maar gaat hij uiteindelijk het snelst.
A Voer de getallen in Excel in en maak een grafiek van beide bewegingen (werk met de optie spreiding). Kopieer je grafiek naar Word.
B Teken met het tekengereedschap van Word raaklijnen op de tijden 5 en 10 voor de sprinter en op de tijdstippen 4 en 8 voor de fietser. Bepaal hieruit zo goed mogelijk de snelheden v(5) en v(10) voor de sprinter, en v(4) en v(8) voor de fietser.
C Bereken uit deze 2x2 snelheden de versnellingen van sprinter en fietser. Wie heeft de hoogste versnelling?
Vraag 2: De parachutiste
Hierboven zie je de (v,t)-grafiek van een parachutiste, compleet met 3 raaklijnen. Ze trekt op t=3 s haar parachute open. Op dat moment is haar snelheid 15,0 m/s. Door de wrijving valt de parachutiste niet vrij, zowel voor als na het openen van de parachute op t= 3,0 s.
A Bepaal de versnelling waarmee de parachutiste op t=0 omlaag valt.
B Bepaal de versnelling vlak voor de parachute opende.
C Bepaal de vertraging vlak na de parachute open ging.
D Bepaal met behulp van de grafiek de hoogte van het vliegtuig als gegeven dat de parachutiste op t= 20 (s) op de grond komt.
Vraag 3: De goot
Een knikker rolt langs een goot omlaag. Links en rechts is de goot even steil. De snelheid van de knikker telt positief als deze naar rechts gaat en negatief bij het naar links gaan. Van het eerste deel van de beweging is een (v,t)-grafiek getekend.
A Hoe kun je dat zien dat op t=0,6 het laagste punt van de goot bereikt wordt?
B Hoe kun je aan de grafiek zien dat de knikker door wrijving rechts minder hoog komt dan links?
C1 Hoeveel meter is er dan vanaf het hoogste punt afgelegd?
C2 Hoeveel meter gaat de kogel vervolgens naar rechts alvorens om te keren?
D Bepaal de versnellingen bij het dalen en stijgen als de beweging eenparig is.
E Schets het verloop van de (v,t)-grafiek tot de kogel weer links in een top is.
