Les 8 Het vermoeden van Poincaré
Deze afsluitende les gaat over Henri Poincaré en het Poincaré vermoeden. Dit vermoeden en de oplossing ervan vormde de aanleiding voor het ontwikkelen van deze lessen. Aan het eind van deze les is het de bedoeling dat je een afsluitende opdracht maakt die iets met het Poincaré vermoeden te maken heeft. Deze staan in 8.3 onder eindopdrachten. Daar staan ook bronnen genoemd.
Maar maak nu eerst de allerlaatste microtoets, die van les 7.
8.1 Poincaré en zijn vermoeden
Het vermoeden van Poincaré is een beroemd probleem uit de topologie dat bijna honderd jaar onbewezen heeft bestaan. Hieronder een filmpje van het Australische programma Catalyst als korte introductie.
Bron: http://www.youtube.com/watch?v=TzMZKiCgEVE
Poincaré
De Franse wiskundige Henri Poincaré hield zich, net als ons fictieve figuur Spherius, bezig met de vorm van driedimensionale ruimten. Hij was een van de pioniers op het gebied van topologie. Naar aanleiding van de classificatiestelling voor oppervlakken vroeg hij zich af of iets soortgelijks ook mogelijk was voor driedimensionale ruimten. De complexiteit van driedimensionale ruimten bleek echter een stuk groter te zijn dan die van oppervlakken. Het leek een onbegonnen werk om deze te classificeren.
Poincaré richtte zich daarom in eerste instantie op de 'simpelste' eindige, driedimensionale ruimte zonder rand, namelijk de drie sfeer S3. We voegen hier het woordje eindig toe omdat we niet naar de driedimensionale Euclidische ruimte willen kijken. Hij vroeg zich af op welke manier we deze ruimte kunnen herkennen. Het beroemde vermoeden dat uit zijn nieuwsgierigheid voortvloeide kwam bekend te staan als het vermoeden van Poincaré.
Het vermoeden van Poincaré luidt als volgt:
Elke enkelvoudig samenhangende, gesloten 3-variëteit is homeomorf met de 3-sfeer S3.
We zullen nu een korte toelichting geven op wat hier eigenlijk staat.
• Met een 3-variëteit bedoelen wiskundigen een mooie driedimensionale ruimte. Dit betekent dat de ruimte er vanuit elk punt uitziet als de driedimensionale ruimte die wij kennen, net als de cirkel er vanuit elk punt uitziet als een lijn voor een Linelander, en elk oppervlak er vanuit ieder punt net zo uitziet als een plat vlak voor de Flatlander.
• We noemen een variëteit gesloten wanneer deze eindig (compact) is en geen rand heeft.
• Twee ruimten zijn homeomorf wanneer ze topologisch gelijk zijn.
• De 3-sfeer hebben we in de vorige les besproken.
Een ruimte heet enkelvoudig samenhangend wanneer deze “geen gaten” bevat. Maar voor een wiskundige moet het “geen gaten” dan wel intrinsiek geformuleerd zijn. Poincaré bedacht om gaten te onderzoeken door het samentrekken van lusjes. Wanneer deze nooit blijven hangen en altijd helemaal ingetrokken kunnen worden, zijn er blijkbaar geen gaten in de ruimte.
Het vermoeden van Poincaré is sinds 2003 geen vermoeden meer, maar een stelling. Dankzij werk van de Russische wiskundige Grigori Perelman is het Poincaré vermoeden namelijk bewezen.
8.2 Van vermoeden tot stelling
Geschiedenis
Henri Poincaré werkte rond 1900 aan de fundamenten van wat later algebraïsche topologie zou gaan heten. Hij zette zijn werk uiteen in het boek Analysis Situs, wat hij aanvulde met een aantal supplementen. Poincaré beweerde op een gegeven moment dat de homologie (zoiets als de Eulerkarakteristiek) voldoende is om een 3-sfeer te herkennen. Hij dacht dat je, als je een willekeurige 3D gesloten variëteit zou maken, de homologie uit kon rekenen en op de homologie van de 3-sfeer zou uitkomen, zeker zou weten dat je onbewust de 3-sfeer had geconstrueerd. Deze claim blijkt niet te kloppen. Hij kwam er zelf achter dat hij het mis had, door een tegenvoorbeeld te geven. Vervolgens stelde hij de volgende vraag:
Zou het zo kunnen zijn dat er een gesloten 3-variëteit bestaat die enkelvoudig samenhangend is, maar niet homeomorf met de 3-sfeer?
Poincaré heeft zelf nooit een antwoord gegeven, maar de positieve formulering van deze vraag is het Poincaré vermoeden gaan heten.
In de bijna honderd jaar dat het Poincaré vermoeden onbewezen heeft bestaan hebben veel wiskundigen zich er het hoofd over gebroken. Soms dacht iemand het bewezen te hebben, maar telkens bleek het bewijs toch niet te kloppen. Nieuwe, vermeende bewijzen werden sceptisch ontvangen door de wiskundige gemeenschap. Telkens terecht. De wiskundige John R. Stallings schreef zelfs een artikel met de titel How not to prove the Poincaré conjecture te vinden op zijn website. (Schik niet als je een keer een blik werpt op dit artikel, dit is een echt wiskundig onderzoeksartikel, dus dat ziet er moeilijk uit!)
Rond 1980 zorgde de geniale William Thurston voor een revolutionaire versnelling van het begrip van driedimensionale ruimtes. Hij wist met meetkundige technieken een heel nieuw licht op driedimensionale topologie te werpen. Zijn resultaten motiveerde hem tot het formuleren van een vermoeden dat bekend staat als het Thurston Geometrisatie vermoeden. Dit vermoeden is zelfs groter dan het Poincaré vermoeden, in de zin dat het het Poincaré vermoeden impliceert. Hij stelt een manier voor om alle gesloten 3-variëteiten te classificeren. William Thurston is misschien nog wel meer de A Square van Spaceland dan Poincaré.
Soms werkt het zo dat meer algemene dingen in de wiskunde meer opschieten dan speciale gevallen en dankzij de arbeid van veel wiskundigen kwam men verder met het Geometrisatie vermoeden van Thurston. Het was dan ook in deze context dat de Grigori Perelman aan het werk was. In 2002 en 2003 publiceerde hij drie artikelen op het internet. Deze brachten een schok teweeg in de wiskundige gemeenschap. Hoewel de artikelen erg beknopt en maar voor weinigen te lezen waren, leek het er op dat ze een bewijs van het Poincaré vermoeden gaven en zelfs van het volledige Geometrisatie vermoeden.
Drie jaar lang zijn kenners in het vakgebied bezig geweest om de artikelen van Perelman helemaal uit te pluizen. Elk argument hielden zij onder de loep. Alle tussenstappen werden ingevuld. Maar het bewijs hield stand. Het Poincaré vermoeden was bewezen.
Perelman kreeg voor zijn werk de hoogste onderscheiding in de wiskunde, de Fields Medal (vergelijkbaar met de Nobel prijs). Maar ondanks aandringen van de organisatie weigerde hij de prijs in ontvangst te nemen. Hij was zelfs niet op de ceremonie.
Het Clay Mathematics Institute heeft het Poincaré vermoeden opgenomen in de lijst Millennium problemen. Voor het bewijs staat een miljoen dollar uitgeloofd. De kans is groot dat, als het miljoen aan Perelman wordt toegekend, hij ook deze prijs aan zich voorbij laat gaan.
De methode
Het bewijs dat Perelman uteindelijk leverde voor het Poincaré vermoeden lijkt weinig op de wiskunde die we in deze module hebben behandeld. Het is op een bepaalde manier dan ook een gruwel voor veel topologen.
In het bewijs begint Perelman heel algemeen met een driedimensionale ruimte. Hij bekijkt deze niet alleen topologisch, maar ook meetkundig. Maar de ruimte kan allerlei rare krommingen hebben. Dus zowel topologisch als meetkundig kan de ruimte vreemd in elkaar steken.
Vervolgens past hij de Ricciflow toe op de meetkunde van de ruimte. Deze door Richard Hamilton geïntroduceerde methode strijkt de kromming van de ruimte langzaam glad. Dit wordt wiskundig weergegeven in een dynamisch model zoals natuurkundigen dat veel gebruiken, bijvoorbeeld om de verspreiding van warmte door een medium te moduleren.
Doordat de kromming steeds egaler verdeeld wordt, krijg je op den duur stukken die mooi egaal gekromd zijn. Deze stukken zijn dan te herkennen aan de meetkunde die ze bezitten zoals geformuleerd in het geometrisatievermoeden.
De Ricciflow toegepast op een oppervlak. Bij oppervlakken ontstaan geen singulariteiten.
Maar tussen de stukken kunnen allerlei vreemde dingen gebeuren als de kromming oneindig wordt. Hier breekt de ruimte als het ware in tweeën. Wiskundigen noemen deze plekken singulariteiten en vinden dat meestal enge dingen. Perelman heeft laten zien dat de singulariteiten van de Ricciflow niet té eng zijn. De breuken die ontstaan bij de singulariteiten zijn wiskundig netjes, een beetje zoals sommige wonden netjes zijn en makkelijk te hechten en andere niet. Een pak van zijn hart.
8.3 Eindopdrachten
We hebben nu alle stof behandeld en zijn toe aan de afsluiting van deze e-klas. Het is nu de bedoeling dat je het materiaal uit de e-klas verwerkt tot een filmpje, of in overleg met je docent een ander presentatieproduct. Dit kan bijvoorbeeld zijn:
• een poster
• een lied/rap
• een powerpointpresentatie waarin je gebruik maakt van verschillende media
• of andere eigen creatieve ideeën
De eindpresentatie moet in ieder geval een link maken met het vermoeden van Poincaré en er moet ook iets wiskundigs aan te pas komen. Verder ben je vrij om een creatieve invulling aan deze opdracht te geven. Tips: kies een duidelijk onderwerp voor je presentatie waar je verder op in gaat. Dat voorkomt dat het te algemeen wordt en dan hoef je niet alle informatie door te nemen. Haal hetgene dat voor jou belangrijk is er uit. Hieronder staan suggesties voor een aantal onderwerpen.
1. De Geschiedenis van het vermoeden van Poincaré: Bespreek de verschillende wiskundigen die betrokken zijn geweest bij de vorming van het vermoeden, de voortgang en het bewijs en leg uit wat ze hebben bijgedragen.
2. Enkelvoudige samenhang: Zoek op wat enkelvoudig samenhang is en leg met een aantal voorbeelden uit wat het begrip betekent. Je kunt ter inspiratie eindopdracht 2 uit de Topwis Poincaré syllabus gebruiken. Vergeet niet het verband te leggen met het vermoeden van Poincaré.
3. Classificatie van oppervlakken: Bespreek de classificatie van oppervlakken en leg uit wat dit te maken heeft met het vermoeden van Poincaré. Je kunt in de bronnen ook kijken of je nog iets met de meetkundige classificatie van oppervlakken kunt doen.
4. Perelman en de Fields Medal: Vind zo veel mogelijk informatie over de Fields medal en Grigori Perelman. Zijn er al eerder Fields Medals uitgereikt die te maken hadden met het Poincaré vermoeden?
5. Clay Mathematics Institute en de Millenium Problemen: Zoek uit wat de Millennium problemen zijn, waarom ze in het leven geroepen zijn, en wat de status van de problemen op het moment is. Ken je nog andere van deze problemen?
6. Het Poincaré vermoeden in andere dimensies: Wat is het Poincaré vermoeden in twee dimensies? Ga hier verder op in. Je zult iets over enkelvoudige samenhang moeten opzoeken. Er bestaat ook een generalisatie van het Poincaré vermoeden naar vier, vijf en hogere dimensies. Zoek hier iets over uit. Kun je hier wijs uit worden (pas op, wordt lastig). Wanneer zijn de hogere dimensies bewezen en vind je dit opvallend? Er wordt wel eens gezegd dat hogere dimensies makkelijker zijn omdat er meer ruimte is. Is het Poincaré vermoeden waar in één dimensie?
7. Niet-Euclidische meetkunde (* lastig onderwerp)
Je kunt hiervoor gebruik maken van eindopdracht 3 uit de syllabus TopWis Poincaré. Bespreek het verband tussen niet-Euclidische meetkunde en het bewijs van het Poincaré vermoeden.
Ter inspiratie is de film The Spell of the Poincaré een aanrader. Deze documentaire van een uur is opgenomen in de bextra bestanden bij deze e-klas.
Verder zijn ook de volgende bronnen nuttig:
Bronnen
- De Topwis Poincaré syllabus te vinden bij de extra bestanden bij deze e-klas. Deze e-klas is gebasseerd op de syllabus Topwis Poincaré, in de syllabus vind je uitgebreidere informatie en een aantal eindopdrachten die je kunt gebruiken voor inspiratie voor de eindopdracht of als basis van een profielwerkstuk.
Boeken:
- The Poincaré Conjecture – Donal O'Shea. Dit boek bespreekt de geschiedenis van het vermoeden van Poincaré in groot detail. Ook wordt de aanloop naar de formulering van het vermoeden, het vermoeden zelf en de oplossing op een begrijpelijke en inhoudelijk goede manier verwoord.
- The Shape of Space – Jeffrey R. Weeks. In dit vermakelijke en goed geschreven boek, bespreekt Jeffrey Weeks topologie, meetkunde en de mogelijke vormen van het universum. Het boek staat vol met opgaven en kan zeer geschikt zijn voor het maken van een profielwerkstuk.
- The millennium problems: the seven greatest unsolved mathematical puzzles of our time – Keith J. Devlin.Boek dat inhoudelijk uitleg geeft over de zeven Millenium problemen.
- Allan Hatchers boek 'Algebraic Topology' te downloaden op Manifold destiny: een artikel verschenen in de New Yorker over het bewijs van Perelman en een controverse die nog even opwaaide door de Chinese wiskundige Yau. http://www.cornell.edu/search/?q=Algebraic+Topology&btnG=go&site=math.cornell.edu
Towards the Poincaré Conjecture and the Classification of 3-manifolds van John Milnor. Dit artikel gaat over de wiskundige geschiedenis van het Poincaré vermoeden, het is geschreven door een wiskundige en is behoorlijk technisch. Dit zal niet helemaal te begrijpen zijn, maar geeft een goed beeld van wiskundige terminologie en ook een globaal beeld van het vermoeden van Poincaré.
Op internet:
Hier is nog een woordenlijst Nederlands-Engels voor enkele belangrijke begrippen
Woordenlijst:
| Nederlands |
Engels |
| enkelvoudig samenhangend |
simply connected |
| gesloten |
closed |
| homeomorf |
homeomophic |
| homeomorfisme |
homeomorfism |
| homologie |
homology |
| homotopie |
homotopy |
| oppervlak |
surface |
| rand |
boundary |
| sfeer |
sphere |
| variëteit |
manifold |
| vermeetkundigingsvermoeden |
geometrization conjecture |
