In deze les krijgt A Square een boodschap van de wiskundige Euler. Die vertelt hem over een getal dat je aan een oppervlak kunt toekennen dat alleen afhangt van de topologie. Deze Eulerkarakteristiek zal een belangrijke rol voor hem spelen. Jij leert wat de Platonische lichamen zijn en hoe je de Eulerkarakteristiek berekent.
Maak nu eerst de microtoets van Les 3.
4.1 Het opdelen van Flatland
Nu A Square de torus en sfeer kan onderscheiden van het projectieve vlak en de fles van Klein, is hij op zoek naar meer eigenschappen om een fijnere indeling te maken. Hij vermoedt namelijk (en terecht) dat de sfeer en de torus verschillende oppervlakken zijn. Hij weet alleen niet hoe hij dit wiskundig hard kan maken.
Gelukkig bereikt hem op een dag een bericht van de wiskundige Leonhard Euler:
Beste A Square,
Ik heb gehoord over uw zoektocht naar de vorm van Flatland. Ik ben zelf ook geinteresseerd in de vorm van verschillende ruimten en heb een invariant bedacht. Deze invariant kunt u op de volgende manier berekenen. Tel alle punten van uw oppervlak, noem deze V, tel alle zijden en noem deze E, en tel tot slot alle vlakken, noem deze F. Bereken nu het volgende getal V – E + F. Dit getal hangt niet af van de manier waarop je een oppervlak in vlakken verdeelt, en is daarom een invariant voor oppervlakken. De Eulerkarakteristiek van de sfeer is bijvoorbeeld 2.
Succes met uw verdere werk,
Vriendelijke groet,
Leonhard Euler.
A Square gaat meteen aan de slag, hij pakt zijn kaart de sfeer erbij en begint te tellen.
A. Square telt 4 hoekpunten, 2 lijnen en 1 vlak, en rekent uit 4 – 2 + 1 = 3? Maar Euler zei toch dat de Eulerkarakteristiek van een sfeer 2 was?
Om de tip van Euler te volgen moet A Square zijn kaarten op de een of andere manier opdelen in veelhoeken. Oppervlakken worden vaak voorgesteld als aan elkaar geplakte veelhoeken. Het meest bekende voorbeeld is de kubus. Topologisch is dit de sfeer, maar deze is nu verdeeld in zes vierkanten.
Het voorstellen van oppervlakken als aan elkaar geplakte veelhoeken kent een lange traditie. Oppervlakken als de kubus staan al veel langer in de belangstelling van wiskundigen. Zelfs in de Griekse oudheid waren wiskundigen en filosofen hier al mee bezig (zie de volgende paragraaf).
Toen men zich met oppervlakken ging bezighouden, bleek het voorstellen van oppervlakken als aan elkaar geplakte veelhoeken veel voordelen te hebben. Men ging er vaak van uit dat de oppervlakken waren verdeeld in driehoekjes. Het is niet moeilijk om in te zien dat elke veelhoek verder verdeeld kan worden in driehoeken en de drie is het minimale aantal hoeken van een veelhoek. Vandaar dat de driehoek goed dienst kan doen als elementaire bouwsteen.
Oppervlakken die in driehoeken verdeeld zijn, noemt men getrianguleerd en men spreekt wel van een triangulatie (triangulation).
In 1925 is door T. Rado bewezen dat elk oppervlak een triangulatie heeft (uitgaande van de abstracte definitie van oppervlak die wij niet behandelen). Maar dit bewijs is technisch en moelijk. We gaan verder niet in op deze technische details.
4.2 Platonische lichamen
De bekendste constructie van oppervlakken uit veelvlakken zijn de Platonische lichamen. Deze oppervlakken zijn topologisch allen gelijk aan een bolschil, maar gemaakt met uitsluitend regelmatige veelhoeken. Hieronder staat een stuk afkomstig van het Nederlandse Wikipedia-artikel over Platonische lichamen.
Er zijn ontaarde regelmatige veelvlakken denkbaar. Komen er in elk hoekpunt slechts twee vlakken samen, dan ontstaat er een regelmatig tweevlak. Een regelmatig tweevlak bestaat uit twee identieke veelhoeken die op elkaar zijn geplakt. De inhoud is nul.
Laat men in elk hoekpunt zes driehoeken, vier vierkanten of drie zeshoeken samen komen, dan ontstaat er een vlakvulling, die men kan zien als een regelmatig oneindigvlak.
Deze constructies worden niet beschouwd als veelvlakken, omdat een veelvlak een positieve en eindige inhoud moet hebben.
Hoekpunten, ribben en zijvlakken
Een verband?
Zie je een verband in de hoekpunten, ribben en zijvlakken van een Platonisch lichaam?
Van een oppervlak opgedeeld in veelvlakken kun je het aantal hoekpunten, randen en vlakken tellen. We spreken de volgende notatie af:
V = hoekpunten (vertices)
E = randen (edges)
F = vlakken (faces)
Neem bijvoorbeeld de kubus. Deze is opgebouwd uit zes vierkanten.
Voor de kubus geldt dus V = 8, E = 12 en F = 6. In de vorige paragraaf ben je er als het goed is achtergekomen dat voor alle platonische lichamen geldt dat V - E + F = 2.
Stel dat een oppervlak M is opgedeeld in veelhoeken. Het getal V - E + F wordt de Eulerkarakteristiek van M genoemd. De notatie is . Dus
De Eulerkarakteristiek blijkt alleen af te hangen van de topologie van het oppervlak M, niet van de manier waarop het oppervlak in veelvlakken is verdeeld.
De torus
Het volgende filmpje laat zien dat de Eulerkarakteristiek niet afhangt van hoe je een boloppervlak verdeelt in veelvlakken.
Echt formeel bewijzen dat de Eulerkarakteristiek een topologische invariant is (alleen afhankelijk van de topologie) zullen we niet doen. Zie dit stukje uit een andere e-learning module om te weten waarom niet.
4.4 De Eulerkarakteristiek van bouwplaten
De Eulerkarakteristiek is direct te berekenen van de bouwplaat van een oppervlak. Daarbij moet je goed opletten dat punten en lijnen die op elkaar zijn geplakt maar één keer worden meegeteld.
We nemen de volgende bouwplaat van de torus als voorbeeld.
Het aantal vlakken is 1. Dit geldt voor de meeste bouwplaten. Het aantal zijden (ribben) is 2 omdat de boven- en onderkant zijn geïdentificeerd. En er is maar 1 hoekpunt! In het volgende plaatje kun je het punt, de twee zijden (rood en blauw) en het vlak zien zoals ze op het oppervlak van een donut terechtkomen.
Je kunt ook nog eens het filmpje van Les 1 bekijken waarin de torus wordt gevouwen. Je ziet dat nu ook geldt dat punten - lijnen + vlakken = 1 - 2 + 1 = 0 de Eulerkarakteristiek van de torus geeft. Zo kun je altijd met een bouwplaat de Eulerkarakteristiek berekenen van het oppervlak. Daarbij moet je opletten dat je geen punten of zijdes dubbel telt.
Het arrangement 5 Les 4 De Eulerkarakteristiek is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Bètapartners
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2014-11-30 08:29:50
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld en getest in een SURF-project (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student). In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT. In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo). Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.
Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl
De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website).
Gebruiksvoorwaarden: creative commons cc-by sa 3.0
Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'TopWis Poincarë' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
Leerniveau
VWO 6;
VWO 4;
VWO 5;
Leerinhoud en doelen
Vormen en figuren;
Redeneren in de (vlakke) meetkunde;
Wiskunde D;
Meten en meetkunde;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
e-klassen rearrangeerbaar
5 Les 4 De Eulerkarakteristiek
nl
Bètapartners
2014-11-30 08:29:50
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'TopWis Poincarë' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
. Dus
