Als kind leer je op een bepaald moment wat links en wat rechts is en vanaf dan staat het voor de rest van je leven vast. Maar in bepaalde oppervlakken zijn er paden die links en rechts omdraaien. Dat geeft vreemde effecten. Er zijn ook driedimensionale ruimtes voorstelbaar waarin dit gebeurt. In dat geval draait de kurkentrekkerregel om.
Maak nu eerst de microtoets van Les 2.
3.1 Een teken
Op aanraden van A Square zijn er ontdekkingsmissies Flatland ingestuurd om te verkennen en Flatland in kaart te brengen. Het vierkant zelf denkt ondertussen verder over de mogelijkheden van zijn tweedimensionale wereld. Hij ontdekt dat hij eenvoudig veel verschillende kaarten kan maken, veel meer dan voor Lineland. Altijd al meer geïnteresseerd in de theoretische dan in de praktische kant van zaken laat hij de berichten van de verkenningsploegen voor wat ze zijn, maar gaat hij verder met de vraag wat alle mogelijke verschillende vormen van Flatland zijn. Wanneer zijn deze echt verschillend? "Ik kan zo veel kaarten maken als ik wil, maar misschien zijn het gewoon andere weergaves van dezelfde vorm? Hmmm..."
A Square heeft vier verschillende kaarten getekend:
Hij weet niet zeker of deze ruimten verschillend zijn of hetzelfde. En dan bedenkt hij dat hij eigenschappen kan onderzoeken, niet van de kaart maar van het Flatland dat de kaart voorstelt! Als deze eigenschappen verschillen, of zoals hij in zichzelf mompelt "als de twee Flatlands nou verschillende natuurwetten hebben" weet hij zeker dat de kaarten ook echt verschillende Flatlands voorstellen.
Wij weten natuurlijk dat de twee rechterkaarten de torus en de bolschil, die we ook wel sfeer noemen, zijn. De andere twee kennen wij nog niet. Deze twee oppervlakken hebben een merkwaardige eigenschap.
Activiteit
Speel de bovenstaande Applet A Square. Je kunt A Square besturen met de pijltjestoetsen en met 'r' draai je A Square. Kun je een eigenschap verzinnen die A Square zelf zou kunnen opmerken?
A Square besluit Flatland te onderzoeken op deze eigenschap. Om te kunnen zien of zijn ruimte oriënteerbaar is of niet, laat hij een teken achter op zijn beginplek.
Een teken in Flatland
A Square vraagt zich af in welke ruimte hij leeft. Hij maakt een teken "Hallo". Flatland is zoals hieronder aangegeven.
Vervolgens wandelt A Square naar het Noorden, over het teken "Hallo", tot hij voor de tweede keer een teken tegenkomt. In welke van de volgende plaatjes wordt de situatie na de wandeling weergegeven? In welk oppervlak leeft Flatland?
In de vorige paragraaf ontdekte A Square dat er rondwandelingen waren in Flatland waarna links en rechts ineens waren omgedraaid. Een rondwandeling in een ruimte die een spiegeling teweegbrengt noemen we eenoriëntatie omkerend pad.
Als een ruimte geen oriëntatie omkerende paden heeft heet de ruimte oriënteerbaar. Als er wel een oriëntatie omkerend pad in de ruimte is noemen we de ruimte niet-oriënteerbaar.
Na eenmaal een oriëntatie omkerend pad te hebben doorlopen ziet de wereld er vreemd uit; uithangborden zijn in spiegelschrift geschreven, verkeer rijdt aan de verkeerde kant van de weg, en je linker- en rechterhand zijn van rol verwisseld.
Illusie
Draait de vrouw linksom of rechtsom?
Wat is er na het volgen van een oriëntatie omkerend pad aan het beeld veranderd?
In een niet-oriënteerbare ruimte zijn allerlei grappen mogelijk. Zo kun je 's nachts stiekem de rechterschoen van een vriend stelen, deze meenemen langs een oriëntatie omkerend pad en terugzetten als linkerschoen.
Bedenk nog twee trucs die je met oriëntatie omkerende paden kunt uithalen.
In oppervlakken is oriënteerbaarheid makkelijk te testen. Een oppervlak is niet-oriënteerbaar als, en alleen dan, het oppervlak een kopie van de Möbiusband bevat. Je kunt zelf bedenken waarom dat waar is. Stel je maar voor dat een flatlander een heel lang spandoek meeneemt langs een oriëntatie omkerend pad. Hoe plakt hij de uiteinden aan elkaar?
A Square
Hoe zou A Square zijn kaarten indelen aan de hand van het begrip oriënteerbaarheid?
Eerder zag je dat de Möbiusband, geplakt van bijvoorbeeld papier, eenzijdig is. Als mier of ander beest kun je door een rondje te lopen van de "binnenkant" naar de "buitenkant" komen. Anders gezegd, de binnenkant is de buitenkant, oftewel het onderscheid tussen binnen en buitenkant is onzinnig.
Maar is dit geen intrinsieke eigenschap. Een Flatlander in een Möbiusband kan zich niks voorstellen bij binnen- en buitenkant. Niet-oriënteerbaarheid is de intrinsieke eigenschap die een Flatlander zou gebruiken om de Möbiusband te herkennen.
3.3 Niet-oriënteerbare oppervlakken
De Möbiusband is het prototype niet-oriënteerbaar oppervlak, zou je kunnen zeggen. Elk ander oppervlak dat niet oriënteerbaar is bevat immers een kopie van de Möbiusband. Op internet zijn veel filmpjes met de Möbiusband te vinden. Bijvoorbeeld:
Maar de Möbiusband heeft een rand. Daarmee is de Möbiusband geen ideale kandidaat als model voor Flatland. Wat betekent het als het universum van A Square een rand heeft?
De fles van Klein is een voorbeeld van een niet-oriënteerbaar oppervlak. We geven de fles van Klein aan met K2. De bouwplaat ervan heb je al gezien:
Dit oppervlak is niet in de driedimensionale ruimte voor te stellen zonder dat het zichzelf doorsnijdt.
De fles van Klein is een veel terugkerend voorbeeld van een niet-oriënteerbaar oppervlak. Dé bouwsteen van de niet-oriënteerbare oppervlakken blijkt echter het projectieve vlak. Als bouwplaat kunnen we het projectieve vlak als volgt voorstellen:
Net als bij de fles van Klein is het fysiek plakken van de bouwplaat niet mogelijk zonder zelfdoorsnijding. Hier een afbeelding met zelfdoorsnijding:
3.4 De kurkentrekkerregel
Oriëntatie in drie dimensies heeft veel van doen met de kurkentrekkerregel.
Deze komt vaak kijken bij natuurkunde. Een elektrische stroom door een stroomdraad roept een magneetveld op. Als je de rechterduim in de richting van de stroom steekt loopt het magneetveld rond in de richting van je vingers.
Deze kurkentrekker- of rechterhandregel is precies wat om zou draaien na een oriëntatie omkerend pad. Dan zou je ineens de linker-handregel moeten toepassen.
Sommige processen in de natuur hebben een voorkeur voor linkshandigheid of rechtshandigheid. Elektromagnetisme is er dus één van. Ook heb je rechtsdraaiende en linksdraaiende moleculen. Het woord voor links- en rechtshandigheid is chiraliteit.
Het arrangement 4 Les 3 Links en rechts in Flatland is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Bètapartners
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2014-11-30 08:28:28
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld en getest in een SURF-project (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student). In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT. In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo). Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.
Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl
De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website).
Gebruiksvoorwaarden: creative commons cc-by sa 3.0
Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'TopWis Poincarë' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
Leerniveau
VWO 6;
VWO 4;
VWO 5;
Leerinhoud en doelen
Vormen en figuren;
Redeneren in de (vlakke) meetkunde;
Wiskunde D;
Meten en meetkunde;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
e-klassen rearrangeerbaar
4 Les 3 Links en rechts in Flatland
nl
Bètapartners
2014-11-30 08:28:28
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'TopWis Poincarë' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
Feedback
