Heb je je ooit voorgesteld hoe het is om in een vlak te leven? In deze les kruip je in de huid van Pacman en van Flatlanders die leven in een tweedimensionale (2D) wereld. Je maakt kennis met de vierkante A Square die op zoek gaat naar de vorm van het oppervlak waarin hij leeft. Het classificeren van oppervlakken is een vraagstuk binnen de topologie, een tak van de wiskunde waarin alle objecten van rubber zijn. Topologie is het eigenlijke onderwerp van deze e-klas. Je leert wat topologie is en leert de eerste voorbeelden van oppervlakken kennen die in de topologie bestudeerd worden.
1.1 Pacman
Pacman is een bekend spel uit de begindagen van de computerspellen. Speel het spel hieronder en beantwoord de vraag.
Op de website geometrygames.org van Jeff Weeks staat veel software die is gerelateerd aan het onderwerp van deze e-klas. Hieronder zie je een screenshot van de applicatie Torus Games. Gebruik de applicatie om de vragen te beantwoorden. Als deze nog niet op je computer staat, download de applicatie dan van de website van Jeff Weeks. Kies onder Language voor Nederlands.
Torus Games
Selecteer het spel Pool in de Torus Games. De pooltafel heeft bij dit spel geen randen. Als ballen het scherm uit rollen komen ze op een andere plek weer het scherm in. Je zou kunnen zeggen dat de zijden van het scherm aan elkaar zijn geplakt. Hieronder staan met pijlen een aantal mogelijke manieren van plakken aangegeven.
1.2 A Square
In 1884 schreef Edwin Abbott Abbott een dun boekje over Flatland, een tweedimensionale platte wereld, waarin driehoeken, vierkanten, andere veelhoeken en cirkels leven. In deze lessenserie zullen we samen met de Flatlandse wiskundige A Square op onderzoek gaan. A Square is vierkant.
In het boekje Flatland maakt A Square kennis met verschillende dimensies. In een droom (of visioen) komt hij bij het 0-dimensionale Pointland waar een nogal zelfingenomen punt alleenheerser is over dit land met maar één inwoner. Vervolgens komt hij bij het 1-dimensionale Lineland. Ook deze ruimte wordt bestuurd door een ietwat typische monarch. Later komt A Square ook nog in contact met Spherius die hem laat zien dat ook Flatland deel uitmaakt van een groter geheel, het driedimensionale Spaceland. Maar eerst een citaat uit Flatland, over de koning van Lineland.
<span style="border-collapse: separate;" #000000"="">"It seemed that this poor ignorant Monarch—as he called himself—was persuaded that the Straight Line which he called his Kingdom, and in which he passed his existence, constituted the whole of the world, and indeed the whole of Space. Not being able either to move or to see, save in his Straight Line, he had no conception of anything out of it."
"Until the moment when I placed my mouth in his World, he had neither seen me, nor heard anything except confused sounds beating against, what I called his side, but what he called his INSIDE or STOMACH; nor had he even now the least conception of the region from which I had come. Outside his World, or Line, all was a blank to him; nay, not even a blank, for a blank implies Space; say, rather, all was non-existent."
Flatland is ook verfilmd, hieronder kun je de trailer bekijken.
Nu we kennis hebben gemaakt met A Square, Lineland en Flatland, is het tijd om ons in gedachten te verplaatsen naar Flatland. Aangezien A Square in een vlakke ruimte woont ziet hij van driedimensionale objecten slechts de doorsnede met het vlak waarin hij woont. Hieronder kun je een kort filmpje bekijken van Spherius die Flatland bezoekt.
Hier zie je een bovenaanzicht van Flatland, waar een blauwe Sfeer doorheen reist.
Klik op het scherm om het filmpje opnieuw af te spelen.
Hier zie je dezelfde gebeurtenis in drie dimensies. Gebruik de volgende toetsen; 'a' om te roteren. 'p' om te pauseren. 'r' om opnieuw af te spelen.
Driedimensionale bezoekers in Flatland
Door de ogen van A Square
Aangezien A Square in een tweedimensionale ruimte leeft, kunnen we wat hij ziet op een lijn tekekenen. Ga maar na, wat wij zien kunnen we op een foto afbeelden. Als je in een vlak leeft, kun je wat je ziet op een lijn tekenen. Hieronder is dit geïllustreerd.
Links de Flatlanders en rechts wat de rode Flatlander ziet.
Hieronder is een serie foto's van A Square getekend van het bezoek van twee verschillende blauwe driedimensionale wezens.
De wezens waren één van de volgende vier figuren:
a. een bol
b. een tetraëder
c. een kegel
d. een kubus
Reflectie
Hoe ziet het eruit wanneer een kubus door Flatland reist, waarbij de kubus eerst met 1 punt het vlak snijdt?
Plaats hier je muis
1.3 Topologie
Topologie is een belangrijk onderwerp binnen deze e-klas. Topologie is een wiskundig vakgebied waarvan het ontstaan wel aan Henri Poincaré (1854 - 1912) wordt toegedicht. Later meer over hem en een beroemd wiskundig vermoeden dat naar hem is vernoemd.
Tegenwoordig is topologie een groot, belangrijk en invloedrijk deel van de wiskunde, dat toepassingen en inzichten biedt ver buiten de wiskunde.
A Square gaat op zoek naar de mogelijke vorm van Flatland. Dit komt overeen met de vraag uit de topologie "welke oppervlakken zijn er eigenlijk?". Om deze vraag te beantwoorden moeten we eerst nadenken over wat we eigenlijk met vorm bedoelen. Wanneer noemen we twee ruimtes hetzelfde? Wat zijn de criteria om vormen in de wereld te classificeren?
De Wereld classificeren
Mensen verdelen de wereld constant in verschillende klassen. Ga maar na: De CD’s in de CD-winkel zijn gerangschikt naar genre, of soms op alfabetische volgorde van de artiest. Als leerling zit je in een bepaalde klas, bijvoorbeeld 6v-b. Boeken zijn onderverdeeld in romans, poëzie, kookboeken, reisverhalen, boeketreeksen, non-fictie, et cetera.
Dezelfde dingen worden niet altijd op dezelfde manier ingedeeld. Soms is de onderverdeling grover dan anders. Het toilet in een restaurant verdeelt mensen in mannen en vrouwen, bij gewichtheffen worden de deelnemers daarnaast ook nog ingedeeld in gewichtsklassen.
Bedenk vijf verschillende criteria waarop je foto's op je computer kunt indelen.
Topologie geeft een antwoord op de vraag hoe vormen te classificeren. In de topologie worden meetkundige objecten in verschillende klassen ingedeeld. Voorbeelden van meetkundige objecten zijn cirkels, driehoeken en andere figuren in het vlak. Maar ook het oppervlak van een bol, een gevulde bol, of het oppervlak van donut zijn voorbeelden van meetkundige objecten.
We delen de meetkundige objecten in de topologie in door alleen de ''topologisch relevante eigenschappen'' van de objecten te beschouwen en alle ''topologisch irrelevante'' eigenschappen te negeren. Grofweg betekent dat, dat we alle informatie over afstand vergeten. Je mag objecten dus uitrekken en vervormen zonder dat er topologisch iets verandert. Zo komen objecten die bepaalde fundamentele eigenschappen met elkaar delen in dezelfde klasse.
Meetkundige objecten in dezelfde topologische klasse zien we als gelijk. De wiskundige term hiervoor is homeomorf. Voorbeelden van topologische (niet-)homeomorfe objecten zijn:
Het alfabet classificeren
In deze opgave delen we de letters van het alfabet in op topologische gelijkheid.
A B C D E F G
H I J K L M N O P
Q R S T U V W X Y Z
Bedenk voor jezelf welke letter in dezelfde topologische klasse zitten en beantwoord daarna de vragen.
Oppervlakken zijn voorbeelden van wiskundige ruimtes. Het oppervlak van de aarde noemen we een bolschil. Ook hier zijn we alleen geïnteresseerd in de topologische eigenschappen, de aarde is natuurlijk eigenlijk niet helemaal een bolschil; afgezien van het feit dat de aarde iets afgevlakt is bij de noord- en zuidpool, zijn er ook allerlei bergen en dalen. Net als in de vorige paragraaf kunnen we oppervlakken uitrekken en vervormen. We moeten alleen oppassen dat we geen scheuren maken. We kunnen deze eigenschappen nabootsen door met heel flexibel rubber te werken of met klei. We moeten bij de laatste wel in gedachten houden dat we nu alleen geinteresseerd zijn in het oppervlak en niet in de inhoud.
Klei
Kun je dit plaatje
veranderen in
zonder de klei te scheuren, oftewel op een topologische manier?
In deze activiteit bekijken we de oppervlakken van onderstaande alledaagse voorwerpen. We kunnen een topologische indeling maken.
a. Hoe zou jij de oppervlakken van een voetbal, een donut, een rugbybal en een koffiekopje topologisch indelen? b. Maak een lijst van vijf objecten om je heen met het topologische oppervlak van een bol en een lijst met vijf objecten met het topologische oppervlak van een donut.
We hebben het in deze les gehad over Pacman, torus games, Flatland en nu over oppervlakken. Wat hebben deze onderwerpen met elkaar te maken? We kunnen het computerscherm bij Pacman of de torus games beschouwen als een topologische ruimte. Al deze spellen spelen zich af op een vierkant waarvan we in gedachte de tegenoverliggende zijden aan elkaar hebben geplakt. Maar wat zou er gebeuren als we “in gedachte” weglaten en de zijden echt gaan plakken?
Eigenlijk spelen we Pacman op het oppervlak van een donut! Dit oppervlak noemen wiskundigen de torus.
Flatland
Flatlanders leven in Flatland, maar is Flatland wel zo plat? Misschien leven zij wel in een bolschil of een torus. Kun je zelf andere alternatieven bedenken voor de vorm van Flatland?
Het arrangement 2 Les 1 Flatland is gemaakt met
Wikiwijs van
Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt,
maakt en deelt.
Auteur
Bètapartners
Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd
2014-11-30 08:05:03
Licentie
Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:
het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat
het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken
voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.
Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld en getest in een SURF-project (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student). In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT. In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo). Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.
Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl
De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website).
Gebruiksvoorwaarden: creative commons cc-by sa 3.0
Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.
Aanvullende informatie over dit lesmateriaal
Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:
Toelichting
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'TopWis Poincarë' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
Leerniveau
VWO 6;
VWO 4;
VWO 5;
Leerinhoud en doelen
Vormen en figuren;
Redeneren in de (vlakke) meetkunde;
Wiskunde D;
Meten en meetkunde;
Eindgebruiker
leerling/student
Moeilijkheidsgraad
gemiddeld
Trefwoorden
e-klassen rearrangeerbaar
2 Les 1 Flatland
nl
Bètapartners
2014-11-30 08:05:03
Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'TopWis Poincarë' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
klik hier voor tekening eerste vraag.
