5 Kwantoren

Veel uitspraken hebben zowel een existentieel en een universeel karakter.
Bijvoorbeeld: het spreekwoord

"Op elk potje past een dekseltje".

Hier wordt iets gezegd over de verzameling van potjes en de verzameling van dekseltjes. Over de potjes wordt iets universeels gezegd: "elk potje". Maar over elk potje afzonderlijk wordt iets existentieels gezegd, namelijk dat er een dekseltje bestaat dat op dat potje past.
Met dezelfde woorden kunnen we een heel andere zin maken:

"Eén dekseltje past op elk potje."

waarin ook iets gezegd wordt over alle potjes en sommige dekseltjes, maar wel iets essentieels anders.

In de wiskunde zijn verbanden vaak zo ingewikkeld dat de natuurlijke taal tekort schiet. Om precies aan te geven hoe de variabelen in een zin (zoals hierboven potje en dekseltje) bedoeld zijn wordt gebruik gemaakt van zgnkwantoren. Dat zijn de tekens ∀ en ∃ die van een variabele aangeven of hij universeel of existentieel bedoeld is.

Wil je zeggen dat alle getallen even zijn, dan doe je dat zo:

∀x∈ N

x is even

of als wel duidelijk is dat de x'en uit N komen:

∀x

x is even

Wil je zeggen dat sommige getallen even zijn, dan schrijf je:

∃x

x is even

Kwantoren worden vooral gebruikt als er meerdere variabelen in het spel zijn, zoals in ons voorbeeld hierboven waar er sprake is van 'potje' en 'dekseltje'.

Dekseltje d past op elk potje p zou je zo schrijven:

∀p

d past op p

Dat er een deksel past op potje p schrijf je zo:

∃d

d past op p

Zin 1 wordt dus:

∀p ∃d

d past op p

Terwijl zin 2 wordt:

∃d ∀p

d past op p

Bijvoorbeeld de bewering:

"Als je twee natuurlijke getallen hebt en je trekt het kwadraat van de ene af van de ander, dan krijg je altijd een getal dat groter is dan de som van die twee getallen."

kun je vertalen met:

∀x∈Ν∀y∈Ν
y - x² > x+y .

En om

" Elk natuurlijk getal is te schrijven als de som van twee priemgetallen"

te vertalen, neem P = {x ∈ N | x is priem}, dan:

∀x∈Ν∃p∈Ρ∃q∈Ρ
x = p + q

Vraagstuk 1

Vraagstuk 2

Oefening: Waar of niet waar?

Start

Vraagstuk 3

De variabelen x en y staan voor alle mensen in een groot bedrijf.

Vul een X in op de juiste plaats.

klik hier

Vraagstuk 4

Geef in je eigen woorden een Nederlandse zin voor de volgende beweringen:

(de variabelen x en y staan voor alle mensen in een groot bedrijf)

a) ∃x ∃ y x is de baas van y

b) ∃y ∀ x x is de baas van y

c) ∃y ∀ x y is de baas van x

en controleer jouw zinnen.

klik hier

Colofon

Het arrangement 07 H5 Kwantoren is gemaakt met Wikiwijs van Kennisnet. Wikiwijs is hét onderwijsplatform waar je leermiddelen zoekt, maakt en deelt.

Auteur: Bètapartners Je moet eerst inloggen om feedback aan de auteur te kunnen geven.
Laatst gewijzigd: 2014-11-29 21:37:35
Licentie: Dit lesmateriaal is gepubliceerd onder de Creative Commons Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie. Dit houdt in dat je onder de voorwaarde van naamsvermelding en publicatie onder dezelfde licentie vrij bent om:

het werk te delen - te kopiëren, te verspreiden en door te geven via elk medium of bestandsformaat

het werk te bewerken - te remixen, te veranderen en afgeleide werken te maken

voor alle doeleinden, inclusief commerciële doeleinden.

Meer informatie over de CC Naamsvermelding-GelijkDelen 3.0 Nederland licentie.

Dit materiaal is achtereenvolgens ontwikkeld en getest in een SURF-project (2008-2011: e-klassen als voertuig voor aansluiting VO-HO) en een IIO-project (2011-2015: e-klassen&PAL-student). In het SURF project zijn in samenwerking met vakdocenten van VO-scholen, universiteiten en hogescholen e-modules ontwikkeld voor Informatica, Wiskunde D en NLT. In het IIO-project (Innovatie Impuls Onderwijs) zijn in zo’n samenwerking modules ontwikkeld voor de vakken Biologie, Natuurkunde en Scheikunde (bovenbouw havo/vwo). Meer dan 40 scholen waren bij deze ontwikkeling betrokken.

Organisatie en begeleiding van uitvoering en ontwikkeling is gecoördineerd vanuit Bètapartners/Its Academy, een samenwerkingsverband tussen scholen en vervolgopleidingen. Zie ook www.itsacademy.nl

De auteurs hebben bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, en andere gegevens is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van een module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met de programmamanager van de Its Academy (zie website).

Gebruiksvoorwaarden: creative commons cc-by sa 3.0

Handleidingen, toetsen en achtergrondmateriaal zijn voor docenten verkrijgbaar via de bètasteunpunten.

Aanvullende informatie over dit lesmateriaal

Van dit lesmateriaal is de volgende aanvullende informatie beschikbaar:

Toelichting: Deze les maakt onderdeel uit van de e-klas 'Logica' voor VWO 4,5,6 voor het vak wiskunde D.
Leerniveau: VWO 6; VWO 4; VWO 5;
Leerinhoud en doelen: Wiskundig redeneren; Wiskunde D; Inzicht en handelen;
Eindgebruiker: leerling/student
Moeilijkheidsgraad: gemiddeld
Trefwoorden: e-klassen rearrangeerbaar

Downloaden

Het volledige arrangement is in de onderstaande formaten te downloaden.

Metadata

Metadata overzicht (Excel)

LTI

Leeromgevingen die gebruik maken van LTI kunnen Wikiwijs arrangementen en toetsen afspelen en resultaten terugkoppelen. Hiervoor moet de leeromgeving wel bij Wikiwijs aangemeld zijn. Wil je gebruik maken van de LTI koppeling? Meld je aan via info@wikiwijs.nl met het verzoek om een LTI koppeling aan te gaan.

Maak je al gebruik van LTI? Gebruik dan de onderstaande Launch URL’s.

Arrangement

Oefeningen en toetsen

Waar of niet waar?

IMSCC package

Wil je de Launch URL’s niet los kopiëren, maar in één keer downloaden? Download dan de IMSCC package.

IMSCC package

QTI

Oefeningen en toetsen van dit arrangement kun je ook downloaden als QTI. Dit bestaat uit een ZIP bestand dat alle informatie bevat over de specifieke oefening of toets; volgorde van de vragen, afbeeldingen, te behalen punten, etc. Omgevingen met een QTI player kunnen QTI afspelen.

Versie 2.1 (NL)

Waar of niet waar?

Versie 3.0 bèta

Waar of niet waar?

Meer informatie voor ontwikkelaars

Wikiwijs lesmateriaal kan worden gebruikt in een externe leeromgeving. Er kunnen koppelingen worden gemaakt en het lesmateriaal kan op verschillende manieren worden geëxporteerd. Meer informatie hierover kun je vinden op onze Developers Wiki.